BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam teori bilangan, bilangan Euler merupakan sebarisan bilangan bulat En yang didefinisikan melalui ekspansi deret Taylor:
1
dengan cosh t adalah kosinus hiperbolik. Bilangan Euler pada umumnya muncul sebagai suatu nilai khusus dari polinomial Euler. Selain itu, bilangan Euler juga muncul dalam bentuk kombinatorik.
Kombinatorial (Combinatoric) adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek tanpa harus mengenumerasi terlebih dahulu. Solusi yang ingin diperoleh adalah jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam him-punannya. Pengaturan yang dimaksud adalah bagaimana objek-objek dapat di-kombinasikan dalam bebagai susunan atau urutan yang menghasilkan output yang berbeda. Konsep kombinatorial yang digunakan dalam penelitian ini salah satunya adalah permutasi.
Permutasi adalah salah satu bentuk umum dari kombinatorial. Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan r≤ n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama. Selain itu, terdapat pula bentuk permutasi yang lebih khusus yaitu kombinasi. Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C(n, r), adalah jumlah pemilihan yang tidak terurutr elemen yang diambil darin buah elemen.
Dalam kaitannya dengan kombinatorik, bilangan Euler muncul khusus ketika menghitung banyaknya alternatif permutasi dari himpunan bilangan dengan jumlah genap. Interpretasi kombinatorial bilangan Euler dapat diperoleh setelah memahami pengertian penurunan (descent) dalam permutasi. Misalkan p = p1, p2, p3, . . . , pn adalah sebuah permutasi, i dikatakan suatu penurunan (descent) dari p jika pi >
1
2
pi+1, hal yang sama juga berlaku i dikatakan naik (ascent) jika pi < pi+1. Descent
menotasikan posisi pbukan entri dari p (Bona, 2004).
Dalam Xionget al.,2014, jika diberikannbilangan bulat positif, Ωn didefinisi-kan sebagai himpunan semua permutasi [n] = {1,2, . . . , n}. Untuk sebuah permutasi π = p1p2p3. . . pn ∈ Ωn, i dikatakan menaik (ascent) dari π jika pi < pi+1; i disebut
terlampau lemah dari π jikapi ≥i.
Bilangan Euler kuno, An,k telah dikenal sebagai banyaknya permutasi π ∈ Ωn yang memiliki k lampauan lemah dan An,k memenuhi rekurensi berikut (Xiong et
al., 2014):
An,1 = 1,(n ≥1), An,k= 0(k > n),
An,k =kAn−1,k + (n+ 1−k)An−1,k−1 (1.2)
Sejak tahun 1950an, Carlitz [3, 4] dan timnya telah melakukan hasil general-isasi bilangan Euler ke dalam q-barisan {1, q, q2, q3, . . .
}. Peneliti bertujuan ingin mengulas penelitian yang dilakukan oleh Xiong et al., (2014) yang menggeneralisasi bilangan Euler ke dalam bentuk progres aritmatika
{a, a+d, a+ 2d, a+ 3d, . . .}. (1.3)
Berdasarkan persamaan (1.3), penelitian ini mengulas bagaimana bentuk kom-binatorial bilangan Euler dan cara menginterpretasikannya sesuai penelitian terdahu-lu yang dilakukan oleh Xiong et al.,(2014). Oleh karena penelitian terdahulu masih sulit untuk dipahami bagaimana proses interpretasi kombinatorial bilangan Euler secara jelas, peneliti juga mengajukan suatu rangkaian algoritma sebagai solusinya.
1.2 Perumusan Masalah
Pada penelitian terdahulu interpretasi kombinatorial bilangan Euler masih sangat sulit dipahami, karena itu peneliti mengajukan sebuah algoritma interpertasi kom-binatorial bilangan Euler.
3
1.3 Tujuan Penelitian
Menguraikan proses dan membentuk algoritma interpretasi kombinatorial bilangan Euler.
1.4 Manfaat Penelitian
Memperkaya literatur tentang kombinatorial dengan adanya kombinatorial bilangan Euler. Selain itu, pembaca mampu memahami bagaimana proses dan interpretasi kombinatorial bilangan Euler.
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan mengumpulkan informasi dari beberapa jurnal. Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Menguraikan prinsip-prinsip dasar kombinatorial khususnya permutasi.
2. Mengulas proses kombinatorial bilangan Euler.
3. Memberikan interpretasi kombinatorial bilangan Euler.
