Matematika Lanjut 2 SISTIM INFORMASI FENI ANDRIANI

(1)

Matematika Lanjut 2

SISTIM INFORMASI

FENI ANDRIANI

(2)

2

(3)

3

Metode Biseksi

• Fungsi kontinu pada [a,b]

• Akarnya x = p & p



[a,b]

• Untuk setiap iterasi akan membagi 2 interval yang

memuat x = p dan berhenti bila mencapai suatu

bilangan yang berada dalam toleransi (ditetapkan)

• Hanya ada 1 akar dalam [X

₀

,X

₁

] maka f(X

₀

)*f(X

₁

)



0

(4)

4

Metode Biseksi

(lanjutan)

• Bila f(X₀)*f(X₂)  0 maka akar p  [X₀,X₂]

• Ulangi iterasi pada interval [X₀,X₁] yang baru (dalam hal ini [X₀,X₂])

• Pada kasus lainnya, yakni bila f(X₀)*f(X₂) > 0, maka akar p  [X₂,X₁]

• Ulangi iterasi pada interval [X₀,X₁] yang baru (dalam hal ini [X₂,X₁])

(5)

5

Metode Biseksi

(lanjutan)

• Setelah dilakukan n kali iterasi biseksi, akan diperoleh interval yang lebarnya (½)n_(X

1 – X0)

• Bila (½)n_(X

1 – X0)<t maka akarnya berselisih kurang dari t

(6)

6

Metode Biseksi

(lanjutan)

• Bila diinginkan toleransi kesalahan lebih kecil dari t, maka diperlukan paling sedikit 2_log(X

1 – X0) iterasi biseksi, kecuali

(7)

7

Algoritma Biseksi (1)

INPUT

X

₀

,X

₁

,F(X),T

WHILE

[(X

₁

– X

₀

)



T

OR

F(X

₀

)*F(X

₁

)



0]

DO

X

₂

= (X

₀

+ X

₁

)/2

IF

F(X

₀

)*F(X

₂

) >0

THEN

X

₀

= X

₂

ELSE

X

₁

= X

₂

ENDIF

ENDWHILE

(8)

8 IF F(X₀)=0 THEN OUTPUT (X₀) ELSE IF F(X₁) = 0 THEN OUTPUT (X₁) ELSE OUTPUT (X₂) ENDIF

Algoritma Biseksi (2)

(9)

9

KEUNTUNGAN BISEKSI

• Selalu berhasil menemukan akar

(solusi) yang dicari, atau dengan

(10)

10

KELEMAHAN BISEKSI

• Bekerja

sangat lambat

. Tidak

memandang bahwa sebenarnya

akar atau solusi yang dicari telah

berada dekat sekali dengan X

₀

(11)

11

METODE REGULA FALSI

• Salah satu alternatif untuk mempercepat perhitungan akar (solusi).

• Tetapkan interval awal [X₀ ,X₁] yang memuat akar (solusi).

• Hitung X₂ (yang merupakan titik ujung interval baru) : titik potong garis lurus dari titik [X₀,f(X₀)] ke titik [X₁,f(X₁)] dengan sumbu X.

(12)

12

METODE REGULA FALSI

• Persamaan garis lurus melalui titik

[X

₀

,f(X

₀

)] dan [X

₁

,f(X

₁

)], yaitu :

)

(

)

(

)

(

0

1

0

1

0 x

f

x

f

x

f

y

x







(13)

13

METODE REGULA FALSI

• Garis tersebut berpotongan dengan sumbu X



Y = 0 dengan titik absisnya yaitu X

₂

,

sehingga diperoleh :

)

(

)

(

)

(

)

(

1

0

1

0

1

0

2 f

x

f

x

f

x





(14)

14

METODE REGULA FALSI

• Penetapan interval baru:

bila F(X

₀

)*F(X

₂

) <0 maka intervalnya

menjadi

[X

₀

, X

₂

]

bila F(X

₀

)*F(X

₂

) >0 maka intervalnya

(15)

15

Metode Regula Falsi

• Pengulangan/iterasi mencari X2 dan interval baru dilakukan berdasarkan nilai toleransi atau bila akarnya belum ditemukan

• Sebaiknya nilai toleransi secara relatif mengacu pada : error aproksimasi

(16)

16

ALGORITMA REGULA FALSI

INPUT X₀,X₁,T,F(X), MAX I=0; FOUND = false

REPEAT I=I+1

X₂ = X₁ -(X₁ - X₀)*F(X₁)/(F(X₁)-F(X₀)) IF F(X₀)*F(X₂)<0 THEN

(17)

17

ALGORITMA REGULA FALSI

ELSE X₀ = X₂ ENDIF IF (|(X₂ - X₁)/ X₁|T OR I=MAX) THEN FOUND=true ENDIF UNTIL (FOUND=true) OUTPUT (X₂)

(18)

18

KELEMAHAN REGULA FALSI

• Hanya salah satu titik ujung interval (X₀ atau X₁) yang bergerak menuju akar dan yang lainnya selalu tetap untuk setiap iterasi.

• Sehingga mungkin [X₀, X₁] masih cukup besar jaraknya bila menggunakan batas | X₁ - X₀|  T padahal X₀  X₂ atau X₁ X₂

(19)

19

KELEMAHAN Regula falsi

hal tersebut dikenal dengan pendekatan error

mutlak.



diperbaiki dengan pendekatan Error relatif :

T

x

T

x



_



_

0 2 0 1 2 1

atau

(20)

20

Metode Sekan

• Disebut juga Metode Interpolasi Linear

• Dalam prosesnya tidak dilakukan penjepitan akar

atau dpl.

[X

₀

, X

₁

] tidak harus mengandung akar yang akan

dicari.

• Sehingga f(x

₀

) dan f(x

₁

) bisa bertanda sama

• Untuk mencari X

₂

, sama dengan metode

(21)

21

Metode Sekan

(lanjutan)

• Untuk iterasi berikutnya akan diperoleh interval

baru [X

₀

, X

₁

] dengan cara pergeseran: X

₀

 X

₁

,

X

₁

 X

₂

• Iterasi berlangsung sampai batas maksimum

(Max.) atau sampai dipenuhinya batas Toleransi

(T):

| (X

₁

- X

₂

)/ X

₁

|≤ T

--- |

\/ Nilai kesalahan relatif

(22)

22

Metode Sekan

(lanjutan)

• Proses Pencapaian Akar (Mtd. SEKAN)

(23)

23

Algoritma Sekan

• INPUT

X₀, X₁, T, Max, F(x) • i = 0 • Found = false • REPEAT

i = i + 1

X

₂

= X

₁

– (X

₁

– X

₀

)*F(X

₁

)/(F(X

₁

) – F(X

₀

))

X

₀

= X

₁

X

₁

= X

₂

(24)

24

Algoritma Sekan

(lanjutan)

IF | (X

₀

- X

₁

)/ X

₀

|≤ T OR

i = Max THEN

Found = true

ENDIF

• UNTIL (Found = true)

(25)

(26)

26

METODE ITERASI TITIK TETAP

• Syaratnya:

• f(x) = 0 dapat diubah menjadi bentuk: x = g(x) (yang tidak unik)

• Cari akar dgn pertidaksamaan rekurens:

X_k+1 = g(X_k); untuk k = 0, 1, 2, 3, … dgn X₀asumsi awalnya, sehingga diperoleh barisan X₀, X₁, X₂, X₃, … yang diharapkan konvergen ke akarnya.

• Jika g’(x) ε *a, b+ dan g’(x) ≤ k dgn k< 1 Utk setiap x ε [a, b] , maka titik tetap tersebut tunggal dan

iterasinya akan konvergen menuju akar

(27)

27

METODE ITERASI TITIK TETAP (cont’d)

• Dari bentuk x = g(x), berarti akar dari f(x) tak lain

adalah perpotongan antara garis lurus y = x dan

kurva y = g(x).

(28)

(29)

29

CONTOH KASUS

• CONTOH:

f(x) = x – e1/x_;

bentuk x = g(x), yaitu: f(x) = x – e1/x_{dapat ditulis: f(x) = 0}

 x – e1/x_{= 0 shg didapat x = g(x), antara lain:}

a. x = e1/x

b. x = e1/x_{ ln x = 1/x (ln e)  x = 1/ln x}

(30)

30

CONTOH KASUS

(lanjutan)

ambil x

₀

= 1.5

periksa kekonvergenan iterasi:

a.

g’(x) = - (1/x

2

_{) e}

1/x

(31)

31

METODE NEWTON-RAPHSON

• Waktu pencarian akarnya relatif lebih cepat

dibandingkan metode lainnya.

• Memanfaatkan turunan fungsi f(x) pada suatu

titik P [x

₁

, f(x

₁

)]

• Membuat garis singgung pada titik P tsb yg

memotong sumbu x  didapat x

_i+1

• Sampai ditemukan akarnya (sesuai batas

(32)

32

(33)

33

METODE NEWTON-RAPHSON

(lanjutan)

• Persamaan garis singgung melalui

P [X

₁

, f(X

₁

)]

adalah: y – f(

X

₁

) = f ’(

X

₁

) . (X – X

₁

)

dgn f ’(

X

₁

) : gradien garis singgung

• Persamaan tsb memotong sumbun x di titik (

X

₂

,

0) maka akan diperoleh:

0 - f(

X

₁

) = f’(

X

₁

). (X

₂

– X

₁

)

X

₂

.f’(

X

₁

) - X

₁

.f’(

X

₁

) = - f’(

X

₁

)

(34)

34

METODE NEWTON-RAPHSON

(lanjutan)

• Secara Rekurens, persamaan tsb dinyatakan

menjadi:

X

_i+1

= X

_i

- f(

X

₁

)/ f’(

X

₁

)

Utk i = 1, 2, 3, …

(35)

(36)

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

Bentuk umum :

dimana x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

variabel tak diketahui, a

_ij

, b

_i

,

i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui.

Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.

SPL

Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN

Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN

TUNGGAL

(37)

ILUSTRASI GRAFIK

• SPL 2 persamaan 2 variabel:

• Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya

adalah titik potong kedua garis ini.

(38)

PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS

SPL

BENTUK MATRIKS

STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:

mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai

penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang

lebih sederhana.

(39)

TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN

PENYELESAIAN SPL

SPL 1. Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol. 2. Menukar posisi dua persamaan sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lainnya.

MATRIKS 1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol. 2. Menukar posisi dua baris sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.

Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk seder-

hana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris

(40)

CONTOH

DIKETAHUI

kalikan pers (i) dengan (-2), kemudian tambahkan ke pers (ii).

kalikan baris (i) dengan (-2), lalu tambahkan ke baris (ii). …………(i) …………(ii) …………(iii)

kalikan pers (i) dengan (-3), kemudian tambahkan ke pers (iii).

kalikan baris (i) dengan (-3), lalu tambahkan ke baris (iii).

kalikan pers (ii) dengan (1/2).

kalikan baris (ii) dengan (1/2).

(41)

kalikan pers (iii)

dengan (-2). kalikan brs (iii) dengan (-2).

LANJUTAN CONTOH

kalikan pers (ii) dengan (1/2).

kalikan baris (ii) dengan (1/2).

kalikan pers (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke pers (iii). kalikan brs (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke brs (iii).

kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i). kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).

(42)

Lanjutan CONTOH

kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i). kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).

kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (ii)

kalikan brs (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke brs (ii)

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat

kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi

matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan

METODA ELIMINASI GAUSS

.

(43)

BENTUK ECHELON-BARIS

Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:

maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.

Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb: 1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen

tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1. 2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah. 3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading 1 baris berikut.

(44)

Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi

Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut

bentuk

echelon-baris

.

CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:

(45)

Bentuk umum echelon-baris

(46)

Bentuk umum echelon-baris tereduksi

(47)

Penyelesaian SPL melalui bentuk echelon-baris

Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb:

(48)

METODA GAUSS-JORDAN

Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah

mengubah

matriks ke dalam bentuk

echelon-baris tereduksi

.

CONTOH: Diberikan SPL berikut.

(49)

-2B₁+ B₂B₂ 5B₂+B₃  B₃             6 18 0 8 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 2 1 0 0 0 0 2 0 2 3 1 B4 B4+4B2 B3 ⇄ B4 B₃ B₃/3 -3B₃+B₂B2 2B2+B1B1

(50)

Akhirnya diperoleh:

Akhirnya, dengan mengambil x₂:= r, x₄:= s dan x₅:= t maka diperoleh penyelesaian:

dimana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian.

(51)

METODA SUBSTITUSI MUNDUR

Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:

Bentuk ini ekuivalen dengan:

LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:

(52)

LANJUTAN SUBSTITUSI MUNDUR

LANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:

LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker-jaan substitusi selesai. Akhirnya dengan mengikuti langkah pada metoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh:

(53)

Eliminasi Gaussian

Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian menggunakan substitusi mundur.

CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian

PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:

(54)

54

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

• Bila diketahui SPL dengan n persamaan dan n variabel, sebagai berikut :

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ … + a_1nx_n = a_1(n+1).. (1)

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ … + a_2nx_n = a_2(n+1).. (2)

:

a_n1x₁+ a_n2x₂+ … + a_nnx_n = a_n(n+1).. (n)

(55)

55

Algoritma (pseudo code) IGS - 1

• Langkah ke-1 :

Tebak sebarang nilai awal untuk variabel x₂, x₃ , ... , x_n . Namakan nilai awal tersebut x₂0_,_x

30, … , xn0.

Substitusikan x₂0_,_x

30, … , xn0 ke SPL (1) untuk memperoleh nilai x1

(56)

56

• Langkah ke-3 : Substitusikan x₁1_,_x

30, x40, … , xn0 ke SPL (2) untuk memperoleh nilai

x₂lalu namakan dengan x₂1 _.

Substitusikan x₁1_,_x

21, x40, x50, … , xn0 ke SPL (3) untuk memperoleh

nilai x₃lalu namakan dengan x₃1 _.

(57)

57

dan seterusnya, sampai diperoleh x₁1_,_x

21, x31 , … , xn-11 ,

selanjutnya substitusika ke SPL (n) untuk memperoleh nilai x_nlalu namakan dengan x_n1 _.

( Iterasi ke-1 selesai dengan diperolehnya nilai : x₁1_,_x

21, x31, … , x n-11 , xn1 . )

(58)

58

Ulangi langkah ke-2 s/d ke-5 (substitusikan x₂1_,_x

31, … , xn1 ke SPL

(1) untuk memperoleh nilai x₁lalu namakan dengan x₁2 _{). Sampai}

nanti diperoleh nilai x₁2_,_x

22 , x32, … , xn-12 , xn2 .

(59)

59

Iterasi berakhir pada iterasi ke-k, bila :

| x_jk_–_x

jk+1 | < T

dengan T nilai toleransi kesalahan yang sudah ditetapkan sebelumnya.

(60)

60

Tingkat Konvergensinya

• Algoritma tersebut BELUM TENTU KONVERGEN !!!

• Syarat Konvergensi :

Matriks koefisiennya (A) harus bersifat DIAGONALLY DOMINANT

(61)

61

Matriks Diagonally Dominant

dengan

;

1 









n

i

j

ij

ii

a

i

a

n

i

j

ij

ii











1 ;

dan

(62)

62

Contoh Soal 1:

• Diketahui SPL sebagai berikut : 3x₁ – 10x₂ = 3 x₁ + x₂ = 2

• Carilah nilai x₁ dan x₂ dengan menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel dengan Toleransinya 0,005 !

(63)

63

Jawab Contoh Soal 1 : (1)

• Periksa tingkat konvergensinya.

Diperoleh bahwa :

|a

₁₁

|=3 ; |a

₁₂

|=10 ; |a

₂₁

|=1 ; |a

₂₂

|= 1



3 

10 

1 

1

1 i

2 1 ; 1 1 11







 

untuk

a

j j j

2 i

2 2 ; 1 2 22







 

untuk

a

j j j

(64)

64

Jawab Contoh Soal 1 : (2)

• Jadi SPL tersebut TIDAK DIAGONALLY DOMINANT. Sehingga tidak akan konvergen bila dipecahkan dengan metode Iterasi

Gauss-Seidel.

• Untuk itu, ubah penyajian SPL nya menjadi : x₁ + x₂ = 2

3x₁ – 10x₂ = 3

Periksa tingkat

(65)

65

Jawab Contoh Soal 1 : (3)

• Periksa tingkat konvergensinya.

Diperoleh bahwa :

|a

₁₁

|= 1 ; |a

₁₂

|= 1 ; |a

₂₁

|= 3 ; |a

₂₂

|= 10



1 

1 

10 

3

1 i

2 1 ; 1 1 11







 

untuk

a

j j j

2 i

2 2 ; 1 2 22







 

untuk

a

j j j

(66)

66

Jawab Contoh Soal 1 : (4)

• Jadi SPL hasil perubahannya bersifat DIAGONALLY DOMINANT  konvergen

• Selanjutnya jalankan algoritmanya terhadap SPL : !

x₁ + x₂ = 2 … (1)

(67)

67

Jawab Contoh Soal 1 : (5)

• Iterasi ke-1 :

1. Tebak nilai awal

x

₂0

_{= 0}

2. Substitusikan x

₂0

_{= 0 ke}

_{SPL (1)}

_:

x

₁

+ x

₂

= 2  x

₁

+ 0 = 2  x

₁

= 2

didapat

x

₁1

_{= 2}

3. Substitusikan x

₁1

_{= 2 ke}

_SPL

₍₂₎

_:

3x

₁

– 10x

₂

= 3  3.(2) – 10x

₂

= 3

 6 – 10x

₂

= 3  x

₂

= 0,3

didapat

x

₂1

_{= 0,3}

(68)

68

Jawab Contoh Soal 1 : (6)

• Iterasi ke-2 : 2. Substitusikan x₂1_{= 0,3 ke}_{SPL (1)}_: x₁ + x₂ = 2  x₁ + 0,3 = 2  x₁ = 1,7 didapat x₁2 _{= 1,7} 3. Substitusikan x₁2 _{= 1,7 ke}_SPL ₍₂₎_: 3x₁ – 10x₂ = 3  3.(1,7) – 10x₂ = 3  5,1 – 10x₂ = 3  x₂ = 0,21 didapat x₂2 _{= 0,21}

(69)

69

Jawab Contoh Soal 1 : (7)

• Iterasi ke-3 : 2. Substitusikan x₂2_{= 0,21 ke}_{SPL (1)}_: x₁ + x₂ = 2  x₁ + 0,21 = 2  x₁ = 1,79 didapat x₁3 _{= 1,79} 3. Substitusikan x₁2 _{= 1,79 ke}_SPL ₍₂₎_: 3x₁ – 10x₂ = 3  3.(1,79) – 10x₂ = 3  5,37 – 10x₂ = 3  x₂ = 0,237 didapat x₂3 _{= 0,237}

Dan seterusnya…..

(70)

70

Jawab Contoh Soal 1 : (8)

• Iterasi ke-4, ke-5 dst

• Lanjutkan sendiri, sebagai latihan !!

• Ingat, proses iterasi akan berhenti bila kondisi | x_jk_–_x

jk+1 | < 0,005

(71)

71

Jawab Contoh Soal 1 : (9)

• Rangkuman Proses Iterasinya :

Iterasi ke-

x

₁

x

₂

1

2

3

4

5

6 2,000

1,700

1,790

1,763

1,771

1,769

0,300

0,210

0,237

0,229

0,231

(72)

72

ALGORITMA IGS

INPUT A(n,n+1), e, maxit

INPUT x_i (nilai awal) k  1 ; big  1

WHILE (k ≤ maxit and big  e) DO big  0 FOR i = 1 TO n sum  0 FOR j = 1 TO n IF j ≠ i THEN sum  sum + a_ij NEXT j temp  (a_{i n+1} – sum) / a_ii

relerror  abs((x_i – temp) / temp) IF relerror  big THEN

big  relerror x_i temp NEXT I k  k + 1 ENDWHILE IF k > maxit THEN OUTPUT(“TDK KONVERGEN”) ELSE OUTPUT (“KONVERGEN”) ENDIF

(73)

(74)

• Para rekayasawan dan ahli ilmu alam sering bekerja dengan sejumlah data diskrit (yang umumnya disajikan dalam bentuk tabel). Data didalam tabel mungkin diperoleh dari hasil

pengamatan dilapangan, hasil pengukuran dilaboratorium, atau tabel yang diambil dari buku-buku acuan.

(75)

Contoh :

Sebuah pengukuran fisika untuk menentukan

hubungan antara tegangan yang diberikan kepada

baja tahan karat dan waktu yang diperlukan

hingga baja tsb patah.

x = Tegangan yang diterapkan, kg/mm

2

y = waktu patah , jam

x 5 10 15 20 25 30 35

(76)

76

• Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu

titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah

diketahui

• dpl. : cara menentukan harga fungsi f dititik x* ε [x

₀

,x

_n

] dengan

menggunakan informasi dari seluruh atau sebagian titik-titik yang

diketahui ( x

₀

, x

₁

, …., x

_n

)

x x₀ x₁ x₂ ……. x_n

(77)

Perbedaan Interpolasi dan

Ekstrapolasi

(78)

78

Teknik Umum yang digunakan :

(i) Membentuk polinomial berderajat ≤ n yg mempunyai harga fungsi di titik-titik yang diketahui 

Polinomial

Interpolasi

(ii) Masukkan titik yang ingin dicari harga fungsinya ke dalam polinomial interpolasi

(79)

79

• _{Interpolasi Linier}

• _{Interpolasi Kuadrat}

• Interpolasi Lagrange

• Interpolasi Newton

Jenis Interpolasi

(80)

x

₀

x

₁

x

f(x)

L(x)

(81)

Interpolasi Kudrat

x

₀

x

₁

x

f(x)

x

₂

h

L(x)

(82)

Interpolasi Qubic

x

₀

x

₁

x

f(x)

x

₂

h

L(x)

x

₃

h

(83)

83

INTERPOLASI LINIER (1)

• Misalkan ada m bilangan : x

₁

, x

₂

, …., x

_m

dan

bilangan lain yang berkaitan : y

₁

, y

₂

, …., y

_m

• maka masalahnya : berapa harga y* pada

x* ε [x

_k

,x

_k+1

]

? y x yk+1 xk+1 yk xk y* x*

?

(84)

84

• Ambil ruas garis yang menghubungkan titik

(x

_k

,y

_k

) dan (x

_k+1

,y

_k+1

)

• Diperoleh persamaan garisnya :

)

(

*

1 1 k k k k k k

y

x

y







 

)

(

*

1 1 k k k k k k

y

x

y







  k k k k k k

x

y

x

y







  1 1

*

INTERPOLASI LINIER (2)

(85)

85

• Jadi persamaan garisnya adalah :

)

(

*

1 1 k k k k k k

y

x

y







  y x yk+1 xk+1 yk xk y* x*

?

INTERPOLASI LINIER (3)

(86)

86

Diketahui data sebagai berikut :

Tentukan harga y pada x = 6,5 !

Jawab : x = 6,5 terletak antara x=6 & x=7

)

(

1 1 k k k k k k

y

x

y







 

5 ,

42 )

36

49 (

)

6

7 (

)

6

5 ,

6 (

36 









y

Contoh – 1 : (1)

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49

Hasilnya

(87)

87

Alternatif 2 :

x = 6,5 terletak antara x=1 & x=7

)

(

1 1 k k k k k k

y

x

y







 

45 )

48 (

)

6 (

)

5 ,

5 (

1 )

1

49 (

)

1

7 (

)

1

5 ,

6 (

1 













y

Hasilnya

Contoh – 1 : (2)

(88)

88

•Bandingkan hasil kedua jawaban tersebut !!

•Mana yang mendekati jawaban yang sesungguhnya ..??

• Karena hub. x & y adalah y = x

2

_{maka untuk harga x =}

6,5 didapat y = (6,5)

2

_{= 42,25}

=> Kesalahan mutlak (E) : |42,5 – 42,25| = 0,25

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49

(89)

89

Kesalahan mutlak (E), untuk :

y = 42,5  |42,5 – 42,25| = 0,25 = 25 %

Sedangkan untuk

y = 45  |45 – 42,25| = 3,25 = 325 %

(90)

90

Contoh-2 :

Diketahui tabel akar bilangan sbb :

Tentukan akar dari 2,155

(2,155)

1/2

_{= 1,46629 + (0,005/0,010) (1,46969 – 1,46629)}

= 1,46629 + 0,00170

(

2,155)

1/2

_{= 1,46799}

Kesalahan mutlaknya |1,4679918 -1,46799| = 0,0000018

• Tentukan akar dari 2,153 dan Kesalahan mutlaknya !

N …. 2,14 2,15 2,16 ….

(91)

Contoh 3:

• Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti

adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini

menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang

dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan.

• Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah

kenderaan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam.

(92)

Contoh 3

:

(93)

93

INTERPOLASI KUADRAT

• Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak

memuaskan karena fungsi yang diinterpolasi berbeda

cukup besar dari fungsi linier

• Untuk itu digunakan polinomial lain yg berderajat dua

(interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya

• Caranya :

-

Pilih 3 titik & buat polinomial berderajat dua melalui ke -

3 titik tsb., shg dpt dicari harga fgs. pada x = x*

-

Pemilihan ke-3 ttk tsb., dapat :

-

x

_k-1

< x

_k

< x

_k+1

atau

(94)

94

Persamaan umum Polinomial kuadrat :

P(x) = a

₀

+ a

₁

x + a

₂

x

2

_…..(*)

3 titik (x

_k-1

,y

_k-1

), (x

_k

,y

_k

) & (x

_k+1

,y

_k+1

) dilalui fgs. P(x) berarti:

y

_k-1

= a

₀

+ a

₁

x

_k-1

+ a

₂

x

_k-12

y

_k

= a

₀

+ a

₁

x

_k

+ a

₂

x

_k2 ………. (**)

y

_k+1

= a

₀

+ a

₁

x

_k+1

+ a

₂

x

_k+12

=> Akan diperoleh dari 3 pers. yaitu a

₀

, a

₁

dan a

₂

kemudian subst.

ke (*) & diperoleh pers. kuadrat, shg dapat dicari nilai fgs.

untuk x = x* yaitu P(x*) = a

₀

+ a

₁

x* + a

₂

x*

2

=> Sistim pers. non homogen (**) memp. solusi dan solusinya

unik (tunggal)

(95)

Contoh :

• Diberikan titik ln(8) = 2.0794, ln(9) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513.

Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadrat

• Sistem Pers Linier yang terbentuk.

• 64 a + 8 b + c = 2.0794 • 81 a + 9 b + c = 2.1972 • 90.25 a + 9.5 b + c = 2.2513

• Penyelesaian a= -0.0064 b = 0.2266

c = 0.6762

• Sehingga p2(9.2) = 2.2192

(96)

96

INTERPOLASI LAGRANGE

• Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk interpolasi

berselang tidak sama selain formula interpolasi Newton umum

& metoda Aitken. Walaupun demikian dapat digunakan pula

untuk interpolasi berselang sama.

• Misalkan fgs. y(x) kontinu & diferensiabel sampai turunan (n+1)

dalam interval buka (a,b). Diberikan (n+1) titik (x

₀

,y

₀

), (x

₁

,y

₁

), …,

(x

_n

,y

_n

) dengan nilai x tidak perlu berjarak sama dengan yang

lainnya, dan akan dicari suatu polinom berderajat

n.

Untuk

pemakaian praktis, formula interpolasi Lagrange dapat

dinyatakan sbb. :

(97)

97

Formula Interpolasi Lagrange

Jika y(x) : nilai yang diinterpolasi; x : nilai yg berkorespondensi dg y(x)

x

₀

, x

₁

, …., x

_n

: nilai x dan y

₀

, y

₁

, …., y

_n

: nilai y







0 0 2 0 1 0 2 1

)

)...(

)(

(

)

)...(

)(

(

)

(

y

x

y

n n





1 1 2 1 0 1 2 0

)

)...(

)(

(

)

)...(

)(

(

y

x

n n n n n n n n

y

x

)

)...(

)(

(

)

)...(

)(

(

.

1 1 0 1 1 0  



(98)

98

Contoh 1:

Nilai yg. berkorespondensi dengan y = 10_{log x adalah :}

Carilah 10_{log 301 ?}

Untuk menghitung y(x) = 10_{log 301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi}

X 300 304 305 307

10_{log x} _2,4771 _2,4829 _2,4843 _2,4871

x₀ = 300 x₁ = 304 x₂= 305 x₃ = 307 y₀ = 2,4771 y₁ = 2,4829 y₂ = 2,4843 y₃ = 2,4871

(99)

99

Dengan menggunakan interpolasi lagrange







2 ,

4771

)

307

300 )(

305

300 )(

304

300 (

)

307

301 )(

305

301 )(

304

301 (

)

(x

y





4829

,

2 )

307

304 )(

305

304 )(

300

304 (

)

307

301 )(

305

301 )(

300

301 (





4843

,

2 )

307

305 )(

304

305 )(

300

305 (

)

307

301 )(

304

301 )(

300

301 (

4871

,

2 )

305

307 )(

304

307 )(

301

307 (

)

305

301 )(

304

301 )(

300

301 (



7106

,

0 4717

,

4 9658

,

4 2739

,

1 







4786

,

2 )

(

x



y

(100)

Polinom Newton

• Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena :

• Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi

adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan

jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan.

• Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Karena tidak ada

hubungannya antara p_n-1(x) dan p_n(x) pada polinom Lagrange

• Polinom yang dibentuk sebelumnya dapat digunakan

untuk membentuk polinom derajat yang lebih tinggi.

(101)

Polinom Newton

• Persamaan Polinom Linier

• Bentuk pers ini dapat ditulis :

• Yang dalam hal ini

(1)

• Dan

(2)

• Pers ini mrpk bentuk selish terbagi (divided-difference)

)

(

)

(

)

(

)

(

₀ 0 1 0 1 0 1

x

y

x

p







)

(

)

(

₀ ₁ ₀ 1

x

a

x

p







)

(

₀ 0 0

y

f

x

a



)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0 1 0 1 0 1 0 1 1

x

f

x

f

x

y

a









]

,

[

₁ ₀ 1

f

x

a



(102)

Polinom Newton

• Polinom kuadratik

• Atau

• Dari pers ini menunjukkan bahwa p₂(x) dapat dibentuk dari pers

sebelumnya p₁(x). Nilai a₂ dapat ditemukan dengan mengganti x=x₂ untuk

mendapatkan (3)

• Nilai a₀ dan a₁ pada pers 1 dan 2 dimasukkan pada pers 3

)

)(

(

)

(

)

(

₀ ₁ ₀ ₂ ₀ ₁ 2

x

a

x

a

x

p











)

)(

(

)

(

)

(

₁ ₂ ₀ ₁ 2

x

p

x

a

x

p







) )( ( ) ( ) ( 1 2 0 2 0 2 1 0 2 2 x x x x x x a a x f a       1 2 0 1 0 1 0 2 0 2 2

)

(

)

(

)

(

)

(

x

f

x

f

x

f

x

f

a





(103)

Polinom Newton

• Dengan melakukan utak-atik aljabar, pers ini

lebih disukai

0 2 0 1 1 2 0 2 0 1 0 1 1 2 0 2 2 ] , [ ] , [ ) ( ) ( ) ( ) ( x x x x f x x f x x x x x f x f x x x f x f a          

(104)

Polinom Newton

• Jadi tahapan pembentukan polinom Newton :

) ( ) ( ) ( ₀ ₁ ₀ 1 x p x a x x p   

)

(

)

(

₀ ₁ ₀ 1

x

a

x

p







)

)(

(

)

(

)

(

₀ ₁ ₀ ₂ ₀ ₁ 2

x

a

x

a

x

p











)

)(

(

)

(

)

(

₁ ₂ ₀ ₁ 2

x

p

x

a

x

p







)

)(

(

)

(

)

(

₂ ₃ ₀ ₁ ₂ 3

x

p

x

a

x

p







)

)(

(

)

)(

(

)

(

)

(

₀ ₁ ₀ ₂ ₀ ₁ ₃ ₀ ₁ ₂ 3

x

a

x

a

x

a

x

p















(105)

Polinom Newton

• Nilai konstanta a₀, a₁, a₂,…, a_n, merupakan nilai selisih terbagi , dg nilai

• Yang dalam hal ini

] , ,..., , [ ] , , [ ] , [ ) ( 0 1 1 0 1 2 2 0 1 1 0 0 x x x x f a x x x f a x x f a x f a n n n      0 0 1 2 1 1 1 0 1 1 ) , ,..., , [ ] ,..., , [ ] , ,..., , [ ] , [ ] , [ ] , , [ ) ( ) ( ] , [ x x x x x x f x x x f x x x x f x x x x f x x f x x x f x x x f x f x x f n n n n n n n k i k j j i k j i j i j i j i             

(106)

106

Karena a0, a1,a2, …an, merupakan nilai selisih terbagi, maka

polinom Newton dinamakan polinom interpolasi selisih terbagi

Newton. Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan

(107)

Polinom Newton

• Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis

dalam hub rekursif sebagai :

• Rekurens

• basis

• Atau dalam bentuk polinom yang lengkap sbb :

]

,

,...,

,

[

)

)...(

)(

(

)

(

)

(

x

p

₁

x

₀

x

₁

x

₁

f

x

₁

x

₁

x

₀

p

_n



_n_





_n_ _n _n_

)

(

)

(

₀ 0

x

f

x

p



]

,

,...,

,

[

)

)...(

)(

(

]

,

[

)

)(

(

]

,

[

)

(

)

(

)

(

0 1 1 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0

x

f

x

f

x

f

x

f

x

p

n n n n  















(108)

Contoh Soal :

• Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang

menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3.

x_i y_i ST-1 ST-2 ST-3 ST-4 0.0 1 -0.4597 -0.2484 0.1466 -0.0147 1.0 0.5403 -0.9564 0.1913 0.0880 2.0 -0.4161 -0.5739 0.4551 3.0 -0.99 0.3363 4.0 -0.6536

(109)

Contoh Soal :

• Contoh cara menghitung nilai selisih terbagi pada

tabel :

2484 . 0 0 2 4597 . 0 9564 . 0 ) ( ] , [ ] , [ ] , , [ 9564 . 0 1 2 5403 . 0 4161 . 0 ) ( ) ( ) ( ] , [ 4597 . 0 0 1 1 5403 . 0 ) ( ) ( ) ( ] , [ 0 2 0 1 1 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 0 1 0 1                           x x x x f x x f x x x f x x x f x f x x f x x x f x f x x f

(110)

Contoh Soal :

• Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x

₀

= 0

sebagai titik pertama :

• Nilai sejati f(2.5) adalah

• F(2.5) = cos(2.5)=-0.8011 ) 0 . 3 )( 0 . 2 )( 0 . 1 )( 0 . 0 ( 0147 . 0 ) 0 . 2 )( 0 . 1 )( 0 . 0 ( 1466 . 0 ) 0 . 1 )( 0 . 0 ( 2484 . 0 ) 0 . 0 ( 4597 . 0 0 . 1 ) ( ) cos( ) 0 . 2 )( 0 . 1 )( 0 . 0 ( 1466 . 0 ) 0 . 1 )( 0 . 0 ( 2484 . 0 ) 0 . 0 ( 4597 . 0 0 . 1 ) ( ) cos( ) 0 . 1 )( 0 . 0 ( 2484 . 0 ) 0 . 0 ( 4597 . 0 0 . 1 ) ( ) cos( ) 0 . 0 ( 4597 . 0 0 . 1 ) ( ) cos( 4 3 2 1                                       x x x x x x x x x x x p x x x x x x x x p x x x x x p x x x p x

(111)

(112)

Pengantar

• Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran

(aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.

• Misalnya dalam termodinamik, model Debye untuk menghitung kapasitas panas dari benda padat.

(113)

INTEGRASI NUMERIK

• Perhitungan integral adalah perhitungan dasar

yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak

keperluan.

• digunakan untuk menghitung luas daerah yang

dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.

• Penerapan integral : menghitung luas dan

(114)

0 2 4 6 8 10 12 3 5 7 9 11 13 15

Dasar Pengintegralan Numerik

• Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat

awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.

• Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih

mendekati jawaban eksak.

(115)

Dasar Pengintegralan Numerik

 Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

1 1 0 0 0 n n i n i i b a

x

f

c

x

f

c

x

f

c

x

f

c

dx

x

f













x

₀

x

₁

x

_n-1

x

_n

x

f(x)

(116)

Formula Newton-Cotes

- Berdasarkan pada

dx

x

f

dx

x

f

I

b a n b a







(

)

(

)

 Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

n n 1 n 1 n 1 0 n

x

a

x

a

x

a

x

f

(

)









_ 



(117)

 f

_n

(x) bisa fungsi linear

(118)

 f

_n

(x) bisa juga fungsi kubik atau

(119)

(120)

INTEGRASI NUMERIK

• Luas daerah yang

diarsir L dapat

dihitung dengan :

• L =

 



b a

dx

x

f

(121)

Metode Integral Reimann

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

(122)

Metode Integral Reimann

• Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x

• Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b]

• Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana Li=f(xi).

i

x

(123)

Metode Integral Reimann

• Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan

:

• Dimana

• Didapat

 

_i n i i n n

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

L



























0 3 2 2 1 1 0 0 2 1 0

...

..

 

_

 





n i i b a

x

f

h

dx

x

f

0

h

x













_n





₀ ₁ ₂

...

(124)

Contoh

• Hitung luas yang dibatasi y = x

2

dan sumbu x

untuk range x = [0,1]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x**2



1 0 2

dx

x

L =

(125)

Contoh

• Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

• Secara kalkulus : • Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 • = 0,052





 

0.1 3,85



0,385 00 . 1 81 . 0 64 . 0 49 . 0 36 . 0 25 . 0 16 . 0 09 . 0 04 . 0 01 . 0 0 1 . 0 ) ( . 10 0              



 i i x f h L ... 3333 , 0 | 3 1 ₁ 0 3 1 0 2   

_

x dx x L

(126)

Algoritma Metode Integral

Reimann:

• Definisikan fungsi f(x)

• Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi

• Tentukan jumlah pembagi area N

• Hitung h=(b-a)/N • Hitung





N

i

x

f

h

L

0 )

(

.

(127)

Metode Integrasi Trapezoida

• Aproksimasi garis lurus (linier)



(

)

(

)



)

(

)

(

)

(

)

(

1 0 1 1 0 0 i 1 0 i i b a

x

f

x

f

2 h

x

f

c

x

f

c

x

f

c

dx

x

f

















x

₀

x

₁

x

f(x)

L(x)