I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matriks merupakan istilah yang digunakan untuk menunjukkan jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Salah satu jenis matriks yang banyak digunakan adalah matriks simetrik. Matriks simetrik adalah matriks yang sama dengan transposnya yaitu matriks yang kolom-kolomnya adalah baris- baris matriks itu sendiri.
Matriks yang dibahas pada tulisan ini adalah matriks kuasidefinit yang dipartisi menjadi empat blok dan memuat matriks definit positif. Matriks ini mempunyai sifat- sifat yang dapat diterapkan untuk
menyelesaikan permasalahan-permasalahan matematika khususnya pada bidang riset operasi, salah satunya adalah mengaplikasikan sifat-sifat matriks kuasidefinit pada metode titik interior (interior-point method).
Semua bahasan materi tentang matriks kuasidefinit pada karya ilmiah ini direkonstruksi dari tulisan Robert J.
Vanderbei (1995) yang berjudul Symmetric Quasidefinite Matrices.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk membuktikan beberapa sifat dari matriks kuasidefinit.
II LANDASAN TEORI Maksud dari bab ini adalah mengingatkan
kembali tentang pengertian matriks, jenis- jenis matriks dan memberikan penjelasan tentang matriks definit positif dan semidefinit positif serta beberapa sifatnya yang akan berguna dalam memahami tulisan ini secara keseluruhan.
2.1 Matriks dan Determinan Definisi 2.1 (Matriks)
Matriks merupakan kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang atau bujur sangkar dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Secara umum matriks yang berukuran dapat ditulis dengan dengan adalah unsur matriks pada baris ke- dan kolom ke- , dan
1,2, … , ; 1,2, … , . Matriks dapat ditulis dalam bentuk:
[Leon 2001]
Definisi 2.2 (Determinan)
Determinan dari suatu matriks berukuran , dinyatakan sebagai det adalah suatu skalar yang diasosiasikan dengan matriks dan didefinisikan sebagai berikut:
det , jika 1
, jika 1 dengan
1 det , 1, … ,
adalah kofaktor-kofaktor yang diasosiasikan dengan entri-entri dalam baris pertama dari .
[Leon 2001]
Berikut ini akan diberikan pengertian beberapa jenis matriks dan sifat-sifatnya yang berhubungan dengan tulisan ini.
Definisi 2.3 (Matriks Transpos)
Transpos dari suatu matriks berukuran , ditulis adalah matriks berukuran yang diperoleh dengan mengganti setiap baris dari menjadi kolom dan sebaliknya, sehingga jika ,
maka .
[Leon 2001]
Teorema 2.1 (Beberapa Aturan Aljabar pada Matriks Transpos)
1.
2.
3.
[bukti lihat Leon 2001]
Definisi 2.4 (Matriks Simetrik)
Suatu matriks berukuran disebut simetrik jika .
[Leon 2001]
Contoh 2.1:
Misalkan matriks 4 2 2 2 10 2
2 2 5 . Karena matriks , maka matriks disebut matriks simetrik.
Definisi 2.5 (Matriks Satuan) Matriks satuan adalah matriks berukuran dengan,
1, jika 0, jika
dan berlaku untuk sembarang matriks berukuran .
[Leon 2001]
Definisi 2.6 (Matriks Permutasi)
Suatu matriks berukuran disebut matriks permutasi, jika pada setiap baris dan kolomnya mempunyai tepat satu entri yang benilai 1 (satu) dan entri yang lainnya bernilai 0 (nol).
[Horn & Johnson 1985]
Contoh 2.2:
Matriks 0 1 0
1 0 0
0 0 1 adalah suatu matriks permutasi dan
1 1 1 2 2 2 3 3 3
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 2
1 1 1 3 3 3
adalah suatu permutasi dari baris matriks 1 1 1
2 2 2 3 3 3 .
Definisi 2.7 (Matriks Taksingular dan Matriks Invers)
Suatu matriks berukuran dikatakan taksingular atau mempunyai invers (invertible) jika terdapat matriks sehingga . Matriks disebut sebagai invers perkalian dari .
[Leon 2001]
Contoh 2.3:
Matriks
adalah
invers dari 2 4
3 1 karena
2 4 3 1
2 43 1 1 0 0 1 .
Teorema 2.2 (Sifat Matriks Invers)
Jika adalah suatu matriks yang mempunyai invers (invertible), maka untuk sembarang skalar taknol k, matriks
.
[Anton 2000]
Bukti:
Jika k adalah sembarang skalar taknol, maka untuk membuktikan teorema di atas, sesuai dengan Definisi 2.7 akan ditunjukkan bahwa:
. a.
. . b.
.
.
Jadi terbukti bahwa . ■ Teorema 2.3
Suatu matriks berukuran adalah singular, jika dan hanya jika det 0.
[Leon 2001]
(bukti di Lampiran 1)
Karena implikasi suatu pernyataan setara dengan kontraposisinya,
~ ~ dan ~ ~
maka ~ ~ . Jadi pernyataan pada Teorema 2.3 setara dengan pernyataan:
Suatu matriks berukuran adalah taksingular, jika dan hanya jika det 0.
Teorema 2.4
Jika adalah matriks taksingular, maka merupakan matriks taksingular dan
.
[Anton 2000]
Bukti:
Sesuai dengan Definisi 2.7 akan
ditunjukkan . Dari
Teorema 2.1 diperoleh:
•
•
Jadi terbukti bahwa . ■ Definisi 2.8 (Matriks Segitiga)
Suatu matriks berukuran disebut matriks segitiga atas (upper triangular) jika 0 untuk dan matriks segitiga bawah (lower triangular) jika 0 untuk
. disebut juga matriks segitiga (triangular) jika matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah.
[Leon 2001]
Contoh 2.4:
3 2 1 0 2 0
0 0 1 dan 1 0 0 6 2 0 0 5 0
keduanya adalah matriks segitiga. Yang pertama adalah matriks segitiga atas dan yang kedua adalah matriks segitiga bawah.
Definisi 2.9 (Matriks Diagonal)
Suatu matriks berukuran disebut matriks diagonal jika 0 untuk .
[Leon 2001]
Contoh 2.5:
1 00 1 1 0 0
0 2 0
0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 semuanya adalah matriks diagonal. Suatu matriks diagonal adalah matriks segitiga atas juga matriks segitiga bawah.
2.2 Submatriks
Berikut ini akan diberikan pengertian tentang submatriks dan jenis-jenisnya yang berhubungan dengan tulisan ini.
Definisi 2.10 (Submatriks)
Suatu submatriks dari matriks adalah matriks yang diperoleh dengan meng- hilangkan baris dan/atau kolom dari . Perlu diketahui bahwa sembarang matriks adalah submatriks dari matriks itu sendiri, yaitu dengan menghilangkan 0 (nol) baris dan 0 (nol) kolom.
[Harville 2008]
Contoh 2.6:
Misalkan diberikan matriks 2 1 2 3 1 2 0 6
1 3 6 9 .
Jika baris kedua dari matriks dihilangkan, maka diperoleh submatriks
2 1 2 3 1 3 6 9 .
Jika baris kedua, kolom pertama dan kolom ketiga dari matriks dihilangkan, maka akan diperoleh submatriks
1 3 3 9 . Definisi 2.11 (Submatriks Utama)
Misalkan himpunan bagian dari 1, 2, … , dan didefinisikan sebagai matriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom dari matriks
berukuran yang letaknya merupakan komplemen dari himpunan pada . Maka disebut submatriks utama (principal submatrix) dari matriks . Jadi submatriks utama diperoleh dengan menghilangkan
| | baris dan kolom yang bersesuaian, dengan | | adalah banyaknya elemen dari .
[Horn & Johnson 1985]
Contoh 2.7:
Misalkan matriks
4 2 2 2 10 2
2 2 5 .
Beberapa submatriks utama yang dimiliki matriks adalah:
i) 2 10 merupakan submatriks utama yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom pertama dan ketiga;
ii) 1,3 4 2
2 5 merupakan sub- matriks utama yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom kedua;
dan
iii) 1,2,3 4 2 2 2 10 2
2 2 5 merupakan submatriks utama yang diperoleh dengan menghilangkan 0 (nol) baris dan 0 (nol) kolom.
Definisi 2.12 (Submatriks Utama yang Pertama)
Diberikan suatu matriks berukuran . Misalkan adalah matriks yang terbentuk dengan menghilangkan baris terakhir dan kolom terakhir dari , maka disebut submatriks utama yang pertama (leading principal submatrix) dari dengan yang berukuran 1 ).
[Leon 2001]
Contoh 2.8:
Dari Contoh 2.7, submatriks utama yang pertama dari matriks adalah 4 ;
4 2
2 10 ; dan 4 2 2 2 10 2
2 2 5 . Teorema 2.5
Jika semua submatriks utama yang pertama dari matriks adalah matriks taksingular, maka terdapat matriks segitiga bawah dan dengan entri-entri 1 pada diagonal utama (unit lower triangular matrix) dan matriks diagonal yang memenuhi
.
[Golub & van Loan 1985]
(bukti di Lampiran 2) Contoh 2.9:
Misalkan diberikan matriks 10 10 20 20 25 40 30 50 61 .
Karena determinan submatriks utama yang pertama dari matriks adalah
det |10| 10 0;
det 10 10
20 25 50 0; dan
det 10 10 20
20 25 40 30 50 61
50 0, maka semua submatriks utama yang pertama dari matriks merupakan matriks taksingular. Jadi matriks dapat difaktorisasi ke dalam bentuk perkalian sebagai berikut:
10 10 20 20 25 40 30 50 61 1 0 0
2 1 0 3 4 1
10 0 0
0 5 0
0 0 1
1 1 2 0 1 0 0 0 1
dengan 1 0 0 2 1 0
3 4 1 , 10 0 0
0 5 0
0 0 1 dan
1 0 0 1 1 0 2 0 1 .
Unsur-unsur matriks , dan ditentukan dengan eliminasi Gauss (Golub & van Loan 1985).
Matriks pada Contoh 2.9 bukan matriks simetrik. Jika matriks simetrik (dan taksingular), maka Teorema 2.6 menjamin bahwa matriks .
Teorema 2.6
Jika adalah matriks taksingular dan simetrik yang memenuhi , maka
.
[Golub & van Loan 1985]
(bukti di Lampiran 3) Contoh 2.10:
Misalkan diberikan matriks simetrik 10 20 30
20 45 80 30 80 171 .
Karena det 50 0, maka dapat difaktorisasi ke dalam bentuk perkalian sebagai berikut:
10 20 30 20 45 80 30 80 171
1 0 0 2 1 0 3 4 1
10 0 0
0 5 0
0 0 1
1 2 3 0 1 4 0 0 1
.
2.3 Partisi Matriks dan Operasi- Operasinya
Berikut ini akan dijelaskan tentang partisi suatu matriks dan invers dari matriks yang dipartisi.
Definisi 2.13 (Partisi Matriks)
Matriks dapat dipartisi menjadi matriks- matriks yang lebih kecil dengan cara menggambar garis-garis horizontal antara baris-baris dan garis-garis vertikal antara kolom-kolom. Matriks-matriks yang lebih kecil seringkali disebut blok.
[Leon 2001]
Contoh 2.11:
Misalkan matriks
1 2 4 1 2 2 1 1 3 4 4 2 1 1 3 2 1 1 4 2
Jika garis-garis digambarkan antara baris kedua dan baris ketiga, serta antara kolom ketiga dan keempat, maka akan terbagi menjadi empat blok, yaitu , , , dan .
1 2 4 1 2 2 1 1 3 4 4 2 1 1 3 2 1 1 4 2 dengan
1 2 4
2 1 1 , 1 2 3 4 ,
4 2 1 2 1 1 ,
dan 1 3
4 2
Teorema 2.7 (Determinan Matriks yang Dipartisi)
Misalkan adalah matriks segi yang dipartisi menjadi dengan matriks berukuran dan matriks berukuran . Jika matriks taksingular, maka
det det det .
[Zhang 1999]
(bukti lihat Lampiran 4)
Teorema 2.8 (Invers Matriks yang Dipartisi)
Misalkan merupakan
matriks yang dipartisi dan mempunyai invers matriks yang juga merupakan matriks yang dipartisi dengan bentuk
dengan , , dan adalah matriks segi.
Jika adalah submatriks utama dari matriks , maka diperoleh:
, ,
, .
[Zhang 1999]
(bukti di Lampiran 5) Teorema 2.9
Misalkan dan
adalah matriks taksingular, serta dan berturut-turut adalah matriks berukuran
dan . Jika matriks
taksingular, maka
dengan adalah himpunan matriks bernilai real dan berukuran .
[Zhang 1999]
(bukti di Lampiran 6)
2.4 Matriks Definit Positif dan Semidefinit Positif
Berikut ini akan diberikan pengertian tentang matriks definit positif dan semidefinit positif serta beberapa sifatnya. Terlebih dahulu akan dibahas pengertian bentuk kuadrat.
Definisi 2.14 (Bentuk Kuadrat)
Suatu persamaan kuadrat dengan dua variabel dan adalah suatu persamaan berbentuk:
2 0. (1)
Persamaan (1) dapat ditulis ulang dalam bentuk:
0.
(2) Misalkan
dan maka bentuk
2
dinamakan bentuk kuadrat yang berhubungan dengan persamaan (1).
[Leon 2001]
Definisi 2.15 (Matriks Definit Positif dan Semidefinit Positif)
Suatu matriks simetrik berukuran disebut matriks definit positif, jika bentuk kuadrat 0 untuk semua taknol dalam . Jika bentuk kuadrat 0, maka disebut matriks semidefinit positif.
[Leon 2001]
Contoh 2.12:
Matriks 2 1
1 2 merupakan matriks definit positif karena bentuk kuadrat
2 1 1 2 2 2 2
0
untuk 0 0 .
Matriks 1 1
1 1 adalah matriks semidefinit positif karena bentuk kuadrat
1 1 1 1 2
0.
Matriks 1 3
3 1 bukan matriks definit atau semidefinit positif karena bentuk
kuadrat 1 3
3 1 6
4
Teorema 2.10
Misalkan matriks simetrik berukuran dan adalah submatriks utama yang pertama dari matriks dengan 1,2, … , , maka adalah matriks definit positif jika dan hanya jika det 0.
[bukti lihat Horn & Johnson 1985]
Contoh 2.13:
Misalkan diberikan matriks simetrik 4 2 2
2 10 2 2 2 5
dan submatriks utama yang pertama dari matriks seperti pada Contoh 2.8. Karena determinan submatriks utama yang pertama dari matriks adalah:
i) det |4| 4 0;
ii) det 4 2
2 10 36 0; dan iii) det 4 2 2
2 10 2
2 2 5 108 0 maka sesuai dengan Teorema 2.10, matriks adalah matriks definit positif.
Matriks-matriks definit positif mempunyai beberapa sifat, di antaranya:
Teorema 2.11
1. Jika adalah matriks definit positif, maka
det 0.
2. Jika adalah matriks definit positif, maka matriks taksingular.
[Leon 2001]
Bukti:
1. Jika adalah matriks definit positif maka sesuai dengan Teorema 2.10, det 0 dengan 1,2, … , . Karena maka det det , jadi det 0.
2. Karena det 0, maka terbukti matriks definit positif adalah matriks taksingular.
■
Teorema 2.12 (Invers Matriks Definit Positif)
Jika adalah matriks definit positif, maka matriks definit positif.
[Horn & Johnson 1985]
Bukti:
Perhatikan persamaan . Karena matriks definit positif, maka taksingular.
Jadi terdapat yang merupakan solusi persamaan tersebut. Maka bentuk kuadrat
. Karena adalah matriks definit
positif, maka 0 untuk
semua di . Jadi 0, untuk semua di .
Untuk membuktikan bahwa juga matriks simetrik, maka akan ditunjukkan
.
Dari Teorema 2.4, dan
karena adalah matriks definit positif, maka adalah matriks simetrik. Sehingga diperoleh
.
Jadi terbukti bahwa matriks simetrik.
Oleh karena itu, terbukti bahwa adalah matriks definit positif. ■ Teorema 2.13
Jika matriks merupakan matriks definit positif berukuran dan matriks adalah sembarang matriks berukuran , maka matriks adalah matriks semidefinit positif.
[Horn & Johnson 1985]
Bukti:
Karena matriks definit positif, maka
0 untuk semua di .
Misalkan matriks sembarang. Bentuk kuadrat matriks adalah
0 untuk semua di .
Karena dan sembarang maka terdapat kemungkinan . Oleh karena itu, bentuk kuadrat
0 untuk semua di .
Untuk membuktikan bahwa juga matriks simetrik, maka akan ditunjukkan
. Dari Teorema 2.1 diperoleh
, dan
karena adalah matriks definit positif, maka adalah matriks simetrik. Sehingga diperoleh
dan terbukti matriks merupakan matriks simetrik.
Jadi sesuai dengan Definisi 2.15, adalah matriks semidefinit positif. ■ Teorema 2.14
Semua submatriks utama dari matriks definit positif adalah matriks definit positif.
[Horn & Johnson 1985]
Bukti:
Misalkan adalah submatriks utama dari matriks definit positif (Definisi 2.11) dan misalkan adalah vektor dengan entri taknol yang berubah posisi menyesuaikan pada dan mempunyai entri nol selainnya. Didefinisikan sebagai vektor yang diperoleh dari dengan menghilangkan entri nol yang dimiliki oleh .
Untuk membuktikan submatriks utama dari matriks definit positif juga merupakan matriks definit positif, sesuai dengan Definisi 2.15 akan diperlihatkan
bahwa 0 untuk semua
taknol dalam .
Menurut definisi , , dan
diperoleh 0
untuk taknol dalam . Jadi terbukti bahwa submatriks utama dari matriks definit positif juga merupakan matriks definit positif. ■ Contoh 2.14:
Misalkan diberikan matriks definit positif 4 2 2
2 10 2
2 2 5 dan submatriks utama matriks pada Contoh 2.7, maka akan diperlihatkan bahwa semua submatriks utama juga merupakan matriks definit positif.
i) Submatriks utama berukuran 1 1
1 4 , 0
0 dan 1 ,
maka 1 1 1
4 4 0
dengan 0.
Terbukti 1 adalah matriks definit positif. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa 2 dan 3 juga matriks definit positif (Lampiran 7).
ii) Submatriks utama berukuran 2 2
1,2 4 2
2 10 ,
0 dan
1,2 ,
maka 1,2 1,2 1,2
4 2
2 10
4 4 10
2 9 0
dengan 0 dan 0.
Terbukti 1,2 adalah matriks definit positif. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa 1,3 dan 2,3 juga matriks definit positif (Lampiran 7).
iii) Submatriks utama berukuran 3 3
Karena 1,2,3 4 2 2
2 10 2 2 2 5 , dan diketahui adalah matriks definit positif, maka 1,2,3 juga merupakan matriks definit positif.
III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai
matriks kuasidefinit dan beberapa sifatnya antara lain: matriks kuasidefinit merupakan matriks taksingular; invers dari matriks kuasidefinit merupakan matriks kuasidefinit;
dan matriks kuasidefinit merupakan matriks strongly factorizable; yang merupakan inti dari tulisan ini.
3.1 Matriks Kuasidefinit
Definisi 3.1
Suatu matriks simetrik dikatakan kuasidefinit jika mempunyai bentuk:
(3)
dengan dan adalah
matriks definit positif dengan , 0.
[Vanderbei 1995]
Contoh 3.1:
Misalkan diberikan matriks
2 1 2 4 2 1 2 2 5 7 2 2 4 2 2 4 5 2 10 2 2 7 2 2 5
.
merupakan matriks kuasidefinit dengan matriks 2 1
1 2 matriks definit positif (Contoh 2.12) dan
4 2 2 2 10 2 2 2 5
juga matriks definit positif (Contoh 2.13). Sedangkan matriks
1 3 2 5 3 1 1 2 2 1 2 1 5 2 1 2
bukan merupakan matriks kuasidefinit karena matriks 1 3
3 1 bukan matriks definit positif (Contoh 2.12).
3.2 Sifat-sifat Matriks Kuasidefinit
Berikut ini akan dijelaskan sifat-sifat dari matriks kuasidefinit.
Teorema 3.1
Matriks kuasidefinit merupakan matriks taksingular.
[Vanderbei 1995]
Bukti:
Menurut Teorema 2.3, untuk membuktikan bahwa merupakan matriks taksingular adalah dengan menunjukkan bahwa det 0.
Karena adalah matriks definit positif (oleh karena itu taksingular), maka – matriks taksingular (Teorema 2.2). Sesuai dengan Teorema 2.7 didapat
det det det . (4)
Karena – matriks taksingular, maka sesuai dengan Teorema 2.3, det 0.
Begitu pula karena matriks
merupakan matriks definit positif (bukti lihat Lampiran 8), maka det 0 (Teorema 2.11).
