BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN. grup kristalografi, dan Graphical User Interface (GUI) untuk pembentukan

(1)

32 BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi grup kristalografi dan grup yang termasuk didalamnya, langkah-langkah pembentukan motif batik dengan grup kristalografi, dan Graphical User Interface (GUI) untuk pembentukan motif batik.

A. Grup Kristalografi

Definisi 4.1 (Umble, 2015 hal. 157) Grup kristalografi merupakan grup simetri tak hingga yang menggunakan dua translasi yaitu 𝜏𝜏_𝑣𝑣, 𝜏𝜏_𝑤𝑤 (yang disebut dengan translasi dasar) yang memenuhi:

i. Vektor 𝑣𝑣 dan 𝑤𝑤 adalah dua vektor yang berbeda

ii. Jika 𝜏𝜏 adalah translasi pada suatu grup simetri, terdapat 𝑝𝑝 dan 𝑛𝑛 bilangan bulat sedemikian sehingga 𝜏𝜏 = 𝜏𝜏_𝑤𝑤𝑛𝑛𝜏𝜏_𝑣𝑣𝑝𝑝 = 𝜏𝜏_{𝑝𝑝𝑚𝑚}𝜏𝜏_{𝑛𝑛𝑛𝑛}

Contoh 4.1 Grup 𝑝𝑝1 = {𝜏𝜏₁𝑛𝑛, 𝜏𝜏₂𝑝𝑝| 𝑝𝑝, 𝑛𝑛 ∈ ℤ} adalah suatu grup

kristalografi. Sebab:

a. Himpunan 𝑝𝑝1 Bersifat asosiatif

Ambil sembarang 𝜏𝜏₁𝑛𝑛, 𝜏𝜏₁𝑛𝑛+1, 𝜏𝜏₁𝑛𝑛+2 ∈ 𝑝𝑝1

𝜏𝜏1𝑛𝑛( 𝜏𝜏1𝑛𝑛+1𝜏𝜏1𝑛𝑛+2) = 𝜏𝜏1𝑛𝑛 𝜏𝜏1(𝑛𝑛+1)+(𝑛𝑛+2)

= 𝜏𝜏₁�(𝑛𝑛)+(𝑛𝑛+1)�+(𝑛𝑛+2) = (𝜏𝜏1𝑛𝑛𝜏𝜏1𝑛𝑛+1)𝜏𝜏1𝑛𝑛+2

b. Terdapat elemen identitas

𝜏𝜏1𝑛𝑛𝜏𝜏10 = 𝜏𝜏10𝜏𝜏1𝑛𝑛 = 𝜏𝜏1𝑛𝑛

(2)

33

Elemen identitas untuk 𝜏𝜏₁𝑛𝑛 adalah 𝜏𝜏₁0 dan untuk 𝜏𝜏₂𝑝𝑝 adalah 𝜏𝜏₂0 c. Setiap elemen mempunyai invers

𝜏𝜏1𝑛𝑛𝜏𝜏1−𝑛𝑛 = 𝜏𝜏10

𝜏𝜏2𝑝𝑝𝜏𝜏2−𝑝𝑝 = 𝜏𝜏20

Jadi invers untuk 𝜏𝜏₁𝑛𝑛 adalah 𝜏𝜏₁−𝑛𝑛 dan untuk 𝜏𝜏₂𝑝𝑝 adalah 𝜏𝜏₂−𝑝𝑝

Ide dari grup kristalografi bermula dari sebuah masalah bagaimana mengisi sebuah bidang dengan poligon-poligon yang kongruen sehingga setiap sisi dari poligon-poligon tersebut tidak saling tumpang tindih. Kemudian didapat bahwa poligon poligon yang memenuhi bidang tersebut hanyalah segi empat, segitiga, dan heksagonal (segi enam) seperti pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1 Poligon-poligon yang memenuhi bidang

Sebuah bidang yang luas dapat diisi dengan poligon-poligon yang kongruen ini sehingga seluruh bidang terisi dengan melakukan isometri pada poligon-poligon tersebut. Untuk mengisi bidang dengan menggunakan segi empat dapat dilakukan dengan translasi sebuah segi empat ke atas, ke bawah, ke kanan dan ke kiri seperti pada Gambar 4.1 (c). Pada kasus segi enam, maka pengisisan bidang dapat dilakukan dengan translasi ke arah sudut 60 derajat. Pada Gambar 4.1 (a) Pengisian bidang menggunakan segitiga dilakukan dengan cara yang sama dan ditambahkan

(3)

34

dengan rotasi atau refleksi. Rotasi dengan sudut 60 derajat akan membentuk segienam dan translasi akan memenuhi seluruh bidang.

Dengan cara tersebut akan didapatkan pola-pola simetri tertentu. Pola pola tersebut akan membentuk suatu grup simetri. Menurut (Scattschneider, 1978) terdapat tepat 17 grup yang memenuhi kriteria tersebut. Ke-17 grup tersebut sering disebut dengan grup kristalografi dua dimensi atau juga wallpaper group.

B. Kisi Satuan

Definisi 4.2 (Umble, 2015 hal. 157) Misalkan 𝑛𝑛 adalah grup krstalografi dengan translasi dasar 𝜏𝜏_𝑣𝑣, 𝜏𝜏_𝑤𝑤 . Diberikan sebarang titik 𝐴𝐴, misalkan

𝜏𝜏𝑣𝑣(𝐴𝐴) = 𝐵𝐵, 𝜏𝜏𝑤𝑤(𝐵𝐵) = 𝐴𝐴, dan 𝜏𝜏𝑤𝑤(𝐴𝐴) = 𝐷𝐷. Kisi satuan pada 𝐴𝐴 adalah daerah yang dibatasi oleh segiempat 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴𝐷𝐷.

Sebuah kisi satuan dapat memiliki lebih dari satu pusat rotasi

lipat-n. Sebuah kisi satuan dikatakan mempunyai orde-𝑛𝑛 jika mempunyai pusat

rotasi lipat-𝑛𝑛 yang tertinggi. Nilai 𝑛𝑛 yang memenuhi orde tersebut adalah 2, 3, 4, atau 6. Hal ini dikarenakan poligon kongruen yang dapat digunakan hanyalah segitiga, segiempat dan segi enam. Jika sebuah pola tidak mengandung rotasi, tetapi terdapat refleksi dan glide dalam grup simetri tersebut maka kisi satuan harus mempunyai barisan titik titik yang saling sejajar. Hal ini mengakibatkan hanya terdapat 5 tipe kisi satuan yang berbeda ( Schattschneider, 1978). Kelima kisi tersebut adalah jajar genjang, persegipanjang, belah ketupat, persegi, dan segi enam (yang tersusun dari dua segitiga sama sisi), seperti pada Gambar 4.2.

(4)

35

Gambar 4.2 Kisi-kisi satuan

Setiap jenis kisi satuan dapat membentuk pola dengan bantuan suatu isometri tertentu. Pola pola tersebut membentuk 17 grup kristalografi yang berbeda ( Schattschneider, 1978). Ketujuh belas grup kristalografi tersebut adalah :

1. Grup 𝑝𝑝1

Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu 𝜏𝜏₁ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}dan 𝜏𝜏2 = 𝜏𝜏𝐴𝐴,𝐴𝐴, sehingga dapat dituliskan sebagai 𝑝𝑝1 = {𝜏𝜏1𝑛𝑛, 𝜏𝜏2𝑝𝑝| 𝑝𝑝, 𝑛𝑛 ∈

ℤ}. Kisi satuan dalam grup 𝑝𝑝1 adalah jajargenjang seperti pada Gambar 4.3.

(5)

36

Gambar 4.3 Kisi satuan untuk 𝑝𝑝1

Contoh untuk grup 𝑝𝑝1 terdapat pada Gambar 4.4.

Gambar 4.4 Contoh motif grup 𝑝𝑝1

2. Grup 𝑝𝑝2

Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu 𝜏𝜏₁ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}dan 𝜏𝜏2 = 𝜏𝜏𝐴𝐴,𝐴𝐴 dengan arah translasi yang saling berlawanan. Dapat

dinyatakan dengan 𝑝𝑝2 = �𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}, 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐴𝐴}, 𝜎𝜎_𝐴𝐴�. Kisi satuan dalam grup 𝑝𝑝2 sama seperti grup 𝑝𝑝1 yaitu jajargenjang.

(6)

37

Gambar 4.6 Contoh motif grup 𝑝𝑝2

3. Grup 𝑝𝑝𝑝𝑝

Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu 𝜏𝜏₁ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}, 𝜏𝜏₂ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐴𝐴} dan refleksi dengan satu sumbu sehingga dapat dituliskan sebagai 𝑝𝑝𝑝𝑝 = �𝜏𝜏₁𝑛𝑛_{, 𝜏𝜏}

2𝑝𝑝, 𝜎𝜎𝑘𝑘 |𝑝𝑝, 𝑛𝑛 ∈ ℤ, 𝑘𝑘 = 0 atau 1 �. Kisi satuan dalam grup

𝑝𝑝𝑝𝑝 berupa persegi panjang.

Gambar 4.7 Kisi satuan untuk 𝑝𝑝𝑝𝑝

Contoh dari grup 𝑝𝑝𝑝𝑝 ada pada Gambar 4.8

(7)

38

4. Grup 𝑝𝑝𝑔𝑔

Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu 𝜏𝜏₁ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}, 𝜏𝜏₂ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐴𝐴}, dan glide sehingga dapat dinyatakan sebagai 𝑝𝑝𝑔𝑔 = �𝜏𝜏₁𝑛𝑛_{, 𝜏𝜏}

2𝑝𝑝, 𝛾𝛾𝑘𝑘 |𝑝𝑝, 𝑛𝑛, 𝑘𝑘 ∈ ℤ �. . Kisi satuan dalam grup 𝑝𝑝𝑔𝑔 berupa

persegi panjang.

Gambar 4.9 Kisi satuan untuk 𝑝𝑝𝑔𝑔

Contoh dari grup 𝑝𝑝𝑔𝑔 ada pada Gambar 4.10.

Gambar 4.10 Contoh motif grup 𝑝𝑝𝑔𝑔

5. Grup 𝑐𝑐𝑝𝑝

Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu 𝜏𝜏₁ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}, 𝜏𝜏₂ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐴𝐴} dan refleksi sehingga dapat dituliskan sebagai 𝑐𝑐𝑝𝑝 = �𝜏𝜏₁𝑛𝑛_{, 𝜏𝜏}

2𝑝𝑝, 𝜎𝜎𝑘𝑘 |𝑝𝑝, 𝑛𝑛 ∈ ℤ, 𝑘𝑘 = 0 atau 1 �. Kisi satuan dalam grup

(8)

39

Gambar 4.11 Kisi satuan untuk 𝑐𝑐𝑝𝑝

Contoh dari pola grup 𝑐𝑐𝑝𝑝 ada pada Gambar 4.12.

Gambar 4.12 Contoh motif grup 𝑐𝑐𝑝𝑝

6. Grup 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu 𝜏𝜏₁ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}, 𝜏𝜏₂ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐴𝐴}, refleksi terhadap garis horisontal yaitu 𝜎𝜎_{𝐴𝐴𝐴𝐴}_{⃖��⃗} , dan refleksi terhadap vertikal yaitu 𝜎𝜎_{𝐴𝐴𝐴𝐴}_{⃖��⃗} sehingga dapat dituliskan sebagai 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = �𝜏𝜏₁𝑛𝑛_{, 𝜏𝜏}

2𝑝𝑝, 𝜎𝜎1𝑘𝑘 𝜎𝜎2𝑙𝑙|𝑝𝑝, 𝑛𝑛 ∈ ℤ, 𝑘𝑘, 𝑙𝑙 = 0 atau 1 �. Kisi satuan dalam grup

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 berupa persegi panjang.

Gambar 4.13 Kisi satuan untuk 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

(9)

40

Gambar 4.14 Contoh motif grup 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

7. Grup 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑔𝑔

Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu 𝜏𝜏₁ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}, 𝜏𝜏2 = 𝜏𝜏𝐴𝐴,𝐴𝐴, dan refleksi. Translasi yang digunakan adalah translasi

dengan arah yang berlawanan, sehingga dapat dituliskan sebagai 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑔𝑔 = �𝜏𝜏₁𝑛𝑛_{, 𝜏𝜏}

2𝑝𝑝, 𝜎𝜎1𝑘𝑘 𝜎𝜎2𝑙𝑙|𝑝𝑝, 𝑛𝑛 ∈ ℤ, 𝑘𝑘, 𝑙𝑙 = 0 atau 1 �. Kisi satuan

dalam grup 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑔𝑔 berupa persegi panjang atau persegi.

Gambar 4.15 Kisi satuan untuk 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑔𝑔

Contoh dari grup 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑔𝑔 ada pada Gambar 4.16.

(10)

41

8. Grup 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔

Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu 𝜏𝜏₁= 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}, 𝜏𝜏2 = 𝜏𝜏𝐴𝐴,𝐴𝐴 dan glide ke dua arah, sehingga dapat dituliskan sebagai

𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 = �𝜏𝜏₁𝑛𝑛_{, 𝜏𝜏}

2𝑝𝑝, 𝛾𝛾𝑘𝑘 𝜎𝜎𝑙𝑙|𝑝𝑝, 𝑛𝑛, 𝑘𝑘 ∈ ℤ, 𝑙𝑙 = 0 atau 1�. Kisi satuan

dalam grup 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 berupa persegi panjang.

Gambar 4.17 Kisi satuan untuk 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔

Contoh dari grup 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔 ada pada Gambar 4.18.

Gambar 4.18 Contoh motif grup 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔

9. Grup 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝

Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu 𝜏𝜏₁= 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}, 𝜏𝜏2 = 𝜏𝜏𝐴𝐴,𝐴𝐴, glide dan refleksi, sehingga dapat dituliskan sebagai

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝 = ��𝜏𝜏₁𝑛𝑛_{, 𝜏𝜏}

2𝑝𝑝, 𝛾𝛾𝑘𝑘 𝜎𝜎𝑙𝑙|𝑝𝑝, 𝑛𝑛, 𝑘𝑘 ∈ ℤ, 𝑙𝑙 = 0 atau 1��. Kisi satuan

(11)

42

Gambar 4.19 Kisi satuan untuk 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝

Contoh dari grup 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝 ada pada Gambar 4.20.

Gambar 4.20 Contoh motif grup 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝

10. Grup 𝑝𝑝4

Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu 𝜏𝜏₁= 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}, 𝜏𝜏2 = 𝜏𝜏𝐴𝐴,𝐴𝐴, dan rotasi 90° searah perputaran jarum jam, sehingga

dapat dituliskan sebagai 𝑝𝑝4 = �𝜏𝜏₁𝑛𝑛, 𝜏𝜏₂𝑝𝑝, 𝜌𝜌𝑘𝑘|𝑝𝑝, 𝑛𝑛 ∈ ℤ, 𝑘𝑘 = 0,1,2, atau 3�. Kisi satuan dalam grup 𝑝𝑝4 berupa persegi.

(12)

43

11. Grup 𝑝𝑝4𝑝𝑝

Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu 𝜏𝜏₁= 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}, 𝜏𝜏2 = 𝜏𝜏𝐴𝐴,𝐴𝐴, rotasi 90° searah perputaran jarum jam dan refleksi

dengan 4 sumbu refleksi, sehingga dapat dituliskan 𝑝𝑝4𝑝𝑝 =

�𝜏𝜏₁𝑛𝑛_{, 𝜏𝜏}

2𝑝𝑝, 𝜌𝜌𝑘𝑘 𝜎𝜎𝑙𝑙|𝑝𝑝, 𝑛𝑛 ∈ ℤ, 𝑘𝑘 = 0,1,2, atau 3, 𝑙𝑙 = 0 atau 1�. Kisi

satuan dalam grup 𝑝𝑝4𝑝𝑝 berupa persegi.

Gambar 4.23 Kisi satuan untuk 𝑝𝑝4𝑝𝑝

Contoh dari grup 𝑝𝑝4𝑝𝑝 ada pada Gambar 4.24.

(13)

44

12. Grup 𝑝𝑝4𝑔𝑔

Grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu 𝜏𝜏₁= 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}, 𝜏𝜏2 = 𝜏𝜏𝐴𝐴,𝐴𝐴, rotasi 90° searah perputaran jarum jam dan refleksi

dengan 4 sumbu refleksi, sehingga dapat dituliskan sebagai 𝑝𝑝4𝑔𝑔 = �𝜏𝜏₁𝑛𝑛_{, 𝜏𝜏}

2𝑝𝑝, 𝜌𝜌𝑘𝑘 𝜎𝜎𝑙𝑙|𝑝𝑝, 𝑛𝑛 ∈ ℤ, 𝑘𝑘 = 0,1,2, atau 3, 𝑙𝑙 = 0 atau 1�.

Kisi satuan dalam grup 𝑝𝑝4𝑔𝑔 berupa persegi.

Gambar 4.25 Kisi satuan untuk 𝑝𝑝4𝑔𝑔

Contoh dari grup 𝑝𝑝4𝑔𝑔 ada pada Gambar 4.26.

Gambar 4.26 Contoh motif grup 𝑝𝑝4𝑔𝑔

13. Grup 𝑝𝑝3

Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu 𝜏𝜏₁ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}, 𝜏𝜏₂= 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐴𝐴}, dan

rotasi 120° searah perputaran jarum jam, sehingga grup 𝑝𝑝3 dapat

(14)

45

Contoh untuk grup 𝑝𝑝3 terdapat pada Gambar 4.28.

14. Grup 𝑝𝑝3𝑝𝑝1

Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu 𝜏𝜏₁= 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}, 𝜏𝜏₂ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐴𝐴} , rotasi

120° searah perputaran jarum jam, dan refleksi, sehingga grup

𝑝𝑝3𝑝𝑝1 dapat dinyatakan sebagai 𝑝𝑝3𝑝𝑝1 = �𝜏𝜏₁𝑛𝑛_{, 𝜏𝜏}

2𝑝𝑝, 𝜌𝜌𝑘𝑘𝜎𝜎𝑙𝑙 |𝑝𝑝, 𝑛𝑛 ∈

(15)

46

Gambar 4.29 Kisi satuan untuk 𝑝𝑝3𝑝𝑝1

Contoh untuk grup 𝑝𝑝3𝑝𝑝1 ada pada Gambar 4.30.

Gambar 4.30 Contoh motif grup 𝑝𝑝3𝑝𝑝1

Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu 𝜏𝜏₁ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}, 𝜏𝜏₂ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐴𝐴}, rotasi

120° searah perputaran jarum jam, dan refleksi, sehingga grup

𝑝𝑝31𝑝𝑝 dapat dinyatakan sebagai 𝑝𝑝31𝑝𝑝 = �𝜏𝜏₁𝑛𝑛_{, 𝜏𝜏}

2𝑝𝑝, 𝜌𝜌𝑘𝑘𝜎𝜎𝑙𝑙 |𝑝𝑝, 𝑛𝑛 ∈

ℤ , 𝑘𝑘 = 0,1, atau 2, 𝑙𝑙 = 0 atau 1�.

(16)

47

Gambar 4.32 Contoh motif grup 𝑝𝑝31𝑝𝑝 (Durbin, 1985)

16. Grup 𝑝𝑝6

Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu 𝜏𝜏₁ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}, 𝜏𝜏₂= 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐴𝐴}, dan

rotasi 60° searah perputaran jarum jam, sehingga grup 𝑝𝑝6 dapat

dinyatakan sebagai 𝑝𝑝6 = �𝜏𝜏₁𝑛𝑛, 𝜏𝜏₂𝑝𝑝, 𝜌𝜌𝑘𝑘 |𝑝𝑝, 𝑛𝑛 ∈ ℤ , 𝑘𝑘 = 0,1,2,3,4 atau 5�

Contoh untuk grup 𝑝𝑝6 ada pada Gambar 4.34.

(17)

48

Pada grup ini kisi satuan berupa segienam. Pola pada grup ini dibentuk oleh dua translasi yaitu 𝜏𝜏₁ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}, 𝜏𝜏₂ = 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐴𝐴}, rotasi

60° searah perputaran jarum jam, dan refleksi, sehingga grup 𝑝𝑝6𝑝𝑝

dapat dinyatakan sebagai 𝑝𝑝6𝑝𝑝 = �𝜏𝜏₁𝑛𝑛, 𝜏𝜏₂𝑝𝑝, 𝜌𝜌𝑘𝑘𝜎𝜎𝑙𝑙 |𝑝𝑝, 𝑛𝑛 ∈ ℤ , 𝑘𝑘 = 0,1,2,3,4 atau 5, 𝑙𝑙 = 0 atau 1�.

Contoh untuk grup 𝑝𝑝6𝑝𝑝 ada pada Gambar 4.36.

Gambar 4.36 Contoh motif grup 𝑝𝑝6𝑝𝑝 (Gallian, 2006)

Penamaan grup kristalografi tersebut menggunakan penamaan internasional. Untuk keterangan gambar dari tiap tiap kisi dapat dilihat pada tabel berikut.

(18)

49

Tabel 4.1 Keterangan kisi satuan Pusat rotasi lipat-2 Pusat rotasi lipat-3 Pusat rotasi lipat-4 Pusat rotasi lipat-6

Untuk memudahkan dalam membedakan setiap pola, maka Tabel 4.2 digunakan untuk mengenali pola pada grup kristalografi.

Tabel 4.2 Klasifikasi grup kristalografi

Jenis Grup Model Kisi Satuan Pusat rotasi lipat-n Refleksi Glide

p1 jjg 1 tidak ada tidak ada

p2 jjg 2 tidak ada tidak ada

pm ppj 1 ada tidak ada

pg ppj 1 tidak ada ada

cm bkt 1 ada ada

pmm ppj 2 ada tidak ada

pmg ppj 2 ada ada

pgg ppj 2 tidak ada ada

cmm bkt 2 ada ada

(19)

50

p4m psg 4 ada ada

p4g psg 4 ada ada

p3 s6 3 tidak ada tidak ada

p3m1 s6 3 ada ada

p31m s6 3 ada ada

p6 s6 6 tidak ada tidak ada

p6m s6 6 ada ada Keterangan : a. jjg : jajargenjang b. bkt : belah ketupat c. ppj : persegi panjang d. psg : persegi e. s6 : segienam

C. Penerapan Grup Kristalografi untuk Motif Batik

Untuk dapat membentuk suatu motif dari pola dasar, maka perlu untuk mengetahui daerah generator dari setiap grup kristalografi. Daerah generator pada sebuah pola adalah daerah terkecil pada bidang dimana grup simetri daerah tersebut memenuhi seluruh bidang ( Schattschneider, 1978). Daerah generator dari setiap grup kristalografi dapat dilihat pada Gambar 4.37.

(20)

51

Gambar 4.37 Daerah generator untuk setiap grup kristalografi (

Schattschneider, 1978).

Kemudian untuk membentuk motif dengan pola dasar tertentu maka dibutuhkan langkah langkah sebagai berikut :

1. Tempatkan pola dasar pada daerah generator.

2. Operasikan pola dengan isometri yang terdapat pada grup kristalografi.

3. Pola di translasikan searah dengan vektor yang membentuk rusuk kisi satuan.

(21)

52

Contoh 4.1. Membentuk motif dengan grup kristalografi

1. Membentuk motif dengan pola dasar “ ∫ “ menggunakan grup 𝑝𝑝3𝑝𝑝1.

Gambar 4.38 Langkah-langkah pembentukan motif menggunakan

grup 𝑝𝑝3𝑝𝑝1

Pola dasar “ ∫ “ ditempatkan pada daerah generator seperti pada

Gambar 4.38 (a). Karena isometri yang terdapat pada grup 𝑝𝑝3𝑝𝑝1

adalah �𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐵𝐵}, 𝜏𝜏_{𝐴𝐴,𝐴𝐴}, 𝜌𝜌_120°, 𝜎𝜎_{𝐴𝐴𝐺𝐺}_{⃖��⃗}�, selanjutnya pola di refleksikan terhadap garis 𝐴𝐴𝐺𝐺⃖��⃗ seperti pada Gambar 4.38 (b). Kemudian pola tersebut

dirotasikan 120° dengan pusat rotasi 𝐺𝐺 sebanyak dua kali dan

dilanjutkan dengan translasi searah dengan sisi/rusuk kisi satuan yaitu garis 𝐴𝐴𝐵𝐵��⃗ dan 𝐴𝐴𝐴𝐴��⃗ sehingga menghasilkan motif batik pada Gambar 4.38 (d).

2. Membentuk motif dengan pola pada Gambar 4.39 menggunakan grup 𝑝𝑝4.

(22)

53

Gambar 4.39 Pola dasar

Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat motif dari pola dasar tersebut adalah:

a. Pola dasar ditempatkan pada daerah generator seperti pada Gambar 4.40 (a).

b. Pola dasar dirotasikan dengan sudut 90° sebanyak tiga kali seperti pada Gambar 4.40 (b).

c. Pola tersebut ditranslasikan vertikal dan horizontal sehingga menghasilkan motif pada Gambar 4.40 (c).

Gambar 4.40 Langkah-langkah pembentukan motif menggunakan

grup 𝑝𝑝4

D. Graphical User Interface (GUI) untuk Pembentukan Motif Batik

Untuk mempermudah dalam mengaplikasikan grup kristalografi untuk pembentukan motif batik, maka dibuat program menggunakan

Graphical User Interface (GUI) pada MATLAB. Program ini dapat

membentuk motif batik menggunakan grup kristalografi. Pada program ini pola dasar yang berupa gambar akan diproses menjadi suatu matriks

(23)

54

persegi. Dikarenakan gambar diproses menjadi matriks persegi maka grup kristalografi yang mempunyai kisi satuan berupa segienam tidak dapat diproses secara maksimal. Pola dasar dengan kisi satuan segienam apabila disatukan menjadi sebuah motif maka terdapat celah antar kisi satuan, sehingga menyebabkan motif batik yang dibentuk tidak memenuhi kriteria grup kristalografi. Terdapat 6 grup yang menggunakan kisi satuan berupa segienam. Oleh karena itu dari 17 grup yang ada, grup kristalografi yang dapat digunakan pada program ini hanyalah 11 grup. Kesebelas grup tersebut adalah 𝑝𝑝1, 𝑝𝑝2, 𝑝𝑝𝑝𝑝, 𝑝𝑝𝑔𝑔, 𝑝𝑝4𝑔𝑔, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑔𝑔, 𝑝𝑝𝑔𝑔𝑔𝑔, 𝑐𝑐𝑝𝑝, 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝, dan 𝑝𝑝4.

Pada Gambar 4.41 merupakan tampilan program pembentukan motif batik menggunakan grup kristalografi.

Gambar 4.41 Tampilan awal GUI untuk pembentukan motif batik

Pada program tersebut tombol “browse” digunakan untuk memasukkan pola dasar yang akan diproses menjadi motif batik. Setelah pola dasar dipilih maka pola dasar akan tampil di layar utama seperti pada gambar 4.42. Untuk membentuk motif batik maka pengguna dapat

(24)

55

memilih grup kristalografi yang akan digunakan menggunakan 11 tombol di sebelah kanan.

Gambar 4.42 Tampilan pola dasar pada layar utama

Setelah grup kristalografi dipilih maka motif batik akan muncul di layar utama dan layar “figure” seperti pada Gambar 4.43

Gambar 4.43 Hasil motif batik menggunakan grup 𝑝𝑝𝑔𝑔

Untuk menyimpan hasil motif batik maka dapat menggunakan tombol

save pada layar “figure”. Motif batik akan disimpan dalam bentuk

(25)

56

Program ini dapat menghasilkan beberapa motif batik dari satu pola dasar. Namun tidak setiap grup kristalografi menghasilkan motif yang berbeda. Pada beberapa pola dasar menghasilkan motif batik yang sama dengan menggunakan grup kristalografi yang berbeda, seperti pada Gambar 4.44 dan 4.45.

Gambar 4.44 Motif batik menggunakan grup 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

Gambar 4.45 Motif batik menggunakan grup 𝑝𝑝4

Pada Gambar 4.44 dan 4.45 motif batik yang dihasilkan sama, padahal menggunakan grup kristalografi yang berbeda. Hal ini disebabkan

(26)

57

karena hasil operasi pola dasar pada kedua grup sama, sehingga menghasilkan motif yang sama.

Dari beberapa pola dasar yang digunakan pada penelitian ini, ada 3 grup yang dapat menghasilkan motif yang sama. Grup tersebut adalah, grup 𝑝𝑝4, grup 𝑝𝑝4𝑔𝑔 dan grup 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝.

Grup 𝑝𝑝4 akan menghasilkan motif yang sama dengan grup 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝

jika rotasi 270° pada pola dasar sama dengan pencerminan terhadap garis

horizontal seperti pada Gambar 4.46, rotasi 180° sama dengan

pencerminan pola dasar terhadap garis horizontal kemudian dilanjutkan

pencerminan terhadap garis vertikal, rotasi 90° sama dengan pencerminan

pola dasar terhadap garis vertikal.

Gambar 4.46 (a) Pola dasar direfleksikan terhadap garis vertikal (b) pola

dasar dirotasikan dengan sudut 270o

Motif yang dihasilkan oleh grup 𝑝𝑝4 dan 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 dapat dilihat pada Gambar

(27)

58

Gambar 4.47 Motif batik menggunakan grup 𝑝𝑝4