Penulis Alexander san lohat (san) Lisensi Dokumen :

 

Gerak Melingkar 

Edisi

 

Kedua

 

 

 

 

Untuk

 

SMA

 

kelas

 

XI

 

(Telah

 

disesuaikan

 

dengan

 

KTSP)

 

 

 

       

 

 

 

Penulis 

Alexander san lohat  

(san) 

  Lisensi Dokumen : 

 

Copyright © 2008‐2009  GuruMuda.Com   

Seluruh dokumen di GuruMuda.Com   dapat digunakan   dan disebarkan secara  bebas untuk tujuan bukan komersial (nonprofit), dengan syarat tidak menghapus  atau merubah atribut penulis dan pernyataan copyright yang disertakan dalam  setiap  dokumen.  Tidak  diperbolehkan  melakukan  penulisan  ulang,  kecuali  mendapatkan ijin terlebih dahulu dari GuruMuda.Com. 

 

 

Contact Person 

Anda bisa menghubungi saya melalui beberapa jalur di bawah :  

Blog : http://www.gurumuda.com  Email : info@gurumuda.com   

       

Testimonial dan Saran 

Apapun pendapat anda mengenai tulisan saya, silahkan memberikan testimonial atau saran konstruktif  demi pengembangan ebook ini menjadi lebih baik. Testimonial atau saran yang bersifat membangun 

dari anda bisa dikirim ke email berikut : 

saran@gurumuda.com  Terima kasih atas partisipasi anda 

Materi Pembelajaran   : 

Gerak Melingkar  

 

Tujuan Pembelajaran  : 

 

Kompetensi Dasar  :   

Menganalisis gerak melingkar menggunakan vektor     

 

Indikator  :   

a. Menganalisis besaran kecepatan dan percepatan pada gerak melingkar dengan  menggunakan vektor 

b. Menganalisis besaran yang berhubungan antaran gerak linier dan gerak melingkar  pada gerak melingkar dengan laju konstan 

       

Tujuan pembelajaran di atas merupakan tuntutan dari Depdiknas RI dalam KTSP. Jadi dirimu harus  mencapai Kompetensi dasar dan Indikator tersebut. Kalau tidak bisa, ntar dapat nilai merah :) alias tidak  lulus. Nah, kali ini Gurumuda membimbing dirimu untuk bisa mencapai tujuan pembelajaran di atas.    

   

 

Selamat Belajar ☺ 

Pengetahuan

 

Prasyarat

 

Sebelum mempelajari pokok bahasan Gerak Melingkar Beraturan (GMB), terlebih dahulu kita pahami  beberapa konsep dasar yang akan selalu digunakan dalam pembahasan mengenai GMB. Ini merupakan  pengetahuan prasyarat, maksudnya kalau konsep tersebut tidak dipahami dengan baik dan benar maka  ketika mempelajari materi GMB, dirimu akan kebingungan. Langsung saja ya…. 

 

Besaran‐besaran Fisika pada Gerak Melingkar 

Dalam gerak lurus kita mengenal tiga besaran utama yaitu perpindahan (linear), kecepatan (linear) dan  Percepatan (linear). Gerak melingkar juga memiliki tiga komponen tersebut, yaitu perpindahan sudut,  kecepatan sudut dan percepatan sudut. 

 

Perpindahan

 

Sudut 

Misalnya kita tinjau gerak roda kendaraan yang berputar. Ketika roda berputar, tampak bahwa selain  poros alias pusat roda, bagian lain dari roda tersebut juga selalu berpindah terhadap pusat roda sebagai  titik acuan. Perpindahan pada gerak melingkar disebut perpindahan sudut.  

Ada tiga cara menghitung sudut. Cara pertama adalah menghitung sudut dalam derajat (o). Satu  lingkaran penuh sama dengan 360o_. 

Cara kedua adalah mengukur sudut dalam putaran. Satu lingkaran 

penuh sama dengan satu putaran. Dengan demikian, satu putaran = 360o_{. Cara ketiga adalah dengan}  radian. Radian adalah satuan Sistem Internasional (SI) untuk perpindahan sudut, sehingga satuan ini  akan sering kita gunakan dalam perhitungan. Bagaimana mengukur sudut dengan radian ? 

Mari kita amati gambar di bawah ini. 

 

Nilai radian dalam sudut adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari‐jari roda r. Jadi, 

r

x

rad

)

=

(

Perhatikan bahwa satu putaran sama dengan keliling lingkaran, sehingga dari persamaan di atas,  diperoleh : 

π

π

θ

(

)

=

2

=

2

r

r

rad

rad 

Berikut ini konversi sudut yang perlu anda ketahui : 

1 putaran = 360o ₌ 

π

2 rad 

1 rad =  o

derajat

57

,

3

180

=

π

 

Derajat, putaran dan radian adalah besaran yang tidak memiliki dimensi. Jadi, jika ketiga satuan ini  terlibat dalam suatu perhitungan, ketiganya tidak mengubah satuan yang lain. 

 

Kecepatan

 

Sudut 

Dalam gerak lurus, kecepatan gerak benda umumnya dinyatakan dengan satuan km/jam atau m/s. Telah  kita ketahui bahwa tiap bagian yang berbeda pada benda yang melakukan gerak lurus memiliki  kecepatan yang sama, misalnya bagian depan mobil mempunyai kecepatan yang sama dengan bagian  belakang mobil yang bergerak lurus. 

Dalam gerak melingkar, bagian yang berbeda memiliki kecepatan yang berbeda. Misalnya gerak roda  yang berputar. Bagian roda yang dekat dengan poros bergerak dengan kecepatan linear yang lebih kecil,  sedangkan bagian yang jauh dari poros alias pusat roda bergerak dengan kecepatan linear yang lebih  besar. Oleh karena itu, bila kita menyatakan roda bergerak melingkar dengan kelajuan 10 m/s maka hal  tersebut tidak bermakna, tetapi kita bisa mengatakan tepi roda bergerak dengan kelajuan 10 m/s. 

Pada gerak melingkar, kelajuan rotasi benda dinyatakan dengan putaran per menit (biasa disingkat rpm ‐ 

revolution per minute). Kelajuan yang dinyatakan dengan satuan rpm adalah kelajuan sudut. Dalam 

gerak melingkar, kita juga dapat menyatakan arah putaran. misalnya kita menggunakan arah putaran  jarum jam sebagai patokan. Oleh karena itu, kita dapat menyatakan kecepatan sudut, di mana selain  menyatakan kelajuan sudut, juga menyatakan arahnya (ingat perbedaan kelajuan dan kecepatan). Jika  kecepatan pada gerak lurus disebut kecepatan linear (benda bergerak pada lintasan lurus), maka  kecepatan pada gerak melingkar disebut kecepatan sudut, karena benda bergerak melalui sudut  tertentu. 

Terdapat dua jenis kecepatan sudut, yakni kecepatan sudut rata‐rata dan kecepatan sudut sesaat.  

Kecepatan

 

sudut

 

rata

‐

rata 

Kita dapat menghitung kecepatan sudut rata‐rata dengan membandingkan perpindahan sudut dengan 

Kecepatan sudut rata‐rata = 

u

SelangWakt

nSudut

Perpindaha

 

t

Δ

Δ

=

θ

ϖ

 

1 2 1 2

t

t

−

−

=

θ

θ

ϖ

    Bagaimana dengan kecepatan sudut sesaat ? 

Kecepatan sudut sesaat kita diperoleh dengan membandingkan perpindahan sudut dengan selang 

waktu yang sangat singkat. Secara matematis kita tulis : 

→

Δ

Δ

=

t

θ

ω

 

Untuk Δtsangat kecil 

Sesuai dengan kesepakatan ilmiah, jika ditulis kecepatan sudut maka yang dimaksud adalah kecepatan  sudut sesaat. Kecepatan sudut termasuk besaran vektor. Vektor kecepatan sudut hanya memiliki dua  arah, yakni searah dengan putaran jarum jam atau berlawanan arah dengan putaran jarum jam. Dengan  demikian lambang omega dapat ditulis dengan huruf miring dan cukup dengan memberi tanda positif  atau negatif. Jika pada Gerak Lurus arah kecepatan sama dengan arah perpindahan (perpindahan  linear), maka pada Gerak Melingkar, arah kecepatan sudut sama dengan arah perpindahan sudut. 

 

Percepatan

 

Sudut 

Dalam gerak melingkar, terdapat percepatan sudut apabila ada perubahan kecepatan sudut. Percepatan  sudut terdiri dari percepatan sudut sesaat dan percepatan sudut rata‐rata. Percepatan sudut rata‐rata 

Percepatan sudut sesaat diperoleh dengan membandingkan perubahan sudut dengan selang waktu 

yang sangat singkat. Secara matematis ditulis : 

→

Δ

Δ

=

t

ω

α

 

Untuk Δtsangat kecil 

Satuan percepatan sudut dalam Sistem Internasional (SI) adalah rad/s2 atau rad‐2 

 

 

Hubungan

 

antara

 

Besaran

‐

besaran

 

Gerak

 

Lurus

 

dan

 

Gerak

 

Melingkar

 

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari tentang besaran fisis Gerak Melingkar, meliputi  Perpindahan Sudut, Kecepatan Sudut dan Percepatan Sudut. Apakah besaran Gerak Melingkar tersebut  memiliki  hubungan  dengan  besaran  fisis  gerak  lurus  (perpindahan  linear,  kecepatan  linear  dan  percepatan linear) ? 

Dalam gerak melingkar, arah kecepatan linear dan percepatan linear selalu menyinggung lingkaran.  Karenanya, dalam gerak melingkar, kecepatan linear dikenal juga sebagai kecepatan tangensial dan  percepatan linear disebut juga sebagai percepatan tangensial. 

 

Hubungan

 

antara

 

Perpindahan

 

Linear

 

dengan

 

Perpindahan

 

sudut

 

Pada gerak melingkar, apabila sebuah benda berputar terhadap pusat/porosnya maka setiap bagian  benda tersebut bergerak dalam suatu lingkaran yang berpusat pada poros tersebut. Misalnya gerakan  roda yang berputar atau bumi yang berotasi. Ketika bumi berotasi, kita yang berada di permukaan bumi  juga ikut melakukan gerakan melingkar, di mana gerakan kita berpusat pada pusat bumi. Ketika kita  berputar terhadap pusat bumi, kita memiliki kecepatan linear, yang arahnya selalu menyinggung  lintasan rotasi bumi. Pemahaman konsep ini akan membantu kita dalam melihat hubungan antara 

perpindahan linear dengan perpindahan sudut. Bagaimana hubungan antara perpindahan linear dengan 

perpindahan sudut ? 

Perhatikanlah gambar di bawah ini. 

Ketika benda berputar terhadap poros O, titik A memiliki kecepatan linear (v) yang arahnya selalu  menyinggung lintasan lingkaran. 

Hubungan  antara  perpindahan  linear  titik  A  yang  menempuh  lintasan  lingkaran  sejauh  x  dan  perpindahan sudut teta (dalam satuan radian), dinyatakan sebagai berikut : 

r

x

=

θ

 

atau x=r

θ

 

r merupakan jarak titik A ke pusat lingkaran/jari‐jari lingkaran. 

 

 

Hubungan

 

antara

 

Kecepatan

 

Tangensial

 

dengan

 

Kecepatan

 

sudut

 

 

Besarnya kecepatan linear (v) benda yang menempuh lintasan lingkaran sejauh delta x dalam suatu  waktu dapat dinyatakan dengan persamaan : 

→

Δ

=

r

x

v

 

Persamaan 1  

Dengan  menggunakan  persamaan  yang  menyatakan  hubungan  antara  perpindahan  linear  dan  perpindahan sudut (x=r

θ

), kita dapat menurunkan hubungan antara besarnya perubahan posisi pada  lintasan dan besarnya perpindahan sudut... 

→ Δ =

Δx r

θ

 Persamaan 2  

Keterangan : Δx=perubahan posisi, r = jari‐jari lingkaran dan Δ

θ

=besarnya perpindahan sudut 

 

t

r

t

x

v

Δ

Δ

=

Δ

Δ

=

θ

 

Karena 

θ

=

ω

Δ

Δ

t

 maka kita bisa menurunkan persamaan yang menghubungkan kecepatan linear (v)  dengan kecepatan sudut (

ω

) 

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Δ

Δ

=

t

r

v

θ

 

ω

r

v =  

Keterangan : 

V = kecepatan linear, r = jari‐jari dan 

ω

 = kecepatan sudut   

Dari persamaan di atas tampak bahwa semakin besar nilai r (semakin jauh suatu titik dari pusat 

lingkaran), maka semakin besar kecepatan linearnya dan semakin kecil kecepatan sudutnya. 

 

Hubungan

 

antara

 

Percepatan

 

Tangensial

 

dengan

 

Percepatan

 

Sudut

 

Besarnya percepatan tangensial untuk perubahan kecepatan linear selama selang waktu tertentu dapat  kita nyatakan dengan persamaan : 

→

Δ

Δ

=

t

v

at

 

Persamaan 1  

Keterangan :   at = percepatan tangensial, Δv  

= perubahan kecepatan linear dan 

at

=

 

selang waktu  perubahan.  

Dengan  menggunakan  persamaan  yang  menyatakan  hubungan  antara  kecepatan  linear  dengan  kecepatan sudut (v =r

ω

), kita dapat menurunkan hubungan antara besarnya perubahan kecepatan  linear (Δv) dan besarnya perubahan kecepatan sudut (Δ

ω

), yakni : 

→ Δ =

Δv r

ω

 

Persamaan 1  

Sekarang kita subtitusikan nilai Δv pada persamaan 2 ke persamaan 1 : 

Karena 

ω

=

α

Δ

Δ

t

, maka kita dapat menurunkan hubungan antara percepatan tangensial (at) dengan  percepatan sudut (

α

) : 

t

r

a

_t

Δ

Δ

=

ω

 

α

r

a

_t

=

 

Keterangan :   at = percepatan tangensial, r = jarak ke pusat lingkaran (jari‐jari lingkaran) dan 

α

=  percepatan sudut.  

Berdasarkan persamaan ini, tampak bahwa semakin jauh suatu titik dari pusat lingkaran maka semakin  besar percepatan tangensialnya dan semakin kecil percepatan sudut. 

 

Semua persamaan yang telah diturunkan di atas kita tulis kembali pada tabel di bawah ini. 

Gerak lurus  Gerak melingkar  Hubungan antara gerak lurus   Besaran  Satuan SI  Besaran  Satuan SI  dengan gerak melingkar  x (jarak)  m 

θ

  Rad (radian)  x = r

θ

 

v (kecepatan)   m/s 

ω

Rad/s  v = r

ω

 

at  m/s2 

α

Rad/s2  at = r

α

 

  Catatan :  

Pada gerak melingkar, semua titik pada benda yang melakukan gerak melingkar memiliki perpindahan  sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut yang sama, tetapi besar perpindahan linear, kecepatan 

tangensial dan percepatan tangensial berbeda‐beda, bergantung pada besarnya jari‐jari (r) 

 

Contoh Soal 1 : 

Sebuah roda melakukan 900 putaran dalam waktu 30 detik. Berapakah kecepatan sudut rata‐ratanya  dalam satuan rad/s ? 

Panduan Jawaban : 

Selang waktu (

Δ

t

)

= 30 sekon  Dengan demikian, besarnya kecepatan sudut rata‐rata dari roda adalah : 

t

Δ

Δ

=

θ

ϖ

 

30

5652

=

ϖ

rad/s 

4

,

188

=

ϖ

rad/s   

Contoh Soal 2 : 

Sebuah CD yang memiliki jari‐jari 5 cm berputar melalui sudut 90o_{. Berapakah jarak yang ditempuh oleh}  sebuah titik yang terletak pada tepi CD tersebut ? 

Panduan Jawaban  

Terlebih dahulu kita ubah satuan derajat ke dalam radian (rad) : 

rad

rad

o o o

4

2

)

360

2

)(

90

(

90

π

π

θ

=

→

=

 

Jari‐jari CD (R) = 5 cm  

Setelah memperoleh data yang dibutuhkan, kita dapat menghitung jarak tempuh titik yang terletak di  tepi CD : 

θ

R x=

 

)

4

2

)(

5

(

cm

rad

x

=

π

Catatan :  

Lambang r digunakan untuk jari‐jari lintasan yang berbentuk lingkaran, sedangkan lambang R digunakan  untuk jari‐jari benda yang memiliki bentuk bundar alias lingkaran. 

 

Contoh Soal 3 : 

Sebuah roda sepeda motor berputar terhadap porosnya ketika sepeda motor tersebut bergerak. Sebuah  titik berada pada jarak 10 cm dari pusat roda, dan berputar dengan kecepatan sudut 5 rad/s dan  memiliki percepatan sudut sebesar 2 rad/s2_{. Berapakah kecepatan tangensial dan percepatan tangensial}  sebuah titik yang berjarak 5 cm dan 15 cm dari pusat roda sepeda motor tersebut ? 

Panduan Jawaban : 

Kecepatan sudut (

ω

) = 5 rad/s dan percepatan sudut (

α

) = 2 rad/s2 

a) Untuk r = 5 cm 

Kecepatan tangensial (v) = r

ω

 

= (5 cm)(5 rad/s) = 25 cm/s = 0,25 m/s 

Percepatan tangensial (at) = r

α

 

= (5 cm)(2 rad/s2_{) = 10 cm/s}2 _= 0,1 m/s   

b) Untuk r = 15 cm 

Kecepatan tangensial (v) = r

ω

 

= (15 cm)(5 rad/s) = 75 cm/s = 0,75 m/s 

Percepatan tangensial (at) = r

α

 

= (15 cm)(2 rad/s2_{) = 30 cm/s}2 _= 0,3 m/s   

 

 

 

 

Gerak

 

Melingkar

 

Beraturan

 

(GMB)

 

 

Ketika sebuah benda bergerak membentuk suatu lingkaran dengan laju tetap maka benda tersebut  dikatakan melakukan gerak melingkar beraturan alias GMB.  

Dapatkah kita mengatakan bahwa GMB merupakan gerakan yang memiliki kecepatan linear tetap ?  Misalnya sebuah benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan, seperti yang tampak pada gambar di  bawah. Arah putaran benda searah dengan putaran jarum jam. bagaimana dengan vektor kecepatannya  ? seperti yang terlihat pada gambar, arah kecepatan linear/tangensial di titik A, B dan C berbeda.  Dengan  demikian  kecepatan  pada  GMB  selalu  berubah  (ingat  perbedaan  antara  kelajuan  dan  kecepatan, kelajuan adalah besaran skalar sedangkan kecepatan adalah besaran vektor yang memiliki 

besar/nilai dan arah) sehingga kita tidak dapat mengatakan kecepatan linear pada GMB tetap.  

 

Pada gerak melingkar beraturan, besar kecepatan linear v tetap, karenanya besar kecepatan sudut juga  tetap. 

(kecepatan linear memiliki keterkaitan dengan kecepatan sudut yang dinyatakan dengan persamaan 

ω

r

v

=

, di mana kecepatan linear v sebanding dengan kecepatan sudut 

ω

). hmm…. yang dikatakan di  sini adalah besar, jadi arah tidak termasuk.  

Jika arah kecepatan linear/kecepatan tangensial selalu berubah, bagaimana dengan arah kecepatan  sudut ? arah kecepatan sudut sama dengan arah putaran partikel, untuk contoh di atas arah kecepatan  sudut searah dengan arah putaran jarum jam. Karena besar maupun arah kecepatan sudut tetap maka  besaran vektor yang tetap pada GMB adalah kecepatan sudut. Dengan demikian, kita bisa menyatakan  bahwa GMB merupakan gerak benda yang memiliki kecepatan sudut tetap.  

Pada GMB, kecepatan sudut selalu tetap (baik besar maupun arahnya). Karena kecepatan sudut tetap,  maka perubahan kecepatan sudut atau percepatan sudut bernilai nol. Percepatan sudut memiliki  hubungan dengan percepatan tangensial, sesuai dengan persamaan  

α

r

Karena percepatan sudut dalam GMB bernilai nol, maka percepatan linear juga bernilai nol. Jika  demikian, apakah tidak ada percepatan dalam Gerak Melingkar Beraturan (GMB) ? 

Pada GMB tidak ada komponen percepatan linear terhadap lintasan, karena jika ada maka lajunya akan  berubah. Karena percepatan linear/tangensial memiliki hubungan dengan percepatan sudut, maka  percepatan sudut juga tidak ada dalam GMB. Yang ada hanya percepatan yang tegak lurus terhadap  lintasan, yang menyebabkan arah kecepatan linear berubah‐ubah. Sekarang mari kita tinjau percepatan  ini. 

 

Percepatan

 

Sentripetal

 

 

Percepatan tangensial didefinisikan sebagai perbandingan perubahan kecepatan dengan selang waktu  yang sangat singkat, secara matematis dirumuskan sebagai berikut : 

t v t

v v a

Δ Δ = Δ

−

= 2 1 →

t

Δ sangat kecil/mendekati nol 

Selama selang waktu 

Δ

t

, P bergerak dari titik x1 ke x2 dengan menempuh jarak sejauh  Δx, yang  membentuk sudut 

θ

. Perubahan vektor kecepatan adalah v₂ −v₁ =Δv(Perhatikan gambar di bawah).  Jika kita tetapkan 

Δ

t

 sangat kecil (mendekati nol), maka Δx dan Δ

θ

 juga bernilai sangat kecil dan v2  akan nyaris sejajar dengan v1, sehingga Δv akan tegak lurus terhadap v1 dan v2. Dengan demikian arah 

v

Δ  menuju ke pusat lingkaran. Karena arah a sama dengan arah Δv, maka arah a juga harus menuju ke 

pusat lingkaran. Nah, percepatan jenis ini dinamakan percepatan sentripetal alias percepatan radial, 

dan kita beri lambang aR. Disebut percepatan sentripetal karena selalu “mencari pusat lingkaran”, 

 

Sekarang kita turunkan persamaan untuk menentukan besar percepatan sentripetal alias percepatan  radial (aR) 

Berdasarkan gambar di atas, tampak bahwa O x1  tegak lurus terhadap v1 dan O x2  tegak lurus terhadap  v2. Dengan demikian

θ

 yang merupakan sudut antara O x1  dan O x2, juga merupakan sudut antara v1 dan 

v2. Dengan demikian, vektor v1, v2 dan Δv (lihat gambar di bawah) membentuk segitiga yang sama 

secara geometris dengan segitiga O x1 x2 pada gambar di atas. 

 

Dengan menganggap Δt sangat kecil, sehingga besar Δ

θ

 juga sangat kecil, kita dapat merumuskan : 

r

x

v

v

≈

Δ

Δ

 

Kita tulis semua kecepatan dengan v karena pada GMB kecepatan tangensial benda sama (v1 = v2 = v).  Karena kita hendak merumuskan persamaan percepatan sesaat, di mana Δtmendekati nol, maka kita  dapat menyatakan rumusan di atas menjadi persamaan dan dinyatakan dalam Δv 

x

r

v

v

=

Δ

Δ

 

Untuk memperoleh persamaan percepatan sentripetal, aR, kita bagi Δv dengan Δt, di mana : 

t

x

r

v

t

v

aR

Δ

Δ

=

Δ

Δ

=

 

Karena 

v

t

x

=

Δ

Δ

r

v

aR

2

=

→ Persamaan percepatan sentripetal 

 

Benda yang melakukan gerakan dengan lintasan berbentuk lingkaran dengan radius/jari‐jari (r) dan laju  tangensial tetap (v) mempunyai percepatan yang arahnya menuju pusat lingkaran dan besarnya adalah 

r

v

aR

2

=

.  

Berdasarkan persamaan percepatan sentripetal tersebut, tampak bahwa nilai percepatan sentripetal  bergantung  pada  kecepatan tangensial  dan radius/jari‐jari lintasan  (lingkaran). Dengan demikian,  semakin cepat laju gerakan melingkar, semakin cepat terjadi perubahan arah dan semakin besar radius,  semakin lambat terjadi perubahan arah. 

Arah vektor percepatan sentripetal selalu menuju ke pusat lingkaran, tetapi vektor kecepatan linear  menuju arah gerak benda secara alami (lurus), sedangkan arah kecepatan sudut searah dengan putaran  benda. Dengan demikian, vektor percepatan sentripetal dan kecepatan tangensial saling tegak lurus  atau dengan kata lain pada Gerak Melingkar Beraturan arah percepatan dan kecepatan linear/tangensial  tidak sama. Demikian juga arah percepatan sentripetal dan kecepatan sudut tidak sama karena arah  percepatan sentripetal selalu menuju ke dalam/pusat lingkaran sedangkan arah kecepatan sudut sesuai  dengan arah putaran benda (untuk kasus di atas searah dengan putaran jarum jam). 

Kita dapat menyimpulkan bahwa dalam Gerak Melingkar Beraturan : 

1. besar kecepatan linear/kecepatan tangensial adalah tetap, tetapi arah kecepatan linear selalu  berubah setiap saat 

2. kecepatan sudut (baik besar maupun arah) selalu tetap setiap saat 

3. percepatan sudut maupun percepatan tangensial bernilai nol 

4. dalam GMB hanya ada percepatan sentripetal 

 

Periode

 

dan

 

Frekuensi

 

Gerak melingkar sering dijelaskan dalam frekuensi (f) sebagai jumlah putaran per detik. Periode (T) dari  benda yang melakukan gerakan melingkar adalah waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu  putaran. Hubungan antara frekuensi dengan periode dinyatakan dengan persamaan di bawah ini : 

f

T

=

1

 

Dalam satu putaran, benda menempuh lintasan linear sepanjang satu keliling lingkaran (2

π

r), di mana r  merupakan jarak tepi lingkaran dengan pusat lingkaran. Kecepatan linear merupakan perbandingan  antara panjang lintasan linear yang ditempuh benda dengan selang waktu tempuh. Secara matematis  dirumuskan sebagai berikut : 

Kecepatan linear 

uTempuh

SelangWakt

asanLinear

PanjangL

int

=

 

T

r

v

=

2

π

 

Karena 

f

T

=

1

 maka persamaan kecepatan linear dapat ditulis menjadi : 

π

2

=

v

r

 

f

 

Selang waktu yang diperlukan benda untuk menempuh satu putaran adalah T. Besar sudut dalam satu  putaran = 360o ₍₃₆₀o _= 2

π

_{). Kecepatan sudut merupakan perbandingan antara besar perpindahan sudut}  yang ditempuh dengan selang waktu tempuh, secara matematis ditulis : 

Kecepatan sudut 

uTempuh

SelangWakt

uh

YangDitemp

BesarSudut

=

 

T

π

ω

=

2

 

 

Karena 

f

T

=

1

, maka persamaan kecepatan sudut dapat ditulis menjadi : 

Untuk menurunkan persamaan yang menyatakan hubungan antara kecepatan tangensial (v) dengan  kecepatan sudut (

ω

), kita subtitusikan persamaan 

ω

=2

π

f

  

 ke dalam persamaan v=2

π

r

 

f

 

:

 

rf

v

=

2

π

= 

r

(

2

π

f

)

 

ω

r

v=  

 

Sekarang kita tulis kembali persamaan GMB yang telah kita turunkan di atas : 

Persamaan yang menyatakan hubungan antara setiap besaran dalam GMB 

Persamaan  Satuan  Persamaan  Satuan 

f

T

=

1

  Sekon (s) 

T

f

=

1

  Hertz (Hz) 

T

r

v

=

2

π

  Meter per sekon (m/s) 

v

=

2

π

rf

  Meter per sekon (m/s) 

T

π

ω

=

2

  Radian per sekon (rad/s) 

ω

=

2

π

f

  Radian per sekon (rad/s) 

ω

r

v=

r

v

a

_r

2

=

   

 

Persamaan

 

fungsi

 

Gerak

 

Melingkar

 

Beraturan

 

(GMB)

 

 

Pada Gerak Melingkar Beraturan, kecepatan sudut selalu tetap (baik besar maupun arahnya), di mana  kecepatan sudut awal sama dengan kecepatan sudut akhir. Karena selalu sama, maka kecepatan sudut  sesaat sama dengan kecepatan sudut rata‐rata.  

Kita telah mengetahui bahwa kecepatan sudut rata‐rata dirumuskan sebagai 

t

Δ

Δ

=

θ

ω

→Δ

θ

=

ω

Δt 

Misalnya kita tentukan waktu awal adalah to = 0 dan posisi sudut awal adalah 

θ

o, sehingga berlaku  persamaan : 

t

Δ =

Δ

θ

ω

 

)

(

_o

o

=

t

−

t

−

θ

ω

t

o

ω

θ

θ

−

=

 

t

o

ω

θ

θ

=

+

→persamaan ini menyatakan hubungan antara perpindahan sudut, kecepatan sudut dan 

waktu tempuh.   

Contoh Soal 1 : 

Sebuah bola bermassa 200 gram diikat pada ujung sebuah tali dan diputar dengan kelajuan tetap  sehingga gerakan bola tersebut membentuk lingkaran horisontal dengan radius 0,2 meter. Jika bola  menempuh 10 putaran dalam 5 detik, berapakah percepatan sentripetalnya ? 

 

Panduan Jawaban : 

Percepatan sentripetal dirumuskan dengan persamaan 

r

v

a

r 2

=

.   Karena laju putaran bola belum diketahui, maka terlebih dahulu kita tentukan laju bola (v). Apabila bola  menempuh 10 putaran dalam 5 detik maka satu putaran ditempuh dalam 2 detik, di mana ini  merupakan periode putaran (T). Jarak lintasan yang ditempuh benda adalah keliling lingkaran = 2

π

r, di  mana r = jari‐jari/radius lingkaran. Dengan demikian, laju bola : 

s

m

s

m

T

r

v

0

,

6

/

2

)

2

,

0

)(

14

,

3

(

2

2

=

=

=

π

  Percepatan sentripetal bola :  2 2 2 / 18 , 0 2 , 0 ) 6 , 0 ( s m m r v

a_r = = =  

 

Contoh Soal 2 : 

Satu kali mengorbit bumi, bulan memerlukan waktu 27,3 hari. Jika keliling bumi mempunyai radius  sekitar 384.000 km, berapakah percepatan bulan terhadap bumi ? (Dalam GMB hanya ada percepatan  sentripetal,  sehingga  jika  ditanyakan  percepatan,  maka  yang  dimaksudkan  adalah  percepatan  sentripetal) 

 

Panduan Jawaban : 

Ketika mengorbit bumi satu kali, bulan menempuh jarak 2

π

r, di mana r = 3,84 x 108 meter merupakan  radius jalur lintasannya (lingkaran). Periode T dalam satuan sekon adalah T = (27,3 hari)(24 jam)(3600  s/jam) = 2,36 x 106 _{s. Dengan demikian, percepatan sentripetal bulan terhadap bumi adalah :} 

[

]

2 3 2

8 2 6 2 8 2 2 2 / 10 72 , 2 / 00272 , 0 ) 10 84 , 3 ( ) 10 36 , 2 ( ) 10 84 , 3 )( 14 , 3 ( 2 ) 2 ( s m x s m m x s x m x r T r r v ar − = = = = =

π

 

Contoh Soal 3 : 

Valentino Rosi mengendarai motornya melewati suatu tikungan yang berbentuk setengah lingkaran  yang memiliki radius 20 meter. Jika laju sepeda motor 20 m/s, berapakah percepatan sepeda motor (dan  The Doctor)  ?  

Panduan Jawaban : 

Percepatan sentripetal sepeda motor + The Doctor adalah : 

  2 2 2

/

20

20

)

/

20

(

s

m

m

s

m

r

v

a

_r

=

=

=

 

Gaya Sentripetal 

Setiap benda yang bergerak membentuk lintasan lingkaran harus tetap diberikan gaya agar benda  tersebut terus berputar. Anda dapat membuktikannya dengan mengikat sebuah benda (sebaiknya 

berbentuk bulat atau segiempat) pada salah satu ujung tali. Setelah itu putarlah tali tersebut, sehingga 

benda tersebut ikut berputar. Jika anda menghentikan putaran, maka bola tersebut perlahan‐lahan  berhenti. Hal dikarenakan tidak ada gaya yang diberikan. Agar bola tetap berputar maka harus diberikan  gaya secara terus menerus, yang dalam hal ini adalah tangan anda yang memutar tali.  

 

Besarnya gaya tersebut, dapat dihitung dengan Hukum II Newton untuk komponen radial :  

r

v

m

ma

F

ma

F

_{R r}

2

=

=

∑

→

=

∑

 

ar adalah percepatan sentripetal (percepatan radial) yang arahnya menuju pusat lingkaran. Persamaan 

di atas menunjukan hubungan antara gaya dan percepatan sentripetal. Karena gaya memiliki hubungan  dengan percepatan sentripetal, maka arah gaya total yang diberikan harus menuju ke pusat lingkaran.  Jika tidak ada gaya total yang diberikan (yang arahnya menuju pusat lingkaran) maka benda tersebut  akan  bergerak  lurus  alias  bergerak  keluar  dari  lingkaran.  Anda  dapat  membuktikannya  dengan  melepaskan tali dari tangan anda. Untuk menarik sebuah benda dari jalur “normal”‐nya, diperlukan gaya  total ke samping. Karena arah percepatan sentripetal selalu menuju pusat lingkaran, maka gaya total ke  samping tersebut harus selalu diarahkan menuju pusat lingkaran. Gaya ini disebut gaya sentripetal 

(sentripetal = ”menuju ke pusat”). Istilah ini hanya menjelaskan gaya total (bukan jenis gaya baru), di  mana gaya total diarahkan menuju pusat lingkaran. Gaya sentripetal harus diberikan oleh benda lain.  misalnya, ketika kita memutar bola yang terikat pada salah satu ujung tali, kita menarik tali tersebut dan  tali memberikan gaya pada bola sehingga bola berputar.  

Percepatan  sentripetal  (arad)  dapat  dinyatakan  dalam  periode  T  (waktu  yang  dibutuhkan  untuk  melakukan putaran).  

r

v

a

2

Hubungan antara periode dan kecepatan linear dalam GMB dinyatakan pada persamaan berikut : 

T

r

v

=

2

π

 

Sekarang kita masukan nilai v ke dalam persamaan percepatan sentripetal : 

r

T

r

a

_rad

2

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

π

 

2 2

4

T

r

a

_rsd

=

π

 

   

Sekarang mari kita tinjau gaya sentripetal pada beberapa jenis Gerak Melingkar Beraturan : 

 

Benda

 

yang

 

berputar

 

horisontal

 

Misalnya kita tinjau sebuah benda yang diputar menggunakan tali pada bidang horisontal, sebagaimana  tampak pada gambar di bawah : 

 

Amati bahwa pada benda tersebut bekerja gaya berat (mg) yang arahnya ke bawah dan gaya tegangan  tali (FT) yang bekerja horisontal. Tegangan tali timbul karena kita memberikan gaya tarik pada tali ketika  memutar benda (ingat kembali penjelasan di atas). Gaya tegangan tali ini berfungsi untuk memberikan  percepatan sentripetal. Berpedoman pada koordinat bidang xy, kita tetapkan komponen horisontal  sebagai sumbu x. Dengan demikian, berdasarkan hukum II Newton, kita dapat menurunkan persamaan  gaya sentripetal untuk benda yang berputar horisontal : 

x x

ma

F

=

Σ

  

v

m

F

2

=

Benda

 

yang

 

berputar

 

vertikal

 

Misalnya kita tinjau sebuah benda yang diputar menggunakan tali pada bidang vertikal, sebagaimana  tampak pada gambar di bawah : 

   

Ketika benda berada di titik A, pada benda bekerja gaya berat (mg) dan gaya tegangan tali (FTA) yang  arahnya ke bawah (menuju pusat lingkaran). Kedua gaya ini memberikan percepatan sentripetal pada  benda. Ketika benda berada pada titik A’, pada benda bekerja gaya berat yang arahnya ke bawah dan  gaya tegangan tali (FTA’) yang arahnya ke atas (menuju pusat lingkaran).  

 

Menggunakan hukum II Newton, kita dapat menurunkan persamaan gaya sentripetal untuk benda yang  berputar vertikal. Terlebih dahulu kita tetapkan arah menuju ke pusat sebagai arah positif.  

 

Gaya Sentripetal di titik A 

Terlebih dahulu kita tinjau komponen gaya yang bekerja ketika benda berada di titik A. Ketika berada  pada titik A, hubungan antara gaya sentripetal, gaya berat, massa benda, jari‐jari dan percepatan  sentripetal dinyatakan dengan persamaan di bawah ini : 

ma

F

=

∑

 

s s

ma

F

=

∑

 

r

v

m

mg

F

_TA A

2

=

Keterangan :  

FTA = gaya tegangan tali di titik A, Fs = gaya sentripetal, as = percepatan sentripetal, vA = kecepatan gerak  benda di titik A, r = jari‐jari lingkaran (panjang tali) 

Berdasarkan persamaan 1 di atas, tampak bahwa ketika benda berada di titik A (puncak lintasan), benda  masih bisa berputar walaupun tidak ada gaya tegangan tali yang bekerja pada benda tersebut. Untuk  membuktikan hal ini, mari kita obok‐obok persamaan di atas : 

Jika FTA = 0, maka persamaan di atas akan menjadi : 

r

v

m

mg

A

2

0

+

=

 

r

v

m

mg

A

2

=

 

r

v

g

A

2

=

 

gr

v

_A2

=

 

gr

v_A = →persamaan 2 

Jadi ketika berada di titik A, benda tersebut masih bisa berputar dengan kecepatan linear vA, meskipun  tidak ada gaya tegangan tali (Gaya tegangan tali pada kasus ini = gaya sentripetal). Besar kecepatan  dinyatakan pada persamaan 2. Karena percepatan gravitasi (g) tetap maka besar kecepatan linear  bergantung pada  jari‐jari lingkaran / panjang tali).  Semakin panjang tali  (semakin  besar jari‐jari 

lingkaran), semakin besar laju linear benda. 

 

Gaya Sentripetal di titik A’ 

Sekarang kita tinjau gaya sentripetal apabila benda berada di titik A’. 

Ketika benda berada di titik A’, pada benda bekerja gaya berat (mg) yang arahnya ke bawah dan gaya  tegangan  tali  (FTA’) yang  arahnya  ke  atas. Menggunakan  hukum II Newton,  mari  kita  turunkan  persamaan yang menyatakan hubungan antara gaya sentripetal, gaya berat, massa benda, jari‐jari dan  percepatan sentripetal : 

s s

ma

F

=

r v m mg

F_TA A

2 '

' − =  

mg r

v m

FTA = A +

2 '

'  

Berdasarkan persamaan, tampak bahwa ketika berada di titik A’, besar gaya sentripetal (dalam kasus ini 

gaya sentripetal = gaya tegangan tali) lebih besar dibandingkan dengan ketika benda berada di titik A. 

Dengan demikian, ketika benda berada di titik A’ kita harus memberikan gaya putar yang lebih besar  untuk mengimbangi gaya berat benda.  

Anda dapat melakukan percobaan untuk membuktikan hal ini. Ikatlah sebuah benda pada salah satu  ujung tali dan putar benda tersebut secara vertikal. Ketika benda berada di lembah lintasan (A’), anda  akan merasakan efek tarikan gaya berat yang lebih besar dibandingkan ketika benda berada di puncak  lintasan (A). Agar benda tetap berputar, gaya yang anda berikan harus lebih besar untuk mengimbangi  gaya berat benda yang arahnya ke bawah.  

Salah satu contoh gerak melingkar vertikal yang dapat kita temui dalam kehidupan sehari‐hari adalah  wahana putar. Pada dasarnya, komponen gaya sentripetal yang bekerja pada wahana putar sama  dengan penjelasan gurumuda di atas. Bedanya, gaya sentripetal pada penjelasan di atas adalah gaya  tegangan tali.  

   

Kendaraan

 

yang

 

melewati

 

tikungan

 

Salah satu penerapan fisika dalam kehidupan kita, berkaitan dengan percepatan sentripetal adalah  ketika kendaraan melewati tikungan. Pada kesempatan ini kita akan meninjau gaya sentripetal yang  menyebabkan kendaraan dapat melewati tikungan. Pembahasan ini lebih berkaitan dengan gerakan  mobil, atau kendaraan sejenis lainnya (truk, bus dkk). Kita tidak meninjau sepeda motor karena  analisisnya sangat kompleks (mengapa kompleks alias ribet  ? ayo... berpikirlah. Sering nonton GP khan  ?).  

 

Tikungan rata 

Terlebih dahulu kita bahas tikungan yang permukaan jalannya rata. Ketika melewati tikungan yang rata,  setiap mobil memiliki gaya sentripetal yang arahnya menuju pusat lintasan lingkaran (amati gambar di 

bawah). Gaya sentripetal tersebut bersumber dari gaya gesekan antara ban dengan permukaan jalan. 

anggap saja ini pr dari gurumuda untuk anda. Gunakan pengetahuan anda tentang gaya gesekan untuk  menyelesaikan pr dari gurumuda ini... oke, kembali ke laptop, eh tikungan. 

 

Cermati gambar di atas. Ketika mobil melewati tikungan dengan kecepatan (v), jalan memberikan gaya  ke dalam (gesekan terhadap ban) dan membuat mobil tersebut bergerak melingkar. Arah gaya gesekan  (Fges) menuju pusat lingkaran, seperti yang diperlihatkan pada gambar di atas. gaya gesekan inilah yang  berperan sebagai gaya sentripetal. Sebenarnya penjelasan ini dapat anda pahami dengan mudah.  Bayangkanlah, apa yang terjadi ketika anda mengendarai mobil pada tikungan yang sangat licin (anggap  saja sedang hujan dan permukaan luar roda mobil anda sudah gundul) ? bisa ditebak, anda akan digiring  ambulans menuju rumah sakit...  mengapa ? ketika tidak ada gaya gesekan statis, ban mobil anda akan  selip dan keluar dari lintasan lingkaran... dengan kata lain, pada mobil anda tidak bekerja gaya  sentripetal. Jadi berhati‐hatilah ketika melewati tikungan, apalagi tikungan tajam...  

Sekarang mari kita turunkan persamaan yang menyatakan hubungan antara gaya sentripetal (dalam  kasus ini gaya sentripetal adalah gaya gesekan) dengan percepatan, jari‐jari lintasan lingkaran dan  massa benda... 

Berdasarkan hukum II Newton, gaya total yang bekerja pada mobil ketika melewati tikungan adalah : 

ma

F

=

∑

 

Karena pada kasus ini, gaya total adalah gaya gesekan dan percepatan = percepatan sentripetal, maka  kita tulis kembali persamaan di atas, menjadi : 

R R ma

F =

∑  

r

v

m

F

R

2

=

∑

 

 

Besar gaya gesekan dapat dihitung dengan persamaan : 

N

maks

Fges

)

=

μ

_s

(

 

Fges = gaya gesekan maksimum, 

μ

_s= koofisien gesekan statis maksimum dan N = gaya normal (N = w =  mg). w = gaya berat.  

 

Gaya

 

sentrifugal

 

=

  

?

 

Ketika kita memutar bola, kita merasa bahwa seolah‐olah ada gaya yang menarik tangan kita keluar. Hal  ini seringkali diartikan secara keliru, bahwa ada gaya yang bekerja “menjahui pusat”. Kesalahpahaman  yang terjadi menggambarkan bahwa benda yang bergerak melingkar mempunyai gaya ke luar yang  bekerja padanya, yang disebut gaya sentrifugal (menjahui pusat). Kenyataan yang terjadi bukan seperti  itu. Untuk mempertahankan gerak bola, tangan kita menarik tali ke dalam, yang memberikan gaya pada 

bola  untuk  bergerak  melingkar  karena  ada  gaya  ke  dalam  alias  menuju  pusat  lingkaran.  Bola  memberikan gaya yang sama tetapi berlawanan arah (ingat hukum III Newton : ada aksi maka ada  reaksi, dan besarnya gaya aksi dan reaksi sama tetapi berlawanan arah). Hal ini yang kita rasakan  seperti ada tarikan ke luar, tetapi itu bukan gaya sentrifugal, tetapi gaya reaksi yang diberikan oleh bola  yang arahnya keluar melawan gaya aksi yang kita berikan kepada bola yang arahnya ke dalam / ke pusat  lingkaran. Dengan demikian, tidak ada gaya sentrifugal yang bekerja pada bola. 

 

Untuk membuktikan bahwa tidak ada gaya sentrifugal, bayangkanlah apa yang terjadi ketika kita  melepaskan tali. Anda juga dapat membuktikan dengan melakukan percobaan di atas (memutar tali  yang salah satu ujungnya diikatkan bola)  

Jika ada gaya sentrifugal maka ketika tali dilepaskan, bola akan melayang seperti pada gambar a.  kenyataan yang terjadi, ketika tali dilepaskan bola melayang seperti gambar b. 

 

   

Catatan : 

Referensi : 

 

Giancoli, Douglas C., 2001, Fisika Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga  Halliday dan Resnick, 1991, Fisika Jilid I (terjemahan),  Jakarta : Penerbit Erlangga 

Tipler, P.A.,1998, Fisika untuk Sains dan Teknik–Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penebit Erlangga 

Young, Hugh D. & Freedman, Roger A., 2002, Fisika Universitas (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga