Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 1
PERBANDINGAN DAN FUNGSI
TRIGONOMETRI
E. Identitas Trigonometri
Identitas trigonometri adalah bentuk persamaan trigonometri yang menghubungkan suatu perbandingan trigonometri dengan perbandingan trigonometri yang lainnya. Dalam hal ini terdapat identitas trigonometri dasar yang sudah pernah dibahas pada materi sebelumnya, yaitu :
(1) cosec α =
sin 1
(2) sec α =
cos 1
(3) cotan α =
tan 1
Disamping itu terdapat pula identitas-identitas dasar yang lain, yang didapat dari proses sebagai berikut:
Pada segitiga siku-siku di samping berlaku :
sin α =
r y
cos α =
r x
tan α =
x y
Menurut teorema Pythagoras, berlaku:
x2 + y2 = r2 (kedua ruas dibagi dengan r2 )
2 2
r x
+
2 2
r y
=
2 2
r r
2
r x
+ 2
r y
= 1
x
cos2 + sin2x = 1 ………. (1)
Jika kedua ruas dibagi cos2x diperoleh :
x cos
x cos
2 2
+
x cos
x sin
2 2
=
x cos
1
2
1 + tan2x = sec2x ………. (2) Jika kedua ruas dibagi sin2x diperoleh :
x sin
x cos
2 2
+
x sin
x sin
2 2
=
x sin
1
2
cot2x + 1 = csc2x ………. (3) Sedangkan dari rumus perbandingan tangens diperoleh :
r
x
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 2 tan x =
x y
(pembilang dan penyebut dibagi r)
tan x =
r / x
r / y
tan x =
x cos
x sin
……….. (4)
Selain identitas dasar di atas, identitas-identitas yang lain dapat dikembangkan dengan memanfaatkan rumus identitas dasar tersebut.
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Buktikanlah bahwa 3 + 5sin2 = 8 – 5cos2 Jawab
Ruas kiri = 3 + 5sin2
= 3 + 5(1 – cos2) = 3 + 5 – 5cos2 = 8 – 5cos2 = Ruas kanan
02. Buktikanlah bahwa sec2 – sin2.sec2 = 1 Jawab
Ruas kiri = sec2 – sin2.sec2 = sec2(1 – sin2) = sec2. cos2
=
2
cos 1
. cos2
= 1
= Ruas kanan
03. Buktikanlah bahwa
cos
sin 1
=
sin 1
cos
Jawab
Ruas kiri =
cos
sin 1
=
cos
sin 1
.
sin 1
sin 1
=
) sin 1 ( cos
sin
1 2
=
) sin 1 ( cos
cos2
=
sin 1
cos
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 3
05. Buktikanlah bahwa
Perbandingan dan Fungsi Trigonometri 4 06. Buktikanlah bahwa
css sec
csc sec
=
1 tan
1 tan
Jawab
Ruas kiri =
css sec
csc sec
=
sin 1 cos
1
sin 1 cos
1
=
cos . sin
cos sin
cos . sin
cos sin
=
cos sin
cos sin
=
cos cos cos sin
cos cos cos sin
=
1 tan
1 tan
