Fungsi Khusus
Lanjutan (PDB)
MATEMATIKA FISIKA II
MATEMATIKA FISIKA II
JURDIK FISIKA FPMIPA UPI
Fungsi Khusus dalam bentuk PDB
terdiri atas :
Polinomial Legendre dalam berbagai jenis
Fungsi Bessel dalam berbagai bentuk
Polinomial Hermite
Polinomial Laguarre
Polinomial Laguarre
Semua point di atas diperoleh dari
solusi-solusi Persamaan Differensial (PD)
Laguarre, PD Bessel, dst
Diperlukan pengetahuan tentang
metode-metode untuk mencari solusi PD :
Telah dipelajari metode analitik untuk
mencari solusi PDB orde I dengan PDB
orde II dikenal :
Metode pemisahan variable Metode linier orde I
Metode PD homogen Metode Bernoulli
Metode reduksi orde
Metode Variasi parameter
Metode aproksimasi dengan deret pangkat
PDB ORDE I
Mencari Solusi PDB dengan metode
deret pangkat
Solusi PDB = hubungan eksplisit antara variabel
terikat dan variabel bebas yang jika kita
substitusikan ke PDB yang bersangkutan akan menghasilkan suatu identitas.
Dengan metode deret pangkat kita misalkan : Dengan metode deret pangkat kita misalkan :
n n n o n n
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
y
=
∑
∝=
+
+
+
+
+
+
=...
4 4 3 3 2 0 1 2 1 3 4 2 3 2 12
3
4
...
0
'
=
+
+
+
+
+
+
n− nx
na
x
a
x
a
x
a
a
y
2 2 4 3 26
12
...
(
1
)
2
0
0
''
=
+
+
+
+
+
+
−
n− nx
a
n
n
x
a
x
a
a
y
Persamaan Diferensial Legendre
0 ) 1 ( ' 2 '' ) 1 ( − x2 y − xy +l l + y =→
=
∑
= 1 0 n n nx
a
y
... ) 3 )( 2 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 2 4 − + − + + + + − = a x x y l l l l l lmetode deret pangkat
Solusi : ... ... ! 5 ) 4 )( 3 )( 2 ( ) 1 ( ! 3 ) 2 )( 1 ( ... ! 4 ! 2 1 5 3 1 0 + − − − + + + + − − − + − + − = x x x a x x a y l l l l l l
1
2<
x
1
2=
x
Dengan menggunakan tes rasio maka deret ini memiliki selang konvergensi dan tidak konvergensi untuk
Polinomial Legendre
l
→
suatu konstanta sebarang
+
=
⇒
=
0
y
a
0l
1a
deret pangkat dengan koefisien
+
=
⇒
=
1
y
a
1x
l
0a
deret pangkat dengan koefisien
+
−
=
⇒
=
2
y
a
0(
1
3
x
2)
l
1a
deret pangkat dengan koefisien
+
−
=
⇒
=
)
3
5
(
3
3 1x
x
a
y
l
0a
Secara umum setiap nilai
l
,
1
2=
x
0a
1a
dihasilkan suatu deret pangkat dan lainnya suatu polinomial
dimana deret pangkat yang dihasilkan bersifat divergen pada nilai . Selanjutnya jika nilai-nilai dan
Pada setiap polinomial dipilih sedemikian rupa sehingga nilai
1
=
y
21
=
x
)
(x
P
lPada setiap polinomial dipilih sedemikian rupa sehingga nilai untuk
Maka akan dihasilkan suatu polinomial yang disebut polynomial legendre ditulis dengan
0
0
⇒
y
=
a
=
l
1
,
1
=
=
x
y
1
1
=
a
0⇒
a
0=
∴
Polynomial Legendre
1
)
(
0x
=
P
x
a
y
11
⇒
=
=
l
1
,
1
=
=
x
y
1
1
1
=
a
1⋅
⇒
a
1=
x x P1( ) =∴
∴
2 (1 3 2) 0 x a y = − ⇒ = l1
,
1
=
=
x
y
(
2)
01
3
(
1
)
1
=
a
−
)
2
(
1
=
a
0−
2 1 0 = − a∴
)
3
5
(
3
3 1x
x
a
y
=
−
⇒
=
l
1
,
1
=
=
x
y
−
=
3
5
1
1
a
12
3
1=
−
a
)
3
1
(
2
1
)
(
2 2x
x
P
=
−
−
)
1
3
(
2
1
)
(
2 2x
=
x
−
P
−
=
2
1
2
3
)
(
2 2x
x
P
2
−
−
=
3 33
5
2
3
)
(
x
x
x
P
−
=
x
x
x
P
3 33
5
2
3
)
(
−
=
x
x
x
P
2
3
2
5
)
(
3 3Formula Rodriguez :
(
)
l l l l ll
!
1
2
1
)
(
=
x
2−
dx
d
x
P
(
2)
0 0 0 0 0 1 ! 0 2 1 ) ( = x − dx d x P=
1
(
)
1
0=
⇒
P
x
(
)
(2 ) 2 1 1 ! 1 2 1 ) ( 1 2 1 1 1 1 x x dx d x P = − =⇒
P
1(
x
)
=
x
(
)
(
(
)
( )
)
(
(
)
)
− = − = − = 4 1 8 1 2 1 2 8 1 1 ! 2 2 1 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 x x dx d x x dx d x dx d x P(
)
( )
(
) (
) (
12
4
)
8
1
8
4
4
8
1
2
4
1
4
8
1
)
(
2 2 2 2 2x
=
x
−
+
x
x
=
x
−
+
x
=
x
−
P
2
1
2
3
)
(
2 2=
−
⇒
P
x
x
Fungsi Pembangkit Polinomial Legendre
( )
,
(
1
2
)
2,
1
1 2<
+
−
=
−h
h
xh
h
x
φ
Fungsi pembangkit polinomial legendre dirumuskan sebagai berikut :
Disebut fungsi pembangkit polinomial legendre karena dari fungsi
y
h
xh
−
2=
2
( ) (
)
2 11
−
−=
y
y
φ
(
)
px
+
1
Disebut fungsi pembangkit polinomial legendre karena dari fungsi ini dapat dibangkitkan polinomial legendre.
Maka gunakan uraian deret binomial Misalkan :
( )
... 8 3 2 1 1+ + 2 + = y y yφ
2
2
xh
h
y
=
−
( )
(
2
)
...
8
3
2
1
1
,
h
=
+
xh
−
h
2+
xh
−
h
2 2+
x
φ
( )
x
,
h
=
1
+
xh
−
1
h
+
3
(
4
x
h
−
4
xh
+
4
h
)
+
...
φ
Substitusi kembali:
( )
(
4
4
4
)
...
8
3
2
1
1
,
h
=
+
xh
−
h
2+
x
2h
2−
xh
3+
h
4+
x
φ
( )
...
2
1
2
3
1
,
2 2
+
−
+
+
=
xh
h
x
h
x
φ
( )
x
,
h
=
P
0(
x
)
+
hP
1(
x
)
+
h
2P
2(
x
)
+
...
φ
Fungsi Pembangkit Polinomial Legendre berguna
untuk mencari hubungan-hubungan rekursif
polinomial legendre:
(
2
1
)
(
)
( )
1
(
)
)
(
x
xP
1x
P
2x
P
l=
l
−
l−−
l
−
l−l
)
(
)
(
'
)
(
'
x
P
1x
P
x
xP
l−
l=
l
l −a)
b)
)
(
)
(
'
)
(
'
x
xP
1x
P
1x
P
l−
l−=
l
l−(
1
−
x
2)
P
'
l(
x
)
=
l
P
l 1(
x
)
−
l
xP
l(
x
)
−(
2
l
+
1
)
P
l(
x
)
=
P
'
l+1(
x
)
−
P
'
l−1(
x
)
e)
d)
c)
Buktikan hubungan rekursif a)
(
)
2 1 22
1
−
+
−=
xh
h
φ
(
xh
h
)
(
x
h
)
h
2
1
2
2
2
1
2 3 2−
+
+
−
−
=
∂
∂
φ
−h
2
∂
(
)
φ
(
x
h
)
φ
h
h
xh
=
−
∂
∂
+
−
22
1
∑
=
∞ =0)
(
l l lx
P
h
φ
Tetapi
(
)
∑
=
(
−
)
∑
∂
∂
+
−
∞ = ∞ =0 0 2)
(
)
(
2
1
l l l l l lx
P
h
h
x
x
P
h
h
h
xh
(
−
+
)
∑
=
(
−
)
∑
∞ = ∞ = − 0 0 1 2)
(
)
(
2
1
l l l l l ll
h
P
x
x
h
h
P
x
h
xh
Maka:
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
1 2 1 1x
P
hh
x
P
xh
x
P
h
h
x
P
h
xh
x
P
h
l l l l l l l l l ll
l
l
−−
−+
−=
−
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
1 1 1x
P
h
x
P
xh
x
P
h
x
P
h
x
x
P
h
l ll
l ll
l l l l l ll
−−
+
+=
−
+( )
1
(
)
( )
2
(
)
(
)
(
)
2
)
(
1 2 1 1 2 1 1 1 1x
P
h
x
P
xh
x
P
h
x
P
h
x
x
P
h
−−
−
− −+
−
− −=
− −−
l− l− l l l l l l l ll
l
l
(
1
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
2
)
(
x
x
P
1x
P
2x
xP
1x
P
2x
P
l−
l
−
l−+
l
−
l−=
l−−
l−l
Atau:
(
2
1
)
(
)
( )
1
(
)
)
(
x
xP
1x
P
2x
P
l=
l
−
l−−
l
−
l−l
1
)
(
0x
=
P
2
=
l
→
2
(
)
(
2
2
1
)
(
)
(
1
)
(
)
0 1 2x
xP
x
P
x
P
2=
⋅
−
1−
01
3
)
(
2
P
2x
=
x
⋅
x
−
2
1
2
3
)
(
2 2x
=
x
−
P
x
x
P
1(
)
=
3
x
x
−
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
5
3
)
(
5
2
5
3
)
(
5
2
3 3 3
=
−
−
+
−
=
−
x
x
x
P
2
3
2
5
)
(
3 3=
−
Nyatakan dalam kombinasi linier polinomial-polinomial legendre!
x
x
P
x
5
3
)
(
5
2
3 3=
+
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
5
)
(
5
5
)
(
5
3
3
(
(
)
(
)
)
5
2
3 1x
P
x
P
−
=
)
(
5
2
5
2
3x
P
x
−
=
Ortogonalitas Polinomial Legendre:
090
cos
B
A
B
A
•
=
Dua buah vektor dikatakan ortogonal jika keduanya saling tegak lurus mengapit sudut 90o . Menurut perkalian titik (dot product) dua vektor
yang ortogonal memenuhi :
0
=
•
B
A
k
A
j
A
i
A
A
=
1ˆ
+
2ˆ
+
3ˆ
0
3 3 2 2 1 1+
+
=
=
⋅
B
A
B
A
B
A
B
A
D
B
A
i i i3
0
3 1=
→
∑
= Karena Makaatau
0
1 1 1=
∑
= iB
A
)
(x
A
B
(x
)
)
,
( b
a
0
)
(
)
(
=
∫
A
x
B
x
dx
bSecara umum dua buah vektor yang saling tegak lurus memenuhi
Analogi dengan itu jika kita memiliki dua fungsi kontinu yaitu
dan maka kedua fungsi tersebut akan saling ortogonal jika memenuhi: dalam selang
0
)
(
)
(
=
∫
A
x
B
x
dx
a)
(x
A
B
(x
)
A
(x
)
)
(x
B
0
)
(
)
(
=
∫
A
∗x
B
x
dx
b a→
∗)
(x
A
Jika merupakan fungsi kompleks maka syarat dan orthogonal ditulis sebagai berikut :
)
(x
A
nn
=
1
,
2
,
3
,...,
dst
n m ≠ ; 0Jika kita memiliki himpunan fungsi dimana
=
∫
A
x
A
x
dx
b a m n(
)
(
)
)
(x
A
n0
≠
n
m
=
konstanta jikaContoh :
∫
=
− π πsin
nx sin
mxdx
n
m
≠
;
0
0
;
m
=
n
≠
π
nx
sin
(
−
π
,
π
)
Maka merupakan himpunan fungsi-fungsi yang ortogonal dalam selang
(
−
π
,
π
)
∫
=
− 1 10
)
(
)
(
x
P
x
dx
P
l ml
=
m
)
(
1x
P
P
2(
x
)
)
(
0x
P
P
3(
x
)
)
(
2x
P
P
5(
x
)
kecuali untuk Pertanyaan apakah? ortogonal dengan ortogonal dengan ortogonal dengan dalam selangBukti:
(
1
−
x
2)
y
''
−
2
xy
'
+
l
(
l
+
1
)
y
=
0
) (x P y = l ⇒(
1
−
x
2)
P
l'
'
(
x
)
−
2
xP
l'
(
x
)
−
l
( )
l
+
1
P
l(
x
)
=
0
(
)
[
1
−
2'
(
)
]
+
(
+
1
)
(
)
=
0
⊗
d
x
P
x
l
l
P
x
PD Legendre atau(
)
[
1
−
2'
(
)
]
+
(
+
1
)
(
)
=
0
⊗
x
P
x
P
x
dx
d
l ll
l
(
)
[
1
−
2'
(
)
]
+
(
+
1
)
(
)
=
0
⊗
⊗
x
P
x
m
m
P
x
dx
d
m m(
)
[
1
'
(
)
]
(
1
)
(
)
0
)
(
2=
+
+
−
⊗
x
P
x
P
x
dx
d
x
P
m ll
l
l(
1
)
'
(
)
(
1
)
(
)
0
)
(
2=
+
+
−
⊗
⊗
x
P
x
m
m
P
x
dx
d
x
P
l m m atau(
)
[
1
'
(
)
]
(
)
[
(
1
)
'
(
)
]
[
( ) ( )
1
1
]
(
)
(
)
0
)
(
−
2−
−
2+
+
−
+
=
x
P
x
P
m
m
x
P
x
dx
d
x
P
x
P
x
dx
d
x
P
m l l ml
l
m l⊗
⊗
⊗
(
)
(
)
[
1
−
2(
)
'
(
)
−
(
)
'
(
)
]
+
[
( ) (
+
1
−
+
1
)
]
(
)
(
)
=
0
x
P
x
P
m
m
x
P
x
P
x
P
x
P
x
d
l
l
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
⊗
Selanjutnya dikurangi didapat :
dua suku pertama menjadi :
(
)
(
)
[
1
−
x
P
(
x
)
P
'
(
x
)
−
P
(
x
)
P
'
(
x
)
]
+
[
( ) (
+
1
−
m
m
+
1
)
]
P
(
x
)
P
(
x
)
=
0
dx
m l l m m ll
l
⊗
⊗
⊗
(
−
1
,
1
)
(
)
(
)
[
1 ( ) '( ) ( ) '( )]
[
( ) (
1 1)
]
( ) ( ) 0 1 1 2 = ∫ + − + + − − − dx x P x P x P x P x m m P x P x dx d m m m l l l l lKemudian lakukan integrasi untuk selang
(
)
(
)
[
x
P
x
P
x
P
x
P
x
]
dx
dx
d
m m∫
−
−
=
− 1 1 2)
(
'
)
(
)
(
'
)
(
1
l l(
)
(
)
[
1
−
2(
)
'
(
)
−
(
)
'
(
)
]
11=
0
=
x
P
mx
P
lx
P
lx
P
mx
−(
) (
)
[
1
m
m
1
]
P
(
x
)
P
(
x
)
dx
1∫
+
−
+
=
l
l
Suku I Suku II[
(
) (
m
m
)
]
P
x
P
x
dx
m(
)
)
(
1
1
1∫
+
−
+
=
− ll
l
(
) (
)
[
1
1
]
(
)
(
)
0
0
1 1=
∫
+
−
+
+
−dx
x
P
x
P
m
m
l ml
l
(
) (
)
[
1
1
]
0
0
)
(
)
(
1 1=
+
−
+
=
∫
−m
m
dx
x
P
x
P
ml
l
l Suku II Suku I + Suku II = 00
)
(
)
(
1 1=
∫
−dx
x
P
x
P
l m0
)
(
)
(
1 1=
∫
−dx
x
P
x
P
l m1
3
)
(
1x
=
x
P
Polinomial-polinomial legendre merupakan
fungsi-fungsi yang saling ortogonal:
1 −
2
1
2
3
)
(
2 2x
=
x
−
P
0
4
1
8
3
4
1
8
3
4
1
8
3
2
1
2
3
2
1
2
3
1 1 2 4 1 1 3 1 1 2=
−
−
−
=
−
=
∫
−
=
∫
−
− − −x
x
dx
x
x
dx
x
x
3
2
3
1
3
1
3
1
)
(
)
(
1 1 3 1 1 2 1 1 1 1
=
−
−
=
=
∫
=
∫
− − −x
dx
x
dx
x
P
x
P
Normalisasi polinomial legendre
A
A
u
r
r
)
=
→
Vektor satuandisebut proses normalisasi Besarnya satu satuan
2 2
)
(
)
(
)
(
x
A
x
dx
A
x
dx
N
A
b a b a=
∫
=
∫
)
(x
A
( b
a
,
)
Berapa normalisasi dalam selang ? disebut proses normalisasi
)
(x
A
( b
a
,
)
)
(x
A
N
1
Jadi jika dinormalisasi dalam selang maka
dikali dengan setelah dinormalisasi
N
1
)
(
=
nilainya
N
x
A
N
1
setelah dinormalisasi( )
∫
− = = π π π π 2 sin sin nx nxdxnx
sin
N = π Normalisasi fungsi ?Contoh:
nx
sin
N = π π 1 1 = N 1 sin 1 = nxπ
Normalisasi fungsi ?)
(x
P
lBerapa normalisasi untuk
?
) ( ) ( ' ) ( ' x P 1 x P x xP l − l− = l l
⊗
P
l(x
)
⊗
⊗
−
=
(
)
'
(
)
(
)
'
−(
)
)
(
)
(
x
P
x
xP
x
P
x
P
x
P
1x
P
l l l l l ll
Hubungan Rekursif Polinomial Legendre b)
Kalikan dengan
⊗
⊗
(
−
1
,
1
)
dx
x
P
x
P
dx
x
P
x
xP
dx
x
P
x
P
(
)
(
)
(
)
'
(
)
(
)
1'
(
)
1 1 1 1 1 1 − − − −∫
l l=
∫
l l−
∫
l ll
0
dx
x
P
x
xP
dx
x
P
x
P
(
)
(
)
(
)
'
(
)
1 1 1 1 l l l ll
∫
=
∫
− −∫ udv
integrasikan untuk selang(
)
(
)
2)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
'
)
(
x
P
v
x
P
d
x
P
dx
x
P
x
P
dv
dx
du
x
u
l l l l l=
=
=
=
→
=
(
)
− 1 1 1 1Ruas kanan dengan integral bypart:
(
)
− ∫ − − 1 1 1 2 ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 dx x P x P x P x l l l(
)
−
∫
=
∫
− − − 1 1 1 1 2 1 1)
(
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
)
(
x
P
x
dx
x
P
x
P
x
P
x
dx
P
l l l l ll
(
)
2(
)
2 1 1)
1
(
2
1
)
1
(
2
1
)
(
)
(
2
1
−
+
=
∫
+
− l l l ll
P
x
P
x
dx
P
P
dengan demikian:2
1
1
)
(
)
(
1 1+
=
∫
−l
l lx
P
x
dx
P
1
2
2
2
1
2
1
)
(
)
(
1 1+
=
+
=
∫
− l ll
l
dx
x
P
x
P
Jadi)
(x
P
l1
2
2
+
=
l
N
2
1
2
1
+
=
l
N
Berapa normalisasi untuk ?
Fungsi Legendre yang Diasosiasikan
(
)
0
1
1
2
''
)
1
(
2 2 2=
−
−
+
+
−
−
y
x
m
xy
y
x
l
l
m
2≤
l
2PDB yang mirip dengan Legendre
dengan
)
(
)
1
(
2 2x
P
dx
d
x
y
m m m l−
=
(
1
)
(
)
)
(
2 2P
x
dx
d
x
x
P
m m m m l l=
−
PDB ini memiliki solusi :
Solusi ini disebut fungsi legendre yang diasosiasikan yang ditulis sebagai :
(
)
(
)
l l l l ll
!
1
1
2
1
)
(
=
−
2 2 2−
+ +x
dx
d
x
x
P
m m m mm
Untuk negatif fungsi legendre asosiasi dapat ditentukan
Formula Rodriguez untuk mencari
fungsi legendre yang diasosiasikan :
dengan formula sebagai berikut :
( ) (
(
)
)
( ) ! ! 1 ) ( P x m m x P m m m l l l l + − − = −)
(x
P
m lm
) 1 , 1 (− n dx x P x Pm nm = ≠∫
− l l ( ) ( ) 0, 1 1Fungsi untuk setiap merupakan himpunan fungsi-sehingga :
dengan formula sebagai berikut :
(
)
(
)
! ! 1 2 2 ) ( ) ( 1 1 m m dx x P x Pm m − + + =∫
− l l l l lPDB legendre diasosiasikan sering juga ditulis dalam bentuk
Normalisasi fungsi Legendre yang
diasosiasikan adalah :
sebagai berikut :(
)
0
sin
1
sin
sin
1
2 2 2
=
−
+
+
y
m
d
dy
d
d
θ
θ
θ
θ
θ
l
l
θ
cos
=
x
?
)
(cos
1 1θ
P
Fungsi ini diperoleh dengan mengganti sebagai berikut :
?
)
(cos
1 1θ
P
(
1
)
(
)
)
(
2 1 1 2 1 1P
x
dx
d
x
x
P
=
−
(
1
)
(
)
)
(
2 1 2 1x
d
x
x
P
=
−
(
x
)
x
P
11(
)
=
1
−
cos
2(
x
)
x
P
11(
)
=
sin
2(
1
)
(
)
)
(
2 2 1 1x
dx
d
x
x
P
=
−
(
1
)
1
)
(
2 1 2 1 1x
=
−
x
⋅
P
(
2)
1 1(
x
)
1
x
P
=
−
(
)
1x
x
P
11(
)
=
sin
PDB Bessel
(
)
0
'
''
2 2 2+
+
−
=
y
p
x
xy
y
x
P adalah konstan, tidak perlu bilangan bulat, disebut orde
fungsi Bessel. Dengan menggunakan metode deret pangkat, PDB bessel dapat dicari solusinya.
(
) ( ) ( )
(
)
(
)
+ + Γ − + Γ + + Γ − + Γ + Γ = ... 2 4 ! 3 1 2 3 ! 2 1 2 2 1 1 1 1 6 4 2 0 x p x p x p p p x a y p( )
( )
(
)
( )
(
)
+ + Γ Γ − + Γ Γ + + Γ Γ − + Γ Γ + Γ = ... 2 4 ) 4 ( 1 2 3 ) 3 ( 1 2 2 ) 2 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 2 2 6 4 2 0 x p x p x p p p x a y p pPDB bessel dapat dicari solusinya.
atau
(
p
)
a
y
p+
Γ
=
=
1
2
1
0!
2
1
0 0P
a
=
y
)
(x
J
p atau Maka:Jenis pertama yang ditulis sebagai
Jika dipilih
disebut sebagai Fungsi Bessel
)
(x
J
p( )
( )
( )
( )
(
)
p n n n p p p p x p n n x p x p x p x J + ∞ = + + + + Γ + Γ − = − + Γ Γ + + Γ Γ − + Γ Γ =∑
2 0 4 2 2 1 ) 1 ( 1 ... 2 3 ) 3 ( 1 2 2 ) 2 ( 1 2 1 ) 1 ( 1 ) (( )
(
)
p n n n px
p
n
n
x
J
− ∞ = −
∑
+
−
Γ
+
Γ
−
=
2 0(
1
)
1
2
1
)
(
Jenis pertama yang ditulis sebagai
Dengan demikian :
Solusi kedua yang memenuhi PDB Bessel menghasilkan fungsi bessel jenis kedua sebagai berikut :
)
(x
J
pJ
−p(x
)
→
J
−p(
x
)
=
( )
−
1
pJ
p(
x
)
0 = → p danHubungan
( )
( )
( )
... 36 64 64 4 1 ... 2 3 ) 3 ( 1 2 2 ) 2 ( 1 2 1 ) 1 ( 1 ) ( 0 6 4 2 4 2 0 0 + ⋅ − + − = − Γ Γ + Γ Γ − Γ Γ = = → x x x x x x x J p[
x
J
(
x
)
]
x
J
1(
x
)
dx
d
p p p p −=
[
x
J
(
x
)
]
x
J
1(
x
)
dx
d
p p p p + − −=
−
Hubungan Rekursif Fungsi Bessel :
a) b)
[
]
1dx
p p+ c)(
)
(
)
2
(
)
1 1J
x
x
p
x
J
x
J
p−+
p+=
p)
(
'
2
)
(
)
(
1 1x
J
x
J
x
J
p−−
p+=
p)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
'
1J
x
J
1x
x
p
x
J
x
J
x
p
x
J
p=
−
p+
p−=
p−
p+ d) e)(
)
0
'
2
1
''
2 2 2 2 2 1=
−
+
+
−
+
−y
x
c
p
a
bcx
y
x
a
y
c( )
c p abx
J
x
y
=
1 1 SolusinyaPDB umum yang solusinya mengandung
fungsi bessel
)
2
( x
xJ
y
=
0 1 4 ' 1 '' 2 = + + − y x y x y 2 2 0=
c−x
x
1
2
2
1
2
1
=
=
−
=
−
a
a
a
2
4
)
1
(
4
2 2 2±
=
=
=
b
b
c
b
1 2 2 0 2 2 = = = − c c c0
0
1
)
1
(
)
1
(
1
2 2 2 2 2 2 2=
=
=
−
=
−
p
p
p
c
p
a
)
2
(
0x
xJ
y
=
Jenis-jenis lain fungsi bessel:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) 2 ( ) 1 (x
iN
x
J
x
H
x
iN
x
J
x
H
p p p p p p−
=
+
=
x
i
x
e
±ix=
cos
±
sin
a) Fungsi Bessel jenis ketiga disebut fungsi Henkel
Bandingkan dengan ( ) ( )p x J x J p x Y x Np p p p π π sin ) ( ) ( cos ) ( ) ( = = − − di sini
b) Fungsi Bessel Hiperbolik
) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1 ix H i x K ix Jp i x I p p p p p + − = = π
−
=
=
+x
x
dx
d
x
x
x
J
x
x
J
n n n nsin
1
)
(
2
)
(
2 ) 1 2 (π
c) Fungsi Bessel Sperik
−
−
=
=
+x
x
dx
d
x
x
x
Y
x
x
Y
n n n ncos
1
)
(
2
)
(
2 ) 1 2 (π
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) 2 ( ) 1 (x
iY
x
J
x
h
x
iY
x
J
x
h
p n p p n p−
=
+
=
Ortogonalitas Fungsi Bessel
b
a
dx
bx
J
ax
J
x
p p=
≠
∫
(
)
(
)
0
;
1 0a
b
J
p(x
)
x x J ( ) = 2 sindan pembuat nol
Diketahui x x x J ( ) 2 sin 2 1
π
=)
(
2 3x
J
(
),
(
)
1 0x
J
x
J
? ) ( 2 3 x = J DiketahuiDengan menggunakan hubungan rekursif b) Fungsi Bessel. Cari !
=
)
(
2 3x
J
)
(
)
(
2 3 2 1 2 1 2 1x
J
x
x
J
x
dx
d
− −−
=
) ( sin 2 3 2 1 2 1 x J x x x x dx d − − − = π
− − = 2 2 1 2 3 sin cos 2 ) ( x x x x x x J π − = x x x x x J3 ( ) 2 sin cosπ
2 3 x dx π
) ( sin 2 2 3 2 1 2 1 2 1 x J x x x x dx d − − − − = π
) ( sin 2 2 3 2 1 x J x x dx d x = − π x x 2 3π
x
x
x
x
x
x
J
x
x
J
2
sin
sin
2
)
(
2
)
(
2 1 0=
=
=
π
π
π
− + = − − ⋅ = = 2 sin cos sin cos 2 2 ) ( 2 ) ( 2 2 1 2 3 1 x x x x x x x x x x J x x J π π πFungsi Hermite
(
2
1
)
;
0
,
1
,
2
,
3
''
−
2=
−
+
=
n
y
n
y
x
y
n n n 2 2 2 x n n x ne
dx
d
e
y
=
− 2Persamaan Differensial untuk fungsi hermite :
Solusi PDB ini adalah disebut sebagai fungsi Hermite
dx
( )
2 21
x ne
−
( )
2 2 21
)
(
x n n x n ne
dx
d
e
x
H
=
−
−Jika fungsi hermite ini dikalikan dengan akan didapat polinomial hermite
,...
2
,
1
,
0
=
n
2
4
)
(
2
)
(
1
)
(
2 2 1 0−
=
=
=
x
x
H
x
x
H
x
H
Untuk didapat0
2
'
2
''
−
xy
+
ny
=
y
n 0 ; 0 ) ( ) ( 2 = ≠ =∫
∞ ∞ − − m n dx x H x H e x n mPolinomial hermite memenuhi persamaan differensial hermite
m
n
n
dx
x
H
x
H
e
x n m=
n=
∫
∞ ∞ − −;
!
2
)
(
)
(
2π
∑
=
=
− ∞)
(
)
,
(
2 nh
x
H
e
h
x
φ
Fungsi pembangkit polinomial hermite
Normalisasi polinomial hermite
∑
=
=
∞ = − 0 2!
)
(
)
,
(
2 n n h xhn
h
x
H
e
h
x
φ
)
(
2
)
(
'
x
nH
1x
H
n=
n−)
(
2
)
(
2
)
(
1 1x
xH
x
nH
x
H
n+=
n−
n−2
4
2
)
2
(
2
)
(
2 2x
=
x
x
−
=
x
−
H
Hubungan rekursif polinomial hermite :
a)
Fungsi Laguarre
0
'
)
1
(
''
+
−
x
y
+
ny
=
xy
(
)
nd
=
1
Polinomial laguarre merupakan solusi dari PDB :
Dapat dicari dengan formula Rodriguez sebagai berikut :
(
n x)
n x nx
e
dx
d
e
n
x
L
=
−!
1
)
(
,...
2
,
1
,
0
=
n
2
2
1
)
(
1
)
(
1
)
(
2 2 1 0x
x
x
L
x
x
L
x
L
+
−
=
−
=
=
Untuk didapat:Ortogonalitas polinomial laguarre
∫
=
≠
∞ − 0;
0
)
(
)
(
x
L
x
dx
n
k
L
e
x n k∫
∞ −Normalisasi polinomial laguarre
