II. ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG LOGIKA
A. PENDAHULUAN ALJABAR BOOLEAN Ekspresi Boolean
Adalah pernyataan logika dalam bentuk aljabar Boolean.
B. FUNGSI BOOLEAN
Rumus –2 pada aljabar Boolean
No AND OR KETERANGAN
1
(A.B).C = A.(B.C) A .B = B .A
(A+B).(A+C)=A+(B.C) A.O = O
A.A = A A.A’ = O (A’)’ = A
A.O= O A .1 = A A.(A + B) = A
(A+B)+C=A+(B+C) A+B=B+A
(A.B)+(A.C)=A(B+C) A+1= 1
A+A=A A+ A’ =1
(A’)’ = A A + O = A
A + 1 = 1 A + (A.B) = A
Hk.Asosiatif Hk.Komutatif Hk.Distributif Hk.Identitas Hk.Idempoten
B. FUNGSI BOOLEAN
Rumus –2 pada aljabar Boolean
Hukum De Morgan
(A + B)’ = A’ . B’ A + B = (A’ . B’)’
(A . B)’ = A’ + B’ A . B = (A’ + B’)’
No Fungsi KETERANGAN
1 2 3 4 5
A.(B+C) = A.B + A.C (A+B).C = A.C + B.C A+(B.C) = (A+B).(A+C) (A.B)+C = (A+C).(B+C)
(A+B+C).(A+B+C’) = A+B+C.C’
CONTOH
1. X + X’ .Y = (X + X’).(X +Y) = X+Y 2. X .(X’+Y) = X.X’ + X.Y = X.Y
3. X.Y+ X’.Z+Y.Z = X.Y + X’.Z + Y.Z.(X+X’) = X.Y + X’.Z + X.Y.Z + X’.Y.Z = X.Y.(1+Z) + X’.Z.(1+Y)
= X.Y + X’.Z
C. KANONIKAL DAN BENTUK STANDARD
Adalah menyatakan suatu persamaan dalam hubungan operasi AND atau OR antar variabel secara lengkap pada setiap suku (term). Dan antar suku dihubungkan dengan operasi OR atau AND.
C. KANONIKAL DAN BENTUK STANDARD
Bentuk STANDARD
SOP (Sum of Product) Term-term AND di OR kan contoh: AB’C + A’BC’
POS (Product of Sum) Term-term OR di AND kan contoh: (A+B’+C).(A’+B+C’)
Bentuk KANONIK
X Y Z Minterm Maxterm Term Nama Term Nama 0
x’y’z’ x’y’z x’yz’ x’yz xy’z’
xy’z xyz’ xyz
m0
x+y+z x+y+z’ x+y’+z x+y’+z’
x’+y+z x’+y+z’ x’+y’+z x’+y’+z’
M0 Bentuk Minterm dan Maxterm
M I N T E R M
Adalah suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi AND antar variabel secara
lengkap. Dan antar suku dihubungkan dengan OR Contoh.
Tunjukkan fungsi Boolean F = A + B’C dalam minterm
Jawab.
Fungsi mempunyai 3 variabel A,B dan C suku pertama A = A(B+B’) (C+C’)
= ABC+ABC’+AB’C+AB’C’
suku kedua B’C = B’C (A+A’) = AB’C + A’B’C
Jadi penulisan Minterm untuk F = A + B’C
adalah F = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+A’B’C = m7 + m6 + m5 + m4 + m1
Atau dapat ditulis dengan notasi F (ABC) =
(1,4,5,6,7)Lanjutan …
Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.
M A X T E R M
Adalah suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi OR antar variabel secara
lengkap. Dan antar suku di hubungkan dengan operasi AND.
Contoh.
Tunjukkan fungsi Boolean F = XY + X’Z dalam Maxterm.
Jawab.
Fungsi mempunyai 3 variabel X,Y dan Z dengan menggunakan Hk.Distributif
Lanjutan ……. Untuk suku 1
(X’+Y) = X’+Y + ZZ’ = (X’ + Y + Z) (X’ + Y + Z’) (X + Z) = X + Z + YY’ = (X + Z + Y) (X + Y’ + Z)
(Y + Z) = Y + Z + XX’ = (X + Y + Z) (X’ + Y + Z)
Jadi dapat ditulis
F(XYZ) = (X+Y+Z) (X+Y’+Z) (X’+Y+Z) (X’+Y+Z’) = M0.M2.M4.M5
Atau ditulis dengan notasi
Lanjutan …
Dan tabel kebenaran adalah sebagai berikut.
Soal latihan.
Ekspresikan fungsi Boolean tsb dalam bentuk Minterm dan Maxterm.
JAWAB:
III. GERBANG LOGIKA
A. PENDAHULUAN Gerbang Logika:
adalah piranti yang memiliki keadaan bertaraf logika. Gerbang logika dapat
merepresentasikan keadaan dan bilangan biner
B. GERBANG LOGIKA
Terdapat dua keadaan pada gerbang logika, yaitu 0 dan 1. Gerbang logika bekerja dengan
menggunakan tegangan listrik. Tegangan yang digunakan dalam gerbang logika adalah HIGH (1) dan LOW (0).
Sistem Digital paling kompleks seperti komputer disusun dari gerbang logika dasar seperti AND, OR, NOT dan gerbang logika kombinasi
Gerbang AND digunakan untuk menghasilkan logika 1 bila semua masukan berlogika 1. Gerbang OR digunakan untuk menghasilkan
logika 1 bila salah satu masukan berlogika 1
Gerbang NAND digunakan untuk
menghasilkan logika 0 bila semua masukan berlogika 1.
Gerbang NOR digunakan untuk menghasilkan logika 0 bila salah satu masukan
berlogika 1
Gerbang NOT adalah gerbang pembalik
(inverter). Output yang dihasilkan adalah kebalikan dari input yang diberikan
Gerbang AND
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = A . B = A B
Gerbang OR
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = A + B
Gerbang NOT
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = A’
Gerbang NAND
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = ( A . B )’
Gerbang NOR
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = ( A + B )’
Gerbang XOR
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = A.B’ + A’.B
Gerbang XNOR
Gerbang logika Tabel kebenaran
Persaman Logika
Y = (A+B’) . (A’+B)
Rangkaian Terintegrasi
Rangkaian terintegrasi adalah rangkaian aplikasi yang terbentuk dari berbagai macam gerbang logika. Rangkaian terintegrasi dapat merupakan kombinasi dari satu jenis gerbang logika atau lebih. Penyederhanaan rangkaian terintegrasi dapat menggunakan teorema aljabar Boolean dan peta Karnough
CONTOH.
Buatlah rangkaian dengan Gerbang Logika untuk aljabar Boolean sbb.
X . ( X’ + Y )
Jawab.
X X.( X’+Y)
