PENAKSIR RASIO DAN PRODUK YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SISTEMATIK

(1)

1

PENAKSIR RASIO DAN PRODUK YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SISTEMATIK

D. L. Pratiwi1*, A. Adnan2, S. Sugiarto2

1

Mahasiswa Program S1 Matematika

2

Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru, 28293, Indonesia.

*_{desilaniapratiwi@yahoo.com}

ABSTRACT

In this article we study the combination of ratio estimator and product estimator in systematic random sampling, which is a review and an expansion correction from the article of Singh, et. al. [Journal of Modern Applied Statistical Methods, 10: 424-435]. Each estimator is a biased estimator and the mean square errors are determined. Estimator with the smallest mean square error is the most efficient estimator. An example is given at the end of the discussion.

Keywords: systematic random sampling, ratio and product estimator, bias, mean square error

ABSTRAK

Penaksir yang dibahas merupakan kombinasi penaksir rasio dan penaksir produk pada sampling acak sistematik, yang merupakan review dan pengembangan sebagian dari artikel Singh, et. al. [Journal of Modern Applied Statistical Methods, 10: 424-435]. Masing-masing penaksir merupakan penaksir bias dan ditentukan mean square error. Penaksir dengan mean square error terkecil merupakan penaksir yang efisien. Contoh numerik diberikan pada akhir pembahasan.

Kata Kunci: sampling acak sistematik, penaksir rasio dan produk, bias, mean square error

1. PENDAHULUAN

Penaksir rasio dan penaksir produk merupakan salah satu cara metode yang digunakan untuk meningkatkan ketelitian penaksir dengan mengambil manfaat hubungan pengamatan y_i dan x_i. Penaksir rasio dan penaksir produk sederhana untuk rata-rata populasi dinotasikan dengan Yˆ_R_danYˆ_P, dirumuskan sebagai

X x y YR  ˆ x X y Yˆ_P 

(2)

2

dengan _{y dan x berturut-turut menyatakan rata-rata sampel dari populasi Y dan X serta} X menyatakan rata-rata populasi X.

Dari penaksir rasio dan penaksir produk sederhana, Singh, et. al. [4] memodifikasi menjadi penaksir rasio Yˆ_Rsy dan penaksir produk Yˆ_Psy pada sampling acak sistematik. Singh & Taylor [3] mengkombinasikan antara penaksir rasio dan penaksir produk. Berdasarkan ide dari Singh & Taylor [3], penulis mengkombinasikan antara penaksir

Rsy

Yˆ dengan penaksir Yˆ_Psy yang dinotasikan dengan Yˆ_KRPsy. Penaksir dengan menggunakan metode rasio dan produk merupakan penaksir bias. Ketelitian dari suatu penaksir yang bersifat bias ditinjau berdasarkan mean square error (MSE). Masing-masing MSE penaksir dibandingkan dengan tujuan mendapatkan penaksir yang lebih efisien dengan tingkat ketelitian tinggi [2, h.21].

2. SAMPLING ACAK SISTEMATIK

Apabila banyaknya elemen dalam populasi cukup besar dan telah tersusun secara sistematik dalam suatu daftar atau telah tersusun menurut pola dan aturan tertentu, maka cara pengambilan sampel dengan sampling acak sederhana kurang tepat digunakan, sehingga digunakan sampling acak sistematik. Pengambilan sampel secara sistematik adalah suatu metode dimana hanya unsur pertama dari sampel yang dipilih secara acak sedangkan unsur-unsur selanjutnya dipilih secara sistematik menurut suatu pola tertentu. Misalkan terdapat suatu populasi yang terdiri dari N unit diberi nomor 1 sampai N dalam beberapa susunan. Untuk memilih sebuah sampel berukuran n unit, ambil sebuah unit secara acak dari k unit yang pertama, selanjutnya ambil setiap kelipatan k. Dalam pengambilan sampel secara sistematik dikenal istilah interval pengambilan sampel yaitu perbandingan antara populasi N dengan sampel n yang dinotasikan dengan k N/n dimana k merupakan bilangan bulat positif [2:h.234].

Untuk unit pertama yang dipilih secara acak, namakanlah unit pertama urutan ke-i, selanjutnya unit kedua tidak lagi dilakukan pemilihan, akan tetapi dilakukan dengan sistematis yaitu unit kedua adalah urutan ke i k, urutan ketiga i2k_{dan seterusnya} hingga urutan ke-n yaitu i



n1



k , maka probabilitas seluruh n unit-unit tertentu yang terpilih dalam n pengambilan adalah 1/k [5:h.417].

Misalkan suatu populasi berukuran N yang berkarakter Y dengan nilai variabel y_ij untuk masing-masing unit dengan i1, 2,3,..., k; j1, 2,3,..., n_{menyatakan anggota} sampel ke-j dari sampel sistematik ke-i. Rata-rata dari populasi Y adalah



   k i n j ij y N Y 1 1 1 .

Kemudian diambil sampel berukuran n unit dari populasi berukuran N yang berkaraktery_sy. Rata-rata sampel y_sy adalah



  n j ij sy y n y 1 1 , dengan y_sy merupakan penaksir untuk rata-rata populasi [5:h.425].

(3)

3

Untuk menentukan bias dan MSE pada sampling acak sistematik digunakan definisi variansi dan kovariansi.

Definisi 2.1 [1:h.73] Variansi ˆ_{yang dinotasikan dengan}var

 

ˆ _{didefinisikan dengan}

 



 



2

ˆ ˆ ˆ

var  E  E  .

Definisi 2.2 [1:h.174] Kovariansi dari pasangan variabel X dan Y dengan rata-rata untuk masing-masing _x dan _y yang dinotasikan dengan cov(X,Y) adalah







x





y



XY X Y E X



Y





cov ,    .

Selanjutnya digunakan koefisien korelasi antara pasangan dari unit-unit yang berada dalam sampel sistematik y dan dinotasikan dengan _y diberikan sebagai berikut











2 ' Y y E Y y Y y E ij ij ij y     

dimana pembilangnya adalah rata-rata seluruh kn



n1



/2_{pasangan yang berlainan dan}

penyebutnya keseluruhan nilai N dari y . Karena penyebutnya adalah_ij



kn1



S_y2/kn, ini memberikan















2 1 ' ' 1 1 2 y k i n j j ij ij y S kn kn n kn Y y Y y     

 

   dengan





2 1 1 2 1 1

 

           k i n j ij y y Y kn

S merupakan variansi dari populasi Y.

Untuk koefisien korelasi antara pasangan dari unit-unit yang berada dalam sampel sistematik x dan dinotasikan dengan _x diberikan sebagai berikut















2 1 ' ' 1 1 2 x k i n j j ij ij x S kn kn n kn X x X x     

 

   dengan





2 1 1 2 1 1



           k i n j ij x x X kn

(4)

4

2. PENAKSIR RASIO DAN PRODUK PADA SAMPLING ACAK SISTEMATIK

Penaksir rasio dan penaksir produk untuk rata-rata populasi telah banyak dikembangkan oleh para peneliti diantaranya Swain dan Shukla mengajukan penaksir rasio Yˆ_Rsy dan produk Yˆ_Psy [4], dirumuskan sebagai

         sy sy Rsy x X y Yˆ (1)          X x y Yˆ_Psy _sy sy (2) dengan _{Y dan X merupakan rata-rata populasi untuk Y dan X . sedangkan}y_sy dan x_sy merupakan rata-rata sampel dari populasi Y dan X.

Hubungan antara dua variabel, yaitu y_ij dan x_ij dimana y_ij adalah unit dari populasi Y danx_ij adalah unit dari populasi X, populasi X dari x_ij harus diketahui sebagai informasi pendukung yang berkorelasi dengan variabel y_ij yang akan ditaksir. Penaksir ketiga adalah kombinasi penaksir rasio dengan penaksir produk Yˆ_KRPsy dengan bentuk :





                           X x x X y Y sy sy sy KRPsy  1  ˆ (3) dengan _{menyatakan konstanta,}0 1.

Ketiga penaksir rasio dan produk untuk rata-rata populasi tersebut merupakan penaksir bias. Untuk mengetahui penaksir yang lebih efisien akan dibandingkan MSE masing-masing penaksir. Semakin kecil MSE suatu penaksir yang diperoleh maka akan menghasilkan penaksir yang efisien.

3. BIAS DAN MSE PENAKSIR RASIO DAN PRODUK UNTUK RATA-RATA POPULASI

Masing-masing penaksir yang dibahas merupakan penaksir bias. Kemudian akan ditentukan bias dan MSE dari masing-masing penaksir. Selanjutnya akan ditentukan penaksir yang efisien dengan membandingkan MSE dari setiap penaksir. Suatu penaksir dikatakan efisien apabila mempunyai MSE yang minimum.

Bias dan MSE penaksir rasio, produk dan kombinasi penaksir rasio dengan penaksir produk untuk rata-rata populasi pada sampling acak sistematik yaitu:

Bias dari persamaan (1) adalah

 

2































1/2



1 1 1 1 1 1 1 ˆ y x x x Rsy YC n C n n n Y B            dengan x y xy C C C  , x y yx xy S S S   , Y S C_y  y , X S C x x  , X Y R  .

(5)

5 dan MSE-nya adalah







































2 2 2 1/2



1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ˆ y x y x xy x x y y Rsy S n R S n R S S n n n Y MSE                      _.

Bias dari persamaan (2) diperoleh























1/2



2 1 1 1 1 1 ˆ y x x Psy YC C n n n Y B            

dan MSE-nya adalah

 



2









2 2





























1/2



1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ˆ y x y x xy x x y y Rsy S n R S n R S S n n n Y MSE                 .

Bias dari persamaan (3) diperoleh



















































                      2 1/2 1/2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ˆ y x x y x x KRPsy YC C n n n C n n n Y B      

dan MSE-nya adalah



KRPsy





Sy



n y





 





R Sx



n x



n Y MSE ˆ  1 2 1 ( 1)  12 1 2 2 2 1( 1)













1/2



) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2RxySxSy  n x  n y  .

Selanjutnya ditentukan penaksir yang efisien diantara ketiga penaksir rasio dan produk yang diajukan, yaitu

1. Perbandingan antara       KRPsy Y

MSE ˆ dengan MSE

 

Yˆ_Rsy diperoleh



YKRPsy



MSE

 

YRsy

MSE ˆ  ˆ , jika









2 / 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1              x y n n c    dengan R c



, x y xy S S    . 2. Perbandingan antara       KRPsy Y

MSE ˆ dengan MSE ˆ

 

Y_Psy diperoleh



YKRPsy



MSE

 

YRsy

MSE ˆ  ˆ , jika





  2 / 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 1 _             x y n n c   

(6)

6 4. CONTOH

Berikut ini diberikan dua contoh, yang pertama digunakan data [5] tentang lingkar batang (Y) dan umur pohon drendan (X) yang tumbuh di Pulau Bengkalis seperti tertera pada Tabel 1. Contoh pertama ini digunakan untuk metode penaksir rasio.

Tabel 1. Lingkar Batang dan Umur Pohon Drendan yang Tumbuh di Pulau Bengkalis

No Daerah Asal

Lingkar Batang (cm)

Umur

(Tahun) No Daerah Asal

Lingkar Batang (cm)

Umur (Tahun)

1 Air Putih 1 54 28 27 Sungai Alam

5 91 59

2 Air Putih 2 50 28 28 Sungai Alam

6 62 40

3 Jangkang 1 48 12 29 Sungai Alam

7 60 40

8 49 32

9 48 32

10 52 37

11 48 25

12 48.5 25

13 50 25

10 Jangkang 8 47.5 14 36 Sungai Alam

14 52 29

15 51 26

16 50 34

13 Ketam Putih 1 72 41 39 Sungai Alam

17 67 41

14 Ketam Putih 2 64 41 40 Sungai Alam

18 72 41 15 Padekik 1 55 39 41 Temberan 1 69 43 16 Padekik 2 52 35 42 Temberan 2 71 43 17 Padekik 3 52 25 43 Temberan 3 53 36 18 Pangkalan Batang 1 49 24 44 Temberan 4 52 36 19 Pangkalan Batang 2 45 18 45 Temberan 5 54 38 20 Sebauk 1 56 35 46 Temberan 6 48 29 21 Sebauk 2 57 35 47 Temberan 7 45 20 22 Sebauk 3 61 40 48 Temberan 8 43 20

(7)

7 No Daerah Asal Lingkar Batang (cm) Umur

(Tahun) No Daerah Asal

Lingkar Batang (cm)

Umur (Tahun)

24 Sungai Alam 2 52 35 50 Temberan 10 48 23

25 Sungai Alam 3 51 37 N=50 = 2715 = 1470 Sumber [6]. 50  N X 29,4 2 170,30612  y S 5  n Y 54,3 2 150,93878  x S 0,8426  xy



 0,895011 c 0,484591

Dengan menggunakan informasi dari data tersebut, diperoleh bahwa



YKRPsy



MSE

 

YRsy

MSE ˆ  ˆ yaitu 33,11434,761_jika



0,5.

Contoh yang kedua digunakan data [6] tentang proses metabolisme pada daun (Y) dan persentase kadar Chlorine (X) seperti yang tertera pada Tabel 2. Contoh kedua ini digunakan untuk metode penaksir produk.

Tabel 2. Proses Metaboliosme Pada Daun dan Persentase Kadar Chlorine No Proses Metabolisme Pada Daun

(Dalam Detik)

Persentase Kadar Chlorine pada Daun (%) 1 0,34 1,45 2 0,11 1,35 3 0,38 0,26 4 0,68 0,23 5 0,18 1,1 6 0 0,76 7 0,08 1,59 8 0,11 0,39 9 1,53 0,39 10 0,77 0,64 11 1,17 0,82 12 1,01 0,64 13 0,89 0,85 14 1,4 0,9 15 1,05 0,92 16 1,15 0,97 17 1,49 0,18 18 0,51 0,62 19 0,18 0,51 20 0,34 0,45 21 0,36 1,79 22 0,89 0,25 23 0,91 0,31 24 0,92 0,2 25 1,35 0,24 26 1,33 0,2 27 0,23 2,27

(8)

8 No Proses Metabolisme Pada Daun

(Dalam Detik)

Persentase Kadar Chlorine pada Daun (%) 28 0,26 1,48 29 0,73 0,25 30 0,23 2,22 N=30 ∑ =20,58 ∑ =24,23 Sumber [7].

N



30

X 0,8077 Sy2 0,2306731 n5 Y 0,6860 Sx2 0,3662391 xy 0,4996 0,39964c 0,46671

Dengan menggunakan informasi dari data tersebut, diperoleh bahwa



YKRPsy



MSE

 

YPsy

MSE ˆ  ˆ yaitu 0,051670,20542_jika



0,4. 5. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan pada artikel ini, maka dapat disimpulkan bahwa kombinasi dari penaksir rasio dengan produk Yˆ_KRPsy lebih efisien dari penaksir rasio Yˆ_Rsy dan penaksir produk Yˆ_Psy jika syarat efisien terpenuhi. Pada penaksir Yˆ_KRPsy terdapat yang mengakibatkan penaksir Yˆ_KRPsy lebih efisien dibandingkan penaksir yang disarankan lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Bain, L. J & M. Engelhardt. 1991. Introduction to Probability and Mathematical Statistics, Second Edition. Duxbury Press, California.

[2] Cochran, W.G. 1991. Teknik Penarikan Sampel, Edisi Ketiga. Terj. Dari Sampling Techniques, oleh Rudiansyah & E.R Osman. Penerbit Universitas Indonesia, Jakarta.

[3] Singh, H.P. & R. Tailor. 2005. Estimation of Finite Population Mean with Known Coefficient of Variation of an Auxiliary Character. Statistica, anno LXV, 3: 301-313.

[4] Singh, H.P., R. Tailor & N.K. Jatwa. 2011. Modified Ratio and Product Estimators for Population Mean in Systematic Sampling. Journal of Modern Applied Statistical Methods, 10: 424-435.

[5] Sukhatme, P.V. 1957. Sampling Theory of Surveys with Applications.The Indian Council of Agricultural Research, New Delhi.

[6] Sefni, R. 2007. Keanekaragaman Genetik Plasma Nutfah Drendan (Lansium Aqueum Jack) di Pulau Bengkalis Provinsi Riau dengan Pendekatan Morfologi. Skripsi Jurusan Biologi FMIPA Universitas Riau, Pekanbaru.

[7] Steel, R.G.D. & J.H. Torrie. 1981. Principles and Procedures of Statistics, Second Edition. McGraw Hill Book Co, Auckland.