53 | h a n d o u t Indikator Pencapaian Hasil Belajar :
Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam :
Menghitung luas daerah dan volum dari daerah yang dibatasi suatu kurva sederhana pada suatu selang
Ringkasan Materi Perkuliahan
Kita review dulu konsep penjumlahan berulang yang anda miliki
4 29 2
16 9 2 4
2 4 2 3 2 2
i
i
n i
n n
i 1
) 1 ( ...
3 2 1
n i a i a a a n
1
2 ...
1
Berikut akan diperlihatkan contoh bagaimana menghitung luas daerah dengan menggunakan gagasan limit.
Teorema :
(Rumus Jumlah Khusus ) Misalkan adalah konstanta dan bilangan bulat positif, maka :
(a) (b)
(c) (d)
(e)
PENGGUNAAN INTEGRAL
TENTU
54 | h a n d o u t Bagaimana anda menhitung luasan daerah berikut? Ya,,kita bisa menghitung dengan menjumlahkan persegi-persegi yang ada, karena luasan tersebut tidak beraturan.
Begitupun pada konsep yang nanti akan kita pelajari. Kita gunakan kata ” potong- jumlahkan-limit”
Misal akan ditentukan luas daerah
R
yang dibatasi oleh parabolay f ( x ) x 2
,sumbu-
x
dan garis tegakx 2
.
y f
Benar /tdk bahwa luas daerah di( x ) x 2
bawah kurva y= x 2 tsb , sumbu x positif dan di atas sumbu y adalah jumlahan dari luas persegi
panjang-persegi panjang yang kita buat?
Bagaimana kalau kita buat persegi panjangnya sejumlah tak hingga n, bukankah akan mendekati luas daerah kurva sebenarnya?
Jadi apa yang akan kita lakukan untuk mengitung luas daerah di atas?
Buat n buah persegi panjang
Hitung luas persegipanjangmu
Jumlahkan
Buat pendekatan untuk n tak hingga
55 | h a n d o u t Misal
x 0 x 1 x 2 ... x n
adalah titik-titik pada selang 0 , 2
demikian sehingga panjang setiap selang bagian yang terbentuk oleh titik-titik itu adalahx n x i 2
,n i 1 , 2 ,...,
x 0
x 1
x 2
x 3
x n 1
x n
0 0 x
x n
x 2
1 x n x 2 2 4
x n x 3 3 6
...
n n x n n
x 1 ( 1 ) ( 1 ) 2 2 2
n x n n x n
Pandang persegipanjang ke-
i
dengan alas x , i 1 x i
, tinggi2 ) 1
( x i 1 x i
f
sehinggaluasnya
f ( x i 1 ) x
. Gabungan dari semua persegi panjang yang demikian membentuk poligon dalamD n
f ( x i 1 )
x
x 0
x 1
x 2
x n 1
x n
Poligon dalam Luas =
56 | h a n d o u t Luas
A ( n D )
dapat dihitung ,3 2 4 4 3 8
2 ) 3 3 2 3 ( 3
4
) 1 2 2 )(
3 ( 3
4
6
) 1 ) 1 ( 2 )(
)(
1 ( 3 8
1 ) 2 1 3 (
8
1
2 2 ) 2 1 2 (
1 ) 2 ( 1 1
1 ) ( )
(
n n
n n n n
n n n n
n n n n
n i n i
n
i i n n
n n
i x i n
i
i x x n f
D A
Hal yang sama juga bisa kita lakukan jika poligon ( persegi panjang ) yang kita buat berada di luar kurva atau kita sebut penjumlahan untuk poligon luar
L n
f ( i x )
x
x 0
x 1
x 2
x n 1
x n
Poligon luar Luas =
57 | h a n d o u t Jika banyaknya persegi panjang dibuat sejumlah tak hingga banyaknya ( n makin besar ), maka
A ( n D )
akan makin mendekatiA (R )
. Dengan bahasa limit kita katakan) ( lim ) ( lim )
(
nn n
n
A D A R
R
A
3 2 4 4 3 lim 8 )
(
lim A D n n n n
n
3 8 3
4 4 3 lim 8 ) (
lim
2 n D n
A
n n nCoba kita cek dengan menggunakan
3 8 0 2 3
2 3 0
2
x dx x
...jadi apa yang dapat kita simpulkan?TEOREMA DASAR KALKULUS
Jika kita membuat
n
, artinya kita membuat besar 0
Jika f adalah fungsi kontinyu pada interval [a,b] dan F adalah anti derivatif f pada [a,b],
maka
b
a
a F b F dx x
f ( ) ( ) ( )
Dari teorema tersebut dapat kita aplikasikan untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva maupun volum benda putar.
58 | h a n d o u t 1. PENGGUNAAN INTEGRAL TENTU UNTUK MENCARI LUAS DAERAH Luas Daerah Antara Kurva d SUMBU X
Apabila kita mempunyai sebuah kurva seperti gambar berikut :
Bagaimanakah kita menghitung luas kurva tersebut yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a dan x = b (daerah yang diarsir).
Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita harus membuat pendekatan luas, yaitu dengan membuat beberapa garis vertical (strip) sehingga membentuk persegi panjang.
Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan pendekatan luas daerah tersebut.
Jumlah luas persegi panjang dari x = a sampai dengan x = b dapat dinyatakan dengan :
ni
xi yi Total Luas
1
dengan n adalah banyak persegi panjang.
nx i
yi xi
Total Luas
0 1
lim
x
59 | h a n d o u t Bentuk diatas dapat kita tuliskan sebagai bentuk integral seperti di bawah ini :
ba
dx y
L
karena y = f(x)
ba
dx x f
L ( )
= = F(b) – F(a)
b
a
ba
F b F a x
F dx x
f ( ) [ ( )] ( ) ( )
Integral yang dituliskan dalam notasi
ba
dx x
f ) (
akan menghasilkan nilai tertentu sehingga integral tersebut disebut dengan Integral Tertentu, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas integral.Jadi dari bukti di atas dapat diketahui bahwa integral tertentu dapat kita gunakan untuk menghitung luas daerah suatu kurva dengan sumbu koordinat yang dibatasi oleh dua buah garis.
Besar luas daerah yang ditunjukkan pada gambar bernilai negatif, sebab hasil kali perkalian f(x) dan
x
adalah negatif. Karena luas daerah selalu bernilai positif, maka :
ba
dx
x
f
L ( )
60 | h a n d o u t Contoh :
Hitunglah luas daerah di bawah sumbu X yang dibatasi oleh kurva y = 4 – 2x, sumbu X dan garis x = 4
Jawab :
4
O
2X
Y
4
y = 4 - 2x
Daerah yang diarsir berada di bawah sumbu X, maka luasnya :
4
) 4 8 ( ) 16 16 (
) 2 2 . 4 ( ) 4 4 . 4 (
4
) 2 4 (
) 2 4 (
2 2
4 2 2 4
2 4
2
x x
dx x
dx x L
Jadi, luasnya adalah 4 satuan luas
LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU Y
Lalu bagaimana dengan luas daerah kurva tertutup yang dibatasi sumbu Y ?
O X
Y x=f(y)
a
b
61 | h a n d o u t Bagaimanakah kita menghitung luas kurva tersebut yang dibatasi oleh kurva x = f(y), sumbu Y, garis y = a dan y = b (daerah yang diarsir) ? Permasalahan ini tidak jauh berbeda dengan luasan kurva yang dibatasi sumbu x. Hanya saja batas atas dan batas bawah kurva adalah koordinat di sumbu y
O X
Y x=f(y)
a b
Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita harus membuat pendekatan luas, yaitu dengan membuat beberapa garis vertikal (strip) sehingga membentuk persegi panjang.
Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan pendekatan luas daerah tersebut.
ny i
xi yi
Total Luas
0 1
lim
Bentuk diatas dapat kita tuliskan sebagai bentuk integral seperti di bawah ini :
ba
dy x L
Contoh 3: hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2, sumbu Y, garis y = 1 dan garis y = 2
Jawab :
Y 2 1 O
x = y
2X
62 | h a n d o u t
3 2 1
3 1 3 8
) 1 3 . ( 1 ) 2 3 . ( 1
3 1
3 3
2 1 3 2
1 2
y dy y L
Jadi luasnya adalah
3
2 1
satuan luas.LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA DAN SUMBU X
Misalkan :
f dan g adalah fungsi yang kontinyu di [a,b] dan f(x) ≥ g(x) dalam interval tersebut, dengan syarat y1 = f(x) dan y2 = g(x) tidak saling berpotongan pada [a,b] seperti pada gambar (fungsi f dan g non negatif)
tampak pada gambar bahwa luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g dalam [a,b]
adalah :
L = (luas daerah f) – (luas daerah g)
ba
b a
dx x g dx x f
L ( ) ( )
ba
dx x g x f
L ( ( ) ( ))
63 | h a n d o u t Contoh : Hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 3x dan y = 2x + 2
Jawab :
Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut, sebagai batas atas dan batas bawahnya
x2 + 3x = 2x + 2 x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 x = -2 atau x = 1
Jadi, batas-batasnya adalah x = -2 dan x = 1
1 2
O X
Y
-2 -1 -3
21
1
2 3 2 1
2
2 1
2
2
4
3 2 8 3 4
1 2 2 1
3 1 2 2 1
) 2
(
)]
3 ( ) 2 2 [(
x x x
dx x x
dx x x x
L
Jadi luasnya
4
21 satuan luas64 | h a n d o u t LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA DAN SUMBU Y
Misalkan :
f dan g adalah fungsi yang kontinyu di [a,b] dan f(y) ≥ g(y) dalam interval tersebut, dengan syarat x1 = f(y) dan x2 = g(y) tidak saling berpotongan pada [a,b] seperti pada gambar (fungsi f dan g non negatif)
g(y) f(y)
b
O X
Y
a
tampak pada gambar bahwa luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g dalam [a,b]
adalah :
L = (luas daerah f) – (luas daerah g)
ba
b a
dy y g dy y f
L ( ) ( )
ba
dy y g y f
L ( ( ) ( ))
Contoh : hitunglah luas yang dibatasi oleh kurva x = 4 - y, garis x = y dan sumbu X Jawab :
Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut sebagai batas atas dan bawahnya
y = 4 - y 2y = 4 y = 2
Jadi, batas-batasnya adalah y = 0 (karena berbatasan dengan sumbu X) dan y = 2
65 | h a n d o u t
Y 2
x = 4 - y O
x = y
X
4
0 0 4 8 4
) 2 4 (
)]
( ) 4 [(
2 0 2 2 0 2 0
y y
dy y
dy y y L
Jadi luasnya 4 satuan luas
PENGGUNAAN INTEGRALTENTU UNTUK MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTAR Dalam bahasan ini kita mencoba untuk mencoba untuk menghitung volume benda putar tersebut dengan metode integral.
Perhatikan bangun-bangun di bawah ini :
Setelah kita putar 3600 bagaimanakah bentuknya ? mari kita lihat.
Untuk menghitung volume benda pejal, langkah-langkah yang digunakan tetap sama yakni potong, hampiri dan integralkan