3 Departemen Statistika FMIPA IPB

Suplemen Responsi Pertemuan

ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351)

3

Departemen Statistika – FMIPA IPB

Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Referensi Waktu

Uji Hipotesis Tiga

Contoh atau Lebih 

Uji Kruskal-Wallis (analisis ragam satu-arah berdasarkan peringkat)

 Perbandingan berganda hasil uji Kruskal-Wallis Applied Nonparametric Statistic Daniel (1990) Jumat 05 Okt 2012 15.30 – 17.30

Kelengkapan: Tabel Normal, Tabel Khi-Kuadrat, Tabel Kruskal-Wallis

Uji Kruskal-Wallis

Uji Kruskal-Wallis (Kruskal-Wallis one-way analysis of variance by ranks) adalah teknik statistika nonparametrik yang digunakan untuk menguji hipotesis awal bahwa beberapa contoh berasal dari populasi yang sama/identik. Jika hanya melibatkan dua contoh, uji Kruskal-Wallis ekuivalen dengan uji Mann-Whitney. Uji Kruskal-Wallis digunakan untuk rancangan acak lengkap.

Tabel : Rancangan untuk uji Kruskal-Wallis Contoh/Perlakuan 1 2 _{ } k X1.1 X2.1   Xk.1 X1.2 X2.2   Xk.2       X1.n1 X2.n2   Xk.nk R1 R2   Rk Asumsi

a. Data terdiri dari contoh acak X1, X2, …, Xn yang berasal dari populasi 1 dengan

median Mx, dan contoh acak Y1, Y2, …, Yndari populasi 2 dengan median My. Nilai Mx

dan Mytidak diketahui.

b. Kedua contoh saling bebas c. Peubah acak bersifat kontinu d. Skala pengukuran minimal ordinal

e. Fungsi sebaran dari kedua populasi hanya dipisahkan oleh lokasi parameter

Hipotesis

H0 : M1= M2=  = Mkatau k populasi mempunyai fungsi sebaran yang identik

Statistik Uji

Statistik uji Kruskal-Wallis dapat ditentukan melalui prosedur berikut :

1. Seperti halnya uji Mann-Whitney, gabungkan seluruh data contoh, sehingga akan ada sebanyak

n

₁



n

₂

 

_

n

_k



N

pengamatan.

2. Peringkatkan setiap pengamatan dari yang terkecil hingga terbesar. Jika terdapat ties (nilai yang sama), beri peringkat tengah (mid-rank).

3. Hitung jumlah peringkat untuk setiap contoh, nyatakan masing-masing sebagai Ri.

4. Statistik uji Kruskal-Wallis dapat diperoleh melalui rumus :









2 1

1

12

1

1

2

k i i i i

n N

H

R

N N



n









_



_





_

_

atau









2 1 12 3 1 1 k i i i R H N N N  n    



Dalam hal ini Ri adalah jumlah peringkat untuk contoh ke-i, ni adalah jumlah

pengamatan pada contoh ke-i, dan N adalah total pengamatan. Jika ada ties, statistik uji perlu dikoreksi dengan faktor :

3

1

T

N

N







dalam hal ini 3

T t t dan t adalah banyaknya ties. Sehingga statistik uji Kruskal-Wallis terkoreksi menjadi :



3



1 C H H T N N     Kaidah Keputusan

a. Jika hanya melibatkan tiga contoh/perlakuan (k=3) dan setiap contoh terdiri dari lima atau kurang pengamatan, gunakan tabel Kruskal-Wallis (A.12). Tolak H0 jika

atau

_C

H

H



H

_.

b. Jika tabel A.12 tidak dapat digunakan, gunakan tabel Khi-Kuadrat (A.11). Tolak H0jika 2

, 1

atau

_{C k}

H

H





_{ } .

Contoh :

Torre et al. mencatat adanya perubahan serotonin (5-HT) (platelet) serebral dan ekstraserebral tikus sesudah pemberian LSD-25 dan 1-methyl-dlysergic acid butanclamide (UML) secara intraperitoneal. Pengukuran yang sama mereka lakukan pada 11 kontrol. Hasil percobaan disajikan pada Tabel di bawah ini. Apakah data ini cukup memberikan bukti untuk menunjukan adanya perbedaan di antara ketiga perlakuan tersebut (

α=5%)

? Hitung pula nilai p-value (Daniel 1990).

Tabel serotonin otak (5-HT), nanogram per gram, pada tiga kelompok anak tikus

Kontrol 340 340 356 386 386 402 402 417 433 495 557

LSD 0.5 mg/kg 294 325 325 340 356 371 385 402

UML 0.5 mg/kg 263 309 340 356 371 371 402 417

Sumber : Michele Torre, Filippo Bogetto, and Eugenio Torre, “Effect of LSD-25 and 1-Methyl-d-lysergic Acid Butanolamide on Rat Brain and Platelet

Hipotesis : H0: Ketiga perlakuan memberikan pengaruh yang sama terhadap serotonin

otak (5-HT) anak tikus

H1: Minimal ada satu perlakuan memberikan pengaruh yang berbeda

terhadap serotonin otak (5-HT) anak tikus Statistik Uji :

Kontrol Nilai _Peringkat 340_7.5 340_7.5 356₁₁ 386_17.5 386_17.5 402_20.5 402_20.5 417_23.5 433₂₅ 495₂₆ 557₂₇ R_203.5kontrol= LSD 0.5

mg/kg Nilai Peringkat 2942 3254.5 3254.5 3407.5 35611 37114 38516 40220.5 RLSD=80

UML 0,5

mg/kg Nilai _Peringkat 263₁ 309₃ 340_7.5 356₁₁ 371₁₄ 371₁₄ 402_20.5 417_23.5 RUML=94.5

Dengan menggunakan rumus









2 1 12 3 1 1 k i i i R H N N N  n    



diperoleh : 2 2 2

12

203.5

80

94.5

3(27 1) 6.18

27(27 1)

11

8

8







_





_



 

 



H

Karena terdapat ties, maka dikoreksi dengan rumus



3



1 C H H T N N     sehingga diperoleh :



3



6.18 6.24 1 186 27 27     C H Catatan : ties

T

= (23_-2)+(43_-4)+(33_-3)+(33_-3)+(23_-2)+(43_-4)+(23_-2)=186

Ukuran contoh lebih dari 5 pengamatan sehingga harus digunakan tabel Khi-Kuadrat. Nilai kritis khi-kuadrat untuk derajat bebas k   1 3 1 2 pada taraf nyata 5% adalah 5.991. Sehingga dengan Hc = 6.23 kita dapat menolak H0 pada taraf nyata 5%, dan simpulkan

bahwa ada minimal satu perlakuan yang memberikan pengaruh yang berbeda terhadap serotonin otak (5-HT) anak tikus. Pada kasus ini, 0.025 < p-value < 0.05.

Output MINITAB :

Kruskal-Wallis Test: serotonin_otak (5-HT) versus kelompok

Kruskal-Wallis Test on serotonin_otak(5-HT) kelompok N Median Ave Rank Z Kontrol 11 402,0 18,5 2,44 LSD 8 348,0 10,0 -1,70 UML 8 363,5 11,8 -0,93 Overall 27 14,0

H = 6,18 DF = 2 P = 0,046

Prosedur Perbandingan Berganda untuk Uji Kruskal-Wallis

Ketika uji Kruskal-Wallis memberikan penolakan terhadap H0, yang artinya ada sepasang

perlakuan yang mempunyai pengaruh berbeda terhadap respon atau ada data contoh yang memiliki median yang berbeda, biasanya kita tertarik untuk menyelidiki lebih lanjut mengenai di mana perbedaan tersebut berada. Untuk itu diperlukanlah suatu prosedur perbandingan berganda yang konsisten untuk dapat digunakan bersama dengan uji Kruskal-Wallis. Hipotesis yang diuji adalah :

H0: Mi= Mj

H1: Mi≠ Mjdimana i ≠ j

Ketika kita membandingkan semua kemungkinan pasangan perlakuan pada taraf nyata α, kita dapat menyatakan Ridan Rjberbeda nyata apabila :

 





1

1

1

1

|

|

12

i j i j k k

N N

R

R

Z

n

n

 













_





_





Atau, apabila ukuran contoh sama besar (ni= nj), tolak H0apabila :

 





1

1

|

|

6

i j k k

k N

R

R

Z

_ 







Jika terdapat ties : Tolak H0apabila  



 







2 3 1

1

₁

₁

|

|

12

1

i j i j k k

N N

t

t

R

R

Z

N

n

n

 



    

















_





_



_

_

Atau apabila ni= nj, tolak H0apabila:

 













2 1

1

|

|

6

1

i j k k

k N N

T

R

R

Z

N N

 



 







Dalam hal ini Ri dan

R

j adalah rata-rata peringkat untuk contoh/perlakuan ke-i dan ke-j;

3

T t t, dan t adalah banyaknya ties.

Catatan :

Nilai Z_{/ (k k1)} adalah titik kritis pada kurva sebaran normal baku yang luas area sebelah kanannya sebesar / (k k1).

Pada contoh di atas, H

perlakuan memberikan pengaruh yang berbeda terhadap serotonin otak (5-HT). Untuk mengetahui lebih lanjut

mana yang memberikan pengaruh berbeda tersebut dilakukanlah prosedur uji Dunn.

Misalnya, untuk pengujian ini menggunakan taraf nyata

/ (k k 1)



 =0.10/3(2)=0.0167 diperoleh nilai Z0.0167 = 2.13

Sehingga :

1) Pembanding untuk perlakuan

 



 





2 3 2 1

1

27 27

1

186

12

1

12 27 1

11 8

 



    





 















k k

N N

t

t

Z

N

n

n

2) Pembanding untuk perlakuan

 



 



2 3 2 1

1

27 27

1

186

12

1

12 27 1

8 8

 



_{    }





_{ }















k k

N N

t

t

Z

N

n

n

Rata-rata peringkat adalah Rkontrol

Dengan demikian :



|

R

_kontrol



R

_LSD

|

= | 18.5  |RkontrolRUML|= | 18.5 

|

R

_LSD



R

_UML

|

= | 10 – 11.81 Dapat kita simpulkan bahwa serotonin otak (5-HT) anak tikus

Tugas : Buku Daniel (1990) hal. 233 latihan 6.6 dan hal. 234 latihan 6.9 Catatan : Bagi yang ingin tambahan nilai

http://physther.org/content/77/12/1755.full.pdf

penting dalam jurnal tersebut

CUIWW (Correct Us If We’re Wrong)

Prepared by : Nur Andi Setiabudi, S. Stat Edited by : Didin Saepudin

titik kritis pada kurva sebaran normal baku yang luas area sebelah

/ ( 1)

Pada contoh di atas, H0 ditolak yang berarti pemberian

memberikan pengaruh yang berbeda terhadap . Untuk mengetahui lebih lanjut perlakuan mana yang memberikan pengaruh berbeda tersebut dilakukanlah

untuk pengujian ini kita gunakan taraf nyata 10%, sehingga

167. Dari tabel A.2 2.13 (nilai Z terdekat).

erlakuan ‘kontrol dengan LSD’ dan ‘kontrol dengan UML







 





2

₁

3

_{27 27}

2

₁

₁₈₆

1

1

1

1

2.13

7.82

12

1

12 27 1

11 8



    









 







_

_

_

_





_

_







_

_{i j}

_



N N

t

t

N

n

n

erlakuan ‘LSD dengan UML’:

















2

₁

3

_{27 27}

2

₁

₁₈₆

1

1

1 1

2.13

8.41

12

1

12 27 1

8 8



_{    }



_

_



_{ }







_

_

_

_





_

_







_

_{i j}

_



N N

t

t

N

n

n

18.5  kontrol R ,

R

_LSD



10

, dan RUML 11.81 18.5 – 10 | = 8.5 > 7.82 18.5 – 11.81 | = 6.69 < 7.82 11.81 | = 1.81 < 8.41

Dapat kita simpulkan bahwa kontrol dan LSD memberikan pengaruh berbeda terhadap HT) anak tikus, sedangkan pasangan perlakuan lainnya tidak.

uku Daniel (1990) hal. 233 latihan 6.6 dan hal. 234 latihan 6.9 tambahan nilai, silakan baca jurnal berikut :

http://physther.org/content/77/12/1755.full.pdf (rangkum/catat informasi penting dalam jurnal tersebut !)

0.5/ ( 1)

0.00

0.00

ontrol dengan UML’ :

1

₁

₁

27 27

1

186

₁

₁

2.13

7.82

12

1

12 27 1

11 8







_{ }

_





_

_





_

_









 



1

₁

₁

27 27

1

186

_{1 1}

2.13

8.41

12

1

12 27 1

8 8



_{    }





_{ }



_

_





_

_





_

_









_

_

memberikan pengaruh berbeda terhadap , sedangkan pasangan perlakuan lainnya tidak.

uku Daniel (1990) hal. 233 latihan 6.6 dan hal. 234 latihan 6.9

(rangkum/catat informasi ( 1) k k   0.5/ (k k1) / (k k 1) Z  0.0167 0.5 0.0167 0.4833   0.00

Z

_0.0167