Hendra Gunawan. 5 Maret 2014

(1)

MA1201 MATEMATIKA 2A MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra Gunawan

Semester II, 2013/2014 Semester II, 2013/2014

5 Maret 2014

(2)

Kuliah yang Lalu Kuliah yang Lalu

10.1‐2 Parabola, Elips, dan Hiperbola0. a abo a, ps, da pe bo a

10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar

10.5 Sistem Koordinat Polar

11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R³

11 2‐4 Vektor Hasilkali Titik Hasilkali Silang 11.2 4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang

11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva

11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang 11.8 Permukaan di Ruang

11.8 Permukaan di Ruang

(3)

Kuliah Hari Ini Kuliah Hari Ini

10.1‐2 Parabola, Elips, dan Hiperbola0. a abo a, ps, da pe bo a

10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar

10.5 Sistem Koordinat Polar

11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R³

11.2‐4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang 11.2 4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang

11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva

11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang 11.8 Permukaan di Ruang

11.8 Permukaan di Ruang

3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 3

(4)

11.1 SISTEM KOORDINAT

MA1201 MATEMATIKA 2A

11.1 SISTEM KOORDINAT CARTESIUS DI R

³

• Memahami sistem koordinat Cartesius

• Memahami sistem koordinat Cartesius di R³

• Mengenali dan menggambar grafik per

• Mengenali dan menggambar grafik per‐

samaan di R³

(5)

Apa yang Akan Dipelajari Apa yang Akan Dipelajari

Kelak kita akan membahas vektor di bidang (R²) dan di ruang (R³), dan setelah itu kita akan membahas pula fungsi bernilai vektor.

Sistem koordinat Cartesius (dan polar) di R² telah kita pelajari dengan baik.

Sekarang kita akan mempelajari sistemg p j koordinat Cartesius di R³.

(6)

Sistem Koordinat Cartesius di R

³

Sistem Koordinat Cartesius di R

Sistem Koordinat Cartesius _z (pos) di R³terdiri dari 3 sumbu

yang saling tegak lurus dan

(p )

berpotongan di titik O, yang kemudian disebut sebagai titik asal. Ketiga sumbu tsb biasanya disebut sebagai

y (pos) O

sumbu‐x, sumbu‐y, dan

sumbu‐z, dan membagi ^x (pos.) ruang menjadi 8 oktan.

(7)

Sistem Koordinat Cartesius di R

³

Sistem Koordinat Cartesius di R

Setiap titik P di R³dinyata‐

kan sebagai koordinat

P(x,y,z), seperti pd gambar.

z

P

Jarak antara 2 titik P(x₁,y₁,z₁) dan Q(x₂,y₂,z₂) diberikan

P

dan Q(x₂,y₂,z₂) diberikan oleh rumus|PQ| =

O y

) (

)

( )² ( )² ( )² . (x₂  x₁ ²  y₂  y₁ ²  z₂  z₁ ²

x

(8)

Persamaan Bola, Bidang, dan Garis Persamaan Bola, Bidang, dan Garis

1. Persamaan bola yang berpusat di P(a,b,c) dan berjari‐jari R adalah

. )

( )

( x  a

²

 y  b

²

 z  c

²

 R

² 2. Persamaan umum bidang di R³ adalah

. )

( )

( x a  y b  z c R

2

0

2

B C

A D

C B

A

3. Persamaan

. 0 ,

²



²



²







 By Cz D A B C

Ax

c z

b y

a

x   

menyatakan garis lurus yang melalui T(a,b,c)

r

q y

p  

e yata a ga s u us ya g e a u (a,b,c) dan searah dengan vektor (p,q,r).

(9)

Contoh: Menggambar Bidang di R

³

Contoh: Menggambar Bidang di R

Gambarlah bidang yang _z memiliki persamaan

6 3

2  

 y z x

z

Jawab: Bidang melalui i ik P(6 0 0) Q(0 3 0)

. 6 3

2 

 y z x

Q R

titik P(6,0,0), Q(0,3,0),

dan R(0,0,2). ^O ^y

Q

x P

(10)

Soal Soal

Gambarlah bidang di R³ yg memiliki persamaan Gambarlah bidang di R yg memiliki persamaan

. 12 3

2 x  z 

(11)

11.2‐4 VEKTOR, HASILKALI TITIK,

MA1201 MATEMATIKA 2A

11.2 4 VEKTOR, HASILKALI TITIK, DAN HASILKALI SILANG

• Memahami sifat sifat vektor di R² dan R³

• Memahami sifat‐sifat vektor di R² dan R³

• Menghitung jumlah dua vektor, hasilkali vektor dengan skalar dan besar vektor vektor dengan skalar, dan besar vektor

• Menghitung hasilkali titik dan hasilkali silang dua vektor dan mengetahui sifat

silang dua vektor, dan mengetahui sifat‐

sifatnya

(12)

Apa dan Mengapa Vektor Apa dan Mengapa Vektor

Kuantitas panjang, massa, dan waktu Kuantitas panjang, massa, dan waktu

merupakan skalar, yang dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan.

Kuantitas fisis lainnya seperti kecepatan dan gaya tidak hanya mempunyai panjang atau besar (magnitude) tetapi juga arah.

Besaran atau kuantitas tsb dikenal sebagai vektor. Pemahaman tentang vektor juga

diperlukan untuk mempelajari fungsi dengan

b k b h

banyak peubah.

(13)

Vektor: Pendekatan Geometri Vektor: Pendekatan Geometri

Secara geometri, vektor dinyatakan sebagai anak Secara geometri, vektor dinyatakan sebagai anak panah, yang mempunyai titik awal (ekor) dan

titik akhir (kepala), dan dituliskan dengan huruf tebal misalnya u atau v.

kepala

ekor

u v

Dua vektor dikatakan sama atau setara apabila kedua vektor tsb mempunyai panjang dan arah kedua vektor tsb mempunyai panjang dan arah yang sama. Sbg contoh, u dan v di atas setara.

(14)

Penjumlahan Dua Vektor Penjumlahan Dua Vektor

Diberikan dua vektor kita dapat menghitung Diberikan dua vektor, kita dapat menghitung jumlahnya dengan dua cara:

u v

u

u + v

v

u + v

Cara Segitiga

Cara Jajargenjang Cara Jajargenjang

(15)

Perkalian dengan Skalar Perkalian dengan Skalar

Kita juga dapat mengalikan vektor dgn skalar:

u 2u

Selisih dua vektor u – v dimaknai sebagai Selisih dua vektor, u v, dimaknai sebagai hasil operasi u + (‐1)v.

(16)

Vektor: Pendekatan Aljabar Vektor: Pendekatan Aljabar

Di R²: vektor u dinyatakan ^(u¹^,u²⁾ Di R : vektor u dinyatakan

sebagai pasangan terurut (u₁ u₂) [Dalam hal ini ekor (u₁,u₂). [Dalam hal ini, ekor vektor u adalah O(0,0) dan

kepalanya adalah (u₁ u₂) ] ^O kepalanya adalah (u₁,u₂).]

Di R³ k di k

(u₁,u₂,u₃)

Di R³: vektor u dinyatakan sebagai tripel (u₁,u₂,u₃).

O O

(17)

Perkalian dengan Skalar dan l h

Penjumlahan

Di R²: Jika u = (u₁,u₂), v = (v₁,v₂), dan c R, maka Di R : Jika u (u₁,u₂), v (v₁,v₂), dan c R, maka

c u := (cu₁,cu₂)

u + v := (u +v u +v ) u + v := (u₁+v₁,u₂+v₂)

Di R³ Jik ( ) ( ) d R

Di R³: Jika u = (u₁,u₂,u₃), v = (v₁,v₂,v₃), dan c R, maka

( )

c u := (cu₁,cu₂,cu₃)

u + v := (u₁+v₁,u₂+v₂,u₃+v₃)

(18)

Vektor Basis Vektor Basis

Di R²: vektor i = (1 0) dan j = (0 1) disebut Di R : vektor i = (1,0) dan j = (0,1) disebut sebagai vektor basis (baku). Vektor u dapat dituliskan sebagai

dituliskan sebagai

u = (u₁,u₂) = u₁i + u₂j.

Di R³: vektor i = (1,0,0), j = (0,1,0), dan k = (0,0,1) merupakan vektor basis (baku).

u = (u( ₁₁,u, ₂₂,u, ₃₃) = u) ₁₁i + u₂₂j + uj ₃₃k.

(19)

Besar atau Panjang Vektor Besar atau Panjang Vektor

Di R²:

u  u

₁²

 u

₂² Di R :

i ³ ² ² ²

2

.

1

u

u 

Di R³:

u  u

₁²

 u

₂²

 u

₃²

.

Catatan. Vektor yang panjangnya sama dengan 1 disebut vektor satuan.

(20)

Teorema (Sifat Aljabar Vektor) Teorema (Sifat Aljabar Vektor)

1 u + v = v + u 5 a(bu) = (ab)u 1. u + v = v + u

2. (u + v) + w = u + (v + w)

3 0 0

5. a(bu) = (ab)u

6. a(u + v) = au + av

( b) b

3. u + 0 = 0 + u = u 4. u + (‐u) = 0

7. (a + b)u = au + bu 8. 1u = u

9

a u  a  u

9.

a u a u .

(21)

Hasilkali Titik Hasilkali Titik

Di R²:

u  v :  u v  u v

Di R :

i ³

. : u

₁

v

₁

u

₂

v

₂

v

u   

Di R³:

u  v :  u

₁

v

₁

 u

₂

v

₂

 u

₃

v

₃

.

Catatan:

u  u  u

²

.

(22)

Sifat Hasilkali Titik Sifat Hasilkali Titik

1

u  v  v  u

1.

2

( )

2.

u  ( v  w )  u  v  u  w

3.

c ( u  v )  ( c u )  v

4.

0  v  0

(23)

Teorema Teorema

Jika θ adalah sudut tak negatif antara dua vektor Jika θ adalah sudut tak negatif antara dua vektor tak nol u dan v, maka

. cos  v

u v

u   

Definisi: Dua vektor u dan v tegak lurus jika dan hanya jika

u  v  0 .

(24)

Hasilkali Silang di R

³

Hasilkali Silang di R

Definisi: Hasilkali silang antara u dan v adalah Definisi: Hasilkali silang antara u dan v adalah u x v := (u₂v₃ – u₃v₂, u₃v₁ – u₁v₃, u₁v₂ – u₂v₁)

u u

u

k j

i

.

3 2

1

3 2

1

v v

v

u u

 u

Dapat diperiksa bahwa u x v = –(v x u).

(25)

Sifat Hasilkali Silang Sifat Hasilkali Silang

1

u  ( u  v )  0  v  ( u  v )

1.

yakni u x v tegak lurus pada u dan v.

).

( 0

)

( u v v u v

u      

2. u, v, dan u x v membentuk tripel tangan kanan.

3.

^u ^ ^v ^ ^u ^ ^v sin  .

(26)

Sifat Hasilkali Silang Sifat Hasilkali Silang

1

u  ( v  w )  u  v  u  w

1.

2

. )

( v w u v u w

u      

) (

)

( k k

2.

k k ( u  v )  ( k u )  v  u  ( k v ).

3.

( u  v )  w  u  ( v  w ).

(27)

Soal Soal

Buktikan bahwa: i x j = k j x k = i k x i = j Buktikan bahwa: i x j = k, j x k = i, k x i = j.