Relasi dan Fungsi Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

(1)

Tahun Ajaran 2013/2014

Relasi dan Fungsi

Matematika Diskret (TKE132107)

Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

(2)

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

Hubungan antara elemen himpunan

dengan elemen himpunan lain.

(15)

(16)

(17)

Struktur diskret digunakan untuk

merepresentasikan obyek-obyek

(18)

(19)

Matriks adalah susunan skalar

elemen-elemen dalam baris dan kolom.

(20)

(21)

(22)

(23)

Matriks-Matriks Khusus

● Matriks diagonal.

● Matriks identitas.

● Matriks segitiga atas/bawah.

● Matriks transpos.

● Matriks setangkup.

● Matriks 0/1.

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

Sifat-sifat operasi perkalian matriks.

(30)

(31)

(32)

(33)

Jika terdapat 2 himpunan, kita dapat

me-nyatakan hubungan di antara keduanya.

(34)

Pasangan terurut.

(35)

Himpunan yang elemennya semua pasangan

terurut yang (mungkin) dibentuk dari anggota

pertama dari himpunan A dan anggota kedua

dari himpunan B.

(36)

(37)

(38)

Relasi biner R antara himpunan A dan B

adalah himpunan bagian dari A x B.

(39)

(40)

Jika (a,b)

_{∈ R, kita gunakan a R b.}

(41)

Jika (a,b)

_{∉ R, kita gunakan a R b.}

(42)

(43)

(44)

(5) D adalah himpunan mahasiswa dan

E adalah himpunan mata kuliah. D =

{Badu, Almi, Magi}, dan E =

{Matematika Diskret, Teknik Digital}.

Berapa jumlah perkalian kartesian

antara D dan E? Sebutkan

(45)

(46)

(47)

Jika R adalah relasi yang menyatakan mata

kuliah yang diambil pada semester ganjil.

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(6) Ada dua buah himpunan A dan B. A

= {5, 9, 11, 21} dan B = {5, 15, 21,

22, 81}. Jika kita definisikan relasi R

dari A ke B dengan:

(a,b)

_{∈ R jika a habis membagi b.}

Tentukan relasi R dan gambarkan!

(54)

(55)

Gambar 2 cakram dan tuliskan elemen

A dan B pada masing-masing cakram.

(56)

Jika (a,b)

_{∈ R, gambarkan panah dari}

a ke b yang menyatakan a mempunyai

(57)

(58)

Relasi yang didefinisikan hanya

pada sebuah himpunan saja.

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

Setiap elemen himpunan dinyatakan dengan

titik, atau disebut sebagai simpul atau vertex.

(65)

Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur

(arc) yang arahnya ditunjukkan dengan panah.

(66)

Jika (a,b)

_{∈ R, maka sebuah busur}

dibuat dari simpul a ke simpul b.

(67)

(68)

Pasangan terurut (a,a) dinyatakan dengan

busur dari simpul a ke simpul a sendiri.

(69)

(70)

(71)

(72)

Relasi biner merupakan

(73)

Operasi himpunan dapat diterapkan.

(74)

(75)

(7) A = {a,b,c} dan B = {a,b,c,d}. Relasi

R1 = {(a,a),(b,b),(c,c)} dan relasi R2

= {(a,a),(a,b),(a,c),(a,d)} adalah

relasi dari A ke B.

Tentukan R1

_{∩ R2, R1 ∪ R2, R1 –}

R2, R2 – R1, R1

_{⊕ R2!}

(76)

(77)

(78)

(8) R = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)}

adalah relasi dari himpunan {1,2,3}

ke himpunan {2,4,6,8} dan S =

{(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah

relasi dari himpunan {2,4,6,8} ke

himpunan {s,t,u}.

(79)

Tulis “komponen pertama” dari relasi

pertama, kemudian tulis “komponen

(80)

(81)

(82)

Berapa lama waktu yang dibutuhkan

komputer untuk mengeksekusi

(83)

(84)

Terdapat hubungan antara ukuran

(85)

Kebutuhan waktu adalah

(86)

Relasi biner f dari A ke B merupakan fungsi

jika setiap elemen di dalam A dihubungkan

(87)

f : A

_{→ B}

(88)

(89)

f(a) = b, jika elemen a di dalam A dihubungkan

dengan elemen b di dalam B.

(90)

(91)

(92)

(93)

(94)

Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan

f disebut dengan jelajah (range) dari f.

(95)

(9) Apa perbedaan antara relasi dan

fungsi? Jelaskan!

(96)

(97)

Dengan cakupan:

1) tiap elemen di dalam himpunan A harus dipakai

oleh prosedur yang mendefinisikan f,

2) terdapat implikasi “dihubungkan tepat satu

(98)

Contoh Bentuk Fungsi

● Himpunan pasangan terurut.

● Fungsi adalah relasi.

● Formula pengisian nilai.

● f(x) = 4x + 3.

● Kata-kata.

● f adalah fungsi pada blabla..

● Kode sumber program

(99)

(10) Relasi f = {(1,u),(2,v),(3,w)} dari A =

{1,2,3} ke B = {u,v,w} adalah fungsi

dari A ke B.

a) Tentukan f(1), f(2), dan f(3)!

b) Sebutkan daerah asal, daerah

hasil, dan jelajah dari f!

(100)

(11) A adalah himpunan mahasiswa di Unsoed.

Mana dari pemetaan berikut yang

mendefinisikan fungsi pada himpunan A?

a) setiap mahasiswa memetakan NIM

b) setiap mahasiswa memetakan plat nomor

c) setiap mahasiswa memetakan istrinya

d) setiap mahasiswa memetakan kosnya

e) setiap mahasiswa memetakan dosen

walinya

f) setiap mahasiswa memetakan dosen

favorit

(101)

Fungsi satu-ke-satu (injektif), fungsi pada

(surjektif), fungsi berkoresponden

(102)

(103)

(104)

(105)

Misal g adalah fungsi dari himpunan A ke

himpunan B, dan f adalah fungsi B ke

himpunan C.

Komposisi f dan g dinotasikan dengan f

_{○ g,}

adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan

oleh (f

_{○ g)(a) = f(g(a)).}

(106)

f

_{○ g adalah fungsi yang}

(107)

(12) Diberikan fungsi g = {(1,u),(2,u),

(3,v)} yang memetakan A = {1,2,3}

ke B = {u,v,w}, dan fungsi f = {(u,y},

(v,x),(w,z)} yang memetakan B =

{u,v,w} ke C = {x,y,z}.

(108)