AK3283. (Bagian II) AK3283 MODEL RISIKO I. Distribusi Kerugian Kontinu. (Bagian II) K. Syuhada, Ph.D. Pengantar. Sifat Ekor Severitas Klaim

(1)

MODEL RISIKO I Distribusi Kerugian Kontinu (Bagian II) K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Sifat Ekor Severitas Klaim Ketebalan Ekor Kuantil CTE Modifikasi Cakupan Polis Deductible Policy Limit Coinsurance

AK3283

MODEL RISIKO I

Distribusi Kerugian Kontinu

(2)

Pengantar

Nilai atau severitas klaim atau claim severity menyatakan besar kerugian suatu klaim asuransi. Umumnya, severitas klaim dimodelkan dengan distribusi kontinu nonnegatif, seperti distribusi eksponensial, gamma, Pareto, Weibull, dan lognormal.

(3)

Akan dibahas sifat-sifat yang menyertai distribusi severitas klaim, khususnya sifat ekor (ketebalan ekor, kuantil, CTE). Salah satu motivasi yang dapat digunakan dalam mempelajari sifat khusus tersebut adalah manfaat atau aplikasi dalam bidang profesional seperti asuransi. Dalam hal ini, kajian aplikasi akan ditekankan pada pembayaran klaim oleh perusahaan asuransi (insurer), khususnya pada kasus adanya modifikasi cakupan polis (policy coverage).

(4)

Sifat Ekor Severitas Klaim

Severitas klaim yang besar sangat krusial bagi perusahaaan asuransi, sehingga perilaku dari ekor (kanan) distribusi severitas klaim harus mendapatkan perhatian khusus. Distribusi severitas klaim yang mempunyai peluang tinggi akan terjadinya klaim besar dikatakan berekor tebal.

(5)

Indikator 1: Keberadaan Momen

Suatu distribusi dengan kriteria tertentu dapat diklasifikasikan sebagai distribusi berekor tebal. Misalnya, suatu distribusi mempunyai ekor tebal apabila tidak semua momennya ada. Hal ini karena fungsi peluangnya, f (x), turun secara perlahan yang mengakibatkan integral

Z ∞

0

xrf(x) dx tidak konvergen untuk r tertentu.

(6)

Sebagai contoh, untuk kerugian acak X yang berdistribusi Pareto(α, θ) dengan fungsi peluang

fX(x) =

α θα

(x + 1)α+1, x> 0, α, θ > 0,

dapat dibuktikan bahwa

• R∞ 0 x r_· α θα (x+1)α+1dx = ∞ untuk r ≥ α, • R∞ 0 x r_· α θα (x+1)α+1dx = θr_{Γ(r+1) Γ(α−r)} Γ(α) < ∞ untuk 0 < r < α.

(7)

Contoh lain yaitu misalkan X ∼ Gamma(τ, λ) dengan fungsi peluang fX(x) = λτ Γ(τ )x τ −1_e−λx_, _x_{> 0,} _{τ, λ > 0,} maka Z ∞ 0 xr· λ τ Γ(τ )x τ −1_e−λx dx = Γ(τ + r) λr_{Γ(τ )} < ∞

untuk semua r > 0. Dalam hal ini, distribusi gamma dikatakan berekor tipis.

(8)

Indikator 2: Limit Rasio

Ekor dari dua distribusi dapat dibandingkan dengan menghitung limit dari rasio kedua fungsi kesintasannya:

lim

x→∞

SX1(x) SX2(x)

. (*)

Jika limit tersebut ∞, maka distribusi dari X1dikatakan

(9)

MODEL RISIKO I Distribusi Kerugian Kontinu (Bagian II) K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Sifat Ekor Severitas Klaim Ketebalan Ekor Kuantil CTE Modifikasi Cakupan Polis Deductible Policy Limit Coinsurance Karena SXi(∞) = 0 dan S0_X i(x) = d dx1 − FXi(x) = −fXi(x),

limit (*) dapat dihitung menggunakan aturan L’Hˆopital, yaitu lim x→∞ SX1(x) SX2(x) = lim x→∞ S_X0 1(x) S_X0 2(x) = lim x→∞ fX1(x) fX2(x) .

(10)

Contohnya, misalkan X1 ∼ Pareto(α, θ) dan X2∼ Gamma(τ, λ),

maka lim x→∞ fX1(x) fX2(x) = lim x→∞ α θα (x+1)α+1 λτ Γ(τ )xτ −1e−λx = α θ α_{Γ(τ )} λτ x→∞lim eλx (x + 1)α+1_xτ −1.

Karena eλxlebih cepat menuju ∞, rasio f_fX1(x)

X2(x) menuju ∞. Jadi, distribusi Pareto mempunyai ekor yang lebih tebal daripada distribusi gamma.

(11)

Kuantil

Kita juga dapat mengukur severitas klaim yang besar

menggunakan kuantil pada ekor kanan. Kuantil-p dari severitas klaim X adalah suatu nilai xpyang memenuhi

P(X ≤ xp) = FX(xp) = p,

dengan p ∈ (0, 1) yang disebut tingkat kepercayaan. Jika invers F_X−1dari fungsi distribusi FXada, maka

(12)

MODEL RISIKO I Distribusi Kerugian Kontinu (Bagian II) K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Sifat Ekor Severitas Klaim Ketebalan Ekor Kuantil CTE Modifikasi Cakupan Polis Deductible Policy Limit Coinsurance p 1 - p xp x fX(x) xp x p FX(x)

(13)

Sebagai contoh, akan dibandingkan kuantil dari distribusi eksponensial dan Pareto yang mempunyai mean sama. Misalkan X ∼ Eksp(λ), maka kuantil xpdari X memenuhi

P(X ≤ xp) = 1 − e−λ xp = p

dan diperoleh

xp= −

ln(1 − p)

λ .

Jika λ = 1, maka E(X) = 1 = Var(X). Kemudian, jika p = 0.95, maka

(14)

Selanjutnya, misalkan Y ∼ Pareto(α, θ), maka kuantil ypdari Y

memenuhi P(Y ≤ yp) = 1 − θ yp+ θ α = p dan diperoleh yp= θ(1 − p)−1/α− 1. Jika α = 3 dan θ = 2, E(Y) = θ Γ(1+1) Γ(α−1)_Γ(α) = _α−1θ = 1, E(Y2) = θ2Γ(2+1) Γ(α−2)_Γ(α) = _{(α−1)(α−2)}2θ2 = 4 =⇒ Var(Y) = 3.

Kemudian, jika p = 0.95, maka

(15)

Hasil pada contoh di atas dapat dirangkum pada tabel berikut.

Tabel 1:

Distribusi Eksponensial Pareto Parameter λ = 1 α = 3, θ = 2

Mean 1 1

Variansi 1 3

Kuantil-0.95 2.9957 3.4288

Dengan mean yang sama, distribusi Pareto mempunyai nilai kuantil-0.95 yang lebih besar (dan variansi yang lebih besar). Jadi, distribusi Pareto mempunyai ekor yang lebih tebal daripada distribusi eksponensial.

(16)

MODEL RISIKO I Distribusi Kerugian Kontinu (Bagian II) K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Sifat Ekor Severitas Klaim Ketebalan Ekor Kuantil CTE Modifikasi Cakupan Polis Deductible Policy Limit Coinsurance Eksp(1) Pareto(3, 2) xpyp 0 1 2 4 5 0.5 1.0 1.5 f xp yp 4 5 0.05 0.10 f p= 0.95

(17)

Conditional Tail Expectation

Nilai kuantil xptidak memberikan informasi mengenai severitas

klaim yang melebihi xp. Untuk itu, kita dapat menghitung

ekspektasi dari severitas klaim yang melebihi xp, yaitu

E(X|X > xp)

yang disebut Conditional Tail Expectation dan dinotasikan dengan CTEp(X).

(18)

Latihan

Bandingkan nilai CTE dari distribusi eksponensial dan Pareto (dengan nilai parameter seperti pada Tabel 1) pada tingkat kepercayaan 0.95.

(19)

Modifikasi Cakupan Polis

Pandang situasi seseorang mengasuransikan kendaraan yang dimilikinya. Tidak jarang pengendara bersikap ceroboh terhadap kendaraannya karena keyakinan akan dijamin oleh asuransi. Untuk mengurangi risiko dan mengendalikan masalah-masalah perilaku pemegang polis (moral hazard), perusahaan asuransi melakukan modifikasi cakupan polis, seperti deductibles, policy limits, dan coinsurance.

(20)

Misalkan X menyatakan besar uang yang dibayar (amount paid) dalam suatu kejadian kerugian (loss event) saat tidak ada modifikasi cakupan, atau disebut ground-up loss.

Misalkan XLmenyatakan besar uang yang dibayar dalam suatu

kejadian kerugian saat ada modifikasi cakupan, atau disebut cost per loss; XPmenyatakan besar uang yang dibayar dalam suatu

kejadian pembayaran (payment event) saat ada modifikasi cakupan, atau disebut cost per payment.

Catatan: Loss event terjadi jika terdapat kerugian, sedangkan payment eventterjadi hanya jika perusahaan asuransi membayar kerugian. Dengan demikian, XL≥ 0, sedangkan XP> 0.

(21)

Modifikasi 1: Deductible

Suatu polis asuransi dengan per-loss deductible d > 0 tidak akan membayar pemegang polis (the insured) jika kerugian X kurang dari atau sama dengan d, dan akan membayar pemegang polis sebesar X − d jika kerugian X lebih dari d. Jadi, besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian kerugian, XL, adalah

XL= (X − d)+=

(

0, untuk X ≤ d, X− d, untuk X > d.

(22)

Fungsi peluang dan fungsi kesintasan dari XLadalah

fXL(x) = ( FX(d), x= 0, fX(x + d), x> 0, dan SXL(x) = SX(x + d), x≥ 0. Artinya, XLmemiliki mixed distribution atau censored

(23)

Mean dari XLadalah

E(XL) = E(0|X ≤ d) P(X ≤ d) + E(X − d|X > d) P(X > d)

= Z ∞ d (x − d) fX(x) dx = Z ∞ d SX(x) dx.

(24)

Peubah acak XP(excess-loss variable) didefinisikan hanya saat

terjadi pembayaran, yaitu saat X > d, XP = X − d|X > d.

Fungsi peluang dan fungsi kesintasan dari XP adalah

fXP(x) = fX(x + d) SX(d) , x> 0, dan SXP(x) = SX(x + d) SX(d) , x> 0. Artinya, XP memiliki truncated distribution.

(25)

Mean dari XP adalah

E(XP) = E(X − d|X > d) = R∞ d (x − d) fX(x) dx SX(d) = R∞ d SX(x) dx SX(d) = E(XL) SX(d) , atau

E(XP) = E(X|X > d) − E(d|X > d)

= CTEp(X) − d

(26)

MODEL RISIKO I Distribusi Kerugian Kontinu (Bagian II) K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Sifat Ekor Severitas Klaim Ketebalan Ekor Kuantil CTE Modifikasi Cakupan Polis Deductible Policy Limit Coinsurance Catatan:

Ekspektasi pengurangan kerugian karena adanya deductible d, relatif terhadap ekspektasi kerugian tanpa deductible, disebut loss elimination ratio(LER):

LER(d) = E(X) − E(XL)

(27)

Latihan

Untuk X ∼ Eksp(λ), tentukan fungsi kesintasan dan mean dari XL

dan XPakibat adanya deductible sebesar d. Kemudian, hitung

(28)

Modifikasi 2: Policy Limit

Modifikasi lain dari cakupan polis adalah menentukan suatu nilai u> 0 yang ditentukan dari awal dengan aturan

XU=

(

X, X < u, u, X ≥ u.

Notasi: XU= X ∧ u = min{X, u}, yang disebut limited-loss

variable. Dengan kata lain, perusahaan asuransi hanya membayar pemegang polis maksimum sebesar u, dalam kejadian kerugian maupun kejadian pembayaran.

(29)

MODEL RISIKO I Distribusi Kerugian Kontinu (Bagian II) K. Syuhada, Ph.D. Pengantar Sifat Ekor Severitas Klaim Ketebalan Ekor Kuantil CTE Modifikasi Cakupan Polis Deductible Policy Limit Coinsurance Catatan: X = (X ∧ u) + (X − u)+

(30)

Modifikasi 3: Coinsurance

Perusahaan asuransi dan pemegang polis dapat berbagi kerugian. Dalam kejadian kerugian maupun kejadian pembayaran,

perusahaan asuransi membayar pemegang polis dengan porsi c dari nilai kerugian X, yaitu sebesar

XC = cX,

(31)

Ketiga cara di atas dapat digabungkan untuk memodifikasi cakupan polis. Dengan adanya deductible d, maximum covered loss u> d, dan coinsurance factor c, uang yang dibayar oleh perusahaan asuransi dalam suatu kejadian kerugian sebesar

XT = c(X ∧ u) − (X ∧ d)

= c(X − d)+− (X − u)+

yang sama dengan

XT=      0, X < d, c(X − d), d ≤ X < u, c(u − d), X ≥ u.

(32)

(33)

Latihan

Untuk X ∼ Eksp(λ), tentukan mean dari XTakibat adanya

deductible d, maximum covered loss u > d, dan coinsurance factor c.