M01113

(1)

Bidang Kajian: Matematika Terapan

ANALISIS HASIL PANEN PADI MENGGUNAKAN

PEMODELAN KUADRATIK

Vina Puspita Dewi 1), Hanna Arini Parhusip 2), Lilik Linawati 3) 1)

Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW

2), 3)

Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW

Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711

E-mail: puspitadewi_vina@yahoo.com1), hannaariniparhusip@yahoo.co.id2), lina.utomo@yahoo.com3)

Abstrak

Salah satu penentu keberhasilan panen padi selain cara budidaya padi yang baik adalah waktu tanam. Dalam waktu satu tahun dapat dilakukan penanaman padi tiga kali atau ada tiga periode tanam. Berdasarkan data Luas Tanam Akhir (LTA), Luas Panen (LP), dan Hasil per Hektar gabah (HH) dalam kurun waktu tertentu akan dianalisis menggunakan Pemrograman Kuadratik (Quadratic Programing) untuk menentukan periode penanaman yang memberikan hasil maksimum. Dalam penerapan Pemrograman Kuadratik ini parameter-parameter fungsi tujuan ditentukan dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method). Berdasarkan Teorema Karush Kuhn Tucker (KKT) disusun persamaan

Lagrange. Untuk penyelesaiannya menggunakan MATLAB. Hasil analisi menunjukkan bahwa periode tanam yang optimal yaitu periode tanam III (September-Desember) dengan hasil panen yang diperoleh 60,4 ton gabah per hektar sawah.

Kata Kunci: Least Square Method, Quadratic Programing, Lagrange, dan padi.

A. Pendahuluan

Lahan persawahan untuk tanaman padi dari tahun ketahun semakin berkurang, karena

adanya peningkatan pembangunan pemukiman penduduk maupun tempat-tempat umum. Di

kota Surakarta penanaman padi setiap tahunnya ada tiga kali yaitu, periode I dimulai dari

Januari – April, periode II Mei – Agustus, dan periode III September – Desember.

Berdasarkan data dari Badan Pusat Statistik (BPS) kota Surakarta ternyata hasil panen padi

yang diperoleh dari tahun ketahun tidak selalu sama. Penentu keberhasilan panen padi selain

cara budidaya padi yang baik adalah waktu tanamnya. Hal inilah yang mendorong peneliti

untuk mengetahui periode tanam yang optimal (maksimal), sehingga dengan diketahuinya

periode tanam yang optimal diharapkan pemerintah atau pihak-pihak terkait lebih

memperhatikan periode tersebut untuk melakukan sosialisasi cara budidaya padi yang baik.

Untuk periode-periode lainnya, pemerintah Surakarta diharapkan mengetahui permasalahan

yang dialami petani sehingga dapat menyelesaikan permasalahan tersebut agar semua periode

(2)

Dari data BPS kota Surakarta hasil per hektar (HH) dipengaruhi oleh Luas Tanam

Akhir (LTA) dan Luas Panen (LP). Menurut Web 2 Luas Tanam Akhir merupakan luas

tanaman yang ada pada saat pencatatan data tidak termasuk tanaman bibit yang digunakan.

Luas Panen merupakan luas tanaman yang dipungut hasilnya setelah tanaman tersebut cukup

umur termasuk tanaman padi yang gagal panen. Sedangkan Hasil per Hektar (HH) adalah

hasil gabah basah yang diperoleh pada saat panen untuk satu hektar sawah.

Pemrograman non linear khususnya pemrograman kuadratik merupakan masalah

optimasi yang fungsi tujuannya melibatkan fungsi kuadrat dan mempunyai kendala berupa

pertidaksamaan linear maupun non linear (web 1). Pada penelitian ini pemrograman

kuadratik digunakan untuk menentukan periode tanam yang baik, karena fungsi kuadratik

merupakan fungsi cekung sehingga dijamin bahwa sebarang maksimum lokal pada daerah

konveks layak akan merupakan suatu maksimum global dalam daerah tersebut (Perresini, dkk

1998).

Telah banyak penelitian tentang optimasi non linear yang penyelesaiannya

menggunakan pemrograman kuadratik. Loqman, dkk (2013) menggunakan pemrograman

kuadratik untuk penjadwalan pekerja pada suatu perusahaan. Gharibi (2012) mengangkat

masalah pemrograman kuadratik yang di aplikasikan dalam ilmu komputer dan komunikasi

kemudian diselesaikan dengan linearisasi 0-1. Selain itu ada juga penelitian oleh Bhowmik,

dkk (2000) masalah pemrograman integer diubah ke pemrograman kuadratik dan diselesaikan

dengan teknik heuristik.

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui periode tanam yang paling baik

berdasarkan hasil panen yang maksimal. Data yang digunakan adalah data padi sawah pada

tahun 1992-2012 yang diperoleh dari Badan Pusat Statistik (BPS) Surakarta. Ada 3 kali

Periode tanam dalam satu tahun sehingga setiap periode akan dibuat satu fungsi tujuan.

Pengolahan data menggunakan MATLAB 7.0.

B. Dasar Teori

1. Pemrograman Kuadratik

Menurut Peressini, dkk (1998) optimasi program kuadratik merupakan masalah konveks

(fungsi tujuan merupakan fungsi konveks), sehingga penyusunan fungsi tujuannya analog

dengan penyusunan fungsi tujuan untuk masalah konveks. Bentuk umum dari masalah

pemrograman kuadratik:

Minimalkan = + . +1

(3)

dengan kendala (� ) , i = 1,2,..,k (2)

(� ) = , i=k+1,...,m (3)

0 (4)

Q= matriks koefisien fungsi tujuan

= vektor koefisien fungsi tujuan

= konstanta pada fungsi tujuan

= vektor variabel keputusan

A = matiks koefisien fungsi kendala

= vektor nilai sebelah kanan pada kendala

Untuk menyelesaikan pemrograman kuadratik, maka perlu menyusun fungsi tujuan dalam

hal ini fungsi tujuan kuadratik. Perlu diperkenalkan variabel yang digunakan yaitu

i

Menurut Perresini,dkk(1998) diasumsikan bahwa setiap data (Si,xi,yi)memenuhi

(S_i,x_i,y_i)

Untuk menentukan parameter persamaan (5) dengan metode kuadrat terkecil, perlu

meminimalkan fungsi residu yaitu

= min ( , − ,� )2 = min ( , − ( , )2 (6)

R minimal dapat terjadi jika dipenuhi R0 dan masing-masing derivatif parsialnya ada.

�

Meminimalkan R sama artinya dengan menyelesaikan sistem persamaan linear

w v A a



(4)

dimana

�=

₂4₂ 2 2₄ 3 ₃

3 3 2 2

3 2 2

2 3 2

2 2

3 2 2

2 3 2

2 2

2

�

(8a)

w 

=





xiSi



yiSi



xiyiSi



xiSi



yiSi



Si



T

2 2

(8b)





T

a

v  ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ _(8c)

Menurut Perresini, dkk (1998) menyelesaikan sistem persamaan linear pada

persamaan (8) terdapat banyak cara, diantaranya Dekomposisi LU dan Iterasi Gauss Seidel.

Kedua metode tersebut kemungkinan mempunyai banyak penyelesaian dari sistem persamaan

tersebut. Solusi v_a dari persamaan (8) diperoleh dengan

� = (�)−1 (9)

Untuk membuktikan v_aada dan terbaik ada 4 cara, yaitu:

1. Matriks A pada persamaan (8) dikatakan invertible jika determinan dari matriks A

tersebut ≠ 0. A invertibel artinya penyelesaian dari matriks A tunggal (Peressini, dkk 1998).

2. Error/residu merupakan jarak/beda antara data aktual dengan data pendekatan (dari model hasil fungsi tujuan) yaitu

e = � −

. 100%

3. Sebagai aplikasi matriks dan norm vektor, perlu mempertimbangkan perkiraan

kesalahan dengan menghitung invers matriks dan solusi dari persamaan linear. Untuk

menyelesaikan persamaan (9)

= (�)−1

menurut Horn & Johnson (1985) dimana invers matriks A harus terdefinisi. Jika �−1 adalah invers A yang eksak maka secara komputasi ditulis (�+ �)−1, dimana E

matriks error berukuran 6 x 6 yang komponen-komponennya merupakan bilangan yang cukup kecil sehingga A+E invertible. Kemudian errornya adalah

(5)

Akan dicari �−1−( +�−1�)−1�−1 maka perlu menyatakan bentuk ( +�−1�)−1

dalam bentuk lain.

Analog dengan deret (1 + )−1akan diperoleh

( +�−1�)−1 = �−1− ∞₌₀ −1 +1(�−1�) �−1,

= ∞₌₁ −1 +1(�−1�) �−1, jika � �−1� < 1

Dengan � �−1� adalah spektral radius (nilai eigen) dari matriks �−1�.

Terdapat banyak definisi ||.|| dalam matriks, diantaranya yaitu norm Euclid, norm maksimum, dan norm Frobenius. Dalam kasus ini yang digunakan dalam perhitungan

adalah norm euclid. Contoh menghitung norm Euclid:

Misalkan dipunyai matriks �= 1 2

3 4 , perlu disusun matriks �′ yaitu �′= 1 3 2 4

untuk mencari norm euclid = max (��′) dengan adalah nilai eigen. Nilai eigen dari ��′ adalah 0.1 dan 29.9. Jadi norm euclid dari A adalah 29.9 = 5.47 (web 3). Diasumsikan ||�−1�||<1, batas atas kesalahan relatif dengan menghitung invers adalah

�−1_{− �}₊_�−1

�−1

�−1_�

1− �−1_� jika �−

1_� _{< 1}_. _(*)

Ruas kanan dikalikan �

� sehingga

�−1_�

(1− �−1_�₎

� � =

�−1_�

� − �−1_�

� � =

�−1_�

( � − �−1_{� �}₎

�

� �

(**)

Didefinisikan

κ � ≡ �−1_∞ � _jika jika _��_singuler nonsinguler (10)

Persamaan (10) disebut conditional number dari invers matriks dengan melihat norm

matriks . . Persamaan (*) dengan (**) menjadi

�−1_�

1− �−1_�

� � =

�−1_�

� − �−1_�

� � =

κ � �

1−κ�_� � � .

Jadi error relatif untuk invers matriks pada persamaan (8a) terbatas tergantung dari

nilai κ(�) sehingga κ(�) tidak boleh terlalu besar.

Conditional number matriks pada MATLAB juga menggunakan persamaan (10). Menurut Anderson, dkk (1999) jika conditional number dibawah 67108864

maka nilai  i dinyatakan terbaik karena error invers terbatas ke atas. Untuk

(6)

4. Sifat titik kritis (minimum) ditunjukkan dengan tipe matriks Hessian (matriks yang

disusun turunan kedua dari fungsi terhadap masing-masing variabel bebas).

=∇ ∇ =∇ −2� + 2� � = 2� � (11)

Menurut Peressini dkk (1998) titik kritis v_a sebagai peminimum lokal jika nilai eigen

dari mariks Hessiannya bersifat positive semi definite yang artinya nilai eigen ≥ 0.

Dalam proses perhitungan agar nilai data yang digunakan tidak terlalu besar sehingga

dapat membuat A singular, maka data perlu dinormalisasi yaitu dengan membagi data masing-masing kolom dengan maksimumnya

i

teorema Karush Kuhn Tucker (KKT) perlu disusun fungsi Lagrange seperti persamaan (13)

yaitu:

= pengali Lagrange untuk persamaan (2) dan (3)

= pengali Lagrange untuk persamaan (4)

Kondisi KKT pada persamaan (13) dapat digunakan untuk menemukan titik kritis dengan

menyelesaikan sistem persamaan yang diperoleh dari L0. Artinya mencari peminimal x*

dan parameter optimal m R

2. Model Pemrograman Kuadratik untuk Optimasi Hasil Panen Padi

Pemrograman kuadratik diterapkan untuk menentukan periode tanam yang optimal

(7)

Dalam hal ini data akan diolah berdasarkan periode tanam yang sama yaitu periode I

(Januari-April), periode II (Mei-Agustus), dan periode III (September-Desember). Untuk

menyusun fungsi tujuan maka perlu diperkenalkan variabel yang digunakan yaitu

ij

x = data Luas Tanam Akhir (LTA) ke- i pada periode tanam ke- j dalam satuan ha.

ij

y = data Luas Panen (LP) ke- i pada periode tanam ke- j dalam satuan ha.

ij

S = data hasil panen padi ke- i pada periode tanam ke- j dalam satuan ton.

i = 1,2,...,n j = 1,2,3

n = banyaknya data

, = �1

1

2�3

1

2�3 �2

+ �₄�₅ +�₆ (15)

Kendala ditunjukkan sebagai berikut

a. Luas Tanam Akhir (LTA) tidak boleh lebih dari Luas Tanam Akhir (LTA) maksimum,

yang ditulis

≤

b. Luas panen (LP) tidak boleh lebih besar dari luas tanam akhir (LTA) ditulis sebagai

C. Metode Penelitian

Langkah-langkah penelitian

1. Pengumpulan Data

Data yang digunakan adalah data sekunder yang diperoleh dari Badan Pusat Statistik

(BPS) kota Surakarta. Data yang dianalisis adalah data LTA, LP, dan HH pada setiap

periode tanam pada tahun 1992-2012. Setiap tahun terdapat tiga periode tanam.

Tabel 1. Data padi sawah dari tahun 1992-2013

No

Tahun

Periode I Periode II Periode III

LTA I

LP

I HH I

LTA II

LP II

HH II

LTA

III LP III

HH III

1 ₁₉₉₂ ₁₂₅ ₉₁ _62,41 ₁₁₂ ₁₁₄ _55,44 ₁₇₃ ₈₃ _55,30

2 ₁₉₉₃ ₁₅₃ ₁₃₉ _59,35 ₁₄₁ ₁₁₅ _54,34 ₁₇₆ ₁₀₃ _63,08

3 ₁₉₉₄ ₁₆₀ ₁₄₅ _63,45 ₁₅₃ ₁₀₇ _55,57 ₁₃₃ ₁₁₃ _57,07

4 ₁₉₉₅ ₈₁ ₁₂₆ _63,73 ₈₁ ₉₈ _57,14 ₉₆ ₁₀₃ _64,17

5 ₁₉₉₆ ₁₄₁ ₁₂₄ _60,40 ₈₃ ₁₅₆ _54,93 ₁₂₆ ₁₀₁ _63,36

(8)

7 1998 66 94 62,12 64 105 51,80 106 84 56,90

8 ₁₉₉₉ ₅₇ ₁₀₄ _57,30 ₄₉ ₉₄ _47,12 ₈₃ ₇₈ _64,74

9 2000 99 113 64,42 54 107 58,31 88 81 46,66

10 ₂₀₀₁ ₈₉ ₇₃ _53,29 ₆₀ ₈₉ _53,60 ₁₀₁ ₆₂ _56,77

11 2002 104 113 53,53 65 96 53,02 91 51 52,54

12 ₂₀₀₃ ₇₅ ₅₅ _51,82 ₅₈ ₁₀₁ _51,58 ₈₈ ₄₂ _52,14

13 2004 72 86 52,91 61 83 52,29 65 48 52,29

14 ₂₀₀₅ ₇₉ ₇₃ _51,86 ₄₂ ₉₄ _50,58 ₈₃ ₅₅ _52,14

15 2006 86 78 51,34 33 102 43,88 88 56 51,07

16 ₂₀₀₇ ₇₅ ₁₂₉ _50,60 ₅₁ ₇₉ _47,02 ₈₄ ₄₉ _51,33

17 2008 76 102 52,38 51 86 51,09 80 51 52,69

18 ₂₀₀₉ ₁₀₂ ₈₅ _50,43 ₇₁ ₁₁₆ _50,88 ₈₂ ₈₇ _51,44

19 ₂₀₁₀ ₉₂ ₁₀₉ _50,58 ₄₃ ₁₁₁ _48,49 ₇₆ ₅₅ _50,94

20 ₂₀₁₁ ₈₂ ₅₉ _51,34 ₁₀ ₂₄ _36,89 ₆₀ ₃₁ _69,83

21 ₂₀₁₂ ₃₆ ₆₄ _{59,26 17,00 72,00 78,04} ₂₄ ₄₇ _83,27

Sumber: Badan Pusat Statisik (BPS) kota Surakarta

Keterangan:

LTA = Luas Tanam Akhir (ha)

LP = Luas Panen (ha)

HH = Hasil per Hektar gabah (ton)

2. Memodelkan fungsi tujuan dan kendala tujuan. Untuk pemodelan fungsi tujuan

mengacu pada persamaan (15). Fungsi tujuan disusun untuk setiap periode tanam,

sehingga akan ada tiga persamaan fungsi tujuannya.

3. Menyelesaikan pemaksimal luas panen tiap periode. Dengan menggunakan fungsi

fsolve pada MATLAB. 4. Menganalisis hasil.

5. Membuat kesimpulan.

D. Hasil dan Pembahasan

1. Parameter optimal untuk fungsi tujuan

Tahap awal untuk mengolah data tersebut adalah dengan membuat fungsi tujuan

untuk tiap-tiap periode tanam. Model kudratik pada persamaan (15) diselesaikan

menggunakan metode kuadrat terkecil untuk mendapatkan v_a.Tentu saja pada kenyataannya

tidak tepat sama dengan data aktualnya. Dalam hal ini, diasumsikan bahwa data aktual

benar, sedangkan fungsi kuadratik dianggap sebagai hasil pendekatan.

Dengan metode kuadrat terkecil diperoleh nilai v_a, sehingga fungsi tujuan kuadratik

(9)

= 1.179 2−1.263 2 −1.309 −0.325 + 2.640 −0.004 (16)

menghitung Conditional Number A, dan sifat Hf yang ditunjukkan pada Tabel 2.

Gambar 1. Grafik hasil panen padi menurut data aktual dan hasil pendekatan fungsi kuadratik pada setiap

periode tanam

Tabel 2.Sifat-sifat dari v_a yang diperoleh

Determinan Matriks A -0.0029 -0.0014 -0.0047

Error 9.4% 13.8342% 18.5405%

Conditional number 23568 37013 22201

Sifat Hf positive semi definite positive semi definite positive semi definite

Ternyata pada setiap periode tanam determinan matriks A ≠ 0, sehingga sistem

persamaan linearnya mempunyai penyelesaian tunggal. Error dari masing-masing periode tanam 9.4%, 13.8%, dan 18.5% nilai ini cukup besar, namun error bukan satu-satuya ukuran untuk mengetahui v_a terbaik. Cara lain adalah berdasarkan conditional number seperti pada

Tabel 2 dimana nilai Conditional number < 67108864 atau dibawah batas maksimumnya.

(10)

Untuk periode tanam I diperoleh nilai eigen = [0; 0; 0.4; 1.6; 240.4; 4386.4], untuk

periode tanam II nilai eigen = [0; 0; 0; 0.0047; 0.1884; 2.2710], periode tanam III nilai eigen

= [0; 0; 0; 0.0005; 0.0013; 0.1970; 3.0796] yang artinya sifat untuk masing-masing

periode tanam adalah positive semi definite sehingga parameter yang diperoleh dapat dinyatakan sebagai yang terbaik karena meminimumkan R. Jadi sekalipun error fungsi mencapai 18.5% maka parameter yang diperoleh tetap dijamin terbaik.

2. Memaksimalkan Fungsi Tujuan

Setelah disusun fungsi tujuan seperti persamaan (16-18) kemudian disusun fungsi

Lagrange berdasarkan persamaan (13) untuk mancari nilai kritis fungsi tujuan yaitu

� , , = (1.179 2 −1.263 2 −1.309 −0.325 + 2.640 −0.004 +

1 −1 + 2 − − 1 − 2 ) (19)

� , , = (−0.315−4.614 2+ 5.876 −3.739 + 4.125 −0.008 +

1 −1 + 2 − − 1 − 2 ) (20)

� , , = (1.067 2−1.012 2 −1.684 −0.319 + 2.510 −0.012 +

1 −1 + 2 − − 1 − 2 ) (21)

Setiap fungsi tujuan pada persamaan (19-21) diselesaikan menggunakan aplikasi

MATLAB dengan fungsi fsolve dan hasilnya ditampilkan pada Tabel 3. [x,fval] = fsolve(fun,x0,options)

Input: fun = fungsi tujuan yang akan diminimumkan

x0 = nilai awal

options = untuk menampilkan banyaknya iterasi

Output: x = keluaran hasil yang dicari

fval = nilai x yang disubstitusikan ke fungsi tujuan

Tabel 3.Penyelesaian optimal berdasarkan pemrograman kuadratik

untuk ketiga periode tanam.

x* 0.8309 0.3575 0.6846

y* 0.8309 0.6746 0.6740

S* 0.9581 0.7174 0.7255

1 0 0 0

2 0.5467 0 0.007

1 0 0 0

(11)

Dapat disimpulkan bahwa ∗ merupakan pemaksimal menurut persamaan (14). Untuk masing-masing fungsi tujuan diperoleh nilai eigen [-3.3; -0.9; 0; 0; 0.4; 3.6], [-12.4; -0.6; 0;

0; 0.2; 3], dan [-3.1; -0.9; 0; 0.4; 3.6]. Nilai eigen matriks Hessian ada yang positif, padahal

agar ∗pemaksimal nilai eigen harus bernilai negatif atau 0. Jadi ∗belum optimal, tetapi untuk saat ini hasil tersebut merupakan hasil terbaik yang diperoleh. Selanjutnya nilai data

optimal pendekatan dinyatakan dalam bentuk data berdimensi yang ditunjukkan pada Tabel

4.

Tabel 4.Penyelesaian optimal untuk ketiga periode tanam dalam bentuk data berdimensi

Luas Tanam Akhir (ha) 132.9505 54.6966 120.4908

Luas Panen (ha) 120.4864 105.2448 76.1586

Hasil gabah (ton) 61.7237 55.8306 60.4087

Rasio = LP/H 1.95 1.71 1.23

Memperhatikan rasio pada Tabel 4, dapat dijelaskan bahwa hasil panen optimal menurut

pehitungan adalah pada periode I, tetapi hasil panen pada periode III hampir sama dengan

hasil panen periode I. Luas panen pada periode I lebih luas dari periode III tetapi

menghasilkan gabah yang lebih sedikit jika dibandingkan dengan periode tanam III. Kondisi

ini dapat terjadi dikarenakan beberapa alasan antara lain karena luas tanaman yang dipanen

merupakan semua luasan tanaman padi tanpa memperhatikan luasan yang gagal panen (web

2). Selain alasan tersebut pada periode I waktu panen berkisar pada bulan April dimana mulai

terjadi musim kemarau, sehingga kemungkinan tanaman padi banyak yang terserang hama

(tikus). Berdasarkan pemaparan diatas dan ternyata periode III mempunyai rasio paling kecil,

maka bisa disimpulkan bahwa periode III merupakan periode tanam yang optimal.

E. Penutup

Pada makalah ini telah dibahas mengenai pengoptimalan panen padi setiap periode

tanam dengan menggunakan pemrograman kuadratik. Kesimpulan berdasarkan pemaparan

sebelumnya diperoleh bahwa periode tanam yang optimal dengan memperhatikan rasio

adalah periode III. Untuk periode tanam I sudah optimal akan tetapi kemungkinan banyak

tanaman yang rusak (dilihat dari LP yang kecil) sehingga hasil padi yang diperoleh sedikit.

Pada periode II, karena periode ini berada dalam musim kemarau maka dapat disarankan

untuk mengoptimalkan irigasi agar kebutuhan air tercukupi agar meningkatkan hasil panen.

(12)

yang optimal. Kemungkinan kendala-kendala dalam pengoptimalan hasil panen masih cukup

banyak. Untuk itu perlu campur tangan pemerintah maupun pihak-pihak terkait agar hasil

panen setiap periode menghasilkan gabah yang optimal. Hasil penelitian ini dapat digunakan

sebagai dasar untuk kajian selanjutnya, yaitu dengan mencari penyebab mengapa pada

periode II LTA lebih kecil dari LP misalnya dengan memperbaiki metode pendataan.

DAFTAR PUSTAKA

Anderson E, Z Bai, C Bischof, S Blackford, J Demmel, J Dongarra, J Du Croz, A

Greenbaum, S Hammarling, A McKenney & D Sorensen.1999. LAPACK User's

Guide Third Edition, SIAM, Philadelphia.

(http://www.netlib.org/lapack/lug/lapack_lug.html)

Bhowmik S, Goswami SK, & Bhattacherjee PK. 2000. Distribution System Planning

Through Combined Heuristic and Quadratic Programing Approach. Electric Machines and Power Systems, 28:87–103.

Gharibi W & XIA Y. 2012. A Tight Linearization Strategy for Zero-One Quadratic

Programming Problems. IJCSI International Journal of Computer Science Issues,

Vol. 9, Issue 3, No 1.

Horn RA & Johnson CA. 1985. Matrix Analysis.USA: Cambrig University Press.

Loqman C, Ettaouil M, Hami Y & Haddouch K. 2013. Quadratic Reformulations For Solving

Days-Off Scheduling Problem. Jurnal of Theoritical and Applied Information Technology, 10th March 2013. Vol. 49 No.1, 1992-8645.

Peressini AL, Sullivan FE & Uhl J. 1998. The Mathematics of Nonlinear Programing,

Springer Verlag, New York,Inc.

Web 1: http://emi012.wordpress.com. Diakses 18 Juli 2013 jam 13.03 WIB

Web2:

http://lontar.ui.ac.id/file?file-digital/131370-1%2027641-Evaluasi%20atas%20kebijakan-Metodologi.pdf. Diakses 23 Juli 2013 jam 19.32 WIB