Eliminasi Gauss Gauss Jordan

1

Persamaan Li

• Eliminasi G

• Gauss Jord

1

inier Simultan

Gauss

dan

Persamaan Li

2

Persamaan linier simultan adalah s yang secara bersama-sama menya Bentuk persamaan linier simultan d dan n variabel bebas dapat dituliska dan n variabel bebas dapat dituliska

x a x a x a_{11 1} + _{12 2} + _{13 3} + x a x a x a x a x a x a + + + + + + 3 33 2 32 1 31 3 23 2 22 1 21 m m m x a x a x a + + ... ... ... ... 3 3 2 2 1 1 dimana:

a_ij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah ko

x_i untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas p

x_i untuk i 1 s/d n adalah variabel bebas p Penyelesaian persamaan linier simultan ad untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi se

nier Simultan

2

suatu bentuk persamaan-persamaan p p ajikan banyak variabel bebas.

dengan m persamaan an sebagai berikut:an sebagai berikut:

n nx b a = + ... _{1 1} n n n n b x a b x a = + = + + ... ... 3 3 2 2 m n mnx b a = + + ... ... ... ...

oefisien atau persamaan simultan ada persamaan simultan

ada persamaan simultan dalah penentuan nilai x_i

Persamaan Li

3

Persamaan linier simultan di atas d b t k t ik it

bentuk matrik yaitu :

⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ _n b b x x a a a a a a_{11 12} ... _{1 1 1} ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ n b b x x a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... _{2 2 2} 22 21 dimana: ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣am1 am2 ... amn xn bn ⎢ ⎡ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡a₁₁ a₁₂ ... a_1n ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ n x a a a A , ... ... ... ... ... ₂ 22 21 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ami am2 ... amn

Matrik A=Matrik Koefisien atau Matrix V kt V kt i b l

Vektor x =Vektor variabel Vektor B=Vektor konstanta

nier Simultan

3

dapat dinyatakan sebagai

A x = B ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎥ ⎤ ⎡x₁ b₁ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ b danB x ... ... 2 2 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎣xn bm Jacobian

Persamaan Li

4 A t d M t i ( t ik l

Augmented Matrix ( matrik perluasa

adalah matrik yang merupakan per menambahkan vektor B pada kolomp

Augmented (A) = [A B]

⎢

⎡

a

₁₁

a

₁₂

a

₁₃

...

a

_1n

⎢

⎢

⎢

n

a

a

a

a

_{21 22 23}

...

₂

⎢

⎢

⎣

a

m

a

m

a

m

...

a

mn

...

...

...

...

...

3 2 1 Eliminasi_GaussJordan

nier Simultan

4 ) d i li i i lt an ) dari persamaan linier simultan rluasan matrik A dengan

m terakhirnya, dan dituliskan:y

⎥

⎤

b

₁

⎥

⎥

⎥

b

₂

⎥

⎥

⎦

m

b

...

Teore

Persamaan Lin

Persamaan Lin

5

Suatu persamaan linier simultan me Suatu persamaan linier simultan me bila memenuhi syarat-syarat sebaga

(1) Ukuran persamaan linier simul persamaan sama dengan jumlah (2) Persamaan linier simultan non-(2) Persamaan linier simultan non

satu nilai vector konstanta B tid (3) Determinan dari matrik koefisi

tid k d l tidak sama dengan nol.

ema

nier Simultan

nier Simultan

5

empunyai penyelesaian tunggal empunyai penyelesaian tunggal ai berikut:

ltan bujursangkar, dimana jumlah h variable bebas.

-homogen dimana minimal adahomogen dimana minimal ada dak nol atau ada b_n ≠ 0.

Metode Elim

6

Metode Eliminasi Gauss : metode y Metode Eliminasi Gauss : metode y eliminasi, yaitu menghilangkan atau sehingga dapat diperoleh nilai dari

Metode eliminasi gauss: metode dim pada bagian kiri diubah menjadi ma

p g j

/segitiga bawah dg menggunakan O

⎤ ⎡a a a a b ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ n n b a a a a b a a a a b a a a a ... ... ... 3 3 33 32 31 2 2 23 22 21 1 1 13 12 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ n n n nn n n b a a a a b a a a a ... ... ... ... ... ... ... ... 3 2 1 3 3 33 32 31 ⎦ ⎣ n1 n2 n3 nn n

minasi Gauss

6

yang dikembangkan dari metode yang dikembangkan dari metode

u mengurangi jumlah variable suatu variable bebas.

mana bentuk matrik augmented, atrik segitiga atas g g

OBE (Operasi Baris Elementer).

⎤ ⎡c c c c d ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ n n d c c d c c c d c c c c 0 0 ... 0 ... 3 3 33 2 2 23 22 1 1 13 12 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ n d c d c c ... 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 _{33 3 3} ⎦ ⎣ 0 0 0 ... cnn dn

Metode Elim

7

Sehingga penyelesaian dapat diper

d

(

_{n n n n}

)

n nn n n d x c x c d x 1 1 1 1 _{− +} = =

(

n n n n

)

n d c x x ₁ = 1

(

₁ − ₁

)

(

n n n n n n n c x d c x _{1, 1} 1 , 1 1 1 ... ... ... ... − − − − −

(

n n n n

)

n n n c _{1, 1} 1 1, 1 − − − − −

(

(

d c x c x c x x c x c d c x 13 2 12 1 1 4 24 3 23 2 22 2 ... 3 1 ... 1 − − − − = − − − − =

Operasi Baris Elementer (OBE) : op matrik berdasarkan barisnya, tanpa

c₁₁

y , p OBE pada baris ke-i+k dengan das

j i j k i j k i a c a a_{i++k, j} = _{i++k, j} − . _{i, j dimana c : kodimana c : ko} dari perbandi

minasi Gauss

7 roleh dengan:

))

)

n n n n x c x c 1 2

perasi pengubahan nilai elemen a mengubah matriknya. g y

sar baris ke i dapat dituliskan dengan : onstanta pengali

onstanta pengali

Contoh Penyelesaian Pe

Metode Elimin

Metode Elimin

8

Selesaikan persamaan berikut :p

Augmented matrik dari persamaan Augmented matrik dari persamaan

⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ −1 2 2 1 6 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣2 1 2 10 2 1 2 1

Lakukan operasi baris elementer sep

1 3 1 2 2B B B B − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − 2 0 1 0 4 2 1 0 6 1 1 1 denga 1 3 ⎝0 −1 0 −2⎠ 2 3 B B + ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − 2 4 1 0 6 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 0 − 2 − 6 4 2 1 0

ers.Lin.Simultan dg.

nasi Ga ss

nasi Gauss

8 6 3 2 1 + x + x = x 10 2 2 2 2 3 2 1 3 2 1 = + + = − + x x x x x x

linier simultan tersebut adalah: linier simultan tersebut adalah:

ebagai berikut:g

an demikian diperoleh penyelesaian:

3 2 6 3 ₋ = − = x ( ) (6 2 3) 1 1 2 3 ) 2 ( 4 1 1 2 2 = − + = x (6 2 3) 1 1 1 = − − = x

Algoritma Metod

9

Algoritma Metode Eliminasi Gauss 1. Masukkan matrik A, dan vektor 2. Buat augmented matrik [A|B] na 3. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d

Bila ya : Bila ya :

pertukarkan baris ke i dan ba tidak ada berarti perhitungan dihentikan dengan tanpa pen Bila tidak : lanjutkan

4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 4. Untuk baris ke j, dimana j i 1

Lakukan operasi baris elemente Hitung j i

a a

c = ,

Untuk kolom k dimana k=1 s/d n Hitung akar, untuk i = n s/d 1 (be

i i

a _,

g (

baris pertama) : dimana nilai i+k

≤

n

(

i i i i i i b a a x _{, 1} , 1 ₋ = ₊

de Eliminasi Gauss

9adalah sbb : B beserta ukurannya ny amakan dengan A

n, perhatikan apakah nilai a_i,i =0 :

aris ke i+k

≤

n, dimana a_i+k,i ≠0, bila

tidak bisa dilanjutkan dan proses nyelesaian.

s/d n s/d n

er:

n+1 hitung

ergerak dari baris ke n sampai j k j k i k

a

c

a

a

_,

=

_,

−

.

_, g p

)

n n i i i i i a x a x x ₊₁ − _{, +2 +2} −...− _,

Metode Elimina

1

Metode Eliminasi Gauss Jordan: meto eliminasi gauss, hanya saja augmente menjadi matrik diagonal sebagai beriku

⎤ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ n n b b a a a a b a a a a ... ... 2 2 23 22 21 1 1 13 12 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ n b a a a a b a a a a ... ... ... ... ... ... ... _{3 3} 33 32 31 ⎥⎦ ⎢⎣an1 an2 an3 ... ann bn

Penyelesaian dari persamaan linier sim dn dan atau:

x

=

d

x

=

d

x

,…,dn dan atau:

x

₁

=

d

₁

,

x

₂

=

d

₂

,

x

Metode eliminasi Gauss-Jordan ini sam yaitu menggunakan OBE (Operasi Bar

y gg ( p

penyelesaian secara langsung diperole dari setiap baris.

asi Gauss Jordan

0

de pengembangan metode p g g

ed matrik, pada sebelah kiri diubah ut: ⎤ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ d d d 0 1 0 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0 0 1 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ d d 1 0 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 ... 1 0 0 ₃ ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ... 1 dn

multan diatas adalah nilai d1,d2,d3

d

x

d

x

=

d

x

_n

=

d

_n

x

₃

=

₃

,....,

=

ma seperti metode eliminasi Gauss ris Elementer). Hanya perhitungan ) y p g

Contoh Penyelesaian Pe

Metode Eliminasi

Metode Eliminasi

1

Selesaikan persamaan berikut :

1

x

Augmented matrik dari persamaan

2

1

x

Augmented matrik dari persamaan

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 8 4 2 3 1 1

Lakukan operasi baris elementer se

⎦ ⎣ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − 2 ₁ 1 1 3 2 b B denga ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 3 1 1 2 / 2 2 2 0 2 ₁ 2 B b B ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 2 0 1 1 1 0 2 / 2 B B B x1 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 1 1 2 1 B B

ers.Lin.Simultan dg.

Ga ss Jordan

Gauss Jordan

1 3 2 = + x

linier simultan tersebut adalah:

8 4 ₂ 1 2 = + x x

linier simultan tersebut adalah:

ebagai berikut:

an demikian diperoleh penyelesaian:

Algoritma Metode Eli

Al i M d Eli i i G

1

Algoritma Metode Eliminasi Gauss

1. Masukkan matrik A, dan vektor B b 2 Buat augmented matrik [A|B] nam 2. Buat augmented matrik [A|B] nam 3. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n,

Perhatikan apakah nilai a_i,i =0 : Bila ya :

Bila ya :

pertukarkan baris ke i dan baris k tidak ada berarti perhitungan tida

dih tik d t l

dihentikan dengan tanpa penyele Bila tidak : lanjutkan

Jadikan nilai diagonalnya menjadi sa setiap kolom k dimana k=1 s/d n+1, 4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d

Lakukan operasi baris elementer:p Hitung Hitung 5. Penyelesaian, untuk i = n s/d 1 (b c = a_j,i k i k j k j a c a a _, = _, − . _, 5. Penyelesaian, untuk i n s/d 1 (b pertama)

_x

_i

=

_a

_i,n+1

iminasi Gauss Jordan

d l h bb 2 adalah sbb : beserta ukurannya n akan dengan A akan dengan A

ke i+k≤n, dimana a_i+k,i ≠0, bila

k bisa dilanjutkan dan proses i

esaian.

atu, dengan cara untuk

a hitung d n i i k i k i a a a , , , =

bergerak dari baris ke n sampai baris bergerak dari baris ke n sampai baris

Lati

1

Selesaikanlah persamaan berikut Selesaikanlah persamaan berikut

4

2

₃ 2 1

+

x

+

x

=

x

10

3

2

3

4

2

3 2 1 3 2 1

=

+

+

=

−

+

x

x

x

x

x

x

10

3

2

x

₁

+

x

₂

+

x

₃

=

Gunakan Eliminasi Gauss dan Gau

Eliminasi_GaussJordan

ihan

3 ini : ini : uss-Jordan