KESIMPULAN DAN MASALAH TERBUKA
5.1 Kesimpulan
Pada bab ini diberikan kesimpulan dari hasil-hasil yang sudah diperoleh, meliputi pelabelan total tak reguler sisi, pelabelan total tak reguler titik dan pela-belan total tak reguler total.
5.1.1 Kekuatan Tak Reguler Sisi Total
Dari penelitian ini telah diperoleh kekuatan tak reguler sisi total (tes(G)) beberapa graf cyclic dan bersisi daun yang dapat dilihat di Tabel 5.1. Pada ta-bel tersebut juga dicantumkan nilai-nilai untuk d|E|3+2e(batas bawah tes(G)pada Teorema 2.3.1), d4+1
2 e (batas bawah tes(G)pada Teorema 2.3.2) dan nilai maks {d42+1e,d|E|3+2e}(Konjektur 1.1.1).
Pencantuman nilai-nilai pada kolom ke-4, ke-5 dan ke-6 pada tabel dimaksudkan untuk melihat keterkaitan hasil yang diperoleh dengan teorema maupun konjektur yang sudah dihasilkan oleh peneliti-peneliti terdahulu.
1. Dari Tabel 5.1 terlihat bahwa nilai tes(G) pada beberapa graf cyclic yang diteliti mempunyai hasil yang sama dengan nilai tes(G) pada graf pohon (Teorema 2.3.3) yang ditemukan oleh Ivanˇco dan Jendrol’(2006), yaitu
tes(G) =maks (& 4+ 1 2 ' , & |E|+ 2 3 ') .
2. Selain itu, hasil-hasil untuk tes(G) beberapa graf cyclic yang diteliti juga mendukung berlakunya Konjektur 1.1.1 oleh Ivanˇco dan Jendrol’(2006), ya-itu untuk grafGyang bukanK5 berlaku
tes(G) =maks ( l4+ 1 2 m ,l|E|+ 2 3 m ) . 131
Tabel 5.1 Tabel hasil kekuatan tak reguler sisi total (tes(G)) No Graf tes(G) d|E3|+2e d4+1 2 e maks {d42+1e,d|E|3+2e} 1. HelmHn, n≥3 n+ 1 n+ 1 dn+12 e n+ 1 2. Web berdaun d5n+2 3 e d 5n+2 3 e d n+1 2 e d 5n+2 3 e W(n,2), n≥3 3. GirGn, n≥3 n+ 1 n+1 dn+12 e n+ 1 4. Gir berdaun d5n+2 3 e d 5n+2 3 e d n+1 2 e d 5n+2 3 e G(n), n≥3 5. Jahangir diperumum d4n+2 3 e d 4n+2 3 e d n+1 2 e d 4n+2 3 e Jn,3,3≤n ≤6 6. Helm diperumum d(m+3)n+23 e d(m+3)n+23 e dn+1 2 e d (m+3)n+2 3 e Hnm, m ≡0 (mod 3) n ≥3 7. Web diperumum d2mn+2 3 e d 2mn+2 3 e d n+1 2 e d 2mn+2 3 e Wn,m, n ≥3, m ≥2 8. Prisma diperumum d(2t+1)n+23 e d(2t+1)n+23 e 3 d(2t+1)n+23 e Cn2Pt, n≥3, t≥1 9. Web diperumum d(2m+1)n+23 e d(2m+1)n+23 e dn+1 2 e d (2m+1)n+2 3 e bersisi daunW(n, m) n ≥3, m≥2 10. Prisma diperumum d(2t+2)n+23 e d(2t+2)n+23 e 3 d(2t+2)n+23 e bersisi daun Cn2Pt, n≥3, t≥1
5.1.2 Kekuatan Tak Reguler Titik Total
Telah diperoleh kekuatan tak reguler titik total (tvs(G)) pada beberapa graf cyclic dan bersisi daun yang dapat dilihat di Tabel 5.2. Pada tabel tersebut juga dicantumkan nilai-nilai untukdn+δ
4+1e(batas bawahtvs(G)pada Teorema 2.3.4) dan maks{δ+nδ δ+1 , l δ+nδ+nδ+1 δ+2 m , . . . , lδ+P∆ i=δni ∆+1 m }(Konjektur 1.1.2).
Pencantuman nilai-nilai pada kolom ke-4 dan ke-5 pada tabel dimaksudkan untuk melihat keterkaitan hasil-hasil yang diperoleh pada penelitian ini dengan hasil-hasil yang telah diperoleh para peneliti terdahulu.
1. Dari Tabel 5.2 no. 1 dan 2, terlihat bahwa hasil-hasil untuktvs(G)grafcyclic dan bersisi daun mendukung berlakunya Konjektur 1.1.2 dari Nurdin (2010),
Tabel 5.2 Tabel hasil kekuatan tak reguler titik total (tvs(G)) No Graf tvs(G) dn+δ 4+1e maks{ δ+nδ δ+1 , lδ+n δ+nδ+1 δ+2 m , . . . , lδ+P∆ i=δni ∆+1 m } 1. Helm diperumum d(m+1)n+13 e d(m+2)n+2n+1 e d(m+1)n+13 e Hm n, n, m≥3
2. Prisma bersisi daun d3n+1
5 e d 3n+1 5 e d 3n+1 5 e Pn, n≥3
3. KoronaGberorde dpn+12 e dpn+p+14+n+1e maks{1+n1
2 , p≥2denganKn, 1+n1+n2 3 , . . . , GKn, n≥2 l1+P∆ i=1ni ∆+1 m }
4. KoronaGberorde dp+12 e d2p+14+2e maks{1+n1
2 , p≥3denganK1, 1+n1+n2 3 , . . . , GK1 l1+P∆ i=1ni ∆+1 m } 5. Korona diperumumG,r- l Pp i=1ni+1 2 m l p+Pp i=1ni+1 r+max1≤i≤p{ni}+1 m maks{1+n1 2 , reguler berordep≥3,r≥2, 1+n1+n2 3 , . . . ,
dengan komplemen graf
l1+P∆ i=1ni ∆+1 m } lengkapKni,1≤i≤p, G∗{K n1, . . . , Knp}
yaitu untuk graf terhubungGdengannititik berderajati, berlaku tvs(G) = maksnlδ+nδ δ+ 1 m ,lδ+nδ+nδ+1 δ+ 2 m , . . . ,lδ+ P∆ i=δni ∆ + 1 mo .
2. Dari hasil pada Tabel 5.2 no. 3 dan 4 diperoleh suatu sifat (karakteristik) yang dituliskan pada Teorema 4.1.18, bahwa pada sebarang graf terhubungG ber-orde pyang setiap titiknya bertetangga dengan sejumlah sama n titik daun,
n ≥ 1, sehingga graf yang terbentuk tidak mempunyai titik berderajat dua dan graf tersebut mempunyai sejumlahpntitik daun, maka kekuatan tak re-guler titik totalnya adalahtvs(G) = pn+12 .
Hasil ini sama dengan kekuatan tak reguler titik total graf pohon pada Teo-rema 2.3.5 (Nurdin dkk., 2010) yang mengatakan bahwa untuk graf pohonT
yang tidak mempunyai titik berderajat dua dan mempunyai sejumlahn1titik
daun, kekuatan tak reguler titik totalnya adalahtvs(T) = n1+1
2
..
maupun graf acyclic (graf pohon). Graf pohon yang merupakan graf bagi-an dari graf cyclicyang terbentuk mempunyai kekuatan tak reguler titik to-tal seperti pada Teorema 2.3.5. Jadi dapat dikatakan bahwa Teorema 4.1.12 merupakan bentuk lebih umum dari Teorema 2.3.5 (Nurdin dkk., 2010). 4. Dari hasil pada Tabel 5.2 no. 5 diperoleh suatu sifat (karakteristik) yang
di-tulis pada Teorema 4.1.20 bahwa pada graf r-reguler , r ≥ 2 (jadi grafnya cyclic), yang tiap titiknya bertetangga dengan sejumlah sebarang titik daun sehingga graf G yang terbentuk tidak mempunyai titik berderajat dua dan mempunyain1titik daun, kekuatan tak reguler titik totalnya adalahtvs(G) =
n1+1
2
, yang sama dengan hasil untuk graf pohon pada Teorema 2.3.5 (Nu-rdin dkk., 2010).
5.1.3 Kekuatan Tak Reguler Total
Telah dihasilkan kekuatan tak reguler total (ts(G)) beberapa graf pohon, dapat dilihat di Tabel 5.3. Pada tabel tersebut juga dicantumkan banyak titik daun, nilaitvs(G)menggunakan Teorema 2.3.5 (yaitun1+1
2
), nilaites(G) menggunak-an Teorema 2.3.3 (yaitu maks{d42+1e,d|E|3+2e}) serta nilai maks{tes(G), tvs(G)}
(batas bawah pada Observasi (4.8)).
Pencantuman nilai-nilai pada kolom ke-4, ke-5 dan ke-6 dimaksudkan untuk meli-hat keterkaitan hasil-hasil penelitian yang dilakukan dengan hasil-hasil penelitian para peneliti terdahulu.
1. Dari Tabel 5.3, terlihat bahwa hasil-hasilts(G)untuk graf pohon (dalam hal ini graf bintang, dobel-bintang dancaterpillar) sama dengan nilai
maks{tes(G), tvs(G)}.
Hasil ini sama dengan batas bawah ts(G) pada Observasi (4.8).
2. Dari hasil-hasil yang diperoleh, terlihat ada hubungan antara jumlah titik da-un dengan nilaits(G), yaitu untuk graf pohonT (dalam hal ini graf bintang, dobel-bintang dan caterpillar) yang mempunyai sebanyak n1 titik daun,
di-peroleh kekuatan tak reguler totalnya,ts(G) = n1+1
2
Tabel 5.3 Tabel hasil kekuatan tak reguler total (ts(G))
Graf Jumlah ts(G) tvs(G) tes(G) maks
titik {tes(G), tvs(G)} daun Bintang n dn+1 2 e d n+1 2 e d n+1 2 e d n+1 2 e K1,n, n ≥3 Dobel-bintang n+m−2 dn+m−1 2 e d n+m−1 2 e d n+m+1 3 e, d n+m−1 2 e Sn,m, n, m≥3 untuk|n−m|< min{n, m}+ 2. lmaks{n,m}+1 2 m , untuk|n−m| ≥ min{n, m}+ 2 Dobel-bintang n+m−2 dn+m−1 2 e d n+m−1 2 e d n+m+2 3 e d n+m−1 2 e dengan 1cut vertex, Sn,2,m, n, m≥3
Hasil ini sama dengan nilaitvs(G)untuk graf pohon yang tidak memuat titik berderajat 2, pada Teorema 2.3.5 (Nurdin, 2010).
5.2 Masalah Terbuka
Pada grafcyclicyang titik lingkaran terluarnya berinsiden dengan 1 sisi da-un, diperoleh kekuatan tak reguler sisi totalnya (tes(G)) mendukung berlakunya Konjektur 1.1.1, yaitutes(G) =maks
(
d42+1e,d|E|3+2e
)
. Selain itu, penambahan 1 sisi daun pada tiap titik lingkaran terluar (jadi ada penambahannsisi daun sesuai dengan banyak titik pada lingkaran terluar) menyebabkan batas bawah bobot terbe-sar sisi akan bertambah sebeterbe-sarnpula. Selain itu, pada Teorema 3.2.7 baru dibahas kekuatan tak reguler sisi total graf Jahangir diperumumJn,3 untukn ≤ 6. Karena
itu, disampaikan Masalah I sebagai masalah terbuka berikut ini.
Masalah I.
1. Apakah hasiltes(G)yang mendukung berlakunya Konjektur 1.1.1, yaitu
tes(G) = maks
(
d42+1e,d|E|3+2e
)
juga berlaku untuk penambahan lebih dari 1 sisi daun pada tiap titik lingkaran terluar graf?
2. Apakah hasiltes(G)yang mendukung berlakunya Konjektur 1.1.1 juga ber-laku untuk penambahan sejumlah tertentun ≥1sisi daun pada tiap titik graf (pada hasil koronaGKn,n ≥1)?
3. Apakah hasiltes(G)yang mendukung berlakunya Konjektur 1.1.1 juga ber-laku untuk penambahan sebarang sisi daun pada tiap titik graf?
4. Berapa kekuatan tak reguler sisi total graf Jahangir diperumum Jn,3 untuk n >6?
Pada Teorema 2.3.5, Nurdin dkk telah memberikan hasil bahwa pada graf pohon T yang tidak mempunyai titik berderajat 2 dan mempunyai n1 titik daun,
mempunyai kekuatan tak reguler titik totaltvs(G) =dn1+1
2 e. Pada Teorema 4.1.12
dan Teorema 4.1.15 dikemukakan bahwa untuk graf sebarangGdengan tiap titik-nya bertetangga dengann ≥1titik daun sehinggaGmempunyaipntitik daun dan tidak mempunyai titik berderajat 2, kekuatan tak reguler titik total graf Gadalah
tvs(G) =dpn+12 e.
Pada Teorema 4.1.20, untuk grafGyangr-reguler dengan tiap titiknya bertetangga dengan sebarang jumlah titik daun sehingga graf Gtidak mempunyai titik berde-rajat 2 dan mempunyai n1 titik daun, kekuatan tak reguler titik totalnya adalah tvs(G) =dn1+1
2 e.
Dari hasil-hasil tersebut muncul masalah terbuka yang disajikan pada Masalah II sebagai berikut.
Masalah II. Apakah untuk sebarang graf G (ada kemungkinan mempunyai titik yang tidak bertetangga dengan titik daun) yang tidak memuat titik berderajat 2 dan mempunyain1titik daun, kekuatan tak reguler titik totalnyatvs(G) = dn12+1e?
Jika Masalah II ini berlaku, maka nilai tvsakan sama dengan nilai tvsgraf pohon yang memperhatikan jumlah titik daun yang ada di Teorema 2.3.5. Artinya nilai tvstersebut akan berlaku untuk sebarang graf dengan memperhatikan banyak titik daun pada graf tersebut.
Pada beberapa graf pohon (dalam hal ini graf bintang K1,n, n ≥ 3, graf
dobel-bintangSn,m, n, m ≥ 3dan grafcaterpillarSn,2,m, n, m ≥ 3, diperoleh
hu-bungan antara banyak titik daun dengan nilai kekuatan tak reguler total (ts), yaitu untuk graf pohon T dengan banyak titik daun n1, diperoleh kekuatan tak reguler
totalnya,ts(T) =tvs(T) =dn1+1
2 e.
Hasil ini sama dengan nilaitvs(T)untuk graf pohon yang tidak memuat titik ber-derajat 2, pada Teorema Nurdin (2010). Karena itu muncul masalah terbuka yang disampaikan pada Masalah III sebagai berikut.
Masalah III.Apakah pada sebarang graf pohonT yang mempunyain1 titik daun
berlaku kekuatan tak reguler totalnya,ts(T)=tvs(T)=dn1+1
