Materi Kuliah Jurusan Teknik Elektro - FORUM STUDI ISLAM AL-BIRUNI

Matematika Dasar

Danang Mursita

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung INTEGRAL RANGKAP TIGA

Misal diberikan fungsi tiga peubah, w = f ( x,y,z ). Maka untuk menentukan integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) terhadap suatu balok, B dilakukan sebagai

berikut. bagi balok, B menjadi sejumlah n sub balok, B_i ; i = 1,2,…,n. Didapatkan volume sub balok ∆V_i =∆ ∆ ∆x_i y_i z_i, sehingga volume balok, B yaitu :

V V_i

i n

=

=

∑

∆

1

Integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) terhadap B didefinisikan sebagai berikut:

(

)

f x y z dV f x y z V

B n

i i i i

i n

( , , ) lim , ,

∫∫∫

=

∑

→∞ =1 ∆

Syarat yang harus dipenuhi untuk integral rangkap tiga di atas adalah w = f ( x,y,z ) kontinu pada B.

Misal G merupakan benda ruang sembarang. Maka untuk menghitung integral

rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas G dilakukan dengan cara mendefinsikan fungsi g ( x,y,z ) berikut :

g x y z f x y z x y z G

x y z B G

( , , ) ( , , ) ; ( , , ) ; ( , , )

= ∈

∈ − 

 0

B merupakan balok yang melingkupi benda ruang, G. Sehingga didapatkan :

f x y z dV g x y z dV

G B

( , , ) ( , , )

∫∫∫

=

∫∫∫

Dalam perhitungan, G dapat dipandang sebagai benda ruang yang dibatasi oleh

G_z - batas bawah dan batas atas dari G_z berturut-turut z₁ =u x y

( )

, danz₂ = v x y

( )

, atau dalam notasi himpunan, G_z =

{

z u x y

( )

, ≤ ≤z v x y

( )

,

}

- dan G_xy yang merupakan proyeksi dari G pada bidang XOY. Sehingga bentuk integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas G dituliskan :

f x y z dV f x y z dz dA

G u x y

v x y

G_xy

( , , ) ( , , )

( , ) ( , )

∫∫∫

=

∫∫



∫

  



Matematika Dasar

Danang Mursita

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

Bentuk dari G_xy dapat dibedakan menjadi dua yaitu : 1. G_xy =

{

( )

x y a, ≤ ≤x b h x,

( )

≤ ≤y g x

( )

}

Urutan integrasi sangat mungkin bergantung dari bentuk bangun ruang G,

sehingga selain merupakan gabungan dari G_z dan G_xy . Namun dapat juga G dipandang sebagai gabungan antara G_x dan G_yz atau G_y dan G_xz . Sedangkan G_yz dan G_xz berturut-turut merupakan proyeksi dari bangun ruang G pada bidang YOZ dan XOZ.

Contoh 7

Hitung integral 2 0

Hitung integral 2x dV

Matematika Dasar

Danang Mursita

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

a. 2 2 2 65

Secara geometris nilai integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas bangun ruang G merupakan volume dari bangun ruang G bila f ( x,y,z ) = 1.

Contoh 9

Hitung volume bangun ruang, G yang terletak di oktan pertama dibatasi oleh y = 2 x2 dan y + 4z = 8.

Soal Latihan

( Nomor 1 sd 5 ) Hitung nilai integral rangkap tiga berikut.

Matematika Dasar

Danang Mursita

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

5. sin

sin

x

y dx dy dz

yz

z

   _

∫

∫

∫

0 2 0

0

2

π

( Nomor 6 sd 9 ) Hitung nilai integral xyz dV

G

∫∫∫

bila :

6. G = 

(

x y z

)

≤ ≤x ≤ ≤y ≤ ≤z

(

− x− y

)



  

, , 0 1 0, 3 0, 1

6 12 3 2

7. G = 

(

x y z

)

≤ ≤x −y ≤ ≤y ≤ ≤z

 , , 0 4 2,0 2 0, 3

8. G =

{

(

x y z, ,

)

0≤ ≤x 3 0z, ≤ ≤ − −y 4 x 2 0z, ≤ ≤z 2

}

9. G =

{

(

x y z, ,

)

0≤ ≤x y2,0≤ ≤y z,0≤ ≤z 1

}

( Nomor 10 sd 13 ) Hitung volume bangun ruang G bila G dibatasi oleh :

10. y = 2x2 , y + 4z = 8 dan terletak di oktan pertama. 11. y2 + 4z2 = 4 , y = x , y = 0 dan terletak di oktan pertama 12. x2 =y , z2 = y dan y = 1