MATEMATIKA EKONOMI 2A.pdf (1,080Kb)

MATERI KULIAH

MATEMATIKA EKONOMI 2

Disusun Oleh :

Muhammad Imron Hadisantosa

DAFTAR ISI

BAB I LIMIT DAN KEKONTINUAN ... 1

A. Pengertian ... 1

B. Limir Kiri dan Limir Kanan ... 1

C. Kaidah-kaidah Limit ... 3

D. Limit Kasus-kasus Khusus ... 3

E. Kesimanbungan dan Kekontinuan ... 5

BAB II DIFERENSIAL ... 7

A. Definisi / Pengertian Diferensial ... 7

B. Kaidah-kaidah Diferensial ... 8

C. Hakikat Derivatif dan Diferensial ... 11

D. Derivatif dari Derivatif ... 12

E. Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya ... 13

F. Aplikasi dalam Bisnis dan Ekonomi ... 15

BAB III DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK ... 22

A. Derivatif Parsial ... 22

B. Derivatif dari Derivatif Parsial ... 22

C. Nilai Ekstrim : Maksimum dan Minimum ... 23

D. Optimasi Bersyarat ... 24

E. Penerapan Diferensial Parsial ... 27

BAB IV INTEGRAL ... 31

A. Integral Tak Tentu ... 31

B. Aplikasi Integral Tak tentu dalam Bidang Bisnis dan Ekonomi ... 37

C. Integral Tertentu ... 41

BAB 1

LIMIT DAN KEKONTINUAN

A. Pengertian

Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila variabel pada fungsi tersebut mendekati suatu nilai tertentu.

Suatu fungsi f(x) mempuntai limit L apabila variabel x terus menerus berkembang mendekati nilai tertentu a

Hubungan ini ditulis dengan notasi : Lim f x L a

x→ =

) (

Dibaca : ”Limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L”.

Yang perlu diperhatikan :

- x → a ditafsirkan sebagai x mendekati a (x ≠ a)

- Limf(x) = L ditafsirkan sebagai L adalah limit fungsi f(x). ( f(x) ≠ L )

B. Limit Kiri dan Limit Kanan

Ingat pada sebuah garis bilangan :

- Dari arah kiri ke kanan, bilangan dari kecil semakin besar - Dari arah kanan ke kiri, bilangan dari besar semakin kecil

a. Limit kiri sebuah fungsi adalah nilai yang didekati fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya dari arah kiri.

Notasi : Lim f x L

a x

= −

→ ( ) nilai a didekati dari arah kiri

b. Limit kanan sebuah fungsi adalah nilai yang didekati fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya dari arah kanan.

Notasi : Lim f x L

a

x→ + =

) (

nilai a didekati dari arah kanan

c. Limit sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit kiri dan kanan ada dan sama.

) ( ) ( )

(

f x Lim f x Lim f x Lim

a x a

x a

x→ − = → + = →

Contoh 1 :

Jika f(x) =

2 4

2

− − x x

periksa apakah f(x) mempunyai limit untuk nilai x mendekati 2 !

 Jika kita substitusikan langsung nilai x = 2 ke dalam fungsi f(x) maka

f(2) =

0 0 0

4 4 2 2

4

22 ₌ − ₌

− −

diperoleh nilai tak tentu(tak terdefinisi)

 Limit kiri dari f(x) adalah =

− − −

→ 2

4

2 2 x

x Lim

x

...

Lengkapi tabel berikut dari kiri

x 0 1 1,2 1,3 1,5 1,7 1,8 1,9 1,999 x→2–

f(x) =

2 4

2

− − x

x _{2 3 3,2 ... ... ... ... ... ... ...}

Pada tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati nilai 2 dari kiri maka nilai f(x) semakin mendekati suatu nilai yaitu ....

Hal ini berarti =

− − −

→ 2

4

2 2 x

x Lim x

....

 Limit kanan dari f(x) yaitu =

− − +

→ 2

4

2 2 x

x Lim x

...

Lengkapi tabel berikut dari kanan

x x→2+

2,001 2,1 2,2 2,4 2,5 2,7 2,9 3 4

f(x) =

2 x

4 x2

−

− _{... ... ... ... ... ... ... 4,9 5 6}

Pada tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati nilai 2 dari kanan maka nilai f(x) semakin mendekati suatu nilai yaitu ....

Hal ini berarti =

− − +

→ 2

4

2 2 x

x Lim x

....

 Ternyata limit kiri sama dengan limit kanan yaitu ... sehingga dikatakan limitnya ada/terdefinisi. Atau

juga bisa dikatakan fungsi

2 4

2

− − =

x x

f(x) mempunyai limit pada x = 2 yaitu .... Ditulis =

− − → _{x 2}

4 x Lim

2 2

x ....

Contoh 2 :

Jika

x

f(x) = 3 periksa apakah f(x) mempunyai limit untuk nilai x mendekati 0 !

 Jika kita substitusikan langsung nilai x = 0 ke dalam fungsi f(x) maka

f(0) = =∞

0 3

Perhatikan lebih teliti lagi dengan mencari limit kiri dan kanan.

 Limit kiri dari f(x) adalah ₋ =

→ x Lim

x 3 0

...

Lengkapi tabel berikut dari kiri

x –1 –0,5 –0,2 –0,1 –0,01 -0,001 -0,0001 -0,00000001 x→0–

f(x) =

x

3

–3 –6 –15 ... ... ... ... ... ...

Pada tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati nilai 0 dari kiri maka nilai f(x) semakin mendekati suatu nilai yaitu ....

Hal ini berarti ₋ =

→ x Lim

x 3 0

....

 Limit kanan dari f(x) yaitu ₊ =

→ x Lim

x 3 0

...

Lengkapi tabel berikut dari kanan

x x→0+ 0,000000000001 0,00001 0,0001 0,1 0,3 0,6 1

f(x) =

x

3

... ... ... ... ... 10 5 3

Pada tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati nilai 0 dari kanan maka nilai f(x) semakin mendekati suatu nilai yaitu ....

Hal ini berarti ₊ =

→ x Lim

x 3 0

....

 Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka dikatakan limitnya tidak ada/tak terdefinisi.

Atau juga bisa dikatakan fungsi

x

3

f(x) = tidak mempunyai limit pada x = 0

C. Kaidah-kaidah Limit

Beberapa kaidah limit yaitu : a. Lim k k

D. Limit kasus-kasus khusus

Limit suatu fungsi tidak boleh menghasilkan bilangan tak tentu 



. Oleh karena itu, jika dengan

substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu, maka perlu dilakukan perubahan pada bentuk fungsinya.

a. Jika diperoleh

0 0

Faktorkan pembilang dan/atau penyebut dari fungsi tersebut dan sederhanakan

Contoh :

x (Karena diperoleh bentuk tak tentu maka...)

)

x (Pembilang dan penyebut difaktorkan)

=

x (disederhanakan)

=

Tentukan limit fungsi berikut :

1)

b. Jika diperoleh

∞ ∞

Pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pengkat tertinggi Contoh :

x (Karena diperoleh bentuk tak tentu maka...)

6

→ (pembilang dan penyebut dibagi dengan x

6

Tentukan limit fungsi berikut :

Cara Ringkas :

E. Kesinambungan/Kekontinuan

Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada x = a jika memenuhi : • f(a) terdefinisi/ada

• Lim f (x) terdefinisi/ ada titik di dalam interval tersebut.

Contoh :

Tunjukkan fungsi f(x) =

(

x 1

)

Jika tidak kontinu pada suatu titik dimana x = a, maka dikatakan f(x) diskontinu /asinambung pada x = a

Diskontinu ada 3 kemungkinan/jenis a. Diskontinu tak berhingga b. Diskontinu berhingga c. Diskontinu titik

Penjelasan :

a. Fungsi f(x) diskontinu tak berhingga pada x = a jika

Diperoleh

(

x

)

f( )

Secara grafis, terlihat sebagai berikut :

(Grafik fungsi akan bertemu di jauh takhingga)

3

b. Fungsi f(x) diskontinu berhingga pada x = a jika - f(a) terdefinisi/ada

- Lim f(x) takterdefinisi/ takada a

x→

Contoh :

  

≥ < ≤ =

5 untuk 3

5 0

untuk 2

x x

x x

) x ( f

Untuk fungsi ini diperoleh : - f(5) = 15(5) = 75

- (x) tidakada/ takterdefinisi

5

= → f Lim x

(karena limit kiri = 10 tetapi limit kanan = 15) Secara grafis terlihat seperti di samping :

c. Fungsi f(x) diskontinu titik pada x = a jika - f(a) tak terdefinisi/tak ada

- Lim f(x) terdefinisi/ ada a

x→

Contoh :

5 25 x (x)

2

5 −

− =

→ f x

Lim x

Untuk fungsi ini diperoleh :

- f(5) =

0 0

tak terdefinisi/tak ada

-

(

₍

)(

₎

)

5 5 5 x 5

25 x

5 2

5 −

− + =

− −

→

→ x

x Lim

x Lim

x x

(

x 5

)

10

5 + =

= →

x

Lim

(terdefinisi/ada) Secara grafis terlihat seperti di samping :

Fungsi kontinu untuk setiap x kecuali pada x = 5, fungsi tidak terdefinisi.

10 15

5

5 10

5

BAB 2

DIFERENSIAL

A. Definisi/pengertian diferensial

Kuosien Diferensi (difference quotient) dari y = f(x) mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x.

Jika y = f(x) dan ∆x (dibaca ”delta x”) adalah penambahan nilai variabel x, maka :

- Bentuk persamaan dapat dituliskan menjadi → y =f(x)

= inilah yang disebut dengan hasil bagi perbedaan (kuosien diferensi)

Diferensiasi merupakan proses pendiferensian yaitu penentuan Limit dari kuosien diferensi dimana ∆x → 0.

Hasil yang diperoleh dari proses pendiferensian dinamakan Turunan atau Derivatif. Derivatif dari y = f(x) terhadap variabel x dilambangkan dengan y’ = f’(x)

Sehingga dapat kita tuliskan :

Latihan : Tentukan turunan fungsi berikut :

a. f(x) = x3 _{c. f(x) = 3x} 2 _{+ 3x e. y} = _x

b. f(x) = 3x –2 d. f(x) = 4x –3 f. f(x) = x3 + 2x – 5

B. Kaidah-kaidah diferensiasi

Diferensial memenuhi beberapa kaidah : 1. Derivatif fungsi konstanta

Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y’ = 0 Contoh : y = 5 maka

y’ = 0

2. Derivatif fungsi linier

Jika y = ax + b dimana b adalah konstanta, maka y’ = a Contoh : y = 6x + 8, maka

y’ = 6

3. Derivatif fungsi pangkat

Jika y = axn, dimana a adalah koefisien dari xn, maka y = n.axn-1. Contoh : y = 5x3 maka

y’ = 3.5x3-1 y’ = 15x2

4. Derivatif penjumlahan fungsi

Jika y = u ± v, dimana u = g(x) dan v = h(x), maka y’ = u’ ± v’ Contoh : y = 3x2 + 8x, maka

y’ = 6x + 8

5. Derivatif perkalian fungsi

a. Perkalian fungsi dan konstanta

Jika y = k.u, dimana k adalah konstanta dan u = g(x), maka y’ = k.u’ Contoh : y = 3(5x2 – 4x + 1), maka

y’ = 3(10x – 4) y’ = 30x – 12

b. Perkalian fungsi

Jika y = u.v, dimana u = g(x) dan v = h(x), maka y’ = u’v + uv’ Contoh : y = (2x5 – 7)(3x2 + 4), maka

u = (2x5 – 7) maka u’ = 10x4 v = (3x2 + 4) maka v’ = 6x y’ = u’v + uv’

y’ = (10x4)( 3x2 + 4) + (2x5 – 7)(6x) y’ = 30x6 + 40x4 + 12x6 – 42x y’ = 42x6 + 40x4 – 42x

6. Derivatif hasil bagi fungsi

Jika y =

v u

, dimana u = g(x) dan v = h(x) , maka y’ =

2

v ' uv v '

u −

Contoh : y =

2 6

x 4

) x 3 x

( +

, maka

u = (x6 + 3x) maka u’ = 6x5 + 3

v = 4x2 maka v’ = 8x

y’ =

2 2

6 2 5

) x 4 (

) x 8 )( x 3 x ( ) x 4 )( 3 x 6

( + − +

y’ =

4

2 7

2 7

x 16

x 24 x 8 x 12 x

24 + − −

y’ =

7. Derivatif fungsi komposisi (dalil rantai)

Jika y = f(u) sedangkan u = g(x), atau y = f(g(x)), maka

8. Derivatif fungsi berpangkat

jika y = un dimana u = g(x), maka y’ = n.u’.un-1

9. Derivatif tingkat tinggi

Derivatif ke n dari fungsi f(x) diperoleh dari mendiferensialkan sebanyak n kali

Derivatif ke-n dari fungsi y = f(x) dilambangkan dengan y(n) = f(n)(x) =

10. Derivatif Fungsi Logaritmik

Jika y = alog x, maka y’ =

11. Derivatif fungsi logaritmik - Napier

12. Derivatif fungsi eksponensial

Jika y = ax maka y’ = ax ln a

Jika y = au dimana u = g(x) maka y’ = u’.au.ln a

Jika y = ex maka y’ = ex (karena ln e = 1)

Jika y = eu dimana u = g(x) maka y’ = u’.eu (karena ln e = 1) Contoh :

b. y = 56x maka y’ = 6.56x.ln 5

a. y = 2e3x maka y’ = 3.2e3x = 6e3x

13. Derivatif fungsi Implisit

Jika f(x,y) = 0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak dapat dieksplisitkan), maka y’ dapat diperoleh dengan mendiferensiasikan suku demi suku dengan menganggap y sebagai fungsi dari x.

Contoh :

a. Diketahui 4xy2 – x2 + 2y = 0, tentukan dx dy

!

Jawab :

Dalam contoh ini 4xy2 dianggap sebagai perkalian dua buah fungsi yaitu u = 4x dan v = y2 sehingga

u' = 4 dan v’ = 2y dx dy

derivatif dari u.v adalah u’v + uv’ = 4y2 + 4x(2y dx dy

) = 4y2 + 8xy dx dy

derivatif dari – x2 adalah –2x

derivatif dari 2y adalah 2 dx dy

Diperoleh :

4y2 + 8xy dx dy

– 2x + 2 dx dy

= 0

4y2 – 2x + (8xy + 2) dx dy

= 0

(8xy + 2) dx dy

= 2x – 4y2

dx dy

=

2 xy 8

y 4 x

2 2

+ −

= 1 xy 4

y 2

x 2

+ −

b. Diketahui x2y – ex – ey = 5, tentukan dx dy

Derivatifnya adalah :

2xy + x2 dx dy

– ex – ey dx dy

= 0

2xy – ex + (x2 – ey) dx dy

= 0

(x2 – ey) dx dy

= ex – 2xy

dx dy

=

y 2 x

e x

xy 2 e

− −

14. Derivatif fungsi trigonometrik

Jika y = sin x ⇒ y’ =cos x

Jika y = cos x ⇒ y’ = –sin x Catatan :

Jika y = tg x ⇒ y’ = sec2 x Sec x =

x cos

1

dan Cosec x =

x sin

1

Jika y = ctg x ⇒ y’ = – cosec2 x Jika y = sec x ⇒ y’ = sec x. tg x Jika y = cosec x ⇒ y’ = –cosec x. ctg x

Latihan :

1. Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan kaidah turunan hasil kali fungsi a. f(x) = (2x+ 4)(3x – 2)

b. f(x) = (x2 – 2)(4x) c. f(x) = (4x – 2)(2x2 + 4) d. f(x) = 3x(x + 2) e. f(x) = (2 – 3x)(√x)

2. Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan kaidah turunan pembagian fungsi a.

fungsi berikut : a. y = 2x3 _{– 4x}2 _{+ 7x}5

C. Hakikat derivatif dan diferensial

Pada pembahasan sebelumnya, telah dijelaskan :

Kuosien Diferensi x y

∆ ∆

adalah lereng/kemiringan/gradien dari kurva y = f(x) sedangkan

Derivatif dx dy

adalah nilai Lim x

Jika ∆x sangat kecil maka nilai Lim x

, dengan kata lain Kuosien diferensi sama dengan

derivatifnya (

Lebih jelas dapat dipahami dari uraian berikut :

Notasi derivatif dx dy

terdiri dari dua suku, yaitu dy dan dx.

Suku dy dinamakan diferensial dari y yang mencerminkan taksiran perubahan pada veriabel terikat y berkenaan dengan perubahan sangat kecil pada variabel bebas x.

Sedangkan suku dx dinamakan diferensial dari x yang mencerminkan perubahan sangat kecil dari variabel x.

Dengan demikian, dx dy

merupakan lereng taksiran (approximated slope) dari kurva y = f(x) pada kedudukan x

tertentu. Sedangkan lereng yang sesungguhnya (true slope) adalah kuosien diferensi x y

∆ ∆

.

Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over estimated) atau lebih kecil (lower estimated), atau sama dengan lereng sesungguhnya. Hal ini tergantung pada jenis fungsi dan besar kecilnya berubahan pada variabel bebas.

Pada fungsi linier :

Untuk fungsi non linier :

Semakin besar ∆x maka semakin besar perbedaan antara lereng taksiran dan lereng sesungguhnya.

Lerang taksiran dy lebih kecil dari (under estimated) Lereng taksiran lebih besar (over estimated)

lerang sesungguhnya dari lereng sesungguhnya

D. Derivatif dari derivatif

Turunan pertama terhadap x dari fungsi y = f(x) adalah

y’ = f’(x) = dx dy

= dx

x df( )

= fx

Turunan dari turunan pertama dinamakan turunan kedua dan dilambangkan dengan

y’’ = f’’(x) =

2 2

dx y d

=

2 2

) (

dx x f d

= fxx

Turunan dari turunan kedua dinamakan turunan ketiga dan dilambangkan dengan

y’’’ = f’’’(x) =

3 3

dx y d

=

3 3

) (

dx x f d

= fxxx

Contoh :

Fungsi y = f(x) Turunan pertama Turunan kedua Turunan ketiga

y = 3x + 5

y = 3x2 + 4x – 7

y = 4x3 + x2 – 3x + 10

y = 3 Sin x

y = 2 Cos 3x

∆y = dy

∆x = dx

y = f(x)

x

y Perubahan x = ∆x

Perubahan y = ∆y Diferensial x = dx Diferensial y = dy

Kuosien diferensi = x y

∆ ∆

dx dy

= x y

∆ ∆

Derivatif =

dx dy

∆y ≠ dy

QR = dy QS = ∆y

∆x = dx

y = f(x)

x y

P S

R

Q

∆y ≠ dy

QR = dy QS = ∆y

∆x = dx

y = f(x)

x y

P

S R

Q

Latihan :

1. Tentukan ₃

3

dx y d

jika diketahui y = (2x + 5)4

2. Tentukan fxx jika f(x) = ₂ 3

2

x 3. Tentukan y’’’ jika diketahui

a. y = x2 + 3x + 4

b. y = 2x3 – ½ x2 + 2x + 9 c. y = 3e2x

d. y = x2 e3x e. y = 5 Cos x f. y = 4 Sin 2x

g. y = x x

3 1 2 2−

E. Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya

1. Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal

Langkah – langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah : 1) Tentukanlah titik singgung ( x1 , y1 )

2) Cari koefisien arah m = f’(x1)

3) Cari Garis singgung dengan rumus : y – y1 = m (x – x1)

4) Cari Garis Normal dengan rumus : y – y1 =

m 1

− _{( x – x1)}

Contoh :

Diketahui kurva dengan persamaan y = x2 – x – 6. Tentukan : a. Persamaan garis singgung di x = 2

b. Persamaan garis normal di titik tersebut Jawab :

y = x2 – x – 6 dengan x = 2 y = (2)2 – (2) – 6

y = – 4

Diperoleh titik singgung di (2, –4)

y’ = f’(x) = 2x – 1

m = f’(2) = 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3

Diperoleh gradien garis singgung m = 3

a. Persamaan garis singgung y – y1 = 3 (x – x1)

y – (–4) = 3(x – 2) y + 4 = 3x – 6

y = 3x – 10 atau 3x –y – 10 = 0

b. Persamaan garis normal y – y1 =

m 1

− _{(x – 2)}

y + 4 = 3

1

−

(x – 2)

3y + 12 = –x + 2 x + 3y + 10 = 0 Catatan :

Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada garis singgung kurva

2. Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun

Diketahui titik (a, b) pada grafik fungsi y = f(x)

1) Jika f’ (a) > 0, maka fungsi naik pada titik tersebut 2) Jika f’ (a) > 0, maka fungsi turun pada titik tersebut

3) Jika f’ (a) = 0, maka titik (a,b) merupakan titik stasioner/ titik ekstrim/ titik balik Jenis-jenis titik stasioner adalah :

• Jika f’’(a) > 0, maka (x,y) merupakan titik balik minimum • Jika f’’(a) < 0, maka (x,y) merupakan titik balik maksimum • Jika f’’(a) = 0, maka (x,y) merupakan titik belok

Contoh 1 :

Diketahui fungsi y = x2 + 6x – 24. Tentukan apakah pada titik-titik dengan absis berikut maka fungsinya naik, turun, atau stasioner (Jika stasioner maka tentukan apakah minimum, maksimum, atau titik belok) a. x = 2

b. x = –5 c. x = –3

Jawab :

y = x2 + 6x – 24 maka y’ = f’(x) = 2x + 6 a. x = 2

f’(2) = 2(2) + 6 f’(2) = 4 + 6

f’(2) = 10 Karena f’(2) > 0 maka pada x = 2 berupa fungsi naik

b. x = –5

f’(–5) = 2(–5) + 6 f’(–5) = –10 + 6

f’(–5) = –4 Karena f’(–5) < 0 maka pada x = –5 berupa fungsi turun

c. x = –3

f’(–3) = 2(–3) + 6 f’(–3) = –6 + 6

f’(–3) = 0 Karena f’(–3) = 0 maka pada x = –3 merupakan titik stasioner

Karena berupa titik stasioner, maka perlu diselidiki apakah maksimum, minimum, atau titik belok.

f'(x) = 2x + 6 maka f’’(x) = 2 dan f’’(–3) = 2

Karena f’’(–3) = 2 > 0 maka pada x = –3 merupakan titik stasioner yang minimum.

Contoh 2 :

Pada fungsi y = 2x2 – 16x + 10 tentukan titik stasioner, interval naik dan interval turun Jawab :

y = 2x2 – 16x + 10 maka y’ = f’(x) = 4x – 16 Fungsi akan diperoleh stasioner jika y’ = f’(x) = 0 Yaitu f’(x) = 4x – 16 = 0

4x = 16 x = 4

Karena x = 4 maka y = 2(4)2 – 16(4) + 10 y = 32 – 56 + 10

y = – 14 Diperoleh titik stasioner di (4, –14)

Untuk x < 4 misal dipilih x = 1 maka y’ = f’(1) = 4(1) – 16

y’ = f’(1) = –11 f’(a) < 0 merupakan fungsi turun

Sehingga fungsi turun pada interval x < 4

Untuk x > 4 misal dipilih x = 6 maka y’ = f’(6) = 4(6) – 16

y’ = f’(6) = 8 f’(a) > 0 merupakan fungsi naik

Sehingga fungsi naik pada interval x > 4

Latihan :

1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada fungsi-fungsi berikut : a. y = 2x2 – 3x – 9 pada x = –1

b. y = –3x2 + 10x + 8 pada x = 3 c. y = x3 + 2x2 – 4x – 10 pada x = 2

2. Tentukan titik stasioner dan jenisnya pada fungsi-fungsi berikut : a. y = x2 + 4x – 6

b. y = –2x2 + 12x + 7 c. y = x3 – 3x + 1 d. y = 2x3 – 3

F. Aplikasi Dalam Bisnis dan Ekonomi 1. Elastisitas

Elastisitas dari suatu fungsi y = f(x) merupakan Limit dari rasio antara perubahan relatif dalam y terhadap perubahan relatif dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil (mendekati nol).

Elastisitas dilambangkan dengan η (eta)

η =

y x dx dy ) x / x (

) y / y ( Lim Ex Ey

x ∆ = ⋅

∆ =

→ ∆ 0

Dengan terminologi lain, elastisitas y terhadap x dapat dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x.

a. Elastisitas Harga

Adalah perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah dengan perubahan relatif dari harga. Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang digunakan, yaitu :

1) Elastisitas Titik (Point Elasticity) η =

Q P P Q P / P

Q /

Q _⋅

∆ ∆ = ∆

∆

2) Elastisitas Busur (Arc Elasticity)

Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.

η =

P Q Q

P ∆ ∆ ⋅

1 1

η =

P Q Q

P ∆ ∆ ⋅

2 2

η =

P Q Q Q

P P

∆ ∆ ⋅ + +

2 1

2 1

Elastisitas Titik dan Busur dipakai untuk menghitung : 1. Elastisitas Harga Permintaan

2. Elastisitas Harga Penawaran

Dari hasil perhitungan , nilai elastisitas akan menunjukkan :

• |η| > 1 => Elastis

• |η| < 1 atau 0 < η < 1 => Inelastis (elastis sebagian)

• |η| = 1 => Unitary Elastis

• |η| = ∞ => Elastis sempurna

• |η| = 0 => Inelastis Sempurna

b. Elastisitas Permintaan

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f ( P ), maka elastisitas permintaannya

ηd = Qd’ .

d Q

P

Contoh 1 :

Diketahui Fungsi permintaan Qd =25 – 3P 2

. Tentukan elastisitas pada P = 5 Penyelesaian :

Qd =25 – 3P 2

maka Qd’ = –6P

Sehingga ηd = Qd’ .

d Q

P

ηd = –6P . ₂

3 25 P

P −

ηd = –6(5) . ₂

) 5 ( 3 25

5 −

ηd = –30 .

75 25

5 −

ηd = 3

Karena ηd > 1 => elastik

Contoh 2 :

Permintaan akan suatu barang dicerminkan oleh D = 5 – P, (D=jumlah barang yang diminta, P = harga/unit). Hitunglah elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 3 dan pada tingkat permintaan D = 3

Penyelesaian :

D = 5 – P maka D’ = –1

Untuk P = 3 → D = 5 – 3 = 2 → ηd = D’ .

D P

= –1 .

2 3

=

2 3

− (elastik)

Untuk D = 3 → P = 2 → ηd = D’ .

D P

= –1 .

3 2

=

3 2

− (inelastik)

c. Elastisitas Penawaran

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qs = f (P), maka elastisitas permintaannya

ηs = Qs’ .

s Q

P

Contoh 1 :

Diketahui Fungsi permintaan Qd = 7P 2

– 200. Tentukan elastisitas pada P = 10 Penyelesaian :

Qs = 7P 2

– 200 maka Qs’ = 14P

Sehingga ηs = Qs’ .

s Q

P

ηs = 14P .

200 7P2 −

P

karena P = 10 maka

ηs = 14(10) .

200 )

10 ( 7

10

2 ₋

ηs = 140 .

200 700

10 −

ηs = 2,8

Karena ηd > 1 => elastik

ηd = 3 berarti apabila dari kedudukan P = 5 , harga

naik sebesar 1% maka barang yang diminta akan berkurang sebanyak 3%.

ηd = 2,8 berarti apabila dari kedudukan P = 5 , harga

naik sebesar 1% maka barang yang ditawarkan akan bertambah sebanyak 2,8%.

d. Elastisitas Produksi

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Bisa juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah keluaran. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(x) dengan x menyatakan jumlah faktor produksi yang digunakan maka elastisitas produksinya :

ηp = P’ .

P x

Contoh :

Diketahui Fungsi produksi P = 6x2 – x3. Hitunglah elastisitas pada x = 5 dan x = 3 Penyelesaian :

P = 6x2 – x3 maka P’ = 12x – 3x2

ηp = P’ .

P x

=

3 2 2

6 ). 3 12 (

x x

x x

x

− −

ηp =

2 2

3 2

3 2

) 6 (

) 3 12 ( 6

3 12

x x

x x x

x x x

− − = − −

ηp =

) 6 (

) 3 12 (

x x − −

Untuk x = 5 untuk x = 3

ηp =

5 6

) 5 ( 3 12

−

− _{ηp =}

3 6

) 3 ( 3 12

− −

ηp = –3 ηp = 1

(elastis) (elastis sempurna)

2. Biaya

a. Biaya Total (Total Cost, TC)

Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi/memasarkan sejumlah barang/jasa, baik yang merupakan biaya tetap (Fixed Cost, FC) atau biaya variabel (Variable Cost, VC)

TC = f(Q) atau TC = FC + VC

b. Biaya Rata-rata (Average Cost, AC)

Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang/jasa pada tingkat produksi total

AC = TC/Q

c. Biaya Marjinal

Biaya Marginal (Marginal Cost, MC) adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Secara matematik, fungsi biaya marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi biaya total (Total Cost, TC) terhadap jumlah produk (Quantity, Q).

MC = TC’ =

dQ dTC

Contoh :

Diketahui Biaya Total adalah TC = 150 + 15Q2, tentukan biaya marjinal pada jumlah produksi 20 unit ! Penyelesaian :

TC = 150 + 15Q2 maka MC = TC’ = 30Q

Untuk Q = 20 maka MC = 30(20) = 600

Jadi diperoleh biaya marjinal = 600

3. Penerimaan

a. Penerimaan Total (Total Revenue, TR)

Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi

TR = f(Q) = P . Q

b. Penerimaan Rata-rata (Average Revenue, AR)

Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang/jasa pada kuantiats tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.

AR =

Q TR

=

Q Q P×

= P

c. Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue, MR)

Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh akibat bertambahnya penjualan satu unit barang. Secara matematik, fungsi penerimaan marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi penerimaan total (Total Revenue, TR) terhadap jumlah produksi.

MR = TR’ =

dQ dTR

Contoh :

Diketahui fungsi penerimaan total TR = Q2 + 14Q + 1000, tentukan penerimaan marjinal pada Q = 50 unit! Penyelesaian :

TR = Q2 + 14Q + 1000 maka MR = TR’ = 2Q + 14

Untuk Q = 50 maka MR = 2(50) + 14 = 114

Jadi diperoleh penerimaan marginal = 114

4. Utilitas Marjinal

Utilitas Marjinal (Marginal Utility, MU) adalah utilitas tambahan yang diperoleh akibat satu unit tambahan barang yang dikonsumsi. Secara matematik, merupakan derivatif pertama dari fungsi Utilitas Total (Total Utility, TU).

MU = TU’ =

dQ dTU

Contoh :

Diketahui fungsi Utilitas Total TU = f(Q) = 90Q – 5Q2. Tentukan Utilitas Marginal pada saat Utilitas total mencapai maksimum !

Penyelesaian :

Utilitas total mencapai maksimum pada saat TU’ = MU = 0 TU = f(Q) = 90Q – 5Q2 maka TU’ = 90 – 10Q = 0

10Q = 90

Q = 9

Latihan Soal :

1. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 50 – 2P2 . Tentukan elastisitas permintaan pada saat harga Rp 6 / unit. Bagaimana sifat elastis permintaan tersebut, analisislah !

2. Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P2 = 80 + Qs . Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp 4 / unit. Bagaimana sifat elastisitas penawaran tersebut, analisislah !

3. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan 2P = 60 – Q . Tentukanlah tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total, carilah harga jualnya, hitunglah penerimaan jika terjual 10 unit, analisislah !

4. Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan mobil PT Honda di tunjukkan oleh persamaan

TC = 43Q3+ 35Q2– 44Q + 45. Tentukanlah besarnya biaya total, biaya rata-rata, dan biaya marginal pada saat kuantitas 4 unit? Berikan analisisnya!

5. Fungsi permintaan perusahaan makanan ringan ditunjukkan oleh P = 45Q + 3. Bagaimanakah persamaan penerimaan totalnya? Berapa besarnya penerimaan total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marginal jika penjualan sebesar 4 unit? Berikan analisisnya!

5. Produk Marjinal

Marginal Product (MP) adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Merupakan derivatif pertama dari fungsi produk total (Total Product, P).

Jika produk total dilambangkan dengan P = f(X) dengan X penyatakan jumlah masukan, maka Produk Marjinalnya :

MP = P’ =

dX dP

Fungsi produk total yang non linier pada umumnya berbentuk fungsi kubik sehingga produk marginalnya akan berbentuk fungsi kuadrat yang titik ekstrim (maksimum)-nya tepat pada saat kurva produk total berada pada titik belok (kedudukan ini menunjukkan hukum penambahan hasil yang semakin berkurang ”the law of deminishing return”)

Produk total mencapai puncaknya ketika produk marginalnya nol. Sesudah kedudukan ini, produk total menurun bersamaan produk marginal negatif (dibawah sumbu x). Produk marginal negatif menunjukkan penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru akan mengurangi jumlah produk total (disefisiensi dalam kegiatan produksi). Jka produk total hendak ditingkatkan maka jumlah masukan yang digunakan harus dikurangi.

Contoh kasus :

Diketahui fungsi produksi total P = f(X) = 9X2 – X3. Tentukan : a. Fungsi produk marginalnya

b. Jumlah masukan pada saat produk total mencapai maksimum dan tentukan produksi maksimumnya!

c. Jumlah masukan pada saat produk marginal mencapai maksimum dan tentukan produk marginalnya! d. Gambarkan grafiknya

Penyelesaian :

Diketahui Produksi total P = 9X2 – X3

a. Produk marginalnya = MP = P’ = 18X – 3X2 b. P mencapai maksimum pada saat P’ = 0

P’ = 18X – 3X2 = 0 X(18 – 3X) = 0

X = 0 atau 18 – 3X = 0 3X = 18 X = 6

Untuk X = 6 maka P = 9(6)2 – (6)3 = 9(36) – 216 = 324 – 216 = 108

Jadi pada saat jumlah masukan = 6 produksi total mencapai maksimum yaitu 108

c. MP mencapai maksimum pada saat MP’ = 0

MP = 18X – 3X2 maka MP’ = 18 – 6X = 0 6X = 18 X = 3

Jadi MP maksimum pada saat jumlah masukan = 3 dengan produk marginal = 27

d. Grafik

MP = 18(3) – 3(3)2 MP = 18(3) – 3(9) MP = 54 – 27 MP = 27

108

54

27

3 6

6. Analisis Keuntungan/Laba Maksimum

Laba/Rugi (π) diperoleh dari Penerimaan Total (TR) dikurangi dengan Biaya Total (TC)

Laba/Rugi akan mencapai maksimum jika π’ = 0

Karena π = TR – TC maka π’ = TR’ – TC’ = 0

π’ = MR – MC = 0

Sehingga MR = MC

Jadi laba/rugi akan mencapai maksumum pada saat Penerimaan Marginal sama dengan Biaya Marginal Hal ini merupakan syarat perlu agar laba/rugi mencapai maksimum.

Untuk mengetahui π’ mencerminkan keuntungan maksimum atau kerugian maksimum perlu diuji dengan derivatif kedua dari fungsi π.

π optimum apabila π’ = 0 atau MR = MC

Jika π” < 0 → π maksimum ≡ keuntungan maksimum

Jika π” > 0 → π minimum ≡ kerugian maksimum

π” = MR’ – MC’ dan untuk mencapai keuntungan maksimum maka π” < 0 sehingga MR’ – MC’ < 0 ≡ MR’ < MC’

Dengan demikian, syarat perlu dan cukup agar diperoleh keuntungan maksimum adalah : π’ = 0 atau MR = MC (syarat perlu/necessary condition) π” < 0 atau MR’ < MC’ (syarat cukup/sufficient condition)

Contoh :

Diketahui fungsi Pendapatan total TR = –2Q2 + 1000 Q dan

Fungsi Biaya Total TC = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000

Tentukan tingkat produksi pada saat keuntungan mencapai maksimum dan tentukan besarnya keuntungan maksimumnya!

Penyelesaian :

π = TR – TC π = (–2Q2

+ 1000 Q) – (Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000) π = –2Q2

+ 1000 Q – Q3 + 59Q2 – 1315Q – 2000 π = – Q3 + 57Q2 – 315Q – 2000

Syarat perlu agar keuntungan maksimum : π’ = 0

–3Q2 + 114Q – 315 = 0 –3(Q2 – 18Q + 105) = 0 (Q – 3) (Q – 35) = 0

Q – 3 = 0 atau Q – 35 = 0 Q = 3 atau Q = 35 Syarat cukup agar keuntungan maksimum : π” < 0

π” = –6Q + 114

Jika Q = 3 maka π” = –6(3) + 114 = –18 + 114 = 96 > 0 Jika Q = 35 maka π” = –6(35) + 114 = –210 + 114 = –96 < 0

Karena π” < 0 untuk Q = 35, maka tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum adalah Q = 35 unit.

Besarnya keuntungan maksimum : π = – Q3 + 57Q2 – 315Q – 2000

π = –(35)3

+ 57(35)2 – 315(35) – 2000 π = –42875 + 57(1225) – 11025 – 2000 π = –42875 + 69825 – 13025

π = 13925

Latihan :

1. Perusahaan “ BIORE “ tengah mengembangkan dan memasarkan paket dari produk “ AMWA “. Pada

saat ini bisnis tersebut sangat pesat dan menguntungkan karena mereka menggunakan sistem pemasaran personal selling. Dari hasil laporan bagian produksi menginformasikan bahwa fungsi produksi menunjukkan Y = 150X2 – 2X3 , dimana Y adalah jumlah produk yang dihasilkan dan X adalah jumlah input yang digunakan. Berdasarkan informasi diatas :

a. Berapa produk total jika digunakan 7 unit input. b. Berapa produk marginal maksimumnya.

2. Sebuah perusahaan sepatu terkenal menghadapi fungsi permintaan 4Q = 100 – P dan TC = 50 + 20Q. a. Hitunglah produksi yang menghasilkan laba maksimum.

b. Besarnya laba maksimum. c. Harga jual barangnya perunit.

3. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = –250Q + 20.000 dengan biaya variabel VC = 20Q2 – 2.000Q. Biaya tetap yang dikeluarkan perusahaan sebesar 25.000. Tentukanlah pada tingkat penjualan berapa perusahaan bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakah besarnya laba tersebut?

4. Suatu perusahaan yang menghasilkan suatu komoditas tertentu dengan fungsi biaya total TC = 1/3 Q3 – 6Q2 + 49 Q + 16, di mana Q adalah jumlah output yang dihasilkan. Permintaan yang dihadapi perusahaan adalah Q=40 – P. Berdasarkan informasi tersebut :

a. Carilah fungsi penerimaan marjinal (marginal revenue) b. Carilah fungsi biaya marjinal (marginal cost) !

c. Berapa jumlah output yang dihasilkan supaya keuntungannya maksimum ? d. Berapa harga jual output pada saat keuntungan maksimum ?

BAB III

DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK

Fungsi majemuk merupakan fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas. Contoh : y = 2x3 + 3x2z – 6xz2 – 4z3 (variabel bebasnya x dan z)

A. Derivatif Parsial

Sebuah fungsi dengan satu variabel bebas hanya akan mempunyai satu macam turunan. Jika y = f(x) maka turunannya turunan y terhadap x yaitu y’ =

dx

dy _{. Jika fungsi mempunyai lebih dari satu variabel bebas, maka}

turunannya lebih dari satu pula.

Jika y = f(x,z) maka akan terdapat dua macam turunan, yaitu :

o Turunan y terhadap x atau dx dy

o Turunan y terhadap z atau dz dy

Sehingga :

Jika y = f(x,z) maka y’

(

)

(

)

     

= =

dz dy z , x f

dx dy z , x f

z x

Derivatif/Turunan Parsial

Turunan y terhadap x yaitu

dx

dy _{hanya memperhitungkan suku-suku yang mengandung x. Sedangkan suku yang}

lain dianggap sebagai konstanta dan turunannya adalah nol.

Turunan y tehadap z yaitu

dz

dy _{hanya memperhitungkan suku-suku yang mengandung z. Sedangkan suku yang}

lain dianggap sebagai konstanta dan turunannya adalah nol.

(dalam ekonomi dikenal istilah asumsi ceteris paribus)

Contoh : Jika y = x3 + 5z2 – 4x2z – 6xz2 + 8z – 7 maka

dx dy _{= ...}

dz dy _{= ....}

Latihan : Tentukan

dx dy _dan

dz

dy _{dari fungsi-fungsi berikut :}

1. y = 2x4 – 3x3z2 + z2 – 2x2z3 + 8xz2 + 12

2. y = 3x3 + x2z2 – 2xz3 – 4z4 + 5xz + 2x2z – xz2 – 3 3. y = x3 + 5x2z – 4xz2 + 3z3 + 14

B. Derivatif dari Derivatif Parsial

Fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas juga dapat diturunkan lebih dari satu kali. Contoh : Jika y = x3 + 5z2 – 4x2z – 6xz2 + 8z – 7 maka

dx dy _{= ....}

Sehingga : Turunan

dx

dy _{terhadap x :}

2 2

dx y d _{= ....}

Turunan

dx

dy _{terhadap z :} dz dx

y d2

= ....

dz dy _{= ....}

Sehingga : Turunan

dari fungsi-fungsi berikut :

1. y = 2x4 – 3x3z2 + z2 – 2x2z3 + 8xz2 + 12

2. y = 3x3 + x2z2 – 2xz3 – 4z4 + 5xz + 2x2z – xz2 – 3 3. y = x3 + 5x2z – 4xz2 + 3z3 + 14

C. Nilai Ekstrim : Maksimum dan Minimum

Untuk y = f(x,z), maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika :

dx

Untuk mengetahui apakah titik ekstrim berupa titik maksimum atau minimum, dibutuhkan syarat cukup yaitu :

Maksimum bila ₂ 0 Penyelesaian :

dx

Untuk menentukan maksimum atau minimum maka ditentukan

2

Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi majemuk p = 3q2 – 18q + r2 – 8r + 50 merupakan titik maksimum atau minimum dan tentukan nilainya.

D. Optimasi Bersyarat

Ada kalanya kita ingin mengoptimalkan suatu fungsi tetapi terkendala oleh fungsi lain yang harus dipenuhi. Misal kita akan memaksimalkan tingkat kepuasan tetapi terkendala oleh fungsi pendapatan. Atau juga kita akan memaksimalkan laba tetapi terikat pada fungsi produksi.

Perhitungan ini dapat diselesaikan dengan 2 cara :

1. Pengganda Lagrange

Cara ini dengan membentuk fungsi baru (fungsi Lagrange) yang merupakan jumlah dari fungsi yang akan dioptimalkan ditambah hasil kali pengganda Lagrange (λ) dengan fungsi kendala.

Pengganda Lagrange λ ini adalah suatu variabel tak-tentu yang hanya bersifat membantu.

Misal akan dioptimumkan fungsi z = f(x,y) dengan syarat harus terpenuhi u = g(x,y)

maka fungsi Lagrangnya : F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)

Nilai ekstrim dari F(x,y,λ) dapat dicari denga memformulasikan masing-masing turunan parsial pertamanya sama dengan nol yaitu :

Fx(x,y,λ) = fx + λ gx = 0 Fy(x,y,λ) = fy + λ gy = 0

Syarat di atas hanya merupakan syarat perlu. Sedangkan syarat cukup untuk mengetahui maksimum atau minimum dilakukan dengan turunan parsial kedua yaitu :

Maksimum bila Fxx < 0 dan Fyy < 0

Minimum bila Fxx > 0 dan Fyy > 0

Contoh 1 :

Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8 dan tentukan jenis nilai ekstrimnya.

Penyelesaian :

Fungsi kendala x2 + y2 = 8 diubah dalam bentuk implisit menjadi x2 + y2 – 8 = 0 Fungsi Lagrange : F = 2x + 2y + λ (x2 + y2 – 8)

F = 2x + 2y + λx2 + λy2 – 8λ

Supaya F mencapai ekstrim maka F’ = 0

Fx = 2 + 2λx = 0 → 2λx = –2

λ = –2/2x → λ = – 1/x ... (1)

Fy = 2 + 2λy = 0 → 2λy = –2

λ = –2/2y → λ = – 1/y ... (2)

Berdasarkan (1) dan (2) diperoleh –1/x = – 1/y

x = y

Menurut fungsi kendala : x2 + y2 = 8

y2 + y2 = 8

2y2 = 8

y2 = 4

y = ± 2 dan x = ± 2

Sehingga nilai ekstrim z = 2x + 2y = ± 8

Penyidikan nilai ekstrim :

- Untuk x = 2 dan y = 2, λ = – ½ Fxx = 2λ = 2(– ½) = –1 < 0

Fyy = 2λ = 2(– ½) = –1 < 0

Karena Fxx < 0 dan Fyy < 0 , nilai ekstrim maksimum dengan Zmax = 8

- Untuk x = –2 dan y = –2, λ = ½ Fxx = 2λ = 2(½) = 1 > 0

Fyy = 2λ = 2(½) = 1 > 0

Contoh 2 :

Optimumkan z = xy dengan syarat x + 2y = 10

Penyelesaian :

Fungsi kendala x + 2y = 10 → x + 2y – 10 = 0

Fungsi Lagrange : F = xy + λ( x + 2y – 10)

F = xy + λx + 2λy – 10λ

Syarat perlu agar F optimum, F’ = 0

Fx = y + λ = 0 → λ = – y

Fy = x + 2λ = 0 → λ = – ½ x

Sehingga –y = – ½ x → 2y = x

Dari fungsi kendala x + 2y = 10

2y + 2y = 10

4y = 10

y = 2,5 dan x = 2y = 2(2,5) = 5

Jadi z optimum pada x = 5 dan y = 2,5 sehingga Zopt = xy = 5(2,5) = 12,5

2. Metode Kuhn Tucker

Jika pada metode Lagrange kita optimumkan sebuah fungsi terhadap kendala yang berbentuk persamaan, pada metode Kuhn-Tucker dioptimumkan sebuah fungsi terhadap kendala yang berbentuk pertidaksamaan.

Bentuk permasalahan dapat berupa :

• Maksimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala g(x,y) ≤ 0 atau

• Minimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala g(x,y) ≥ 0

Prosedur penyelesaian dapat ditempuh melalui 2 cara :

a. Metode Lagrange yang dimodifikasi kemudian diuji dengan kondisi kuhn-Tucker Prosesnya melalui langkah berikut :

- Bentuk fungsi baru Lagrange : F(x,y,λ) = f(x,y) – λ g(x,y) dengan menganggap fungsi kendala berupa persamaan.

- Lakukan pengujian terhadap nilai λ

- Jika λ ≤ 0 berarti optimasi fungsi tujuan f(x,y) tanpa menyertakan fungsi kendala g(x,y) sudah dengan sendirinya memenuhi kendala, sehingga dapat diabaikan

- Jika λ > 0 kendala bersifat mengikat sehingga nilai optimum yang diperoleh merupakan nilai optimum berdasar fungsi kendala yang berbentuk pertidaksamaan

b. Metode Kuhn-Tucker langsung

- Rumuskan masalah misalkan maksimumkan fungsi f(x,y) thd g(x,y) ≤ 0 atau minimumkan fungsi f(x,y) thd g(x,y) ≥ 0

- Tetapkan kondisi kuhn-Tucker : (a) Fx(x,y,λ) = fx – λ gx = 0 (b) Fy(x,y,λ) = fy – λ gy = 0

(c) λ g(x,y) = 0 dimana g(x,y) ≤ 0 atau g(x,y) ≥ 0

- Diuji untuk λ = 0 dan g(x,y) = 0 untuk menentukan mana diantara yang memenuhi persamaan (a) dan (b) serta pertidaksamaan kendala g(x,y)

- Nilai x dan y yang memenuhi ketiga kondisi ini merupakan nilai-nilai yang mengoptimimkan fungsi tujuan f(x,y)

Contoh 1 : Maksimumkan f(x,y) = 10xy – 2,5x2 – y2 terhadap kendala x + y ≤ 9

Penyelesaian :

Dengan menganggap x + y = 9 maka F(x,y,λ) = 10xy – 2,5x2

– y2 – λ(x + y –9) F(x,y,λ) = 10xy – 2,5x2

– y2 – λx –λy + 9λ

Fx = 0 → 10y – 5x – λ = 0 → λ = 10y – 5x

Fy = 0 → 10x – 2y – λ = 0 → λ = 10x – 2y

10y – 5x = 10x – 2y 12 y = 15x

y = 12 15_{x =}

4

5_{x atau x =}

15 12_{y =}

5 4_y

Menurut kendala : x + y = 9 →

5

4_{y + y = 9}

5 9

y = 9

y = 5

Sehingga x = 5 4_{y =}

5

4_{(5) = 4}

λ = 10y – 5x = 10(5) – 5(4) = 50 – 20 = 30 > 0

karena λ > 0 berarti x = 4 dan y = 5 yang memaksimumkan f(x,y) terhadap kendala yang dianggap berbentuk persamaan, berlaku juga terhadap kendala yang berbentuk pertidaksamaan.

Nilai maksimum fungsi :

f(x,y) = 10xy – 2,5x2 – y2 = 10(4)(5) – 2,5(4)2 – (5)2 = 200 – 40 – 25 = 135

Contoh 2 :

Minimumkan fungsi f(x) = x2 – xy + 2y2terhadap x + y ≥ 8 dengan cara Kuhn-Tucker

Penyelesaian :

F(x,y,λ) = f – λ g = x2 – xy + 2y2 – λ(x + y – 8)

= x2 – xy + 2y2 – λx – λy – 8λ

(a) Fx(x,y,λ) = fx – λ gx = 0 → 2x – y – λ = 0 → λ = 2x – y (b) Fy(x,y,λ) = fy – λ gy = 0 → –x + 4y – λ = 0 → λ = –x + 4y (c) λ g(x,y) = 0 → λ (x + y – 8) = 0

Sehingga Jika λ = 0, maka :

(a) 2x – y = 0 → y = 2x y = 8y

(b) –x + 4y = 0 → x = 4y x = 8x

Sehingga agar (a) dan (b) terpenuhi haruslah x = y = 0 Tetapi dengan demikian kendala x + y ≥ 8 tidak terpenuhi Jika x + y – 8 = 0, dengan kata lain y = 8 – x , maka :

(a) 2x – y – λ = 0 (b) –x + 4y – λ = 0

2x – (8 –x) – λ = 0 –x + 4(8 – x) – λ = 0

3x – 8 – λ = 0 –5x + 32 – λ = 0

λ = 3x – 8 λ = –5x + 32

Sehingga 3x – 8 = –5x + 32 8x = 40

x = 5 dan y = 8 – x = 8 – 5 = 3 Jadi dengan x = 5 dan y = 3, kendala x + y ≥ 8 terpenuhi dan nilai minimum f(x,y) = x2 – xy + 2y2

= 52 – (5)(3) + 2(3)2 = 25 – 15 + 18 = 28

Latihan :

1. Tentukan nilai ekstrim dari fungsi p = –q2 – 3r2 + 6q + 24r – 50, dan selidiki apakah nilai ekstrimnya maksimum atau minimum.

2. Optimalkan fungsi z = 4x – 2y dengan syarat x2 – 2y2 = 162 dan jelaskan apakah z optimumnya merupakan z maksimum atau minimum.

3. Optimumkan fungsi f(r,s) = r2 – 10s2 terhadap r – s = 18 4. Maksimumkan f(x,y) = 10xy – 5x2 – 7y2+ 40x jika x + y ≤ 13

E. Penerapan Diferensial Parsial

Pendekatan diferensial parsial sangat bermanfaat untuk diterapkan pada model-model ekonomi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas, dalam hal hendak menelaah secara parsial pengaruh dari salah satu variabel bebas tadi terhadap variabel terikatnya.

1. Permintaan marginal dan elastisitas permintaan parsial

Apabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya, maka permintaan akan masing-masing barang akan fungsional terhadap harga masing-masing-masing-masing barang tersebut, jadi misalnya terdapat dua macam barang yaitu teh dan gula dan kedua macam barang tersebut mempunyai hubungan penggunaan, maka:

Qda = f (Pa, Pb) dibaca : permintaan akan barang A dipengaruhi oleh harga barang A dan harga barang B

Qdb = f (Pa, Pb) dibaca : permintaan akan barang B dipengaruhi oleh harga barang B dan harga barang A

Turunan pertama dari Qda dan Qdb adalah fungsi fungsi permintaan marjinalnya dimana :

a da

dP dQ

adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pa

b da

dP dQ

adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pb

b db

dP dQ

adalah permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pb

a db

dP dQ

adalah permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pa

Dengan dapat diturunkannya fungsi permintaan tersebut maka kita dapat mengetahui elastisitas permintaan dua macam barang yang memiliki hubungan penggunaan dengan rumus sebagai berikut :

ηda =

da a

a da

Q P dP dQ _⋅

dibaca : elastisitas permintaan barang A berkenaan dengan perubahan harga barang A

ηdb =

db b

b db

Q P dP dQ

⋅ dibaca : elastisitas permintaan barang B berkenaan dengan perubahan harga barang B

ηdab =

da b

b da

Q P dP dQ

⋅ dibaca : elastisitas permintaan barang A berkenaan dengan perubahan harga barang B

ηdba =

db a

a db

Q P dP dQ _⋅

dibaca ; elastisitas permintaan barang B berkenaan dengan perubahan harga barang A

jika nilai |ηda| > 1 dan |ηdb| > 1 disebut bersifat elastis,

jika nilai |ηda| = 1 dan |ηdb| = 1 disebut unitary elastis dan

jika nilai |ηda| < 1 dan |ηdb| < 1 disebut inelastis.

Untuk nilai ηdab dan ηdba

jika ηdab dan ηdba < 0 maka kedua barang tersebut bersifat komplementer

jika ηdab dan ηdba > 0 kedua barang tersebut bersifat substitusi.

Contoh 1 :

Fungsi permintaan akan barang A dan barang B masing-masing ditunjukkan oleh persamaan

Qda . Pa² . Pb³ - 1 = 0 dan Qdb . Pa³ . Pb - 1 = 0. Berapa elastisitas masing-masing barang dan apa hubungan

kedua barang tersebut ?

Penyelesaian :

Qda . Pa² . Pb³ - 1 = 0 dan Qdb . Pa³ . Pb - 1 = 0

Karena ηdab< 0 hubungan antara barang A dan B adalah bersifat komplementer.

2. Perusahaan dengan dua macam produk dan biaya produksi gabungan

Apabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan kedua macam produk tersebut merupakan biaya produksi gabungan (joint production cost), maka perhitungan keuntungan maksimum dapat dilakukan dengan pendekatan diferensiasi parsial.

(2) = =0

b Q

dQ d b

π π

Dari (1) dan (2) maka nilai Qa dan Qb dapat diperoleh dan selanjutnya nilai π maksimum dapat dihitung.

Contoh :

Biaya total yang dikeluarkan suatu perusahaan untuk menghasilkan dua macam barang yaitu A dan B adalah C = Qa² + 3Qb² + Qa . Qb. Harga jual masing-masing produk adalah Pa = 7 dan Pb = 20. Hitunglah

berapa unit masing-masing barang harus dihasilkan agar keuntungan maksimum ?

Penyelesaian 1 :

Ra = Qa . Pa = 7 Qa

R = Ra + Rb = 7 Qa + 20 Qb

Rb = Qb . Pb = 20 Qb

π = R – C = 7 Qa + 20 Qb – (Qa² + 3 Qb² + Qa . Qb)

π = 7 Qa + 20 Qb – Qa² – 3 Qb² – Qa . Qb

agar π maks maka π’ = 0

π’a = 7 – 2 Qa – Qb = 0 ………(1)

π’b = 20 – 6 Qb – Qa = 0 ………..(2)

dari persamaan (1) dan (2) maka diperoleh :

7 – 2 Qa – Qb = 0 x 1 7 – 2 Qa – Qb = 0

20 – 6 Qb – Qa = 0 x 2 40 – 12 Qb – 2 Qa = 0

–33 + 11 Qb = 0

Qb = 3

Dari (1) 7 – 2 Qa – Qb = 0

7 – 2 Qa – 3 = 0 maka Qa = 2

dengan demikian π maks = 7 Qa + 20 Qb – Qa² – 3 Qb² – Qa . Qb

= 7 . 2 + 20 . 3 – 2² – 3 . 2² – 2 . 3 = 37

Jadi agar keuntungan maksimum, perusahaan harus memproduksi 2 unit A dan 3 unit B dengan keuntungan sebesar 37.

Penyelesaian 2 : Dengan nilai marginal

Penerimaan marginal masing-masing barang sama dengan biaya marginalnya barang yang bersangkutan.

MRa = MCa dan MRb = MCb

Karena R = 7 Qa + 20 Qb dan C = Qa² + 3Qb² + Qa . Qb

MRa = Ra = 7 dan MCa = Ca = 2Qa + 1.Qb

MRb = Rb = 20 dan MCb = Cb = 6Qb + 1.Qa

Sehingga

MCa = MRa → 2Qa + Qb = 7 (1)

MCa = MRa → 6Qb + 1.Qa = 20 (2)

Langkah selanjutnya sama dengan Penyelesaian 1.

Latihan :

1. Diketahui pasangan fungsi permintaan untuk produk X dan Y Qx = Px –1,5

Py –0,4

dan Qy = Px –0,5

Py -0,4

Tentukan hubungan produk X dan Y!

2. Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam barang ditunjukkan

oleh TC = 2Qa 2

+ 5Qb 2

+ QaQb dan harga jual masing-masing barang per unit adalah Pa = 9 dan Pb = 12.

a. Hitunglah berapa unit barang masing-masing yang harus diproduksi agar keuntungan maksimum. b. Hitunglah besar keuntungan maksimum tersebut.

BAB IV

INTEGRAL

Integral merupakan invers (kebalikan) dari turunan. Jika turunan dari F(x) adalah f(x)

maka integral dari f(x) adalah F(x) dan ditulis :

∫f(x) dx = F(x) (lambang dx berarti pengintegralan berdasar variabel bebas x)

A. INTEGRAL TAKTENTU

Perhatikan ilustrasi berikut :

Jika F(x) = 2x + 4 maka F’(x) = f(x) = 2 Jika F(x) = 2x – 9 maka F’(x) = f(x) = 2 Jika F(x) = 2x + 30 maka F’(x) = f(x) = 2

Jika F(x) = 2x + k dengan k sembarang konstanta maka F’(x) = f(x) = 2

Dengan langkah terbalik diperoleh :

∫ 2 dx = 2x + k dengan k sebuah konstanta yang nilainya belum dapat ditentukan

Secara umum didapatkan bahwa ∫ f(x) dx = F(x) + k disebut integral taktentu. Ada beberapa Kaidah Integral Taktentu :

1. ∫ a dx = ax + k (a sembarang konstanta) Contoh :

a. ∫ 3 dx = 3x + k b. ∫ –7 dx = –7x + k c. ∫ 29 dx = 29x + k

2.

∫

axndx = x k

1 n

a n 1₊

+ +

Contoh :

a.

∫

x2dx x k

1 2

1 2 1 ₊

+

= +

= x k

3 1 3 ₊

b.

∫

10x4dx x k

1 4

10 4 1₊

+

= +

= x k

5 10 5₊

= 2x5+k

3.

∫

a .f(x) dx= a

∫

f(x) dx

Contoh :

∫

10 x4 dx = 10

∫

x4 dx

= 10 . x k

1 4

1 4 1₊

+

+

= 10 . x k

5 1 5 ₊

= 2x5 +k

Ingat Derivatif/ Turunan fungsi berikut :

1. Jika F(x) = ex → F’(x) = ex

2. Jika F(x) = ln x → F’(x) = x 1

4.

∫

(

f(x)±g(x)

)

dx=

∫

f(x)dx±

∫

g(x)dx Contoh :

∫

(6x2 +8x)dx =

∫

6x2dx+

∫

8xdx = 2x3 + 4x2 + k

5. Kaidah Logaritmis

∫

dx x 1

= ln x + k

Contoh :

∫

dx x

3 _{= 3}

∫

dx x

1 _{= 3 ln x + k}

6. Kaidah Eksponensial

∫

exdx= ex + k Contoh :

∫

5ex dx= 5

∫

exdx= 5ex + k

7. Kaidah Substitusi

∫

f(g(x)).g'(x) dx dengan memisalkan g(x) = u diperoleh

∫

dx dx du (u) f

Contoh :

a.

∫

12x(3x2−2)dx= ??

Dengan cara biasa : Dengan substitusi :

dx 2) 12x(3x2

∫

− =

∫

(36x3 −24x)dx Misal u = 3x2 – 2

= x k

2 24 x 4

36 4₋ 2_{+ 6x}

dx du₌

= 9x4 – 12x2 + k dx =

x 6

du

Sehingga

∫

12x(3x2 −2)dx =

x 6 du ) u 12x(

∫

=

∫

2u du

= u2 + k = (3x2 – 2)2 + k

b.

∫

24(2x+5)3dx= Dengan substitusi

Misal u = 2x + 5

∫

24(2x+5)3 dx =

2 du ) u 24( 3

∫

dx du

= 2 =

∫

12 u3du

dx = 2

du _{= u}4

4

12 _{+ k}

= 3 u4 + k = 3 (2x + 5)4 + k

Latihan :

8. Kaidah Integral Parsial

9. Kaidah Integral Fungsi Rasional

Fungsi rasional f(x) berbentuk f(x) =

)

dimana P(x) dan Q(x) merupakan suku banyak.

- Jika pangkat P(x) > pangkat Q(x) maka dilakukan pembagian terlebih dahulu sehingga diperoleh bentuk

f(x) = R(x) +

dimana R(x) merupakan hasil bagi dan

)

merupakan sisa pembagian dengan

pangkat h(x) < pangkat g(x).

- Jika pangkat P(x) < pangkat Q(x) maka penyelesaian tergantung pada faktor-faktor dari Q(x).

Kasus 1 Penyebut berupa faktor Linier tidak berulang

Q(x) = (a1x + b1) (a2x + b2)... (a3x + b3)

Kasus 2 Penyebut berupa faktor Linier berulang

Q(x) = (a1x + b1)

Kasus 3 Penyebut berupa faktor kuadrat tidak berulang

Q(x) = (a1x

Kasus 4 Penyebut berupa faktor kuadrat berulang

Q(x) = (a1x

Penyelesaian :

Sehingga :

Diperoleh :

4.

∫

Ubahlah bentuk Integral fungsi rasional berikut :

B. APLIKASI INTEGRAL TAKTENTU DALAM BIDANG BISNIS DAN EKONOMI

Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total apabila persamaan fungsi marjinalnya diketahui. Karena fungsi marjinal merupakan turunan dari fungsi total maka dengan proses terbalik (integrasi) dapat diperoleh fungsi total jika diketahui fungsi marjinalnya.

1. Fungsi Biaya

Biaya Total TC = f(Q) → biaya marjinal MC = TC’ = f’(Q)

Dengan demikian, Biaya Total (TC) merupakan integral dari Biaya Marjinal (MC) yaitu :

TC =

∫

MC dQ =

∫

f'(Q) dQ

Contoh :

Biaya marjinal suatu perusahaan diketahui MC = 3Q2 – 6Q + 4 Jika diketahui biaya tetapnya adalah 4, tentukan :

a. Persamaan biaya total b. Persamaan biaya rata-rata

c. Besarnya biaya total dan biaya rata-rata jika diproduksi sebanyak 5 unit.

Penyelesaian :

a. TC =

∫

MC dQ

TC =

∫

(3Q2 – 6Q + 4) dQ

TC = Q3 – 3Q2 + 4Q + k

Konstanta k tak lain merupakan biaya tetap yang diketahui sebesar 4. Sehingga TC = Q3 – 3Q2 + 4Q + 4

b. AC =

Q TC

AC =

Q Q Q

Q3−3 2 +4 +4

AC =

Q Q Q2−3 +4+ 4

c. Untuk Q = 5 unit maka

TC = Q3 – 3Q2 + 4Q + 4 = (5)3 – 3(5)2 + 4(5) + 4 = 125 – 75 + 20 + 4

= 74 Jadi biaya total = 74

AC =

Q Q

Q2−3 +4+ 4 = (5)2 – 3(5) + 4 + 5 4

= 25 – 15 + 4 + 0,8

= 14,8 Jadi biaya rata-rata = 14,8

2. Fungai Penerimaan

Penerimaan Total TR = f(Q) → Penerimaan Marjinal MR = TR’ = f’(Q)

Dengan demikian, Penerimaan Total (TR) merupakan integral dari Penerimaan Marjinal (MR) yaitu :

TR =

∫

MR dQ =

∫

f'(Q) dQ

Dalam penerimaan total tidak ada penerimaan tetap, sebab penerimaan tidak akan ada jika tidak ada barang yang dihasilkan atau terjual.

Contoh :

Suatu perusahaan mempunyai penerimaan marjinalnya dengan fungsi MR = 16 – 4Q Tentukan Penerimaan Total dan penerimaan rata-rata jika diproduksi sebanyak 6 unit

Penyelesaian :

Penerimaan total TR =

∫

MR dQ

TR =

∫

(16 – 4Q) dQ

TR = 16Q – 2Q2

Untuk Q = 6 maka TR = 16(6) – 2(6)2 = 96 – 72 = 24

Jadi jika diproduksi sebanyak 6 unit diperoleh Penerimaan total = 24

Penerimaan rata-rata AR = Q

Q Q Q Q TR

2 16 2

16 − 2 _{= −}

=

Untuk Q = 6 unit maka AR = 16 – 2(6) = 16 – 12 = 4

Jadi jika diproduksi sebanyak 6 unit, penerimaan rata-ratanya = 4

3. Fungsi Utilitas

Utilitas Total TU = f(Q) → Utilitas Marjinal = MU = TU’ = f’(Q)

Dengan demikian, Utilitas Total (TU) merupakan integral dari Utilitas Marjinal (MU) yaitu :

TU =

∫

MU dQ =

∫

f'(Q) dQ

Sama halnya dengan Penerimaan total, Fungsi Utilitas Total tidak terdapat Utilitas Tetap karena tidak akan ada kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tidak ada barang yang dikonsumsi.

Contoh :

Tentukan persamaan Utilitas Total jika diketahui Utilitas Marjinalnya MU = 90 – 10Q. Tentukan pula Utilitas total jika diproduksi sebanyak 11 unit.

Penyelesaian :

Utilitas Total UT =

∫

MU dQ

UT =

∫

(90 – 10Q) dQ

UT = 90Q – 5Q2

Untuk Q = 11 unit maka UT = 90(11) – 5(11)2 UT = 990 – 605 = 385

Jadi jika diproduksi sebanyak 11 unit diperoleh utilitas total = 385

4. Fungsi Produksi

Produksi Total P = f(X) dimana P = keluaran dan X = masukan Produk Marjinal MP = P’ = f’(X)

Produk Total merupakan Integral dari Produk Marjinal

P =

∫

MP dX =

∫

f'(X) dX

Contoh :

Produk Marjinal suatu perusahaan diketahui MP = 18X – 3X2. Tentukan : a. Persamaan Produk Total

b. Persamaan Produk Rata-rata

Penyelesaian :

Produk Total P =

∫

MP dX

P =

∫

(18X – 3X2) dX

P = 9X2 – X3

(c = 0 sebab tidak akan ada produksi yang dihasilkan jika tidak ada bahan yang diolah)

Produk Rata-rata AP =

X P

AP = 9 2 3 _{9X X}2

X X

X − _{= −}

5. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan

Dalam konsep ekonomi, pendapatan (Y) pertama-tama digunakan untuk memenuhi kebutuhan atau konsumsi (C), dan selebihnya ditabung atau saving (S) sehingga dapat dituliskan Pendapatan = Konsumsi + Tabungan.

Jadi Y = C + S a. Fungsi Konsumsi

Pada awalnya bisa jadi pendapatan Y lebih kecil dari konsumsi C. Artinya walaupun belum punya pendapatan tetapi manusia tetap harus memenuhi kebutuhan sehingga tetap melakukan konsumsi. Kondisi dimana besarnya konsumsi pada saat pendapatan sama dengan nol (Y=0) disebut konsumsi otonom.

Dan setiap ada kenaikan pendapatan dapat dipastikan konsumsi juga meningkat.

Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi (ΔC) dengan perubahan Pendapatan (ΔY) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut dinamakan dengan Marginal Properity to Consume (MPC)

Dari keterangan di atas maka fungsi konsumsi dapat dituliskan sebagai berikut :

C = a + MPC Y

a = konsumsi otonom (autonomous consumption)

MPC (Marginal Properity to Consume) dapat ditentukan dengan

MPC = C’ =

dY dC

Berdasar kaidah integrasi, maka Fungsi Konsumsi (C) merupakan integral dari MPC.

C = ∫ MPC dY + k

k = a (konsumsi otonom/autonomus consumption/konsumsi minimum jika Y = 0)

b. Fungsi Tabungan

Dari fungsi Pendapatan (Y = C + S) dan fungsi konsumsi (C = a + bY) maka : S = Y – C

S = Y – (a + bY) S = Y – a – bY S = –a + Y– bY S = –a + (1 – b)Y

Hasrat untuk Menabung/Marginal Properity to Save (MPS) merupakan turunan pertama dari fungsi

tabungan S. Sehingga :

MPS = S’ =

dY

dS _{= (1 – b)}

Berdasar kaidah integrasi, maka Fungsi Tabungan (S) merupakan integral dari MPS.

S = ∫ MPS dY + k

k = – a (tabungan otonom/autonomus Saving/tabungan negatif[dissaving] jika pendapatan Y = 0)

Catatan :

Autonomus saving = – autonomus consumption

Contoh :

1. Jika kecenderungan konsumsi marginal (MPC) = 0,8 dan komsumsi miminum = Rp 15 Milyar pada saat pendapatan Y=0. Cari fungsi konsumsinya.

Penyelesaian :

C =

∫

MPC dY

C =

∫

0,8 dY C = 0,8Y + k

Karena k = 15M maka C = 0,8 Y + 15 Milyar

2. Diketahui konsumsi minimumnya Rp 30M dan MPC = 0,6. Tentukan

a. Fungsi Konsumsi b. Fungsi Tabungan Penyelesaian : a. MPC = b = 0,6

Konsumsi otonom = a = 30M

Fungsi Konsumsi = C = ∫ MPC dY

C = ∫ 0,6 dY C = 0,8Y + 30M

b. MPS = (1 – b) = 1 – 0,6 = 0,4 Tabungan otonom = –a = – 30M

Fungsi Tabungan = S = ∫ MPS dY

S = ∫ 0,4 dY S = 0,4Y – 30M

Latihan :

1. Fungsi biaya marginal suatu produk: MC=f(Q)=500+4Q

Tentukan fungsi biaya total (TC) dan fungsi biaya rata-rata (AC) jika biaya tetap diketahui Rp.3.000,-

2. Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC=1,50Q2 – 4Q + 12. Cari persamaan biaya total dan biaya rata-rata jika biaya tetap sebesar 20

3. Jika fungsi penerimaan marginal dari suatu perusahaan adalah MR = f(Q) = 5 – 3Q. Tentukan fungsi penerimaan total (TR) dan fungsi penerimaan rata-rata (AR)

4. Cari persamaan fungsi penerimaan total dan fungsi penerimaan rata-ta jika penerimaan marginalnya MR = 900 – 28Q

5. Produk marjinal PT POOH ditunjukkan oleh persamaan 3Q2 + 5. Bentuklah fungsi produk total dan fungsi produk rata-ratanya ? Berapakah besarnya produk total dan produk rata-rata jika masukan yang digunakan sebesar 10 unit?

6. Bentuklah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marginalnya ditunjukkan oleh persamaan MU = 120 – 14Q. Berapakah besarnya utilitas total jika Q = 12?

7. Bentuklah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat suatu negara jika diketahui bahwa MPC = 0,55 dan konsumsi autonomnya sebesar 34 milyar?

C. INTEGRAL TERTENTU

Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya memiliki batas-batas tertentu.

Jika ∫f(x) dx=F(x)+k maka Integral suatu fungsi f(x) antara x = a dan x = b dimana a < b ditulis dengan

∫

b

a

dx ) x (

f =

[

F(x)

]

b_a

= { F(b) + k } – { F(a) + k } = F(b) – F(a)

Notasi ∫

b

a

dx ) x (

f dibaca : Integral f(x) untuk x antara a dan b

 a disebut batas bawah integasi

 b disebut batas atas integrasi

Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas wilayah yang terletak antara kurva y = f(x) dengan sumbu x pada rentang antara x = a dan x = b. Dapat pula untuk menentukan luas wilayah antara dua kurva f(x) dan g(x).

Untuk menentukan luas wilayah antara kurva y = f(x)

Luas arsiran : _∫

b

a

dx ) x ( f

Menentukan luas wilayah antara dua kurva y1= f(x)

dan y2 = g(x) pada rentang antara x = a dan x = b

Luas arsiran : ∫ −b_∫

a b

a

dx ) x ( g dx ) x ( f

= b∫ −

a

dx ) x ( g ) x ( f

Kaidah-kaidah Integrasi tertentu

1. ∫

b

a

dx ) x (

f =

[

F(x)

]

b_a = F(b) – F(a) Contoh :

∫ +

4 1

dx 3) x 6

( =

[

_3x2 _3x

]

4 1

+

= {3(4)2 + 3(4)} – {3(1)2 + 3(1)} = (48 + 12) – (3 + 3)

= 60 – 9 = 51

2. ∫

a

a

dx ) x (

f = 0

Contoh :

∫

2

2 2

dx x

9 =

[ ]

32₂

x

3 = 3(2)3 – 3(2)3 = 24 – 24 = 0

a b

y = f(x)

x y

a b

y = f(x)

x y

y = g(x)