laporan praktikum kimia id. pdf

(1)

PENERAPAN MATRIKS DALAM SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang penyelesaian system persamaan linear dengan

menggunakan metode grafik, metode eliminasi, dan metode substitusi. Pada bab ini, kita

akan menyelesaikan system persamaan linear tersebut dengan menggunakan matriks.

Misalkan, sistem persamaan linear berikut.

ax + by = e cx + dy = f

Sistem persamaan linear tersebut dapat kita tuliskan dalam persamaan

matriks berikut.



























f e y x d c

b a

Persamaan matriks ini dapat kita selesaikan dengan menggunakan sifat berikut :

1. Jika XA=B, maka X=A-1_{B, dengan |A|}≠ 0

2. Jika XA=B, maka X=BA-1_{, dengan |A}| ≠ 0

Contoh:

Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut!

3x - 4y = 5

5x + 6y = 1

Penyelesaian:

(2)

B X A

y x

           

 

1 5 6

5 4 3

Kemudian, tentukan determinan matriks A, yaitu :

 

20

38

18

6

5

4

3



















A

Penyelesaian sistem persamaan linear tersebut dapat kita tentukan dengan cara berikut.

19 11 19

17 ,

19 11 19 17

1 5 3 5

4 6 38

1

3 5

4 6

38 1

1 1

  

  

 

  

 

        

      

  

  

 

y dan x

jadi

B A

A y x A

Selain dengan cara di atas, sistem persamaan linear dapat juga diselesaikan dengan

menggunakan aturan Cramer berikut.

Jika AX=B maka

A A x A A x A A

x₁  1 , ₂  2 ,, _j  j

Aj adalah matriks yang didapat dengan mengganti elemen-elemen pada kolom-j dari matriks A dengan elemen-elemen matriks B.

Contoh:

1. Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut! 3x - 4y = 5

(3)

Penyelesaian:

Terlebih dahulu tentukan │A│,│A1│, dan │A2│

19 11 38 22 19 17 38 34 22 1 5 5 3 34 6 1 4 5 38 6 5 4 3 2 1 2 1                              A A y dan A A x jadi A A A

Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah

19

11

19

17





dan y

x

2.

Diketahui system Persamaan Liniear

a11 x1+ a12 x2 + a13 x3 = b1

a21 x1+ a22 x2 + a23 x3 = b2

a31 x1+ a32 x2 + a33 x3 = b3

dalam bentuk matriks

          33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a            3 2 1 x x x           3 2 1 b b b

Penyelesaian Dengan Aturan Cramer adalah sbb:

33 32 31 23 22 21 13 12 11

a

D



3 32 33

23 22 2 13 12 1 1

a

b

a

b

a

b

Dx



33 3 31 23 2 21 13 1 11 2

a

b

a

b

a

b

a

Dx



3 32 31 3 22 21 1 12 11 3

b

a

b

a

b

a

Dx



Maka

x

1

=

D Dx₁

x

2

=

D Dx₂

x

3

=

(4)

Contoh soal Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Aturan Cramer

1. Dari sistem persamaan liniear (SPL) :

x

1

+ x

2

+ 2x

3

= 6

2x

1

+ x

2

- x

3

= 3

-x

1

+2x

2+

2x

3

= -1,

Selesaikan dengan Aturan Cramer

Jawab :

D =

2

1

2

1

2

1

2

1



=

[

1.1.2 + 1(-1)(-1) + 2.2.2.

]

-

[

2.(1)(-1) + 1(-1)(2)+ 1.2.2

]

= (

2+1+8

) - (

-2-2+4

) = 11

–

0 = 11

D x

1

=

2

1

3

6

2

1

3

2

1

6



= (12+1+12)-(-12+6-2)=25-(-8)=25+8=33

D x

2

=

1

3

6

1

2

1

2

1

3

2

6

1



= (6+6-4)-(1+24-6)=8-19=-11

D x

3

=

2

1

2

1

2

1

3

1

2

6

1



= (-1-3+24)-(6-2-6)=20+2=22

x

1 =

Dx

1

/

D = 33/11 = 3

x

2 =

D x

2

/

D = -11/11 = -1

(5)

2. Tentukan Selesaikan Aturan Metode Cramer

x - 2y + z = 3 2x - 3y + 4z = 13 -3x + 5y + 2z = 5

Jawab :

D =

2

5

3

4

3

2

1

2

1



= (-6+24+10) - (20-8+9) = 28-21 = 7

Dx =

2

5

4

3

13

1

2

3



=(-18-40+65)

–

(60-52-15) = 7- (-7) = 14

Dy =

2

5

3

4

13

2

1

3

1



=(26-36+10)

–

(20+12-39) = (0)- (-7) = 0+7=7

Dz =

5

3

13

3

2

3

2

1



=(-15+78+30)

–

(65-20+27) = 93

–

(72) = 21

x = Dx/D = 14/7= 2

y = Dy/D = 7/7 = 1

z = Dz/D = 21/7 = 3

3. Dari sistem persamaan liniear (SPL)

x

1

+ 2x

2

- x

3

= 4

-2x

1

+ 3x

2

+2x

3

= -1

x

1

-2x

2+

2x

3

= 6,

Selesaikan dengan Aturan Cramer

Jawab :

D =

2

1

2

3

2

1

2

1



(6)

D x

1

=

2

6

2

3

1

2

4



= (24+24-2 )-(-16-4-18 )=46-(-38)=46+38=84

D x

2

=

2

6

1

2

1

2

1

4

1



= (-2+8+12)-(12-16+1)=18-(-3) =18+3=21

D x

3

=

6

2

1

3

2

4

2

1



= ( 18-2+16)-(2-24+12)=32-(-10)=32+10=42

x

1 =

D x

1

/D = 84/21=4

x

2 =

D x

2

/D = 21/21=1

x

3 =

D x

3

/D = 42/21=2

4. Dari sistem persamaan liniear (SPL) :

x1 + x2 + 2x3 = 6

2x1 + x2 - x3 = 3

-x1 + 2x2 + 2x3 = -1,

Selesaikan dengan metode Crammer

Jawab :

D =

2

1

2

1



= (2+1+8)-(-2+4-2)=11-0=11

Dx

1

=

2

1

3

2

1

6



(7)

D x

2

=

2

1

3

2

6

1



= (6+6-4)-(1+24-6)=8-19=-11

D x

3

=

1

2

1

3

1

2

6

1



= (-1-3+24)-(6-2-6)=20+2=22

x

1 =

Dx

1

/

D = 33/11 = 3

x

2 =

D x

2

/

D = -11/11 = -1

x

3 =

D x

3

/

D = 22/11 = 2

5. Tentukan Selesaikan dengan Metode Cramer

x - 2y + z = 3

2x - 3y + 4z = 13

-3x + 5y + 2z = 5

Jawab :

D =

2

5

3

4

3

2

1

2

1



= (-6+24+10) - (20-8+9) = 28-21 = 7

Dx =

2

5

4

3

13

1

2

3



=(-18-40+65)

–

(60-52-15) = 7- (-7) = 14

Dy =

2

5

3

4

13

2

1

3

1

(8)

Dz =

5

3

13

3

2

3

2

1



=(-15+78+30)

–

(65-20+27) = 93

–

(72) = 21

x = Dx/D = 14/7= 2

y = Dy/D = 7/7 = 1

z = Dz/D = 21/7 = 3

6.

Diketahui matriks sebagai berikut :

    

    

 

1 0 2

5 1 1

3 4 2

A

Tentukan Minor, kofaktor , adjoint , determinan dan invers matriks A

jawab:

a)

Minor

M11 =



1

0

5

3

3-0 =3 M12 =



1

4

5

2

2-20 =-18 M13 =



0

4

3

2

0-12 =-12

M21 =



1

0

3

2

2-0 =2 M22 =



1

4

3

1

1-12 =-11 M23 =



0

4

2

1

0-8 =-8

M31 =



5

3

2

10-9 =1 M32 =



5

2

3

1

5-6 =-1 M33 =



3

2

1

3-4=-1

a)

Kofaktor

C

11=M11 =3

C

12= -M12 =18

C

13=M13 =-12

C

21=-M21 =-2

C

22= M22 =-11

C

23=- M13 =8

C

31= M31 =1

C

32= -M32 =1

C

33=M33 =-1

(9)

    

    

  

 

1 1

1

8 11 2

12 18

3

Cij

c. Adjoint A = [ Cij]

T

    

    

 

  

1 8 12

1 11 18

1 2 3

) ( A Adj

d) Determinan A =|A| = a11 M11 - a12 M12 + a13 M13 =1(3) – 2(-18) + 3 (-12) = 3+36-36=3

e) Invers matriks A =