Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
KOORDINAT TABUNG DAN KOORDINAT BOLA
Dalam perhitungan integral rangkap tiga dari suatu fungsi tiga peubah atas bangun ruang G seringkali dijumpai beberapa kesulitan dalam pengintegralan. Untuk itu, dilakukan tarsnformasi dari kordinat cartesius ke dalam koordinat tabung dan koordinat bola. Hubungan antara koordinat cartesius dengan koordinat tabung dan koordinat bola dijelaskan dari gambar berikut.
Bila dalam koordinat cartesius P( x,y,z ) dan dalam koordinat tabung P( r,θ,z ) maka diperoleh hubungan berikut :
x2 + y2 = r2 x = r cos θ y = r sin θ z = z
Bila dalam koordinat cartesius P ( x,y,z ) dan dalam koordinat bola P ( ρ,θ,φ ) maka didapatkan hubungan berikut :
ρ
ρ φ θ
ρ φ θ
ρ φ
2 = 2 + 2 + 2 =
= =
x y z
x y z
sin cos sin sin cos
Untuk mentransformasikan integral dari koordinat cartesius ke dalam koordinat tabung atau koordinat bola digunakan metode determinan jacobi.
Z z
(r,θ,z) y
O Y θ r
x X
Koordinat Tabung
Z z
(ρ,θ,φ) φ ρ
O y Y θ r
x X
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Koordinat Tabung
(
)
J r z x r x x z y r y z z z r z z z r r r , , cos sin sin cos θ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ θ θ θ θ = = − = 0 0
0 0 1
(
)
f x y z dV f r r z r dz dr d
G v r
v r
r r
( , , ) cos , sin ,
( , ) ( , ) ( ) ( )
∫∫∫
=∫
∫
∫
1 2 1 2 1 2 θ θ θ θ θ θ θ θ θ Koordinat Bola(
)
Jx x x
y y z
z z z
ρ θ φ ∂ ∂ρ ∂ ∂θ ∂ ∂φ ∂ ∂ρ ∂ ∂θ ∂ ∂φ ∂ ∂ρ ∂ ∂θ ∂ ∂φ φ θ ρ φ θ ρ φ θ φ θ ρ φ θ ρ φ θ φ ρ φ ρ φ , ,
sin cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin
cos sin sin = = − − = 0 2
(
)
f x y z dV F d d d
G v
v
( , , ) , , sin
( , ) ( , ) ( ) ( )
∫∫∫
=∫
∫
∫
ρ θ φ ρ φ φ ρ θ ρθ ρθ ρ θ ρ θ θ θ 1 2 1 2 1 2 2Dalam penerapan, bila bangun ruang G simetris terhadap suatu sumbu ( garis ) maka digunakan koordinat tabung. Sedangkan koordinat bola digunakan bila bangun ruang G simetri terhadap suatu titik.
Contoh 10
Gunakan koordinat tabung untuk menghitung integral
0 3 0 9 2 2 0 2 2
∫ ∫ ∫
−x x +y dz dy dxJawab :
Misal G =
(
x y z)
≤ ≤x ≤ ≤y x ≤ ≤z − y , , 0 2 0, 2 ,0 8
4
2
.
Maka G =
(
r z)
≤ ≤r ≤ ≤ ≤ ≤z , ,θ 0 3 0, θ π,
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung Jadi,
0 3
0 9
2 2
0 2
0 3
2
0 2
0 2
0 3
2
0 2
0 2
2
9
∫ ∫ ∫
− + =∫
∫
∫
=∫
∫
∫
=
x
x y dz dy dx r dz d drθ r dz dθ dr π
π/ π/
Contoh 11
Gunakan koordinat bola untuk menghitung z dz dy dx
x y
x
0 4
0 4
0
2 − 2 − −2 2
∫
∫
∫
Jawab :
Misal G =
(
x y z)
≤ ≤x ≤ ≤y −x ≤ ≤z −x − y , , 0 2 0, 4 2,0 4 2 2. Maka G = (
)
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
ρ θ φ, , 0 ρ 2 0, θ π, φ π
2 0 2
z dz dy dx d d d
d d d
x y
x
0 4
0 4
0 2
0 2
0 2
0 2
2
0 2
3
0 2
0 2
2 2
2 − −
−
∫
∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
=
=
=
π π
π π
ρ φρ φ φ θ ρ
ρ φ φ φ θ ρ
π
/ /
/ /
cos sin
cos sin
Soal latihan
1. Hitung x dz dy dx x y
x x
2
0 9
9 9
3
3 2 2
2
2 − −
− − −
−
∫
∫
∫
2. Tentukan besar volume bangun ruang G bila G dibatasi oleh :
a. Bagian atas : z = 25−x2 −y2 , bagian bawah : z = 0 dan selimut : x2 + y2 = 25 b. Bagian atas dan bawah : x2 + y2 + z2 = 9 dan selimut : x2 + y2 = 4
c. z = x2 + y2 dan z = 9
3. Gunakan koordinat Bola untuk menghitung integral berikut:
a. z x y z dz dy dx
x y
x x
2 2 2 2
0 4
4 4
2
2 2 2
2 2
+ +
− −
− − −
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
b.
(
x y z)
dy dz dxx z x z
x x
2 2 2
9 9
9 9
3
3 3
2
2 2
2 2
2 2
+ +
− − − − −
− − −
−
∫
∫
∫
c. z x y dz dy dx
x y
x
4 2 2
0 4
0 4
0
2 2 2 2
− −
− − −
∫
∫
∫
