Dimensi metrik kuat pada beberapa kelas graf artikel

(1)

commit to user

DIMENSI METRIK KUAT PADA BEBERAPA KELAS GRAF

Fithri Annisatun Lathifah, Tri Atmojo Kusmayadi, Sri Kuntari

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret

Abstrak. _MisalkanGadalah suatu graf terhubung dengan himpunanvertex V(G) dan

himpunanedgeE(G). IntervalI[u, v] antaraudanvmerupakan kumpulan semuavertex

yang termuat dalam suatupath u−vterpendek. Suatuvertex s∈V(G) disebut sebagai

pembeda kuat untuk vertex u, v ∈ V(G) jika v ∈ I[u, s] atau u ∈ I[v, s]. Himpunan

S ⊆ V(G) dikatakan sebagai himpunan pembeda kuat dari G jika untuk setiap dua

vertex udanv dariGdibedakan kuat oleh suatuvertex di S. Himpunan pembeda kuat

dengan kardinalitas minimum disebut basis metrik kuat. Dimensi metrik kuat dari G,

dinotasikan sdim(G), didefinisikan sebagai banyaknya elemen dari basis metrik kuat di

G. Dalam penelitian ini diperoleh dimensi metrik kuat pada graftadpole, grafhelm, graf

closed helm, dan graft-fold wheel.

Kata Kunci : dimensi metrik kuat, himpunan pembeda kuat, graf tadpole, graf helm, graf closed helm, graf t-fold wheel

1.

Pendahuluan

Salah satu cabang ilmu matematika yang mengalami perkembangan pesat

ada-lah teori graf. Hal ini dikarenakan aplikasinya yang luas dalam masaada-lah di berbagai

bidang, misalnya sains, robotika, dan riset operasi. Masalah-masalah tersebut dapat

direpresentasikan ke dalam graf yang terdiri dari himpunan titik (

vertex

) dan

him-punan garis (

edge

). Topik dalam teori graf sangat beragam. Salah satunya adalah

dimensi metrik kuat.

Konsep tentang dimensi metrik kuat pertama kali diperkenalkan oleh Seb¨

o

dan Tannier [7] pada tahun 2004. Menurut Oellermann dan Peters-Fransen [6]

untuk dua

vertex

u

dan

v

dalam graf terhubung

G, interval

I[u, v] antara

u

dan

v

merupakan kumpulan semua

vertex

yang termuat dalam suatu

path

u

−

v

terpendek.

Suatu

vertex

s

∈

V

(G) disebut sebagai pembeda kuat untuk

vertex

u

dan

v

jika

v

∈

I

[u, s] atau

u

∈

I[v, s]. Himpunan

S

⊆

V

(G) dikatakan sebagai himpunan

pembeda kuat dari

G

jika untuk setiap dua

vertex

u, v

∈

V

(G) dibedakan kuat oleh

suatu

vertex

di

S. Himpunan pembeda kuat dengan kardinalitas minimum disebut

basis metrik kuat. Dimensi metrik kuat dari

G, dinotasikan

sdim(G), didefinisikan

sebagai banyaknya elemen basis metrik kuat dari

G.

Dimensi metrik kuat dari beberapa kelas graf telah banyak diteliti. Pada

tahun 2004, Seb¨

o

dan Tannier [7] meneliti dimensi metrik kuat pada graf lengkap,

graf

cycle

, dan

tree

. Kemudian pada tahun 2013, karakterisasi graf dengan

order

n

≥

2 yang memiliki dimensi metrik kuat 1 dan

n

−

1 berhasil diteliti oleh Yi [9].

Graf

G

mempunyai

sdim(G) = 1 jika dan hanya jika graf

G

adalah graf lintasan

P

n

.

Graf

G

mempunyai

sdim(G) =

n

−

1 jika dan hanya jika graf

G

adalah graf lengkap

K

n

. Dimensi metrik kuat dari kelas graf yang lain dapat dilihat di Kratica [2].

(2)

commit to user

oleh Kratica dkk. [3],

corona product graphs

dan

join graphs

oleh Kuziak dkk. [5],

serta

convex polytope

D

n

dan

T

n

oleh Kratica dkk. [4].

Hasil penelitian tersebut dapat menjadi acuan dalam mencari dimensi metrik

kuat pada kelas graf lain. Pada penelitian ini dibahas dimensi metrik kuat pada

graf

tadpole

, graf

helm

, graf

closed helm

dan graf

t-fold wheel

.

2.

Pembahasan

Berikut ini adalah beberapa sifat dari himpunan pembeda kuat yang digunakan

dalam menentukan dimensi metrik kuat dari suatu graf yang diambil dari Kratica

dkk. [4].

Sifat 2.1.

Jika

S

⊂

V

(G)

adalah himpunan pembeda kuat dari graf

G

maka untuk

setiap dua vertex

u, v

∈

V

(G)

yang memenuhi kondisi

(1)

d(a, v)

≤

d(u, v)

untuk setiap vertex

a

yang adjacent dengan

u

,

(2)

d(u, b)

≤

d(u, v)

untuk setiap vertex

b

yang adjacent dengan

v

,

berlaku

u

∈

S

atau

v

∈

S

.

Sifat 2.2.

Jika

S

⊂

V

(G)

adalah himpunan pembeda kuat dari graf

G

maka untuk

setiap dua vertex

u, v

∈

V

(G)

yang memenuhi

d(u, v) =

diam(G)

berlaku

u

∈

S

atau

v

∈

S

.

2.1.

Dimensi metrik kuat pada graf

tadpole

T

m,n

.

Menurut Koh dkk. (dalam Gallian [1]) graf

tadpole

T

m,n

adalah suatu graf yang

dibentuk dengan menghubungkan graf

cycle

C

m

ke graf lintasan

P

n

dengan sebuah

bridge

. Himpunan

vertex

V

(T

m,n

) =

{

u0, u1, . . . , u

m−1

, v0, v1, . . . , v

n−1

}

dengan

m

≥

3 dan

n

≥

1. Dimisalkan

vertex

u

m−1

yang

adjacent

dengan

vertex

v0.

Lema 2.1.

Untuk

m

≥

3

dan

n

≥

1

, jika

S

adalah himpunan pembeda kuat dari

graf tadpole

T

m,n

maka

|

S

| ≥ ⌈

m₂

⌉

.

Bukti.

Dibuktikan dengan kontradiksi. Diketahui bahwa

S

adalah himpunan

pem-beda kuat dari graf

tadpole

T

m,n

, andaikan

S

memuat paling banyak

⌈

m₂

⌉ −

1

vertex

,

|

S

|

<

⌈

m

2

⌉

. Misal

V1

=

{

u0, u1, u2, . . . , u

m−1

}

dan

V2

=

{

v0

, v1, v2, . . . , v

n−1

}

.

Di-definisikan

S1

=

V1

∩

S

dan

S2

=

V2

∩

S. Notasikan

|

S1

|

=

a

dengan

a >

0 dan

|

S2

|

=

b

dengan

b

≥

0. Karena

a

+

b

≤ ⌈

m

2

⌉ −

1, terdapat dua

vertex

berbeda

u

p

, u

q

∈

V1

\

S1

sedemikian sehingga untuk setiap

s

∈

S

berlaku

u

p

∈

/

I[u

q

, s] dan

u

q

∈

/

I[u

p

, s]. Hal ini kontradiksi dengan

S

sebagai himpunan pembeda kuat. Jadi jika

S

adalah himpunan pembeda kuat dari graf

tadpole

T

m,n

maka

S

harus memuat

paling sedikit

⌈

m

2

⌉

vertex

.

Lema 2.2.

Untuk

m

≥

3

dan

n

≥

1

, himpunan

S

=

{

u

i

|

i

= 0,

1,

2, . . . ,

⌈

m₂

⌉ −

1

}

adalah himpunan pembeda kuat dari graf tadpole

T

m,n

.

Bukti.

Dibuktikan untuk setiap

u, v

∈

V

(T

m,n

)

\

S, u

̸

=

v

terdapat

s

∈

S

sedemikian

sehingga

u

∈

I[v, s] atau

v

∈

I[u, s]. Dalam pengambilan pasangan

vertex

berbeda

dari

V

(T

m,n

)

\

S

terdapat tiga kemungkinan. Pasangan

vertex

pertama yaitu (u

i

, u

j

).

Untuk setiap

i, j

∈ {⌈

m

2

⌉

,

⌈

m

2

⌉

+ 1, . . . , m

−

1

}

dengan

⌈

m

(3)

commit to user

d(u

j

, u

j−⌈m

2⌉+1) =

⌈

m

2

⌉ −

1 dengan

path

terpendek antara

u

j

dan

u

j−⌈m2⌉+1

adalah

u

j−⌈m

2⌉+1, uj−⌈

m

2⌉+2, . . . , uj

sehingga

u

i

∈

I[u

j

, u

j−⌈

m

2⌉+1]. Selanjutnya untuk setiap

i

∈ {⌈

m

2

⌉

,

⌈

m

2

⌉

+ 1, . . . , m

−

2

}

dan

j

=

m

−

1,

d(u

m−1, u⌈m2⌉−1) =

⌈

m

2

⌉ −

1 dengan

path

terpendek antara

u

m−1

dan

u

⌈m

2⌉−1

adalah

u

⌈

m

2⌉−1, u⌈

m

2⌉

, . . . , u

m−1

sehingga

u

i

∈

I[u

m−1

, u

⌈m

2⌉−1]. Dengan cara yang sama, mudah diperoleh bahwa pasangan

vertex

(u

i

, v

j

) dengan

i

∈ {⌈

m₂

⌉

,

⌈

m₂

⌉

+1, . . . , m

−

1

}

dan

j

∈ {

0,

1, . . . , n

−

1

}

dibedakan kuat

oleh

vertex

u

⌈m

2⌉−1. Pasangan

vertex

(v

i

, v

j

) dibedakan kuat oleh

vertex

u

l

untuk

setiap

l

∈ {

0,

1, . . . ,

⌈

m

2

⌉ −

1

}

dan

i, j

∈ {

0,

1, . . . , n

−

1

}

dengan 0

≤

i < j

≤

n

−

1.

Karena selalu terdapat

vertex

s

∈

S

yang membedakan kuat setiap dua

vertex

berbeda dari

V

(T

m,n

)

\

S, jadi

S

tadpole

T

m,n

.

Teorema 2.1.

Misalkan

T

m,n

adalah graf tadpole dengan

m

≥

3

dan

n

≥

1

maka

sdim

(T

m,n

) =

⌈

m₂

⌉

.

Bukti.

Diberikan graf

T

m,n

dengan

m

≥

3 dan

n

≥

1. Himpunan

vertex

dari graf

T

m,n

yaitu

V

(T

m,n

) =

{

u0, u1, u2, . . . , u

m−1, v0, v1, v2, . . . , vn−1

}

. Dari Lema 2.2

dipe-roleh himpunan

S

=

{

u

i

|

i

= 0,

1,

2, . . . ,

⌈

m₂

⌉ −

1

}

adalah himpunan pembeda kuat

dari graf

T

m,n

. Kardinalitas dari

S

yaitu

|

S

|

=

⌈

m₂

⌉

. Menurut Lema 2.1,

|

S

| ≥ ⌈

m₂

⌉

sehingga

S

=

{

u

i

|

i

= 0,

1,

2, . . . ,

⌈

m₂

⌉ −

1

}

adalah basis metrik kuat dari

T

m,n

. Jadi

sdim(T

m,n

) =

⌈

m₂

⌉

.

2.2.

helm

H

n

.

Wallis [8] mendefinisikan graf

helm

H

n

sebagai graf yang dibentuk dari graf

wheel

W

n

dengan menambahkan

n

vertex

ber-

degree

1 yang

adjacent

pada setiap

vertex

terminal. Misal himpunan

vertex

V

(H

n

) =

{

c, u0

, u1

, u2, . . . , u

n−1, v0, v1, v2,

. . . , v

n−1

}

dengan

n

≥

3, dan indeks

vertex

menggunakan modulo

n.

Vertex

u

i

merupakan

vertex

terminal dan

vertex

v

i

merupakan

vertex

ber-

degree

1.

Vertex

u

i

dan

vertex

v

i

saling

adjacent

untuk

i

= 0,

1,

2, . . . , n

−

1.

Lema 2.3.

Untuk

n

≥

4

, jika

S

adalah himpunan pembeda kuat dari graf helm

H

n

maka

|

S

| ≥

n

−

1

.

Bukti.

Diberikan dua

vertex

berbeda

v

i

, v

j

∈

V

(H

n

). Untuk setiap

i, j

= 0,

1, . . . , n

−

1 dengan

i

̸

=

j,

vertex

v

i

dan

v

j

memenuhi kondisi (1) dan (2) pada Sifat 2.1. Jika

j

=

i

+ 1, n

+

i

−

1,

d(v

i

, v

j

) = 3, dan

d(v

i

, v

j

) = 4 jika

i

+ 2

≤

j

≤

n

+

i

−

2.

Vertex-vertex

yang

adjacent

dengan

v

i

adalah

u

i

. Untuk

j

=

i+1, n

+

i

−

1 diperoleh

d(u

i

, v

j

) = 2 =

d(v

i

, v

j

)

−

1 dan

d(u

i

, v

j

) = 3 =

d(v

i

, v

j

)

−

1 untuk

i+2

≤

j

≤

n+i

−

2.

Akibatnya

d(u

i

, v

j

)

≤

d(v

i

, v

j

), kondisi (1) dipenuhi. Kemudian

vertex-vertex

yang

adjacent

dengan

v

j

adalah

u

j

. Untuk

j

=

i

+ 1, n

+

i

−

1 diperoleh

d(u

j

, v

i

) = 2 =

d(v

i

, v

j

)

−

1 dan

d(u

j

, v

i

) = 3 =

d(v

i

, v

j

)

−

1 untuk

i

+ 2

≤

j

≤

n

+

i

−

2, sehingga

d(u

j

, v

i

)

≤

d(v

i

, v

j

), kondisi (2) dipenuhi. Menurut Sifat 2.1 maka

v

i

∈

S

atau

v

j

∈

S. Hal ini berarti

S

harus memuat paling tidak 1

vertex

dari himpunan berbeda

X

ij

=

{

v

i

, v

j

}

dengan

i, j

= 0,

1,

2, . . . , n

−

1 dan

i

̸

=

j. Minimal banyaknya

vertex

(4)

commit to user

Lema 2.4.

Untuk

n

≥

4

, himpunan

S

=

{

v

i

|

i

= 0,

1,

2, . . . , n

−

2

}

adalah himpunan

pembeda kuat dari graf helm

H

n

.

Bukti.

u, v

∈

V

(H

n

)

\

S, u

̸

=

v

terdapat

s

∈

S

sedemikian

sehingga

u

∈

I[v, s] atau

v

∈

I[u, s]. Dalam pengambilan pasangan

vertex

ber-beda dari

V

(H

n

)

\

S

terdapat empat kemungkinan. Ditunjukkan untuk pasangan

vertex

(c, v

n−1) dibedakan kuat oleh

vertex

v

i

. Untuk setiap

i

∈ {

1,

2, . . . , n

−

3

}

,

d(v

n−1, vi

) = 4 =

diam(H

n

) dengan

path

terpendek antara

v

n−1

dan

v

i

yang sesuai

adalah

v

n−1, un−1, c, ui

, v

i

, sehingga

c

∈

I[v

n−1, vi

]. Dengan cara yang sama mudah

dibuktikan bahwa pasangan

vertex

(c, u

j

) dengan

j

∈ {

0,

1,

2, . . . , n

−

1

}

dibedakan

kuat oleh

vertex

v

i

dengan

i /

∈ {

j

+ 1, n

+

j

−

1

}

. Untuk pasangan

vertex

(u

j

, v

n−1)

dengan

j

∈ {

0,

1,

2, . . . , n

−

1

}

dibedakan kuat oleh

vertex

v

i

dengan

i /

∈ {

0, n

−

2

}

.

Terakhir, pasangan

vertex

(u

i

, u

j

) dengan

i, j

∈ {

0,

1,

2, . . . , n

−

1

}

dibedakan kuat

oleh

vertex

v

i

dengan

i

+ 1

≤

j

≤

n

−

1. Dari semua kemungkinan tersebut,

se-lalu terdapat

vertex

s

∈

S

vertex

berbeda dari

V

(H

n

)

\

S. Jadi

S

helm

H

n

.

Teorema 2.2.

Misalkan

H

n

adalah graf helm dengan

n

≥

3

maka

sdim(H

n

) =

{

3,

n

= 3

;

n

−

1, n

lainnya.

Bukti.

Diberikan graf

helm

H

n

dengan

n

≥

3 dan himpunan

vertex

V

(H

n

) =

{

c, u0, u1, u2, . . . , u

n−1, v0, v1

, v2, . . . , v

n−1

}

. Dimensi metrik kuat pada graf

helm

H

n

terbagi menjadi dua kasus, yaitu kasus

n

= 3 dan kasus

n

lainnya.

(1) Kasus

n

= 3

Pilih

S

=

{

v0, v1, v2

}

, mudah diperoleh interval

I[u, s] antara

vertex

u

dan

s

dengan

u

∈

V

(H3) dan

s

∈

S. Dari interval tersebut diperoleh bahwa untuk

setiap

u, v

∈

V

(H3),

u

̸

=

v, terdapat

s

∈

S

sedemikian sehingga

u

∈

I[v, s]

atau

v

∈

I

[u, s]. Oleh karena itu

S

merupakan himpunan pembeda kuat

dengan 3 elemen. Selanjutnya ditunjukkan

H3

tidak mempunyai himpunan

pembeda kuat dengan 2 elemen. Andaikan

H3

mempunyai himpunan

pem-beda kuat dengan 2 elemen, terdapat lima kemungkinan dalam pengambilan

vertex

untuk

S.

(a) Salah satu

vertex

dari

S

adalah

c

dan

vertex

lainnya termasuk dalam

{

v

i

|

i

= 0,

1,

2

} ⊂

V

(H3).

Untuk

i, j, k

= 0,

1,

2 dengan

i, j, dan

k

yang berbeda terdapat

v

j

, v

k

∈

V

(H3) sedemikian sehingga untuk setiap

s

∈

S,

v

j

∈

/

I[v

k

, s] dan

v

k

∈

/

I[v

j

, s]. Kontradiksi dengan pengandaian.

(b) Salah satu

vertex

dari

S

adalah

c

dan

vertex

{

u

i

|

i

= 0,

1,

2

} ⊂

V

(H3).

Untuk

i, j

= 0,

1,

2 dengan

i

̸

=

j

terdapat

v

i

, v

j

∈

V

(H3) sedemikian

sehingga untuk setiap

s

∈

S,

v

i

∈

/

I[v

j

, s] dan

v

j

∈

/

I[v

i

, s]. Kontradiksi

(5)

commit to user

(c) Salah satu

vertex

dari

S

termasuk dalam

{

u

i

|

i

= 0,

1,

2

} ⊂

V

(H3) dan

vertex

{

v

j

|

j

= 0,

1,

2

} ⊂

V

(H3).

Untuk

i, j, k, l

= 0,

1,

2 dengan

j, k, dan

l

yang berbeda terdapat

v

k

, v

l

∈

V

(H3) sedemikian sehingga untuk setiap

s

∈

S,

v

k

∈

/

I[v

l

, s] dan

v

l

∈

/

I[v

k

, s]. Kontradiksi dengan pengandaian.

(d) Kedua

vertex

dari

S

termasuk dalam

{

u

i

|

i

= 0,

1,

2

} ⊂

V

(H3).

Untuk

i, j

= 0,

1,

2 dengan

i

̸

=

j

terdapat

v

i

, v

j

∈

V

(H3) sedemikian

sehingga untuk setiap

s

∈

S,

v

i

∈

/

I[v

j

, s] dan

v

j

∈

/

I[v

i

, s]. Kontradiksi

dengan pengandaian.

(e) Kedua

vertex

dari

S

termasuk dalam

{

v

i

|

i

= 0,

1,

2

} ⊂

V

(H3

).

Misal

v

i

, v

j

∈

S

dengan

i, j

= 0,

1,

2 dan

i

̸

=

j

, terdapat

c, v

k

∈

V

(H3)

untuk

k

= 0,

1,

2 dengan

k, i, dan

j

yang berbeda sedemikian sehingga

untuk setiap

s

∈

S,

c /

∈

I[v

k

, s] dan

v

k

∈

/

I[c, s]. Kontradiksi dengan

pengandaian.

Dari lima kemungkinan, didapatkan hasil yang menyatakan kontradiksi

de-ngan pede-ngandaian. Akibatnya

H3

tidak mempunyai himpunan pembeda

kuat dengan dua elemen. Berdasarkan karakterisasi Yi [9] yang menyatakan

sdim(G) = 1 jika dan hanya jika

G

∼

=

P

n

maka diperoleh

sdim(H3)

̸

= 1

kare-na

H3

≇

P

n

sehingga himpunan pembeda kuat minimum dari

H3

mempunyai

3 elemen. Jadi

sdim(H3) = 3.

(2) Kasus

n

lainnya

Dari Lema 2.4 diperoleh himpunan

S

=

{

v

i

|

i

= 0,

1,

2, . . . , n

−

2

}

adalah

himpunan pembeda kuat dari graf

helm

H

n

untuk

n

≥

4. Kardinalitas dari

S

yaitu

|

S

|

=

n

−

1. Menurut Lema 2.3,

|

S

| ≥

n

−

1 sehingga

S

=

{

v

i

|

i

=

0,

1,

2, . . . , n

−

2

}

H

n

. Jadi

sdim(H

n

) =

n

−

1.

2.3.

closed helm

(CH

n

)

.

Seoud dan Youssef (dalam Gallian [1]) mendefinisikan graf

closed helm

sebagai

graf yang diperoleh dari graf

helm

dengan menggabungkan setiap

pendant vertex

sehingga membentuk sebuah

cycle

. Misal

CH

n

adalah graf

closed helm

dengan

n

≥

3 dengan himpunan

vertex

V

(CH

n

) =

{

c, u0, u1, u2, . . . , u

n−1, v0, v1, v2, . . . , vn−1

}

.

Indeks

vertex

menggunakan modulo

n.

Lema 2.5.

Untuk

n

≥

3

, jika

S

adalah himpunan pembeda kuat dari graf closed

helm

CH

n

maka

|

S

| ≥

n

.

Bukti.

Diketahui bahwa

S

closed helm

CH

n

, andaikan

S

memuat paling banyak

n

−

1

vertex

,

|

S

|

< n. Misal

V1

=

{

c, u0, u1, u2, . . . , u

n−1

}

dan

V2

=

{

v0, v1, v2, . . . , v

n−1

}

. Didefinisikan

S1

=

V1

∩

S

dan

S2

=

V2

∩

S. Notasikan

|

S1

|

=

p

dengan

p

≥

0 dan

|

S2

|

=

q

dengan

q >

0.

Karena

p

+

q

≤

n

−

1, terdapat dua

vertex

u

a

dan

v

b

dimana

u

a

∈

V1

\

S1

dan

v

b

∈

V2

\

S2

sedemikian sehingga untuk setiap

s

∈

S

berlaku

u

a

∈

/

I[v

b

, s] dan

v

b

∈

/

I[u

a

, s].

(6)

commit to user

himpunan pembeda kuat dari graf

closed helm

CH

n

maka

S

harus memuat paling

sedikit

n

vertex

.

Lema 2.6.

Untuk

n

≥

3

, himpunan

S

=

{

v

i

|

i

= 0,

1,

2, . . . , n

−

1

}

adalah himpunan

pembeda kuat dari graf closed helm

CH

n

.

Bukti.

u, v

∈

V

(CH

n

)

\

S, u

̸

=

v

terdapat

s

∈

S

sedemikian

sehingga

u

∈

I[v, s] atau

v

∈

I[u, s].

Vertex-vertex

dari

V

(CH

n

)

\

S

yaitu

vertex

c

dan

u

i

dengan

i

∈ {

0,

1, . . . , n

−

1

}

. Untuk pasangan

vertex

(c, u

i

) dibuktikan

vertex

v

i

membedakan kuat pasangan

vertex

tersebut. Untuk setiap

i

∈ {

0,

1, . . . , n

−

1

}

,

d(c, v

i

) = 2 dengan

path

terpendek antara

c

dan

v

i

yang sesuai adalah

c, u

i

, v

i

sehing-ga

u

i

∈

I[c, v

i

]. Dengan cara yang sama dapat dibuktikan

vertex

v

i

membedakan

kuat pasangan

vertex

(u

i

, u

j

) dengan

i, j

∈

0,

1, . . . , n

−

1. Karena selalu terdapat

vertex

s

∈

S

vertex

berbeda dari

V

(CH

n

)

\

S.

Jadi

S

closed helm

CH

n

.

Teorema 2.3.

Misalkan

CH

n

adalah graf closed helm dengan

n

≥

3

maka sdim

(CH

n

) =

n

.

Bukti.

Diberikan graf

CH

n

dengan

n

≥

3. Himpunan

vertex

dari graf

CH

n

yai-tu

V

(CH

n

) =

{

c, u0, u1, u2, . . . , u

n−1, v0, v1, v2, . . . , vn−1

}

. Dari Lema 2.6 diperoleh

himpunan

S

=

{

v

i

|

i

= 0,

1,

2, . . . , n

−

1

}

CH

n

untuk

n

≥

S

yaitu

|

S

|

=

n. Menurut Lema 2.5,

|

S

| ≥

n

sehingga

S

=

{

v

i

|

i

= 0,

1,

2, . . . , n

−

1

}

CH

n

. Jadi

sdim(CH

n

) =

n.

2.4.

t

-

fold wheel

W

n

.

Graf

t-

fold wheel

W

n

adalah suatu graf yang memuat

t

vertex

pusat yang

masing-masing

adjacent

pada setiap

vertex

pada suatu

cycle

, tetapi tidak

adja-cent

satu sama lain (Wallis [8]). Untuk selanjutnya, graf

t-

fold wheel

W

n

disimbol-kan dengan

W

t

n

. Misal himpunan

vertex

pada

t-

fold wheel

W

n

adalah

V

(W

nt

) =

{

u0, u1, u2, . . . , u

t−1, v0

, v1, v2, . . . , v

n−1

}

dengan

n

≥

3 dan

t

≥

1.

Vertex

u

i

merupa-kan

vertex

pusat. Untuk indeks

vertex

u

menggunakan modulo

t

sedangkan indeks

vertex

v

menggunakan modulo

n.

Lema 2.7.

Untuk

t

≥

2

dan

n

= 3

, jika

S

adalah himpunan pembeda kuat dari graf

t

-fold wheel

W

n

maka

|

S

| ≥

t

+ 1

.

Bukti.

Diberikan dua pasangan

vertex

(u

i

, u

j

) dan (v

k

, v

l

). Untuk setiap

i, j

=

0,

1,

2, . . . , t

−

1 dengan

i

̸

=

j

diperoleh

d(u

i

, u

j

) = 2 =

diam(W

3t

), sehingga menurut

Sifat 2.2,

u

i

∈

S

atau

u

j

∈

S. Untuk setiap

k, l

= 0,

1,

2 dengan

k

̸

=

l

vertex

v

k

dan

v

l

memenuhi kondisi (1) dan (2) pada Sifat 2.1 maka

v

k

∈

S

atau

v

l

∈

S. Hal ini

berarti

S

vertex

X

ij

=

{

u

i

, u

j

}

untuk

i, j

= 0,

1,

2, . . . , t

−

1 dengan

i

̸

=

j

dan 1

vertex

Y

kl

=

{

v

k

, v

l

}

untuk

k, l

= 0,

1,

2 dengan

k

̸

=

l. Minimal banyaknya

vertex

yang

diambil dari himpunan berbeda

X

ij

adalah

t

−

1 dan minimal banyaknya

vertex

(7)

commit to user

Lema 2.8.

Untuk

t

≥

2

dan

n

= 3

, himpunan

S

=

{

u

i

, v

j

|

i

= 0,

1,

2, . . . , t

−

2, j

=

0,

1

}

t

-fold wheel

W

n

.

Bukti.

u, v

∈

V

(W

t

3

)

\

S, u

̸

=

v

terdapat

s

∈

S

sedemikian

sehingga

u

∈

I[v, s] atau

v

∈

I[u, s].

Vertex-vertex

dari

V

(W

t

3

)

\

S

yaitu

u

t−1

dan

v2. Untuk setiap

i

∈ {

0,

1,

2, . . . , t

−

2

}

,

d(u

t−1, ui

) = 2 =

diam(W

3t

) dengan

path

terpendek antara

u

t−1

dan

u

i

yang sesuai adalah

u

t−1

, v2, u

i

sehingga

v2

∈

I[u

t−1, ui

].

Jadi

S

W

t

3

.

Lema 2.9.

Untuk

t

≥

1

dan

n

≥

4

, jika

S

t

-fold wheel

W

n

maka

|

S

| ≥

n

+

t

−

3

.

Bukti.

Diberikan dua pasangan

vertex

(u

i

, u

j

) dan (v

k

, v

l

). Untuk setiap

i, j

∈

{

0,

1,

2, . . . , t

−

1

}

dengan

i

̸

=

j

diperoleh

d(u

i

, u

j

) = 2 =

diam(W

nt

), sehingga

menurut Sifat 2.2,

u

i

∈

S

atau

u

j

∈

S. Untuk setiap

k

∈ {

0,

1,

2, . . . , n

−

1

}

dan

l

/

∈ {

k

−

1, k

+ 1

}

diperoleh

d(v

k

, v

l

) = 2 =

diam(W

nt

), sehingga menurut Sifat 2.2,

v

k

∈

S

atau

v

l

∈

S. Akibatnya

S

vertex

dari himpunan

berbeda

X

ij

=

{

u

i

, u

j

}

untuk

i, j

= 0,

1,

2, . . . , t

−

1 dengan

i

̸

=

j

dan 1

vertex

dari

himpunan berbeda

Y

kl

=

{

v

k

, v

l

}

dengan

k

= 0,

1, . . . , n

−

1 dan

k

+2

≤

l

≤

n

+k

−

2.

Minimal banyaknya

vertex

yang diambil dari himpunan berbeda

X

ij

adalah

t

−

1

dan minimal banyaknya

vertex

yang diambil dari himpunan berbeda

Y

kl

adalah

n

−

2

sehingga

|

S

| ≥

n

+

t

−

3.

Lema 2.10.

Untuk

t

≥

1

dan

n

≥

4

, himpunan

S

=

{

u

i

, v

j

|

i

= 0,

1,

2, . . . , t

−

2, j

=

0,

1,

2, . . . , n

−

3

}

t

-fold wheel

W

n

.

Bukti.

u, v

∈

V

(W

t

n

)

\

S, u

̸

=

v

terdapat

s

∈

S

sedemikian

sehingga

u

∈

I[v, s] atau

v

∈

I[u, s].

Vertex-vertex

dari

V

(W

t

n

)

\

S

yaitu

u

t−1

dan

v

k

dengan

k

=

n

−

2, n

−

1. Untuk pasangan

vertex

(u

t−1, vk

) dibuktikan

vertex

u

i

membedakan kuat

vertex

u

t−1

dan

v

k

. Untuk setiap

i

∈ {

0,

1,

2, . . . , t

−

2

}

,

d(u

t−1, ui

) = 2 =

diam(W

nt

) dengan

path

terpendek antara

u

t−1

dan

u

i

yang sesuai

adalah

u

t−1, vk

, u

i

dengan

k

∈ {

n

−

2, n

−

1

}

, sehingga

v

k

∈

I[u

t−1

, u

i

]. Dengan

cara yang sama dapat diperoleh

vertex

v

j

dengan

j

∈ {

0, n

−

3

}

membedakan kuat

pasangan

vertex

(v

n−2, vn−1). Karena selalu terdapat

vertex

s

∈

S

yang membedakan

kuat setiap dua

vertex

berbeda dari

V

(W

t

n

)

\

S, jadi

S

adalah himpunan pembeda

kuat dari graf

W

t

n

.

Teorema 2.4.

Misalkan

W

t

n

adalah graf

t

-fold wheel

W

n

dengan

t

≥

1

dan

n

≥

3

maka

sdim(W

t n

) =











3,

t

= 1

dan

n

= 3

;

t

+ 1,

t

≥

2

dan

n

= 3

;

n

+

t

−

3, t

≥

1

dan

n

lainnya.

Bukti.

Diberikan graf

W

t

n

dengan

t

≥

1 dan

n

≥

3. Himpunan

vertex

dari graf

W

nt

yaitu

V

(W

t

n

) =

{

u0, u1, u2, . . . , u

t−1, v0, v1, v2, . . . , vn−1

}

. Dimensi metrik kuat pada

graf

W

t

n

terbagi menjadi tiga kasus, yaitu kasus

t

= 1 dengan

n

= 3,

t

≥

2 dengan

(8)

commit to user

(1) Kasus

t

= 1 dengan

n

= 3

Berdasarkan karakterisasi Yi [9] yang menyatakan

sdim(G) =

n

−

1 jika

dan hanya jika

G

∼

=

K

n

maka diperoleh

sdim(W

31

) = 3 karena

W

31

∼

=

K4

sehingga himpunan pembeda kuat minimum dari

W

1

3

mempunyai 3 elemen.

Jadi

sdim(W

1

3

) = 3.

(2) Kasus

t

≥

2 dengan

n

= 3

S

=

{

u

i

, v

j

|

i

= 0,

1,

2, . . . , t

−

2, j

= 0,

1

}

W

t

3

untuk

t

≥

2. Kardinalitas

dari

S

yaitu

|

S

|

=

t

+ 1. Menurut Lema 2.7,

|

S

| ≥

t

+ 1 sehingga

S

=

{

u

i

, v

j

|

i

= 0,

1,

2, . . . , t

−

2, j

= 0,

1

}

W

3t

. Jadi

sdim(W

t

3

) =

t

+ 1.

(3) Kasus

t

≥

1 dengan

n

lainnya

S

=

{

u

i

, v

j

|

i

= 0,

1,

2, . . . , t

−

2, j

=

0,

1,

2, . . . , n

−

3

}

W

t

n

untuk

t

≥

1

dan

n

≥

S

yaitu

|

S

|

=

n

+

t

−

3. Menurut Lema 2.9,

|

S

| ≥

n

+

t

−

3 sehingga

S

=

{

u

i

, v

j

|

i

= 0,

1,

2, . . . , t

−

2, j

= 0,

1,

2, . . . , n

−

3

}

W

t

n

. Jadi

sdim(W

nt

) =

n

+

t

−

3.

Kesimpulan

Berdasarkan uraian pada pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa dimensi

metrik kuat dari graf

tadpole

seperti pada Teorema 2.1, dimensi metrik kuat dari

graf

helm

seperti pada Teorema 2.2, dimensi metrik kuat dari graf

closed helm

seperti pada Teorema 2.3, dan dimensi metrik kuat dari graf

t-

fold wheel

seperti

pada Teorema 2.4.

DAFTAR PUSTAKA

1. Gallian, J. A.,A Dynamic Survey of Graph Labeling, The Electronic Journal of Combinatorics

17 _{(2014), 1–384 #DS6.}

2. Kratica, J., Strong Metric Dimension: A Survey, Yugoslav Journal of Operations Research24

(2014), no. 2, 187–198.

3. Kratica, J.,V. Kovaˇcević-Vujˇcić, M. ˇCangalović, and M. Stojanović,Minimal Doubly Resolving Sets and The Strong Metric Dimension of Hamming Graphs, Applicable Analysis and Discrete

Mathematics 6_{(2012), 63–71.}

4. Kratica, J.,V. Kovaˇcević-Vujˇcić, M. ˇCangalović, and M. Stojanović,Minimal Doubly Resolving Sets and The Strong Metric Dimension of Some Convex Polytope, Applied Mathematics and

Computation 218_{(2012), 9790–9801.}

5. Kuziak, D., I. G. Yero, and J. A. Rodr´iguez-Vel´azquez, On The Strong Metric Dimension of

Corona Product Graphs and Join Graphs, Discrete Applied Mathematics161_{(2013), 1022–1027.}

6. Oellermann, O. R. and J. Peters-Fransen, The Strong Metric Dimension of Graphs and

Di-graphs, Discrete Applied Mathematics155_{(2007), 356–364.}

7. Seb¨o, A. and E. Tannier,On Metric Generators of Graphs, Mathematics of Operation Research

29 _{(2004), no. 2, 383–393.}

8. Wallis, W. D., Magic Graph, Birkh¨auser, Basel, Berlin, 2001.

9. Yi, E., On Strong Metric Dimension of Graphs and Their Complements, Acta Mathematica