RANCANGAN ACAK KELOMPOK TAK LENGKAP (Incomplete Block Design) Dr.Ir. I Made Sumertajaya, M.Si Departemen Statistika-FMIPA IPB 2007

RANCANGAN ACAK

KELOMPOK TAK LENGKAP

(Incomplete Block Design)

Dr.Ir. I Made Sumertajaya, M.Si Departemen Statistika-FMIPA IPB 2007

Review Rancangan Acak

Kelompok

• Kita ingin membandingkan t perlakuan

• Pengelompokan N = bt unit percobaan kedalam

b kelompok berukuran t yang homogen.

• Dalam setiap kelompok, kita acak t perlakuan

terhadap t unit percobaan.

• Kemampuan mendeteksi perbedaan antar

perlakuan sangat tergantung pada keragaman

dalam blok (within block variability).

Beberapa Komentar

• Keragaman dalam blok secara umum

meningkat seiring dengan makin besarnya

ukuran blok.

• Untuk jumlah perlakuan yang besar (t),

memungkinkan terjadi tidak mampu

menyiapkan ukuran blok (k) yang sama

dengan jumlah perlakuan.

• Jika ukuran blok (k) lebih kecil dari jumlah

perlakuan (k<t) maka semua perlakuan tidak

muncul sekali pada setiap blok. Rancangan

ini disebut sebagai rancangan kelompok tidak

lengkap (Incomplete Block Design).

Beberapa Komentar

• Ketika dua perlakuan muncul bersama-sama dalam blok yang sama maka memungkinkan untuk

melakukan pendugaan perbedaan pengaruh perlakuan.

• Dengan kata lain perbedaan pengaruh perlakuan bersifat dapat diduga (estimable)

• Jika dua perlakuan tidak muncul secara bersama-sama dalam blok yang bersama-sama maka tidak mungkin menduga perbedaan pengaruh perlakuan.

• Dengan kata lain perbedaan pengaruh perlakuan bersifat tidak dapat diduga (not be estimable)

Ilustrasi

• Perhatikan rancangan kelompok dengan 6 perlakuan dan 6 kelompok berukuran 2, berikut:

• Perbedaan antar perlakuan berikut 1 vs 2, 1 vs 3, 2 vs 3, 4 vs 5, 4 vs 6, 5 vs 6) dapat diduga (estimable). • Perbedaan perlakuan dalam kelompok perlakuan

{1,2,3} dengan perlakuan dalam kelompok perlakuan {4,5,6} tidak dapat diduga (not estimable).

1 2 2 3 1 3 4 5 5 6 4 6

Definisi

• Dua perlakuan i and i* disebut terhubungkan

(connected) jika ada deret dari perlakuan i

₀

= i,

i

₁

, i

₂

, … i

_M

= i* sehingga setiap pasangan

perlakuan (i

_j

and i

_j+1

) muncul dalam blok yang

sama.

• Dalam kasus ini perbedaan perlakuan bersifat

estimable.

• Rancangan tak lengkap disebut connected jika

semua pasangan perlakuan bersifat estimable

Ilustrasi

• Perhatikan rancangan kelompok dengan 5

perlakuan dan 5 blok berukuran 2 berikut:

• Rancangan kelompok tak lengkap ini bersifat

connected.

• Semua perbedaan perlakuan bersifat estimable.

• Tetapi beberapa perbedaan perlakuan dapat

didduga dengan presisi yang lebih tinggi

dibandingkan dengan yang lainnya. Kenapa?

1 2 2 3 1 3 4 5 1 4

Definisi

Rancangan tak lengkap disebut Rancangan blok

tak lengkap seimbang (Balanced Incomplete

Block Design), jika

1. Semua perlakuan muncul dalam r blok

• Kondisi ini mengakibatkan setiap perlakuan

memiliki presisi yang sama

2. Semua pasangan perlakuan i and i* muncul

bersama-sama dalam

l

blok.

• Kondisi ini menunjukkan bahwa setiap perbedaan

perlakuan dapat diduga dengan presisi yang sama.

Notasi

b = Jumlah blok

t = Jumlah perlakuan

k = Ukuran blok

r = Ulangan setiap perlakuan

l

= Frekuensi munculnya setiap pasangan

perlakuan dalam percobaan

1. bk = rt

• Both sides of this equation are found by counting the total number of experimental units in the experiment.

2. r(k-1) =

l

(t – 1)

• Both sides of this equation are found by counting the total number of experimental units that appear with a specific treatment in the experiment.

Ilustrasi Lay-out BIB Design

A Balanced Incomplete Block Design (b = 15, k = 4, t = 6, r = 10, l = 6)

Block Block Block

1 1 2 3 4 6 3 4 5 6 11 1 3 5 6 2 1 4 5 6 7 1 2 3 6 12 2 3 4 6 3 2 3 4 6 8 1 3 4 5 13 1 2 5 6 4 1 2 3 5 9 2 4 5 6 14 1 3 5 6 5 1 2 4 6 10 1 2 4 5 15 2 3 4 5

Contoh Kasus

Suatu perusahaan pengolah makanan tertarik membandingkan 6 brand baru (A, B, C, D, E and F) produk gandum (cereal)

Untuk menjawab tujuan ini dilakukan tahapan penelitian sebagai berikut:

• Setiap subjek diminta merasakan dan membandingkan produk tersebut dengan memberi skor antara 0 - 100.

• Untuk lebih praktisnya setiap subjek paling banyak

membandingkan 4 dari 6 brand dari produk gandum tersebut. • Untuk tujuan ini digunakan b = 15 subjek dengan balanced

incomplete block design

Analisis Rancangan Tak Lengkap Seimbang

(BIB Design)

• Model Linier

• Penguraian

Keragaman Total

Catatan: n_ij bernilai 1 jika blok ke-j memuat

perlakuan ke-i, dan bernilai 0 jika blok ke-j tidak memuak perlakuan ke-i ij j i ij

y

















adj b j j ij i i a i i adj b j j adj i j ij JKP JKB JKT JKG y n k y Q a Q k JKP N y k y JKB JKG JKB JKP JKT N y y JKT               









     1 . . 1 2 2 .. 1 2 . 2 .. 1 1 2 1 , kb ar N , l

Struktur Tabel Sidik Ragam Rancangan BIB

Sumber Db JK KT F-hitung Blok b-1 JKB KTB KTB/ KTG Perlakuan terkoreksi

t-1 JKP_adj KTP_adj KTP_adj/ KTG Galat

N-b-t+1

JKG KTG

Misal data perbandingan antar brand produk gandum pada kasus sebelumnya diperoleh sebagai berikut:

Parameter dari rancangan BIB, yaitu:

b = 15, k = 4, t = 6, r = 10,

l

= 6

Block Totals

j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 G

B_j 258 213 258 198 170 245 225 311 168 245 199 247 228 241 316 3522

Treat Totals and Estimates of Treatment Effects

Treat Treat Total (T_i) _j(i) B_j/k Diff = Q_i Treat Effects (_i)

(A) 501 572 -71 -7.89 (B) 600 578.25 21.75 2.42 (C) 795 624.5 170.5 18.94 (D) 821 603.5 217.5 24.17 (E) 571 595.25 -24.25 -2.69 (F) 234 548.5 -314.5 -34.94 ) (i j



denotes summation over all blocks j containing treatment i.

t kQ_i

i l

Anova Table for Incomplete Block Designs

Sums of Squares

 y_ij2 _{= 234382}

 B_j2_{/k = 213188}

 Q_i2 _{= 181388.88}

Anova Sums of Squares

SS_total =  y_ij2 _–G2_{/bk = 27640.6}

SS_Blocks =  B_j2_{/k – G}2_{/bk = 6446.6}

SS_Tr = k( Q_i2 _)/l_{t = 20154.319}

Anova Table for Incomplete Block Designs

Source SS df MS F Blocks 6446.60 14 460.47 17.72 Treat 20154.32 5 4030.86 155.08 Error 1039.68 40 25.99 Total 27640.60 59

Uji lanjutan untuk Perbandingan Perlakuan

• Kontras

– Kontras disusun untuk perbandingan perlakuan terkoreksi – Jumlah kuadrat kontras (JKC) dapat dihitung sebagai berikut:





 















_a i i a i i i

c

a

Q

c

k

JKC

1 2 2 1

l

• Pengaruh Perlakuan

diduga sebagai

berikut:

• Standard Error bagi

pengaruh perlakuan

adalah:

a

kxKTG

SE

a

kQ

i i i

l



l







)

ˆ

(

ˆ

Perbandingan Semua Kombinasi Perlakuan

(Duncan, Tukey)

Alternatif Analisis

• Dalam uraian sebelumnya keragaman total

diuraikan menjadi jumlah kuadrat perlakuan

terkoreksi, jumlah kuadrat blok dan jumlah

kuadrat galat

• Disisi lain perhatian juga dapat ditujukan pada

pengaruh blok, dengan kata lain keragaman

total dapat juga diuraikan menjadi jumlah

kuadrat perlakuan, jumlah kuadrat blok

terkoreski dan jumlah kuadrat galat

Analisis Rancangan Tak Lengkap Seimbang

(BIB Design)

• Penguraian

Keragaman Total

Catatan: n_ij bernilai 1 jika blok ke-j

memuat perlakuan ke-i, dan bernilai 0 jika blok ke-j tidak memuak perlakuan ke-i JKG JKB JKP JKT   _adj  JKP JKB JKT JKG y n r y Q b Q r JKB N y y JKP N y y JKT adj a i i ij j i b j j adj a i i i j ij            









     1 . . 1 2 2 .. 1 2 . 2 .. 1 1 2 1 , kb ar N , l

Struktur Tabel Sidik Ragam Rancangan BIB

Sumber Db JK KT F-hitung

Blok

terkoreksi

b-1 JKB_adj KTB_adj KTB_adj/ KTG Perlakuan t-1 JKP KTP KTP/

KTG Galat N-b-t+1 JKG KTG

Pendugaan Parameter

• Intrablock analysis: perbedaan antar blok

tidak dianalisis dan semua perbandingan

perlakuan dapat ditunjukan sebagai

perbandingan antar observasi dalam blok

yang sama. Pengaruh blok dapat acak

atau tetap

• Interblok analysis: Pengaruh blok

dianggap acak dengan rata-rata nol dan

ragam



_2

.

Perbedaan Kedua Kajian

• Intrablock Analysis

• Interblock Analysis

2 2 ) 1 ( ) ˆ ( ˆ  l  l  a a k V a kQ i i i   



2 2



.. 1 . ) ( ) 1 ( ) ˆ ( ˆ    l  l  k r a a k V r y kr y n i b j j ij i       



