ANALISIS SENSITIVITAS PADA PERSOALAN OPTIMALISASI ASSIGMENT PROBLEM DENGAN MENGGUNAKAN
METODE HUNGARIAN
Oleh :
Timotius Rea Zebua NIM 062244510009 Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sain
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas
segala berkat dan kasih karunia-Nya yang senantiasa memberikan kekuatan,
kesabaran, ketekunan dan hikmat bagi penulis sehingga penelitian skripsi ini dapat
diselesaikan dengan baik sesuai dengan waktu yang direncanakan. Adapun judul
skripsi ini adalah: Analisis Sensitivitas Pada Persoalan Optimalisasi Assigment
Problem Dengan Menggunakan Metode Hungarian untuk memenuhi syarat
memperoleh gelar sarjana Non kependidikan Matematika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan.
Dengan segala kerendahan hati dan rasa syukur penulis mengucapkan
terimakasih yang sedalam-dalamnya kepada berbagai pihak yang telah membantu
menyelesaikan skripsi ini, antara lain Ibu Faiz Ahyaningsih S.Si, M.Si, selaku
Dosen Pembimbing Skripsi yang selalu dengan sabar dan ikhlas menuntun
langkah penulis dalam merampungkan skripsi ini, serta Bapak Drs. Yasifati Hia,
M.Si dan dan Drs. J. Ambarita, M.Pd selaku Dosen Penguji yang telah banyak
memberikan saran dan masukan dalam menyelesaikan skripsi ini.
Teristimewa penulis ucapkan terimakasih yang sebanyak-banyaknya
kepada Ayahanda T.Zebua, dan Ibunda R. Siburian, Abang dan adik saya serta
seluruh keluarga atas segala dukungan, doa dan kasih sayangnya dan juga yang
memberi saran dan semangat dalam perjalanan kuliah hingga selesai.
Dan tak lupa penulis juga mengucapkan terimakasih untuk semua rekan
seperjuangan yaitu teman-teman seangkatan Matematika Non’dik 06 unimed
khususnya (Februadin Damanik,Daeng Gamael Kaban, Laetta Sihombing,
Rikardo Purba, Domensus, David, Horasdin) dan juga kepada Elisabet
Simorangkir yang telah banyak membantu dalam proses penyelesaian skripsi ini,
serta teman-teman sepelayanan di IKBKM UNIMED untuk setiap doa dan
dedikasi yang tinggi.
Semoga hasil penelitian ini bermanfaat bagi pengembangan ilmu
v
mengharapkan Kritik dan saran dari para pembaca yang bersifat membangun
untuk perbaikan skripsi ini.
Medan, Agustus 2013
Penulis,
TIMOTIUS REA ZEBUA
iii
ANALISIS SENSITIVITAS PADA PERSOALAN OPTIMALISASI ASSIGMENT PROBLEM DENGAN MENGGUNAKAN
METODE HUNGARIAN Timotius Rea Zebua (062244510009)
ABSTRAK
Masalah penugasan adalah merupakan suatu masalah yang sangat nyata dalam kehidupan keprofesian. Secara umum masalah ini berkisar tentang bagaimana team kerja dengan rute perjalanan oleh perusahaan secara tepat. Metode Hungarian merupakan pendekatan yang baik dalam mencari solusi ini. Hubungan keseimbangan antara pekerja dan tugas dalam persoalan penugasan mengakibatkan sulitnya menggunakan metode analisis sensitivitas. Sehingga akan dilakukan analisis dengan bantuan metode Hungarian. Skripsi ini akan mempresentasikan analisis senstivitas pada fungsi tujuan.
DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Pengesahan ... i
Riwayat Hidup ... ii
Abstrak ... iii
Kata Pengantar ... iv
Daftar Isi ... vi
Daftar Tabel ... viii
BAB I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 4
1.3 Batasan Masalah ... 4
1.4 Asumsi Dasar ... 4
1.5 Tujuan Penelitian ... 4
1.6 Manfaat Penelitian ... 5
BAB II. LANDASAN TEORI 2.1 Program Linier ... 6
2.2 Matriks... 7
2.2.1 Pengertian Matriks ... 7
2.2.2 Penjumlahan Matriks ... 8
2.2.3 Perkalian Matriks ... 8
2.2.4 Perkalian Matriks dengan Bilangan ... 9
2.3 Persoalan Optimasi... 10
2.4 Persoalan Optimasi dan Program linier ... 11
2.6 Metode Hungarian ... 16
2.7 Analisis Sensitivitas Pada Metode Hungarian ... 18
2.7.1 Analisis Sensitivitas Pada Variable Non Basis ... 20
2.7.2 Analisis Sensitivitas Pada variable Basis... 21
2.8 Perbedaan Analisis Sensitivitas dengan Metode Simpleks dan Metode hungarian ... 22
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 23
3.2 Jenis Penelitian ... 23
3.3 Prosedur Penelitian ... 23
BAB IV. PEMBAHASAN 4.1 Contoh Kasus dan Penyelesainnya ... 24
4.2 Penerapan Analisis Sensitivitas pada Metode Hungarian ... 31
4.2.1 Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Variable Non Basis ... 31
4.2.2 Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Variable Basis ... 33
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan ... 37
5.2 Saran ... 37
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1.1 Jarak Berbagai Tempat Produksi Ke Tempat Pemasaran ... 25
Tabel 4.1.2 Penetapan Standart ... 25
Tabel 4.1.3 Biaya Oppurtinity Baris 1 ... 27
Tabel 4.1.4 Biaya Oppurtinity Baris 2 ... 27
Tabel 4.1.5 Biaya Oppurtinity Baris 3 ... 27
Tabel 4.1.6 Biaya Oppurtinity Baris 4 ... 28
Tabel 4.1.7 Biaya Oppurtinity Kolom 1 ... 28
Tabel 4.1.8 Biaya Oppurtinity Kolom 2 ... 28
Tabel 4.1.9 Biaya Oppurtinity Kolom 3 ... 29
Tabel 4.1.10 Biaya Oppurtinity Kolom 4... 29
Tabel 4.1.11 Penyelesaian Optimal ... 31
Tabel 4.2.1.1 Range Variable Koefisien Non Basis ... 33
Tabel 4.2.2.1 Range Variable Koefisien Basis ... 34
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Assignment problem yang biasa dibentuk dengan matriks berbobot
merupakan salah satu masalah dalam dunia teknik informatika, dimana masalah
ini merupakan masalah yang metode penyelesaiannya cukup kompleks.
Assignment problem adalah suatu masalah mengenai pengaturan pada individu
(objek) untuk melaksanakan tugas (kegiatan), sehingga dengan demikian biaya
yang dikeluarkan untuk pelaksanaan penugasan tersebut dapat diminimalkan.
Keterbatasan manusia dalam memberikan solusi tanpa alat bantu
merupakan salah satu kendala dalam mengoptimalkan solusi yang ada. Apalagi
jika harus menganalisis dan memilih ratusan atau bahkan ribuan objek beban agar
sesuai dengan kapasitas daya angkut media transportasi. Efisiensi dalam
penggunaan waktu juga menjadi pertimbangan dalam mendapatkan solusi yang
optimal. Oleh karena itu dibutuhkan suatu metode yang dapat membantu
perusahaan transportasi dalam penyelesaian permasalahan penugasan.
Permasalahan penugasan (Assignment) merupakan kasus dari persoalan
program linier dengan tujuan untuk mencari keuntungan maksimum dengan biaya
seminimum mungkin.Permasalahan penugasan (Assignment) kerap kali ditujukan
pada permasalahan ekonomi, militer, sosial, dan lain-lain dengan sumber daya
yang minim. Sumber daya dapat berupa uang, tenaga kerja, bahan mentah,
kapasitas mesin, waktu, ruangan atu teknologi. Tugas analisis adalah mencapai
hasil terbaik yang mungkin dengan keterbatasan sumber daya ini. Hasil yang
diinginkan mungkin ditujukan sebagai maksimisasi dari beberapa ukuran seperti
profit, penjualan dan kesejahteraan, atau minimisasi seperti biaya, waktu, dan
jarak.
Model penugasan (Assignment) pada awalnya dikenal sebagai Hungarian
2
Hungaria yang pertama kali mengembangkan model ini pada tahun 1916. Di
dalam perkembangannya, model ini lebih banyak diterapkan pada
masalah-masalah pemberian tugas atau pekerjaan kepada karyawan sehinggga model ini
dikenal pula dengan istilah Assignment atau penugasan.
Permasalahan penugasan atau assignment problem adalah suatu persoalan
dimana harus melakukan penugasan terhadap sekumpulan orang yang kepada
sekumpulan job yang ada, sehingga tepat satu orang yang bersesuaian dengan
tepat satu job yang ada. Dengan tersedianya n jenis pekerjaan (jobs) di mana
masing-masing fasilitas (mesin, orang, dan peralatan lainnya) hanya dapat
melaksanakan satu jenis pekerjaan yang mana dikerjakan oleh mesin atau orang
agar jumlah pengorbanan (uang, waktu, tenaga) minimum.
Persoalan penugasan luas penggunaanya dalam bidang manajemen
khususnya keputusan untuk menentukan jenis pekerjaan apa yang harus
dikerjakan oleh siapa atau alat apa. Cara yang paling mudah akan tetapi tidak
efisien ialah dengan jalan permutasi yaitu kalau ada n fasilitas dengan n jenis,
pekerjaan yang harus dilakukan akan diperoleh suatu matriks dengan n baris dan n
kolom, maka akan terdapat n! cara pengaturan atau alternatif. Kita pilih permutasi
dengan jumlah minimum. Penugasan satu orang dengan job yang ada (1,2,…,n)
menghasilkan biaya (cost) sebesar c(1,1) dan orang 1 dengan job 2 menghasilkan biaya c(1,1), c(1,2),…, c(1,n), c(2,1), c(2,2),…, c(2,n),…, c(n,n). Maka misalkan setiap 4 orang dengan 4 job yang ada menghasilkan 4! Kemungkinan yaitu 24
kemungkinan yang ada. Namun yang dicari disini atau fungsi objektifnya adalah
mencari biaya seminimum mungkin sehingga dalam penugasan ini bagi orang
yang melakukan penugasan dapat mengeluarkan biaya seminimum mungkin.
Salah satu metode dalam menyelesaikan persoalan ini adalah algoritma
Brute Force, dimana dalam algoritma ini seluruh kemungkinan solusi
diperhitungkan sebagai kandidat solusi. Dan algoritma penyelesaiannya
menggunakan kompleksitas faktorial. Tentu saja hal ini sangat menggunakan
3
Alternatif lain dalam menyelesaikan masalah assignment ini adalah
dengan menggunakan algoritma Hungarian. Algoritma Hungarian adalah salah
satu algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan masalah
assignment. Versi awalnya, yang dikenal dengan metode Hungarian, ditemukan
dan dipublikasikan oleh Harold Kuhn pada tahun 1955. Algoritma ini kemudian
diperbaiki oleh James Munkres pada tahun 1957. Oleh karena itu, algoritma ini
kemudian dikenal juga dengan nama algoritma Kuhn-Munkres. Algoritma yang
dikembangkan oleh Kuhn ini didasarkan pada hasil kerja dua orang
matematikawan asal Hungaria lainnya, yaitu Denes Konig dan Jeno Egervary.
Keberhasilan Kuhn menggabungkan dua buah penemuan matematis dari
Jeno Egervary menjadi satu bagian merupakan hal utama yang menginspirasikan
lahirnya Algoritma Hungarian. Dengan menggunakan algoritma ini, solusi
optimum sudah pasti akan ditemukan. Namun untuk hal ini, kasusnya dibatasi,
yaitu bila ingin menemukan solusi terbaik dengan nilai minimum (least cost
search). Keuntungan terbesar penggunaan algoritma Hungarian adalah
kompleksitas algoritmanya yang polinomial. Metode yang digunakan dalam
algoritma Hungarian dalam memecahkan masalah sangat sederhana dan mudah
dipahami.
Tujuan yang ingin dicapai dalam memecahkan persoalan penugasan
adalah berusaha untuk menjadwalkan setiap assignee pada suatu assignment
sedemikian rupa sehingga kerugian yang ditimbulkan minimal atau keuntungan
yang didapatkan maksimal. Yang dimaksud kerugian dalam hal ini adalah biaya,
jarak atau waktu, sedangkan keuntungan adalah pendapatan, laba atau nilai
kemenangan. Sehingga jelas dalam persoalan penugasan ada dua jenis masalah
yaitu masalah minimalisasi dan masalah maksimalisasi.
Analisis sensitivitas merupakan analisis yang dilakukan pada solusi
optimal suatu persoalan program linear karena adanya perubahan diskrit
parameter untuk melihat berapa besar perubahan dapat ditolerir sebelum solusi
4
penyelesaian untuk memperoleh solusi optimal (maksimum/minimum) dari suatu
persoalan.
Analisisis sensitivitas dapat dipakai untuk memprediksi keadaan apabila
terjadi perubahan yang cukup besar, misalnya terjadi perubahan pembagian atau
alokasi tugas karena adanya perubahan nilai optimal yang sudah dicapai.
Berubahnya alokasi tugas ini menyebabkan berubahnya urutan prioritas yang baru
dan tindakan apa yang perlu dilakukan.
1.2 Perumusan Masalah
Yang menjadi permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana
menyelesaikan problema analisis sensitivitas terhadap perbuhan pembagian atau
alokasi tugas serta pengaruhnya pada pembagian atau alokasi tugas ( penugasan )
yang optimal dengan algoritma Hungarian.
Berdasarkan latar belakang inilah penulis mengangkat judul “Analisis Sensitivitas pada Optimalisasi Assignment Problem dengan Menggunakan Metode Hungarian”.
1.3 Batasan Masalah
Sesuai dengan batasan ilmu yang dimiliki penulis, maka perlu dilakukan
pembatasan pokok masalah pada tahap sejauh mana penyelesaian optimal semula
adalah sensitif terhadap parameter model untuk pencapaian yang optimal pada
masalah assignment problem.
1.4 Tujuan Penelitian
Secara umum tujuan dari penelitian ini untuk menyelesaikan problema
analisis sensitivitas terhadap perubahan pembagian atau alokasi tugas serta
pengaruhnya pada pembagian atau alokasi tugas (penugasan) yang optimal dengan
5
1.5 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Memberikan tambahan wawasan dan pengetahuan tentang masalah
penugasan.
2. Sebagai penerapan ilmu pengetahuan yang dimiliki, khususnya terapan
assignment problem.
3. Menambah wawasan dalam bidang operasi riset terutama yang
BAB V KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan dari hasil pembahasan yang dilakukan maka dapat diambil
kesimpulan yaitu,:
1. Untuk menyelesaikan assignment problem dengan menggunakan prosedur
metode Hungarian terdiri dari tiga tahap, yaitu penyusunan matriks biaya
opportunity, analisis kelayakan assignment problem, dan penyusunan ulang
matriks biaya opportunity.
2. Setelah didapat hasil range sementara perlu dilakukan pengecekan kelayakan
pada variabel basis.
3. Pengerjaan analisis sensitivitas dengan menggunakan metode Hungarian lebih sederhana dibandingkan dengan metode Simpleks yang memiliki prosedur
pengerjaan dengan tabel yang masih terlalu panjang.
5.2 Saran
Karena analisis sensitivitas pada skripsi ini hanya dilakukan pada masalah
penugasan, maka ada baiknya untuk penelitian berikutnya lebih dikembangkan
