12/15/2014. Apa yang dimaksud dengan Pemrograman Bulat? Solusi yang didapat optimal, tetapi mungkin tidak integer.

(1)

1

P

EMROGRAMAN LINEAR BULAT

(I

(INTEGERNTEGERLLINEARINEARPPROGRAMMINGROGRAMMING-- ILP)ILP) Apa yang dimaksud dengan Pemrograman Bulat ?

2

Solusi yang didapat optimal, tetapi mungkin tidak integer.

METODE SIMPLEKS METODE SIMPLEKS

(2)

IINTEGERNTEGERLLINEARINEARPPROGRAMMINGROGRAMMING

3 Misalnya saja kita ingin menentukan solusi

optimal dari satu lini perakitan televisi, yang memproduksi beberapa tipe televisi.

Pembulatan matematis ? Mengganggu batasan

ILP

IINTEGERNTEGERLLINEARINEARPPROGRAMMINGROGRAMMING

Jika model mengharapkan semua variabel basis bernilai

integer (bulat positif atau nol), dinamakan pure integer programming.

Jika model hanya mengharapkan variabel-variabel tertentu

bernilai integer, dinamakan mixed integer programming.

Jika model hanya mengharapkan nilai nol atau satu untuk

variabelnya, dinamakan zero one integer programming.

(3)

S

OLUSI INTEGER PROGRAMMING

PENDEKATAN PEMBULATAN

Pendekatan ini mudah dan praktis dalam hal usaha, waktu

dan biaya. Pendekatan pembulatan dapat merupakan cara yang sangat efektif untuk masalah integer programming yang besar dimana biaya-biaya hitungan sangat tinggi atau untuk masalah nilai-nilai solusi variabel keputusan sangat besar.

Contohnya, pembulatan nilai solusi jumlah pensil yang harus

diproduksi dari 14.250,2 menjadi 14.250,0 semestinya dapat diterima.

Sebab utama kegagalan pendekatan ini adalah bahwa solusi

yang diperoleh mungkin bukan solusi integer optimum yang sesungguhnya. Solusi pembulatan dapat lebih jelek dibanding solusi integer optimum yang sesungguhnya atau mungkin merupakan solusi tak layak.

5 PENDEKATAN PEMBULATAN PENDEKATAN PEMBULATAN Maksimumkan Z = 100 X1 + 90 X2 Dengan syarat 10 X1 + 7 X2 ≤ 70 5 X1 + 10 X2 ≤ 50 X1 ; X2 ≥ 0 Minimumkan Z = 200 X1 + 400 X2 Dengan syarat 10 X1 + 25 X2 ≥ 100 3 X1 + 2 X2 ≥ 12 X1 ; X2 ≥ 0 Maksimumkan Z = 80 X1 + 100 X2 Dengan syarat 4 X1 + 2 X2 ≤ 12 X1 + 5 X2 ≤ 15 X1 ; X2 ≥ 0 6 Masalah 1 Masalah 2 Masalah 3

(4)

PERBANDINGAN ANTARA SOLUSI DENGAN METODE SIMPLEKS TANPA PEMBA

-TASAN BILANGAN BULAT, PEMBULATAN KE BILANGAN BULAT TERDEKAT DAN SOLUSI INTEGER OPTIMUM YANG SESUNGGUHNYA UNTUK KETIGA MASALAH DIATAS ADALAH:

Masalah Solusi dengan Metode simpleks Dgn pembulatan terdekat Bulat optimum sesungguhnya 1 X1 = 5,38 X1 = 5 X1 = 7 X2 = 2,31 X2 = 2 X2 = 0 Z = 746,15 Z = 680 Z = 700 2 X1 = 1,82 X1 = 2 X1 = 3, X2 = 3 X2 = 3,27 X2 = 3 X1 = 5, X2 = 2 Z = 1.672,73 Z tak layak Z = 1.800 3 X1 = 2,14 X1 = 2 X1 = 0 X2 = 1,71 X2 = 2 X2 = 3 Z = 343 Z tak layak Z = 300 7

P

ENDEKATAN GRAFIK

Pendekatan ini identik dengan metode grafik LP dalam semua aspek, kecuali bahwa solusi optimum harus meme-nuhi persyaratan bilangan bulat.

Maksimumkan Z = 100 X1 + 90 X2 Dengan syarat 10 X1 + 7 X2 ≤ 70 5 X1 + 10 X2 ≤ 50 X1 ; X2 non 8 negatif integer

(5)

PENDEKATAN GRAFIK PENDEKATAN GRAFIK

Model ini serupa dengan model LP biasa. Perbedaanya

hanya pada kendala terakhir yang mengharapkan bahwa variabel terjadi pada nilai non negatif integer.

Solusi grafik masalah ini ditunjukkan pada gambar dibawah

ini. Ruang solusi layak adalah OABC. Solusi optimum masalah LP ditunjukkan pada titik B, dengan X1= 5,38 dan X2= 2,31 serta Z = 746,15. Untuk mencari solusi integer optimum masalah ini, garis Z (slope = -9/10) digeser secara sejajar dari titik B menuju titik asal.

Solusi integer optimum adalah titik integer pertama yang

bersinggungan dengan garis Z. Titik itu adalah A, dengan X1 = 7 dan X2= 0 serta Z = 700. 9 PENDEKATAN GRAFIK PENDEKATAN GRAFIK 10 A B C O 5 10 X1 10 7 X2 Z = 700 Z = 746,15 5X1+ 10X2= 50 10X1+ 7X2= 70

(6)

P

ENDEKATAN GOMORY

((CUTTING PLANE ALGORITHMCUTTING PLANE ALGORITHM₎₎

Langkah-langkah prosedur Gomory diringkas seperti

berikut :

1.Selesaikan masalah integer programming dengan meng-gunakan metode simpleks. Jika masalah sederhana, ia dapat diselesaikan dengan pendekatan grafik, sehingga pendekatan Gomory kurang efisien.

2.Periksa solusi optimum. Jika semua variabel basis memi-liki nilai integer, solusi optimum integer telah diperoleh dan proses solusi telah berakhir. Jika satu atau lebih variabel basis masih memiliki nilai pecah, teruskan ke tahap 3.

3.Buatlah suatu skala Gomory (suatu bidang pemotong atau

cutting plane) dan cari solusi optimum melalui prosedur dual

simpleks. Kembali ke tahap 2.

11

KENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMING KENDALA GOMORY DALAM PURE INTEGER PROGRAMMING

Tabel optimum masalah LP dibawah ini merupakan tabel solusi optimum kontinyu. Basis X1 Xm W1 Wn Solusi Z 0 . . . 0 c1. . . cn b0 X1 1 . . . 0 a11. . . a1n b1 . . . . . . . . . . . . Xm 0 1 am1 amn b1 12

(7)

Variabel Xi(i =1,…, m) menunjukkan variabel basis.

Variabel Xj(j = 1,..., n) adalah variabel non basis.

Perhatikan persamaan ke i dimana variabel Xidiasumsikan bernilai non integer.

Xi= bi –ΣaijWj , dimana b non integer

Kemudian pisahkan bi dan aij menjadi bagian yang bulat dan bagian pecah non negatif seperti berikut :

bi = bi+ fijadi fi= bi- bi, dimana 0 ≤ fi≤ 1 aij = aij+ fijadi fi= aij- aij, dimana 0 ≤ fij≤ 1

13

Kendala Gomory yang diinginkan adalah :

Sg -fijWj = -fi, Sg adalah variabel slack Gomory ke g.

Pada umumnya, persamaan kendala yang berhubungan

dengan solusi pecah dipilih untuk menghasilkan suatu kendala Gomory. Namun, sebagai aturan main biasanya dipilih persamaan yang memiliki fi, maksimum.

bi bi fi aij aij fij 3/2 1 ½ 7/3 - 3 2/3 7/8 0 7/8 - 1 - 1 0 7/3 2 1/3 - 2/5 - 1 3/5

(8)

TABEL BARU SETELAH PENAMBAHAN KENDALAGOMORY MENJADI:

Basis

X

1

X

m

W

1

W

n

S

g

Solusi

Z

0 . . . 0

c

1

. . . c

n

0 b

0

X

1

1 . . .

0 a

11

. . . a

1n

.

b

1

.

X

m

0

1 a

m1

a

mn

a

mn

b

1

S

g

0 . . . 0

-

f

i1

-

f

in

1 -

f

i 15

Jika diperoleh solusi primal optimum tetapi

tidak layak maka digunakan metode dual simpleks.

Proses pembentukan kendala Gomory berakhir

jika solusi baru semua berupa bilangan bulat.

Jika tidak, suatu kendala Gomory baru dibuat

lagi dari tabel yang dihasilkan dan metode dual simpleks digunakan lagi untuk mengatasi ketidak layakan.

Jika pada setiap iterasi metode dual simpleks

menunjukkan bahwa tidak ada solusi layak, berarti masalah itu tidak memiliki solusi integer yang layak.

(9)

Solusi kontinyu optimumnya diperoleh dalam tabel berikut : Maksimumkan Z = 7 X1 + 9 X2 Dengan syarat - X1 + 3 X2 ≤ 6 7 X1 + X2 ≤ 35 X1 ; X2 non

Basis

X

1

X

2

S

1

S

2

Solusi

Z

0

0 28/11

15/11

63 X

2

0

1 7/22

1/22

7/2

X

1

0 - 1/22

3/22

9/2

17 negatif integer

Karena solusi tidak bulat, suatu kendala Gomory

ditambah-kan pada tabel itu. Kedua persamaan (X1dan X2) pada masalah ini memiliki nilai f iyang sama, yaitu f1= f2= ½ , sehingga salah satu dapat digunakan, misalkan digunakan persamaan X2, ini menghasilkan :

X2+ 7/22 S1+ 1/22 S2= 7/2 atau

X2+ (0 + 7/22) S1+ (0 + 1/22) S2= (3 + ½)

Sehingga kendala Gomorynya adalah : Sg1- 7/22 S1– 1/22 S2= - ½

(10)

19 Basis X1 X2 S1 S2 Sg1 Solusi Z 0 0 28/11 15/11 0 63 X2 0 1 7/22 1/22 0 7/2 X1 1 0 - 1/22 3/22 0 9/2 Sg1 0 0 - 7/2 - 1/22 1 - ½ Basis X1 X2 S1 S2 Sg1 Solusi Z 0 0 0 1 8 59 X2 0 1 0 0 1 3 X1 1 0 0 1/7 - 1/7 32/7 S1 0 0 1 1/7 - 22/7 11/7

Tabel baru setelah penambahan kendala Gomory menjadi :

Dengan memakai metode dual simpleks diperoleh tabel baru yaitu :

Karena solusi baru masih pecah, suatu kendala Gomory bary

ditambahkan. Karena persamaan X1memiliki f1terbesar (f1= 4/7), maka X1dituliskan dalam bentuk :

X1+ (0 + 1/7) S2 + (0+ 6/7) Sg1= (4 + 4/7),

Menghasilkan kendala Gomory kedua :

Sg2– 1/7 S1 – 6/7 Sg1= - 4/7, kemudian tambahkan pada tabel :

Basis X₁ X₂ S₁ S₂ S_g₁ S_g₂ Solusi Z 0 0 0 1 8 0 59 X₂ 0 1 0 0 1 0 3 X₁ 1 0 0 1/7 - 1/7 0 32/7 S₁ 0 0 1 1/7 - 22/7 0 11/7 20

(11)

Dengan menggunakan dual simpleks diperoleh hasil :

Yang menghasilkan solusi bulat optimum X1= 4, X2=3 dan Z = 55

Basis X₁ X₂ S₁ S₂ S_g₁ S_g₂ Solusi Z 0 0 0 0 2 7 55 X₂ 0 1 0 0 1 0 3 X₁ 1 0 0 0 -1 1 4 S₁ 0 0 1 0 - 4 1 1 S_g₂ 0 0 0 1 6 -7 4 21

M

ETODE BRANCH DAN BOUND

Metode Branch dan Bound telah menjadi kode komputer standar untuk integer programming, dan penerapan- penerap-an dalam praktek tampaknya menyarpenerap-ankpenerap-an bahwa metode ini lebih efisien dibanding dengan pendekatan Gomory. Teknik ini dapat diterapkan baik untuk masalah pure programming

maupun mixed integer programming.

(12)

LANGKAH-LANGKAH METODEBRANCH DANBOUND UNTUK

MASALAH MAKSIMASI DAPAT DILAKUKAN SEPERTI BERIKUT:

1.Selesaikan LP dengan metode simpleks biasa

2.Teliti solusi optimumnya. Jika variabel basis yang diharapkan bulat adalah bulat, solusi optimum bulat telah tercapai.

3.Nilai solusi pecah yang layak dicabangkan ke dalam sub-sub masalah. Tujuannya adalah untuk menghilangkan solusi kontinyu yang tidak memenuhi persyaratan bulat dalam masalah itu.

4.Untuk setiap sub-masalah, nilai solusi optimum kontinyu fungsi tujuan ditetapkan sebagai batas atas. Solusi bulat terbaik menjadi batas bawah (pada awalnya, ini adalah solusi kontinyu yang dibulatkan ke bawah). Sub-sub masalah yang memiliki batas atas kurang dari batas bawah yang ada, tidak diikut sertakan pada analisa selanjutnya. Suatu solusi bulat layak adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk setiap sub masalah yang dicari. Jika solusi yang demikian terjadi, suatu sub masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk dicabangkan. Kembali ke langkah 3.

23

METODE BRANCH DAN BOUND METODE BRANCH DAN BOUND

Untuk memperoleh gambaran yang lebih jelas tentang

metode Branch dan Bound, perhatikan contoh masalah berikut : Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2 Dengan syarat 2 X1 + 4 X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2 X2 ≤ 10 X1 ; X2 non 24 negatif integer

Solusi optimum kontinyu masalah ini adalah X1= 8, X2= 2,26 dan Z = 35,25.

(13)

Batas bawah adalah solusi yang dibulatkan ke bawah X1= 8, X2= 2 dan Z = 34. Dalam metode Branch dan Bound, masalah itu dibagi ke dalam dua bagian untuk mencari nilai solusi bulat yang mungkin bagi X1dan X2.

Variabel dengan nilai solusi pecah terbesar dipilih. Karena pada

solusi ini hanya X2yang memiliki bagian pecah, ia dipilih. Untuk menghilangkan bagian pecah dari nilai X2= 2,25, dua kendala baru dibuat.

Kendala-kendala ini mewakili dua bagian baru dari masalah itu. Dua

nilai bulat terdekat terhadap 2,25 adalah 2 dan 3. Sehingga diperoleh dua masalah baru melalui dua kendala mutually exclusive, X2_≤ 2 dan X2_≥ 3, yang akan diuraikan berikut ini se-bagai bagian A dan B. Kendala-kendala ini secara efektif menghi-langkan semua nilai pecah yang mungkin bagi X2, antara 2 dan 3. Pengaruhnya mereka mengurangi ruang solusi layak sehingga angka solusi bulat yang dievaluasi pada masalah ini makin sedikit

25

26 Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2 Dengan syarat 2 X1 + 4 X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2 X2 ≤ 10 X2 ≤ 2 X1 ; X2 ≥ 0 (berlebih) Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2 Dengan syarat 2 X1 + 4 X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2 X2 ≤ 10 X2 ≥ 3 X1 ; X2 ≥ 0 Bagian A : Bagian B :

(14)

Bagian A dan B diselesaikan tanpa pembatasan bilangan bulat dengan metode simpleks. Solusi simpleksnya adalah :

Bagian A: X1= 8, X2= 2 dan Z = 34

Bagian B: X1= 6,5, X2= 3 dan Z = 34,5

Bagian A menghasilkan suatu solusi yang semuanya bulat. Untuk bagian A batas atas dan bawah adalah Z = 34. Solusi pecah bagian B membenarkan pencarian lebih lanjut karena

menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih besar dari batas atas bagian A. Sangat mungkin bahwa pencarian lebih lanjut dapat menghasilkan suatu solusi yang semuanya bulat dengan nilai fungsi tujuan melebihi batas atas bagian A = 34.

Bagian B dicabangkan ke dalam dua sub bagian, B1dan B2, pertama dengan kendala X1≤ 6 dan yang lain dengan X2≥ 7.

27

28 Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2 Dengan syarat 2 X1 + 4 X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2 X2 ≤ 10 X2 ≥ 3 X1 ≤ 6 X1 ; X2 ≥ 0 Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2 Dengan syarat 2 X1 + 4 X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2 X2 ≤ 10 X2 ≥ 3 X1 ≥ 7 Sub Bagian B1: Sub Bagian B2: (berlebih)

(15)

Solusi simpleksnya adalah :

Sub-bagian B1: X1= 6, X2= 3,25 dan Z = 34,25

Sub-bagian B2: tidak layak.

Karena sub-bagian B1menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih besar dari 34 (batas atas bagian A), maka harus dica-bangkan lagi ke dalam dua sub masalah, dengan kendala X2 ≤ 3 dan X2≥ 4. Kedua kendala sub masalah diberi nama bagian B1a dan B2b.

29

30 Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2 Dengan syarat 2 X1 + 4 X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2 X2 ≤ 10 X2 ≥ 3 X2 ≤ 3 X1 ≤ 6 X1 ; X2 ≥ 0 Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2 Dengan syarat 2 X1 + 4 X2 ≤ 25 X1 ≤ 8 2 X2 ≤ 10 X2 ≥ 3 X2 ≥ 4 X1 ≤ 6 X1 ; X2 ≥ 0 Bagian B1a : Bagian B1b : (berlebih) (berlebih)

(16)

Solusi optimum dengan metode simpleks adalah : Sub-bagian B1a : X1= 6, X2= 3 dan Z = 33

Sub-bagian B1b : X1= 4,25, X2= 4 dan Z = 33,5

Kedua solusi itu memiliki batas atas ( Z = 33 dan Z = 33,5)

yang lebih buruk dibanding dengan solusi yang dihasilkan oleh bagian A. Karena itu, solusi bulat optimum adalah X1= 8, X2= 2danZ = 34yang dihasilkan oleh bagian A.

Jika pencarian telah diselesaikan, solusi bulat dengan

fungsi tujuan tertinggi (dalam masalah maksimasi) dipilih sebagai solusi optimum.

31

Kelemahan dasar dari metode ini adalah bahwa diperlukan

pemecahan masalah LP untuk setiap pencabangan. Dalam masalah yang besar dapat memakan banyak waktu. Karena itu dalam prosedur pencabangan dan pencarian, analisa selanjutnya dihentikan jika :

1.Hasil dari sub-problem lebih jelek dibanding dengan batas atas yang sudah diidentifikasi

2.Pencabangan selanjutnya menghasilkan solusi tak layak.

(17)

S

SELURUH PROSEDURBRANCH DANBOUND UNTUK CONTOH YANG LALU DAPAT DIGAMBARKAN SEPERTI BERIKUT:

33 X1= 8

X2= 2 Z = 34 0

Solusi bulat optimum

X1= 8 X2= 2,25 Z = 35,25 2 Tak layak X1= 6,5 X2= 3 Z = 34,5 inferior inferior X1= 6 X2= 3,25 Z = 34,25