DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika)

Hendra Gunawan^∗

∗Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id.

November 19, 2007

8.1 Kekontinuan pada Interval

8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval

8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval

Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus di titik tersebut. Serupa dengan itu, f kontinu pada suatu interval apabila grafiknya tidak terputus pada interval tersebut. Dalam perkataan lain, f kontinu pada suatu interval apabila kita dapat menggambar grafik fungsi f pada interval tersebut tanpa harus mengangkat pena dari kertas.

Definisi formal Kekontinuan pada Interval

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka I jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik pada I .

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval tutup I = [a, b] jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik c ∈ (a, b), kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b.

Gambar 8.2 Grafik fungsi kontinu pada interval tutup

Contoh 1

Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai f (x ) =

 x , x ≤ 1;

3

2, x > 1

Perhatikan bahwa f kontinu di setiap titik kecuali di c = 1.

Namun f kontinu kiri di c = 1, dan karenanya f kontinu pada interval [0, 1]. Karena f tidak kontinu kanan di c = 1, maka f tidak kontinu pada interval [1, 2].

Proposisi 2

Misalkan f terdefinisi pada suatu interval I . Maka, f kontinu pada I jika dan hanya jika, untuk setiap x ∈ I dan setiap  > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga

|f (x) − f (y )| <  untuk y ∈ I dengan |x − y | < δ.

Contoh 3

(i) Fungsi f (x ) = px + q kontinu pada sebarang interval I . (ii) Fungsi g (x ) = |x | kontinu pada sebarang interval I . (iii) Fungsi h(x ) =√

x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞).

Soal Latihan

1 Misalkan f : [0, 5] → R didefinisikan sebagai f (x ) =

 2x , 0 ≤ x < 1;

1, 1 ≤ x ≤ 5.

Selidiki apakah f kontinu di setiap titik pada interval [0, 5].

Selidiki kekontinuan f pada interval [0, 1] dan pada interval [1, 5]. Sketsalah grafiknya.

2 Buktikan bahwa fungsi f pada Soal 1 terbatas. Tentukan apakah ia mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum.

3 Misalkan I adalah suatu interval tertutup dan 0 < C < 1.

Misalkan f : I → I adalah suatu fungsi yang memenuhi

|f (x) − f (y )| < C |x − y |

untuk tiap x , y ∈ I ; yakni f kontraktif pada I . Buktikan bahwa f kontinu pada I .

Proposisi 4

Misalkan f dan g kontinu pada suatu interval I dan λ, µ ∈ R.

Maka λf + µg dan fg kontinu pada I . Juga, jika g (x ) 6= 0 untuk tiap x ∈ I , maka _g^f kontinu pada I .

Contoh 5

(i) Setiap fungsi polinom kontinu pada sebarang interval.

(ii) Setiap fungsi rasional kontinu pada sebarang interval dalam daerah asalnya. Sebagai contoh, f (x ) = ¹_x kontinu pada (0, ∞).

(iii) Fungsi f (x ) = x +√

x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞), karena f1(x ) = x dan f2(x ) =√

x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞).

Proposisi 6

Misalkan g : I → J kontinu pada interval I dan f : J → R kontinu pada interval J. Maka f ◦ g kontinu pada I .

Bukti. Ambil x ∈ I dan  > 0 sebarang. Karena f kontinu di u = g (x ), maka terdapat δ > 0 sedemikian sehingga

|f (u) − f (v )| < 

untuk v ∈ J dengan |u − v | < δ. Selanjutnya, karena g kontinu di x , kita dapat memilih γ > 0 sedemikian sehingga

|g (x) − g (y )| < δ

untuk y ∈ I dengan |x − y | < γ. Akibatnya, kita peroleh

Contoh 7

(i) Fungsi h(x ) = |1 + x | kontinu pada sebarang interval, karena f (x ) = |x | dan g (x ) = 1 + x kontinu pada sebarang interval.

(ii) Fungsi h(x ) =¹⁻

√x 1+√

x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞).

Proposisi 8

Misalkan f kontinu pada suatu interval I . Jika c ∈ I dan hxni suatu barisan di I dengan lim

n→∞x_n= c, maka lim

n→∞f (x_n) = f (c).

Catatan. Perhatikan bahwa kesimpulan pada Proposisi 8 menyatakan bahwa

n→∞lim f (xn) = f



n→∞lim xn

 .

Dalam perkataan lain, operasi limit dan f dapat bertukar urutan.

Soal Latihan

1 Jelaskan mengapa fungsi berikut kontinu pada sebarang interval.

f (x ) = _{1+|x |}¹ . g (x ) =√

1 + x².

2 Misalkan f kontinu pada suatu interval I dan untuk setiap bilangan rasional r ∈ I berlaku f (r ) = r². Buktikan bahwa f (x ) = x² untuk setiap x ∈ I .

3 Misalkan f : [0, 1] → [0, 1] adalah fungsi kontraktif.

Konstruksi barisan hx_ni dengan x₁ ∈ I dan

x_n+1= f (x_n), n ∈ N. Buktikan bahwa hxni konvergen ke suatu L ∈ [0, 1], dan L = f (L).

Sebagaimana telah disinggung dalam Bab 2, interval [a, b] yang tertutup dan terbatas merupakan himpunan kompak di R.

Sekarang kita akan mempelajari keistimewaan yang dimiliki oleh fungsi kontinu pada interval kompak [a, b].

Teorema 9

Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f ([a, b]) juga merupakan suatu interval kompak.

Teorema ini merupakan konsekuensi dari beberapa teorema berikut.

Teorema 10

Misalkan f kontinu pada suatu interval I . Maka daerah nilainya, yaitu f (I ), juga merupakan suatu interval.

Teorema 11 (Teorema Nilai Antara)

Misalkan f kontinu pada suatu interval I yang memuat a dan b.

Jika u terletak di antara f (a) dan f (b), maka terdapat c di antara a dan b sedemikian sehingga f (c) = u.

Catatan. Teorema 11 setara dengan Teorema 10.

‘Bukti’. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan a < b dan f (a) < u < f (b). Tinjau himpunan H := {x ∈ [a, b] : f (x ) < u}.

Jelas bahwa H 6= ∅ karena a ∈ H. Karena H juga terbatas, maka H mempunyai supremum, sebutlah c = sup H. Selanjutnya tinggal membuktikan bahwa f (c) = u, dengan menunjukkan bahwa tidak mungkin f (c) < u ataupun f (c) > u.

Teorema 12

Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f terbatas pada [a, b].

Bukti. Misalkan f tak terbatas pada [a, b]. Maka terdapat suatu barisan hxni di [a, b] sedemikian sehingga

|f (x_n)| → +∞ untuk n → ∞. (1) Karena hx_ni terbatas, maka menurut Teorema Bolzano -

Weierstrass terdapat suatu sub-barisan hx_nki yang konvergen ke suatu titik c ∈ [a, b]. Tetapi f kontinu di c, sehingga

Teorema 13

Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum pada [a, b].

Bukti. Dari Teorema 12 kita tahu bahwa f terbatas pada [a, b].

Misalkan v := sup f ([a, b]). Konstruksi barisan hx_ni di [a, b]

dengan f (x_n) → v untuk n → ∞. Karena hx_ni terbatas, terdapat sub-barisan hxnki yang konvergen ke suatu titik c ∈ [a, b]. Namun kekontinuan di c mengakibatkan f (x_nk) → f (c) untuk k → ∞.

Jadi mestilah v = f (c), dan ini berarti bahwa v merupakan nilai maksimum. Serupa dengan itu, f juga mencapai nilai

minimumnya.

Contoh 14

Persamaan 10x⁷− 13x⁵− 1 = 0 mempunyai sebuah akar c ∈ (−1, 0).

Misalkan f (x ) = 10x⁷− 13x⁵− 1. Maka, f (−1) = 2 dan

f (0) = −1. Karena f kontinu pada [−1, 0] dan 0 terletak di antara f (−1) dan f (0), maka menurut Teorema Nilai Antara terdapat c ∈ (−1, 0) sedemikian sehingga f (c) = 0. Bilangan c dalam hal ini merupakan akar persamaan di atas.

Contoh 15

Misalkan f : [a, b] → [a, b] kontinu pada [a, b]. Maka, terdapat c ∈ [a, b] sedemikian sehingga f (c) = c. [Bilangan c demikian disebut sebagai titik tetap f .]

Peta dari [a, b] merupakan himpunan bagian dari [a, b], sehingga f (a) ≥ a dan f (b) ≤ b. Tinjau g (x ) = f (x ) − x , x ∈ [a, b].

Karena f kontinu pada [a, b], maka g juga kontinu pada [a, b].

Namun g (a) = f (a) − a ≥ 0 dan g (b) = f (b) − b ≤ 0. Menurut Teorema Nilai Antara, mestilah terdapat c ∈ [a, b] sedemikian sehingga g (c) = 0. Akibatnya f (c) = c.

Soal Latihan

1 Lengkapi Bukti Teorema Nilai Antara.

2 Buktikan bahwa setiap polinom berderajat ganjil mempunyai sedikitnya satu akar real.

3 Misalkan f kontinu pada suatu interval kompak I . Misalkan untuk setiap x ∈ I terdapat y ∈ I sedemikian sehingga

|f (y )| ≤ 1 2|f (x)|.

Buktikan bahwa terdapat suatu c ∈ I sedemikian sehingga