Pertemuan 14. persamaan linier NON HOMOGEN

Pertemuan 14

persamaan linier

NON HOMOGEN

10 ^{– M} etode GAUSS

Aljabar Linier – Hastha 2016

10.2.2 METODE ELIMINASI GAUSS

Apabila [A][X]=[B] maka dengan menyusun matriks baru yaitu matriks [A.B] akan didapat matriks berorde (n, n+1) dimana matriks baru tersebut dikenai transformasi elementer berdasarkan baris secara berkali- kali sehingga diperoleh matriks [A] menjadi matriks segitiga atas yang diagonal utama elemennya bernilai 1.

Metode penyelesain SPL dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss.

Sebelum dilanjutkan pembahasan penyelesaian persamaan linier terlebih dahulu akan dibicarakan sekilas tentang OPERASI BARIS ELEMENTER.

Meskipun dalam pembahasan lalu telah disinggung sedikit penggunaannya untuk menghitung invers matriks dengan transformasi elementer.

OPERASI BARIS ELEMENTER

Terdapat tiga buah operasi yang dapat dilakukan terhadap suatu sistem persamaan linier tanpa mengubah penyelesaian yang sebenarnya yaitu :

1. Menukar urutan persamaan.

2. Perkalian suatu persamaan dengan bilangan tidak nol

3. Mengganti suatu persamaan dengan menjumlahkan persamaan tersebut dengan kelipatan persamaan lainnya.

Ketiga operasi tersebut dapat dikenakan pada matriks-matriks lengkap dan disebut dengan OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE).

Operasi Baris Elementer pada suatu matriks

OPERASI NOTASI

1. Menukarkan baris ke-i dengan baris ke-j.

2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta c (≠ 0) 3. Penggantian baris ke-I tersebut dengan

kelipatan baris yang lain.

R_i⇔R_j cRj

Ri+ cRj

1 a₁₂ a₁₃ b₁’ 0 1 a23 b₂’

0 0 1 b3’

x b

Dengan menggunakan OBE, matriks lengkap diubah menjadi suatu matriks dari suatu sistem persamaan linier yang mudah dicari penyelesaiannya. Matriks yang memenuhi sifat demikian dinamakan MATRIKS ESELON.

Suatu matriks disebut matriks eselon jika memenuhi 2 sifat berikut : 1. Jika terdapat baris yang seluruh elemennya nol, maka baris

tersebut harus diletakkan di bawah baris yang memuat elemen tidak nol.

2. Pada baris yang memuat elemen tak nol, elemen tak nol pertama harus terletak pada sebelah kanan elemen tak nol pertama baris sebelumnya (Elemen tak nol pertama ini disebut dengan ELEMEN UTAMA).

10.2.2 METODE ELIMINASI GAUSS

Apabila [A][X]=[B] maka dengan menyusun matriks baru yaitu matriks [A.B] akan didapat matriks berorde (n, n+1) dimana matriks baru tersebut dikenai transformasi elementer berdasarkan baris secara berkali- kali sehingga diperoleh matriks [A] menjadi matriks segitiga atas yang diagonal utama elemennya bernilai 1.

Metode penyelesain SPL dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss.

1. Membentuk matriks lengkap SPL.

2. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks eselon denagn sejumlah OBE.

3. Mendapat jawaban SPL.

Misalnya diketahui sebuah persamaan a11x1+ a12x2+a13x3=b1

a21x1+ a22x2+a23x3=b2

a21x1+ a32x2+a33x3=b3

Matriks awal

a₁₁ a₁₂ a₁₃ x₁ b₁ a21 a22 a23 2 =

2

a₃₁ a₃₂ a₃₃ x₃ b₃

Matriks lengkap SPL

a11 a12 a13 b1

a₂₁ a₂₂ a₂₃ b₂ a31 a32 a33 b3

Matriks lengkap tsb dikenai OBE sehingga membentuk matriks eselon.

Nilai 1 pada diagonal utama adalah variabel x-nya sehingga diperoleh x3= b3’

x2+ a23x3=b₂’ x2=b₂’- a₂₃x3

x1+ a12x2+ a13x3=b1’ x1= b1’-a12x2- a13x3

1 1 1 6

0 1 -2 -4 basis

0 -1 0 -2 b( )+b3 1(1)+(-1)=0 Contoh :

Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut : x1+x2+x3=6

x1+2x2-x3=2 2x1+x2+2x3=10

Akan dicari solusi untuk x1, x2, dan x3

Penyelesaian

1. Matriks lengkap SPL nya

1 1 1 6

1 2 -1 2

2 0 2 10

2. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks eselon dengan OBE

Mengubah elemen a11=1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tiidak perlu dikalikan lagi) dan megubah a21 dan a31 menjadi 0. baris 1 menjadi basis baris 1 dan 2 dikenai transformasi elementer.

1 1 1 6

1 2 -1 2

2 1 2 10

basis

b( )+b2 b( )+b3 1(-1)+1=0 1(-2)+2=0 1(-1)+2=1 1(-2)+1=-1 1(-1)+(-1)=-2 1(-2)+2=0 6(-1)+2=-4 6(-2)+10=-2 Menjadi

1 1 1 6

0 1 -2 -4

0 -1 0 -2

Mengubah a22=1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tidak perlu dikalikan lagi) dan mengubah a32=-1 menjadi 0. Baris 2 menjadi basis, baris 3 dikenai transformasi elementer.

Menjadi

-2(1)+0=-2 -4(1)+(-2)=-6

1 1 1 6

0 1 -2 -4

0 0 -2 -6

Mengubah a33=2 menjadi 1 (dikalikan -1/2) maka a13=-6 juga dikalikan -½

Menjadi

1 1 1 6

0 1 -2 -4

0 0 1 3

1 1 1 6

1 2 -1 2

2 1 2 10

1 1 1 6

0 1 -2 -4

0 -1 0 -2

1 1 1 6 1(-1)+1=0 1(1)+(-1)=0

0 1 -2 -4 basis -2(-1)+1=3 -2(1)+0=-2

0 -1 0 -2 -4(-1)+6=10 -4(1)+(-2)=-6 Mendapat jawaban SPL

Maka x3=3

x2=b₂’- a₂₃x3 x2= -4 – 2.(3)=2

x1= b1’-a12x2- a13x3 x1= 6 - 1.2 -1.(3) = 1 10.2.3 METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN

Metode ini merupakan perluasan dari metode Gauss, hanya saja matriks baru dikenai OBE berkali-kali sehingga matriks A menjadi matriks satuan I. Bentuk umumnya :

a₁₁ a₁₂ a₁₃ b₁ a₂₁ a₂₂ a₂₃ b₂

1 0 0 b1”

0 1 0 b₂” x3= b3”

Menjadi x2= b2”

a31 a32 a33 b3 0 0 1 b3” x1= b1”

Contoh :

Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut : x1+x2+x3=6

x1+2x2-x3=2 2x1+x2+2x3=10

Akan dicari solusi untuk x₁, x₂, dan x₃ Penyelesaian

1. Matriks lengkap SPL nya

1 1 1 6

1 2 -1 2

2 0 2 10

2. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks eselon dengan OBE Mengubah elemen a11=1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tiidak perlu dikalikan lagi) dan megubah a21 dan a31 menjadi 0. baris 1 menjadi basis baris 1 dan 2 dikenai transformasi elementer.

basis

b( )+b2 b( )+b3 1(-1)+1=0 1(-2)+2=0 1(-1)+2=1 1(-2)+1=-1 1(-1)+(-1)=-2 1(-2)+2=0 6(-1)+2=-4 6(-2)+10=-2 Menjadi

Mengubah a12=1 dan a32=-1 menjadi 0, baris 2 menjadi basis.

b( )+b1 b( )+b3

1 0 3 10

0 1 -2 -4

0 0 1 3

Menjadi

1 0 3 10

0 1 -2 -4

0 0 -2 -6

Mengubah a33=-2 menjadi 1 (dikalikan -1/2) maka a13=-6 juga dikalikan -½

Menjadi

1 0 3 10

0 1 -2 -4

0 0 1 3

Mengubah a13=3 dan a23=-2 menjadi 0, baris 3 menjadi basis.

b( )+b1 b( )+b2 1(-3)+3=0 1(2)+(-2)=0 3(-3)+10=1 3(2)+(-4)=2 basis

Menjadi

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

Mendapat jawaban SPL Maka x3=3

x2= 2 x1= 1

10.2.4 METODE FAKTORISASI LU

Dengan metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan, suatu SPL dapat dipecahkan dengan mengoperasikan matriks yang diperbesar secara sistematis. Pendekatan yang dipakai pada metode LU didasarkan atas pemfaktoran matriks koefisien ke dalam hasil kali matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas. Metode ini sangat bermanfaat untuk komputer digital dan merupakan basis untuk banyak pemrograman komputer praktis.

SPL dapat dipecahkan sebagai berikut :

1. Tulis kembali sistem [A][x]=[b] sebagai Lux=b dimana L adalah matriks segitiga bawah dan U adalah matriks segitiga atas.

2. Definisikan matriks baru y yang berukuran nx1 dengan Ux=y.

3. Gunakan Ux=y untuk menulis kembali Lux=b dan pecahkan ini untuk mencari y.

4. Subtitusikan y dan pecahkan untuk mencari nilai x.

[A][x]=[b] Ly=b, Ux=y

1 3 1

0 1 3

0 -3 -2

Langkah-langkah pemfaktoran A=LU

1. Reduksi A dengan transformasi elemnter ke dalam bentuk U matriks segitiga atas dan mencari jejak pengali untuk nilai 1 pada diagonal utama dan 0 di bawah diagonal utama 1.

2. Kedudukan sepanjang diagonal utm matriks L, tempatkan bilangan pengali yang saling berkebalikan dari hasil pembentukan matriks U.

3. Kedudukan di bawah diagonal utama matriks L, tempatkan bilangn negatif pengali yang digunakan untuk menge-nol-kan matriks U.

4. Bentuk dekomposisi A=LU Contoh :

Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut : 2x1+6x2+2x3=2

-3x₁-8x₂ =2 4x₁+9x₂+2x₃=3

Carilah solusi untuk x₁, x₂, dan x₃ dengan menggunakan faktorisasi LU Penyelesaian

1. Matriks SPL nya

2 6 2

-3 -8 0

4 9 2

2. Menyusun matriks U yaitu matriks segitiga atas

Mengubah a11=2 menjadi 1 (dikali ½). Semua baris 1 dikali ½

2 6 2 (dikali ½) menjadi 1 3 1

-3 -8 0 -3 -8 0

4 9 2 4 9 2

Mengubah a21=-3 dan a41=4 menjadi 0. Baris 1 menjadi basis. Baris 2 dan 3 dikenai OBE.

1 3 1 Basis

-3 -8 0

4 9 2

b( )+b2 b( )+b2 1(3)+(-3)=0 1(-4)+4=0 3(3)+(-8)=1 3(-4)+9=-3 1(3)+0=3 1(-4)+2=-2 Menjadi

Mengubah a22=1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tidak perlu dikalikan lagi) dan mengubah a32=-3 menjadi 0. Baris 2 jadi basis dan baris 3 dikenai OBE

1 3 1

0 1 3

0 -3 -2

Basis b( )+b3 Menjadi 1(3)+(-3)=0

3(3)+(-2)=7

1 3 1

0 1 3

0 0 7

2 0 0 y1 2

-3 1 0 y₂ = ²

Mengubah a33=7 menjadi 1 (dikali 1/7). Menjadi

1 3 1

0 1 3

0 0 1

3. Menyusun matriks L yaitu matriks segitiga bawah

Mencari jejak pengali untuk nilai 1 pada diagonal utama yaitu Pengali untuk a11 adalah ½

Pengali untuk a22 adalah 1 Pengali untuk a₃₃ adalah 1/7

Mencari jejak pengali untuk nilai 0 di bawah diagonal utama 1.

Pengali untuk a21 adalah 3 Pengali untuk a₃₁ adalah -4 Pengali untuk a32 adalah 3

Tempatkan jejak pengali untuk nilai 1 pada diagonal utama yaitu

½, 1, dan 1/7sepanjang diagonal utama matriks segitiga bawah L tetapi nilainya berkebalikan.

2 0 0

1 0

7

Tempatkan jejak pengali untuk nilai 0 yaitu 3, -4, dan 3 dibawah diagonal utama matriks segitiga bawah L dan kalikan dengan (-1).

2 0 0

-3 1 0

4 -3 7

4. Mencari nilai x dan y, terlebih dahulu mencari nilai y karena [U][x]=[y]

sedangkan [L][y]=[b]

Mencari nilai y [L][y]=[b]

4 -3 7 y₃ 3

2y1=2 y1=1

-3y₁+1y₂=2 -3.1+y₂=2 y₂=5 4y1+(-3)y2+7y3=3

4.1+(-3).5+7.y₃=3 7y₃=14 y3=2 Mencari nilai x [U][x]=[y]

1 3 1 x1 1 x3=2

0 1 3 x2= ⁵ x2+3x3=5 x2+3.2=5

0 0 1 x₃ 2

1x1+3x2+1x3=1 x2=-1 x1+3.(-1)+2=1 x1=2

10.3 PENYELESAIAN PERSAMAAN LINIER SIMULTAN

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier [A][x]=[b] dengan koefisien matriks A yang sama tetapi matriks kolom b berbeda.

Misalnya suatu SPL mempunyai persamaan sebagai berikut :

[A][x]=[p], [A][x]=[q] dan [A][x]=[r] maka untuk lebih efisien penyelesaiannya dengan satu matriks A augmented dan 3 vektor kolom b atau diselesaikan secara simultan dengan menggunakan eliminasi Gauss- Jordan.

[A p q r] menjadi [I p’ q’ r’] maka [x]=[p’], [y]=[q’], dan [z]=[r’]

Contoh :Diketahui persamaan

2x1-4x2 =10 2y1-4y2 =10

x1-3x2 + x4=-4 Dan y1-3y2 + y4=-4 x1 -x3+2x4= 4 y1 -y3+2y4= 4 3x1-4x2+3x3- x4=-11 3y1-4y2+3y3- y4=-11

10.4 PERSAMAAN LINIER HOMOGEN

Suatu persamaan linier dikatakan homogen jika koefisien matriks b adalah 0 yaitu jika mempunyai bentuk umum :

a11x1+ a12x2………….+a1nxn=0 a21x1+ a22x2………….+a2nxn=0 a21x1+ a32x2………….+a3nxn=0

………

am1x1+ am2x2………….+amnxn=0

mempelajari sistem yang homogen mempunyai banyak keuntungan dalam mempelajari sistem yang aslinya. Istem non homogen dimungkinkan tidak konsisten, namun sistem yang homogen selalu konsisten karena selalu mempunyai penyelesaian minimal satu yaitu vektor nol, yang bisa disebut dengan penyelesaian TRIVIAL (TRIVIAL SOLUTION), yaitu penyelesaian berbentuk x1=0, x2=0,…….., xn=0.

sedangkan jika ada penyelesaian lain dinamakan dengan penyelesaian NON TRIVIAL. Jadi sistem persamaan linier homogen mempunyai dua kemungkinan yaitu :

1. Mempunyai penyelesaian TRIVIAL 2. Mempunyai penyelesaian BANYAK

Lanjutan ke Pertemuan 15 (Terakhir)