Solusi Persamaan Diferensial Fraksional Non-Linear Menggunakan Telescoping Decomposition Method

Vol. 15, No. 2 (2019), pp. 139-148. doi:10.24198/jmi.v15.n2.23376.139-148

Solusi Persamaan Diferensial Fraksional Non-Linear Menggunakan

Telescoping Decomposition Method

A Risara Vilinea

1

, E Rusyaman

2

, Eddy Djauhari

3

1_{Program Studi S-1 Matematika Fakultas MIPA Universitas Padjadjaran,}

anjang15001@mail.unpad.ac.id

Abstrak

Model matematika banyak digunakan dalam memecahkan permasalahan, salah sat-unya persamaan diferensial. Pada umumnya persamaan diferensial menggunakan orde bilangan asli, namun orde pada persamaan diferensial dapat dibentuk menjadi orde pecahan yang disebut persamaan diferensial fraksional. Suatu persamaan difer-ensial fraksional dapat diselesaikan dan diperoleh solusinya. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial fraksional, salah satunya yaitu Telescoping Decomposition Method (TDM) yang merupakan modi-fikasi dari Adomian Decomposition Method (ADM). Penulis mencoba menyelesaikan persamaan diferensial fraksional non-linear menggunakan metode tersebut, dimana TDM lebih efisien dari ADM dalam mencari solusi persamaan diferensial frak-sional non-linear. Selanjutnya, barisan orde dari persamaan diferensial frakfrak-sional non-linear dapat diamati kekonvergenannya ke suatu bilangan yang mengakibatkan barisan fungsi solusi dari persamaan diferensial fraksional non-linear akan konvergen ke fungsi solusi dengan orde bilangan itu sendiri dan akan dibandingkan hasilnya dengan Adomian Decomposition Method (ADM). Terbukti bahwa menggunakan TDM lebih cepat konvergen menuju solusi eksak dibandingkan dengan menggunkan ADM.

Kata kunci: Persamaan Diferensial, Fraksional, Non-linear, Telescoping Decompo-sition, Konvergen.

Abstract

Mathematical models are used in solving problems, one of which is dif-ferential equations. The differential equation generally uses a natu-ral number order, but the order in the equation could be turned into a fraction order known as fractional differential equation, which could be solved. There are some methods that could be used to solve the frac-tional differential equation, one of which is the Telescoping Decomposi-tion Method which is a modificaDecomposi-tion of Adomian DecomposiDecomposi-tion Method (ADM). In this study, The writer attempts to solve non-linear frac-tional differential equations using the method mentioned, where TDM is more efficient than ADM in finding solutions to non-linear fractional differential equations. Furthermore, the order sequence of a non-linear fractional differential equation convergences into a number, which is the process of solution function sequence converging from a non-linear frac-tional differential equation into a fracfrac-tional differential equation with its own number order, could be observed and will compare the result with Adomian Decomposition Method. Proven that using TDM faster con-verges to exact solutions compared to using ADM.

2000 Mathematics Subject Classification: 26A33

Submitted: 08-07-2019, Revision: 11-01-2020, Accepted: 30-01-2020. 139

Keywords: differential equation, fractional, non-linear, telescoping decomposition, convergent.

1. PENDAHULUAN

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan turunan atau diferensial dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Berdasarkan jumlah variabel bebasnya, persamaan difer-ensial terbagi menjadi dua jenis, yaitu Persamaan Diferdifer-ensial Biasa (PDB) dan Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Orde pada persamaan diferensial dapat dibentuk menjadi orde pec-ahan yang disebut persamaan diferensial fraksional. Salah satu tujuan mempelajari persamaan diferensial fraksional yaitu mencari penyelesaian atau solusi dari persamaan diferensial. Solusi persamaan diferensial fraksional adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensial ter-sebut. Solusi dari persamaan diferensial fraksional dapat dicari dengan menggunakan beberapa metode, salah satunya Telescoping Decomposition Method (TDM). Beberapa tahun kebelakang banyak peneliti yang mengkaji tentang TDM sebagai metode yang digunakan dalam mencari solusi persamaan diferensial, seperti pada [1] telah menggunakan pada persamaan diferensial non-linear orde satu. Kemudian [2] menggunakan persamaan diferensial non-linear orde dua, serta pada [3] menggunakan TDM untuk mencari persamaan diferensial fraksional. Penulis menggunakan Telescoping Decomposition Method dalam mencari solusi persamaan diferensial non-linear berorde fraksional, kemudian akan dianalisis kekonvergenan barisan fungsi solusi, serta akan dibandingkan solusinya dengan menggunakan Adomian Decomposition Method.

2. METODE PENELITIAN

Pada bagian ini dibahas tentang pencarian solusi dari persamaan diferensial fraksional non-linear menggunakan Telescoping Decomposition Method (TDM) dengan bentuk umum per-samaan diferensial fraksional non-linear yang digunakan adalah

Dαu(t) + Au2(t) + Bu(t) = r(t), 0 < α ≤ 2, A, B konstanta real (1) Telescoping Decomposition Method (TDM) adalah metode iteratif baru untuk persamaan diferensial fraksional non-linear. Dengan metode ini dapat dicari solusi numerik dari ekspansi deret Taylor yang mengkonstruksi solusi analitik dalam bentuk polinomial. Metode ini adalah bentuk modifikasi dari Adomian Decomposition Method (ADM), dimana pada TDM, polinomial Adomian tidak harus dihitung sehingga metode ini memberikan cara yang lebih sederhana dan menghasilkan pendekatan solusi ke nilai sebenarnya lebih efisien dari ADM, dengan rumus pendekatan solusi u(t) = m X k=0 uk(t); m ≥ 1 (2)

dimana uk(t) harus dicari secara berurutan melalui prosedur iteratif sebagai berikut, u0(t) = m−1 X k=0 u(k)₍₀+₎ k! t k_{; m = 1 (3)} u1(t) = 1 Γ(α) Z t 0 (t − s)α−1f (s, u0(s))ds = Jα[f (t, u0(t))] (4) u2(t) = Jα[f (t, u0(t) + u1(t))] − Jα[f (t, u0(t))] (5) u3(t) = Jα[f (t, u0(t) + u1(t) + u2(t))] − Jα[f (t, u0(t) + u1(t))] (6) .. . un(t) = 5Jα " f t, n−1 X k=0 uk(t) !# − Jα " f t, n−2 X k=0 uk(t) !# (7)

Integral Fraksional didefinisikan oleh Riemann-Liouville sebagai berikut (Kisela,2008) Jαf (x) = D−α_α f (x) = 1 Γ(α) Z x 0 (x − t)α−1f (t)dt; α, x > 0. (8) Teorema 2.1. Integral fraksional berorde α dari fungsi polinom sederhana yang berbentuk f (x) = xn adalah

D−αf (x) = Γ(n + 1) Γ(n + α + 1)x

n+α_{; α, x > 0, n ≥ 0.}

Teorema 2.2. Misalkan α, β > 0 dan λ, µ merupakan konstanta, maka untuk integral frak-sional berlaku sifat-sifat berikut:

Jα(λf (t) + µg(t)) = λJαf (t) + µJαg(t). Jα(J−βf (t)) = Jα−βf (t.) Jα[λ · f (t)] = λ · Jα[f (t)].

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1. Persamaan Diferensial Fraksional Orde α dengan r(t) = k. Diberikan persamaan diferensial fraksional non-linear berorde α berikut

Dαu(t) + A · u2(t) + B · u(t) = k (9) dengan kondisi awal u(0) = 0.

Pencarian solusi dari persamaan diferensial fraksional berorde α menggunakan Telesoping Decomposition Method (TDM) sebagai berikut

Dαu(t) = f (t, u) = k − A · u2(t) − B · u(t)

Bentuk solusi pendekatan dari persamaan (7) dengan menggunakan langkah iteratif pada persamaan (2) hingga (6) sebagai berikut

u0(t) = 0 u1(t) = Jα[f (t, u0(t))] = Jα[k] = ktα Γ(α + 1) u2(t) = Jα[f (t, u0(t) + u1(t))] − Jα[f (t, u0(t))] = Jαdk − A ·  _ktα Γ(α + 1) 2 − B · kt α Γ(α + 1)e − J α_[k] = − Ak 2_{Γ(2α + 1)} Γ(α + 1)2_{Γ(3α + 1)}t 3α − Bk Γ(2α + 1)t 2α u3(t) = Jα[f (t, u0(t) + u1(t) + u2(t))] − Jα[f (t, u0(t) + u1(t))] = B 2_k Γ(2α + 1) Γ(2α + 1) Γ(3α + 1)t 3α₊ 2ABk2 Γ(2α + 1)Γ(α + 1) · Γ(3α + 1) Γ(4α + 1)t 4α + ABk 2_{· Γ(2α + 1)} Γ(2α + 1)2_{Γ(3α + 1)}· Γ(3α + 1) Γ(4α + 1)t 4α₋ AB2k2 Γ(2α + 1)2 · Γ(4α + 1) Γ(5α + 1)t 5α + 2A 2_k3_{· Γ(2α + 1)} Γ(α + 1)3_{Γ(3α + 1)}· Γ(4α + 1) Γ(5α + 1)t 5α − 2A 2_Bk3 Γ(α + 1)2_{Γ(3α + 1)}· Γ(5α + 1) Γ(6α + 1)t 6α − A 3_k4_{· Γ(2α + 1)}2 Γ(α + 1)4_{Γ(3α + 1)}2· Γ(6α + 1) Γ(7α + 1)t 7α_.

Dengan demikian diperoleh solusi pendekatan u(t) = 3 X k=0 uk(t) =  ktα Γ(α + 1)  +  − Ak 2_{· Γ(2α + 1)} Γ(α + 1)2_{Γ(3α + 1)}t 3α₋ Bk Γ(2α + 1)t 2α  + B 2_k Γ(2α + 1)· Γ(2α + 1) Γ(3α + 1)t 3α₊ 2ABk2 Γ(2α + 1)Γ(α + 1)· Γ(3α + 1) Γ(4α + 1)t 4α + ABk 2_{· Γ(2α + 1)} Γ(α + 1)2_{Γ(3α + 1)}· Γ(3α + 1) Γ(4α + 1)t 4α − AB 2_k2 Γ(2α + 1)2 · Γ(4α + 1) Γ(5α + 1)t 5α + 2A 2_k3_{· Γ(2α + 1)} Γ(α + 1)3_{Γ(3α + 1)}· Γ(4α + 1) Γ(3α + 1)t 5α₋ 2A 2_Bk3 Γ(α + 1)2_{Γ(3α + 1)}· Γ(5α + 1) Γ(6α + 1)t 6α − A 3_k4_{· Γ(2α + 1)}2 Γ(α + 1)4_{Γ(3α + 1)}2 · Γ(6α + 1) Γ(7α + 1)t 7α_.

selanjutnya akan dicari solusi dari persamaan (7) dengan A = 1, B = 0, k = 1.

Dαu(t) + u2(t) = 1 (10) dengan kondisi awal u(0) = 0, diperoleh solusi pendekatan persamaan (8) sebagai berikut

u(t) = t α Γ(α + 1) − Γ(2α + 1) Γ(α + 1)2_{Γ(3α + 1)}t 3α + 2Γ(2α + 1) Γ(3α + 1)Γ(α + 1)3 · Γ(4α + 1) Γ(5α + 1)t 5α − Γ(2α + 1) 2 Γ(3α + 1)2_{Γ(α + 1)}4 · Γ(6α + 1) Γ(7α + 1)t 7α_.

Selanjutnya kita akan melihat kekonvergenan barisan fungsi solusi persamaan diferensial fraksioal orde αndengan mengambil suatu barisan (αn) =

 n n+1



, maka persamaan diferensial fraksional orde αn menjadi

Dn+1n _{u(t) + u}2_{(t) = 1, n ∈ N,}

sehingga diperoleh barisan fungsi solusi persamaan diferensial fraksional berorde αnyang dino-tasikan un(t) sebagai berikut,

un(t) = tn+1n Γ_n+1n + 1 − Γ2 ·_n+1n + 1t3n+1n Γ_n+1n + 1 2 Γ3 ·_n+1n + 1 + 2Γ2 ·_n+1n + 1Γ4 ·_n+1n + 1t5·n+1n Γ3 ·_n+1n + 1Γ_n+1n + 1 3 Γ5 ·_n+1n + 1 − Γ2 ·_n+1n + 1 2 Γ3 · n n+1+ 1 2 Γ n n+1+ 1 4· Γ6 ·_n+1n + 1 Γ7 ·_n+1n + 1 t 7· n n+1_.

Selanjutnya akan diperlihatkan barisan fungsi (un(t)) konvergen ke fungsi u(t), dimana u(t) adalah solusi persamaan diferensial fraksional non-linear orde α = 1.

u(t) = t −t 3 3 + 2t5 5 − t7 63

lim n→∞un(t) = limn→∞ tn+1n Γ_n+1n + 1 − Γ2 · n n+1+ 1  t3n+1n Γ_n+1n + 1 2 Γ3 ·_n+1n + 1 + 2Γ2 · n n+1+ 1  Γ4 · n n+1+ 1  t5·n+1n Γ3 ·_n+1n + 1Γ_n+1n + 1 3 Γ5 ·_n+1n + 1 − Γ2 · n n+1+ 1 2 Γ3 · _n+1n + 1 2 Γ_n+1n + 1 4 · Γ6 · n n+1+ 1  Γ7 ·_n+1n + 1 t 7· n n+1 = t −t 3 3 + 2t5 5 − t7 63 = u(t)

Gambar 1. Grafik fungsi solusi Dαu(t) + u2(t) = 1 orde (αn) = 

n n+1



Berdasarkan Gambar 1, solusi dikerjakan sampai iterasi suku ke-3, dapat dilihat bahwa persamaan diferensial fraksional non-linear dengan berorde (αn) menghasilkan pola grafik yang bergerak menuju persamaan diferensial fraksional berorde α = 1, sehingga barisan fungsi solusi persamaan diferensial fraksional non-linear dengan bentuk D(n+1n )u(t) + u2_{(t) = 1 konvergen}

ke fungsi solusi persamaan diferensial fraksional non-linear dengan bentuk D1_{u(t) + u}2_{(t) = 1.}

3.2. Persamaan Diferensial Fraksional Orde α dengan r(t) = ekt. Diberikan persamaan diferensial fraksional non-linear berorde α berikut

Dαu(t) = f (t, u) = ekt− A · u2_{(t) + B · u(t) = e}kt ₍₁₁₎

Metode pencarian solusi dari persamaan diferensial fraksional berorde α menggunakan Telesoping Decomposition Method (TDM) sebagai berikut

u0(t) = 0. u1(t) = Jαf (t, u0(t)) = Jα[ekt] = Jα  1 + kt 1! + k2t2 2! + k3t3 3! + . . .  u2(t) = Jα[f (t, u0(t) + u1(t))] − Jαf (t, u0(t)) = −A · 3 X m=0 k2m_t3α+2m Γ(α + m + 1)2 Γ(2α + 2m + 1) Γ(3α + 2m + 1) ! − A · 3 X m=1 2km_t3α+m Γ(α + 1)Γ(α + m + 1) Γ(2α + m + 1) Γ(3α + m + 1) ! − A · 4 X m=3 2km_t3α+m Γ(α + 2)Γ(α + m) Γ(2α + m + 1) Γ(3α + m + 1) ! − A · 2k 5_t3α+5 Γ(α + 3)Γ(α + 4) Γ(2α + 6) Γ(3α + 6) − B · 3 X m=0 kmt2α+m Γ(2α + m + 1) ! + . . . .

Dengan demikian diperoleh solusi pendekatan u(t) = 2 X k=0 uk(t) = 3 X m=0 km_tα+m Γ(α + m + 1)− A · 3 X m=0 k2m_t3α+2m Γ(α + m + 1)2 Γ(2α + 2m + 1) Γ(3α + 2m + 1) ! − A · 3 X m=1 2km_t3α+m Γ(α + 1)Γ(α + m + 1) Γ(2α + m + 1) Γ(3α + m + 1) ! − A · 4 X m=3 2km_t3α+m Γ(α + 2)Γ(α + m) Γ(2α + m + 1) Γ(3α + m + 1) ! − A · 2k 5_t3α+5 Γ(α + 3)Γ(α + 4) Γ(2α + 6) Γ(3α + 6)− B · 3 X m=0 km_t2α+m Γ(2α + m + 1) ! + . . .

selanjutnya akan dicari solusi dari persamaan (9) dengan A = 1, B = 1, k = 3,maka persamaan diferensial fraksional non-linear berorde α sebagai berikut

Dαu(t) + u2(t) + u(t) = e3t (12) dengan kondisi awal u(0) = 0, diperoleh solusi pendekatan persamaan (10) sebagai berikut u(t) = t α Γ(α + 1)+ 3 Γ(α + 2)t α+1₊ 32 Γ(α + 3)t α+2₊ 33 Γ(α + 4)t α+3 − 1 Γ(α + 1)2 Γ(2α + 1) Γ(3α + 1)t 3α − 6 Γ(α + 1)Γ(α + 2) Γ(2α + 2) Γ(3α + 2)t 3α+1₋ 18 Γ(α + 1)Γ(α + 3) Γ(2α + 3) Γ(3α + 3)t 3α+2 − 54 Γ(α + 1)Γ(α + 2) Γ(2α + 4) Γ(3α + 4)t 3α+3₋ 9 Γ(α + 2)2 Γ(2α + 3) Γ(3α + 3)t 3α+2₋ 54 Γ(α + 2)Γ(α + 3) Γ(2α + 4) Γ(3α + 4)t 3α+3 − 162 Γ(α + 2)Γ(α + 4) Γ(2α + 5) Γ(3α + 5)t 3α+4₋ 81 Γ(α + 3)2 Γ(2α + 5) Γ(3α + 5)t 3α+4₋ 486 Γ(α + 3)Γ(α + 4) 2α + 6 Γ(3α + 6)t 3α+5 − 729 Γ(α + 4)2 Γ(2α + 7) Γ(3α + 7)t 3α+6 − 1 Γ(α + 1) Γ(α + 1) Γ(2α + 1)t 2α − 3 Γ(α + 2) Γ(α + 2) Γ(2α + 2)t 2α+1 − 9 Γ(α + 3) Γ(α + 3) Γ(2α + 3)t 2α+2₋ 27 Γ(α + 4) Γ(α + 4) Γ(2α + 4)t 2α+3_{+ . . .}

Selanjutnya kita akan melihat kekonvergenan barisan fungsi solusi persamaan diferensial fraksioal orde αn dengan mengambil suatu barisan (αn) = _4n+13n , maka persamaan diferensial fraksional orde αn menjadi

Sehingga diperoleh barisan fungsi solusi persamaan diferensial fraksional berorde αnyang dino-tasikan un(t) sebagai berikut

un(t) = t4n+13n Γ_4n+13n + 1 + 3t4n+13n _{+ 2} Γ_4n+13n + 2 + 9t4n+13n +2 Γ_4n+13n + 3 + 27t4n+13n _{+ 3} Γ_4n+13n + 4 − Γ(2 + 1)t 3· 3n 4n+1 Γ_4n+13n + 1 2 Γ3 · _4n+13n + 1 − 6Γ2 · 3n 4n+1 + 2  t34n+13n +1 Γ 3n 4n+1+ 1  Γ 3n 4n+1+ 2  Γ3 · 3n 4n+1 + 2  − 18Γ2 · 3n 4n+1 + 3  t34n+13n +2 Γ 3n 4n+1+ 1  Γ 3n 4n+1+ 3  Γ3 · 3n 4n+1+ 3  − 54Γ2 · 3n 4n+1 + 4  t3·4n+13n +3 Γ en 4n+1 + 1  Γ 3n 4n+1 + 4  Γ3 · 3n 4n+1 + 4  − 9Γ2 · 3n 4n+1 + 3  t3·4n+13n +2 Γ 3n 4n+1+ 2 2 Γ3 · 3n 4n+1+ 3 − 54Γ2 · 3n 4n+1+ 4  t3·4n+13n +3 Γ 3n 4n+1+ 2  Γ 3n 4n+1+ 3  Γ3 · 3n 4n+1 + 4  − 162Γ2 · 3n 4n+1 + 5  t34n+13n +4 Γ 3n 4n+1+ 2  Γ 3n 4n+1+ 4  Γ3 · 3n 4n+1+ 5  − 81Γ2 · 3n 4n+1 + 5  t34n+13n +4 Γ_4n+13n + 3 2 Γ3 ·_4n+13n + 5 − 486Γ2 · 3n 4n+1 + 6  t34n+13n +5 Γ 3n 4n+1+ 3  Γ 3n 4n+1+ 4  Γ3 · 3n 4n+1+ 6  − 729Γ2 · 3n 4n+1 + 7  t34n+13n +6 Γ_4n+13n + 4 2 Γ3 ·_4n+13n + 7 − Γ 3n 4n+1 + 1  t24n+13n Γ 3n 4n+1+ 1  Γ2 · 3n 4n+1+ 1  − 3Γ 3n 4n+1 + 2  t24n+13n +1 Γ 3n 4n+1 + 2  Γ2 · 3n 4n+1 + 2  − 9Γ 3n 4n+1+ 3  t24n+13n +2 Γ 3n 4n+1+ 3  Γ2 · 3n 4n+1+ 3  − 27Γ 3n 4n+1+ 4  t24n+13n +3 Γ 3n 4n+1 + 4  Γ2 · 3n 4n+1 + 4  + . . .

Selanjutnya akan diperlihatkan barisan fungsi (un(t)) konvergen ke fungsi u(t), dimana u(t) adalah solusi PDF non-linear orde α = 3₄.

u(t) = 1 Γ 3₄
 4 3t 3 4 +16 7 t 7 4 +192 77t 11 4 +768 385t 15 4 ! + −√1 π 4t32 3 + 8t52 5 + 48t72 35 + 32t92 35 !! − √ π Γ 3₄
2 Γ 1₄
256t94 45 + 4096t134 819 + 373760tf ra21 51051 + 524288t214 54145 + 116391936t254 14889875 ! − √ π Γ 3 4
2 Γ 1 4
1509949446t294 33215875 + 603976776t334 365374625 ! + . . .

lim n→∞un(t) = limn→∞ t4n+13n Γ_4n+13n + 1 + 3t4n+13n _{+ 2} Γ_4n+13n + 2 + 9t4n+13n +2 Γ_4n+13n + 3 + 27t4n+13n _{+ 3} Γ_4n+13n + 4 − Γ(2 + 1)t 3· 3n 4n+1 Γ_4n+13n + 1 2 Γ3 ·_4n+13n + 1 − 6Γ2 ·_4n+13n + 2t34n+13n +1 Γ_4n+13n + 1Γ_4n+13n + 2Γ3 ·_4n+13n + 2 − 18Γ2 ·_4n+13n + 3t34n+13n +2 Γ_4n+13n + 1Γ_4n+13n + 3Γ3 ·_4n+13n + 3 − 54Γ2 ·_4n+13n + 4t3·4n+13n +3 Γ_4n+1en + 1Γ_4n+13n + 4Γ3 ·_4n+13n + 4 − 9Γ2 ·_4n+13n + 3t3·4n+13n +2 Γ_4n+13n + 2 2 Γ3 ·_4n+13n + 3 − 54Γ2 ·_4n+13n + 4t3·4n+13n +3 Γ_4n+13n + 2Γ_4n+13n + 3Γ3 ·_4n+13n + 4 − 162Γ2 ·_4n+13n + 5t34n+13n +4 Γ_4n+13n + 2Γ_4n+13n + 4Γ3 ·_4n+13n + 5 − 81Γ2 ·_4n+13n + 5t34n+13n +4 Γ_4n+13n + 3 2 Γ3 ·_4n+13n + 5 − 486Γ2 ·_4n+13n + 6t34n+13n +5 Γ_4n+13n + 3Γ_4n+13n + 4Γ3 ·_4n+13n + 6 − 729Γ2 ·_4n+13n + 7t34n+13n +6 Γ_4n+13n + 4 2 Γ3 ·_4n+13n + 7 − Γ_4n+13n + 1t24n+13n Γ_4n+13n + 1Γ2 · _4n+13n + 1 − 3Γ_4n+13n + 2t24n+13n +1 Γ_4n+13n + 2Γ2 ·_4n+13n + 2 − 9Γ_4n+13n + 3t24n+13n +2 Γ_4n+13n + 3Γ2 · _4n+13n + 3 − 27Γ_4n+13n + 4t24n+13n +3 Γ_4n+13n + 4Γ2 ·_4n+13n + 4 + . . . = 1 Γ 3₄
 4 3t 3 4 +16 7 t 7 4 +192 77t 11 4 +768 385t 15 4 ! + −√1 π 4t32 3 + 8t52 5 + 48t72 35 + 32t92 35 !! − √ π Γ 3₄
2 Γ 1₄
256t94 45 + 4096t134 819 + 373760tf ra21 51051 + 524288t214 54145 + 116391936t254 14889875 ! − √ π Γ 3 4
2 Γ 1 4
1509949446t294 33215875 + 603976776t334 365374625 ! + . . . = u(t)

Gambar 2. Grafik fungsi solusi Dαu(t) + A · u2(t) + B · u(t) = ektorde (αn) = 

3n 4n+1



Berdasarkan Gambar 2, solusi dikerjakan sampai iterasi suku ke-2, dapat dilihat bahwa persamaan diferensial fraksional non-linear berorde (αn) menghasilkan pola grafik yang berg-erak menuju persamaan diferensial fraksional non-linear berorde α = 3₄, sehingga barisan fungsi solusi persamaan diferensial fraksional non-linear dengan bentuk D(4n+13n )u(t) + u2_{(t) +}

u(t) = e3t_{konvergen ke fungsi solusi persamaan diferensial fraksional non-linear dengan bentuk} D34u(t) + u2(t) + u(t) = e3t.

3.3. Perbandingan Telescoping Decomposition Method dan Adomian Decomposi-tion Method . Diberikan persamaan diferensial fraksional non-linear berorde α berikut

Dαu(t) + u2(t) = 1 (13) Untuk α = 1 dengan menggunakan Telescoping Decomposition Method (TDM) diperoleh solusi pendekatan sebagai berikut

uT DM = t − t3 3 + 2t5 5 − 17t7 63 + 62t9 2835.

Untuk α = 1 dengan menggunakan Adomian Decomposition Method (ADM) diperoleh solusi pendekatan sebagai berikut

uADM = t − t3

3 + 2t5

15 Untuk α = 1 diperoleh solusi eksak sebagai berikut

u(t) = e 2t_{− 1} e2t_{+ 1}

Solusi pendekatan untuk persamaan (11) dengan menggunakan Telescoping Decomposition Method (TDM) lebih cepat kekonvergenannya menuju solusi eksak dibanding dengan menggu-nakan Adomian Decomposition Method (ADM).

4. SIMPULAN

Solusi persamaan diferensial fraksional non-linear dengan TDM selalu ada untuk 0 < α ≤ 2, dan jika (αn) konvergen ke α maka barisan fungsi solusi dari persamaan diferensial dengan koefisien fungsi berorde αn akan konvergen ke fungsi solusi persamaan diferensial frak-sional dengan koefisien fungsi berorde α. TDM terbukti lebih efisien dibandingkan ADM dalam

Gambar 3. Grafik solusi Dαu(t) + u2(t) = 1 dengan α = 1

mencari solusi karena tidak perlu mencari polinomial adomian terlebih dahulu, serta kekonver-genan barisan fungsi solusi dengan menggunakan TDM lebih cepat konvergen menuju solusi eksak dibandingkan dengan menggunkan ADM tetrlihat pada Gambar 3.

4.1. Saran. Artikel ini terbatas hanya pada menyusun algoritma dan menentukan bilangan kromatik fuzzy dari graf fuzzy secara simulasi dengan bantuan software MATLAB. Saran untuk penelitian berikutnya adalah menerapkan algoritma ke dalam penyusunan jadwal perkuliahan.

Daftar Pustaka

[1] Al-Refai, Mohammed. et al. 2008. Telescoping Decomposition Method for Solving First Order Nonlinear Differential Equations. Vol 11, 19-21.

[2] Nibron, M.H. et al. 2014. Telescoping Decomposition Method for Solving Second Order Nonlinear Differ-ential Equations. Nigeria. Vol. 3, 590-595.

[3] Bouhassoun, Abdelkader. 2013. Multistage Telescoping Decomposition Method for Solving Fractional Dif-ferential Equations. Vol. 43, 10-16.

[4] Kisela, Thomas. 2008. Mathematical Methods in The Physical Sciences. Thesis Faculty Of Mechanical Engineering, Institute Of Mathematics, BRNO University Of Technology.