PENERAPAN KECERDASAN KELOMPOK UNTUK PENYELESAIAN TEKA-TEKI SUDOKU DENGAN METODE PARTICLE SWARM OPTIMIZATION
SWARM INTELLIGENCE IMPLEMENTATION TO SOLVING SUDOKU PUZZLE
WITH PARTICLE SWARM OPTIMIZATION METHOD Agus Limbang Wardani1
Sri Hartati2
Widodo Prijodiprodjo3
1Penulis : Alumni Program Studi S-2 Ilmu Komputer, UGM 2Dosen Pembimbing : Dosen Program Studi S-2 Ilmu Komputer, UGM
3Dosen Pembimbing: Dosen Program Studi S-2 Ilmu Komputer, UGM
ABSTRACT
SWARM INTELLIGENCE IMPLEMENTATION TO SOLVING SUDOKU PUZZLE
WITH PARTICLE SWARM OPTIMIZATION METHOD
There are several ways to solve sudoku puzzles with a computer that is Trial and Error, the adaptation of human intuition and using optimization algorithms. Particle Swarm Optimization (PSO) is one of the methods of optimization are found in a group of intelligence, which is based on the population of the algorithm searches and begins with a random population called particle.
This study was conducted to test the PSO method to solve sudoku puzzle with several levels of dimensions 4x4 up to 25x25. Testing is done by changing the number of particles and see its effect on the value iteration and waiting time.
The results of this study indicate several things. First, the greater the value of the particle yield tends to decrease the number of iterations. Second, the same number of iterations is not necessarily produce the same waiting time. Third, that the smaller the number of iterations is not necessarily produce a longer waiting time. Fourth, the larger size is not necessarily produce a longer waiting time. Fifth, the puzzle that has many cells with the possibility of a valid number or bit combinations are possible, PSO will shorten the number of iterations, but for the puzzle that has many possible numbers of cells with more than one or many combinations are possible, PSO not a lot of influence. Sixth, the large dimensions there are significant differences in waiting times between the number of particles 1 with the number of particles 2 to 10. Seventh, the dimensions of the primes tend to have a greater number of iterations when compared with other dimensions. The value of velocity is used to determine the value of randomization number of particles, so that the particles are sometimes not always move forward or better value.
PENDAHULUAN Latar Belakang
Sudoku adalah permainan penempatan angka berbasis logika. Papan permainan sudoku yang umum berbentuk kumpulan kotak 9x9. Pada papan permainan yang berukuran 9x9, dikelompokkan menjadi baris, kolom, dan region 3x3. Baris terdiri dari baris ke-1 sampai dengan baris ke-9, demikian juga kolom dan region.
Konsep permainan sudoku adalah angka dibatasi hanya muncul sekali. Artinya, pada setiap baris, kolom, maupun region hanya dimungkinkan setiap angka muncul sekali tanpa perulangan, dan artinya juga, setiap angka harus muncul pada setiap baris, kolom dan region.
Particle swarm optimation(PSO) memiliki konsep bahwa setiap individu menyimpan
jejak-jejak posisinya dalam problem space. Jejak-jejak posisi tersebut diartikan sebagai best
solution atau fitness dalam algoritma genetika. Nilainya, yakni fitness value, yang disebut pbest
juga turut disimpan. Selain pbest yang merupakan milik individu yang bersangkutan, turut disimpan pula nilai terbaik milik individu di sekitarnya (local best), yang disebut lbest.
Permasalahan
Berdasarkan latar belakang penelitian ini, dapat dirumuskan masalah yaitu pengaruh jumlah partikel pada particle swarm optimization terhadap jumlah iterasi dan waktu tunggu dalam mengerjakan teka-teki sudoku dengan beberapa dimensi.
Batasan Masalah
Ukuran sudoku yang digunakan berdimensi 4x4 sampai dengan 25x25. Ukuran sudoku mempunyai dimensi panjang dan lebar yang dinamis namun tidak boleh keluar dari aturan sudoku. Masukan untuk papan sudoku berupa angka. Jumlah angka terisi untuk papan sudoku rata-rata adalah 50%. Jumlah partikel yang digunakan 1 sampai dengan 100. Jumlah iterasi maksimum 100 dan nilai velocity 5
Tujuan Penelitian
Penelitian bertujuan untuk menguji metode particle swarm optimization untuk menyelesaikan teka-teki sudoku 4x4 sampai dengan 25x25 dengan melihat pengaruh jumlah partikel yang dimiliki oleh metode PSO terhadap hasil pengujian.
TINJAUAN PUSTAKA
Mullaney (2006) telah melakukan penelitian dalam mencari solusi sudoku dengan menggunakan ant system. Dalam penelitiannya Mullaney mengggunakan kelompok sederhana agen dan dimodelkan seperti semut tiruan untuk menemukan jalan optimal melalui grafik masalah. Semut mengkomunikasikan Informasi tentang solusi atau solusi parsial dengan pemasangan 'pheromones' sepanjang grafik yang menghasilkan solusi terbaik. Hal Ini akan mengijinkan semut untuk menggunakan Informasi ini untuk mempengaruhi pilihan alur mereka yang akan digunakan untuk mencari makan.
Mantere dan Koljonen (2006) menggunakan teori algoritma genetika untuk menyelesaikan teka-teki sudoku. Pada penelitiannya dimensi sudoku yang diteliti 9x9, dan panjang kromosom yang digunakan adalah 81. Pada penelitiannya Mantere dan Koljonen menyatakan bahwa masih perlu dicari metode optimasi lain karena setidaknya dalam 100 teka-teki yang diberikan terdapat 23 sampai dengan 26 teka-teka-teki yang tidak terselesaikan.
Sun dkk (2007) melakukan penelitian menggunakan particle swarm optimization berjudul A Particle Swarm Optimization Algorithm for Neighbor Selection in Peer-to-Peer
Networks. Penelitian tersebut mencari efektifitas PSO untuk melakukan seleksi tetangga
menjelaskan bahwa setiap partikel menyandikan setengah bagian atas matrik peer-connection melalui grafik tak langsung, yang mengurangi dimensi pencarian.
Emery (2007) pada penelitiannya yang berjudul solving sudoku puzzles with the
cougaar Agent architecture menjelaskan kemampuan agen dalam menyelesaikan sudoku.
Penelitian tersebut menggunakan metode Cougaar distributed agent architecture, yang ditemukan dalam proyek DARPA. DARPA memberikan area dalam membangun sistem agen terdistribusi. Melalui analisis dan eksperimen yang dilaukan Emery mengkombinasikan metode Cougaar dengan aturan dalam Sudoku.
Ahmad dkk (2007) pada penelitiannya yang berjudul A Multi-Agent Based Approach
for Particle Swarm menjelaskan bahwa Particle swarm optimization (PSO) dan Multi-agent system (MAS) secara sepintas terlihat mirip satu sama lain. Keduanya melakukan pendekatan
berbasis populasi dan menyelesaikan suatu tugas dengan bekerja sama.
McGerty (2009) pada penelitiannya yang berjudul Solving Sudoku Puzzles with
Particle Swarm Optimisation telah menjelaskan bahwa metode PSO dapat digunakan untuk
menyelesaikan teka-teki sudoku. teka-teki yang digunakan untuk pengujian berukuran 9x9. Fungsi fitness yang digunakan adalah menghitung jumlah sel yang telah terisi dengan nilai target yaitu 9x9 = 81. Penggunaan geometric crossover digunakan untuk pengaturan nilai acak dan trust factor yang digunakan untuk mengetahui apakah nilai acak yang telah dilakukan lebih baik atau tidak. Pada penelitian ini tidak menunjukkan sebuah fungsi velocity karena digantikan dengan penggunaan geometric crossover dan trust factor.
LANDASAN TEORI Sudoku
Sudoku memiliki bidang simetris 4x4, 6x6, 9x9,12x12, 16x16 dan seterusnya. Papan sudoku terdiri atas blok kecil yang disusun sedemikian rupa sehingga menghasilkan kotak besar sesuai dengan ukurannya. Misalnya pada ukuran 6x6 terdiri atas blok kecil yang berukuran 3x2 yang berjumlah enam buah sehingga membentuk ukuran 6x6. Papan sudoku yang memiliki ukuran 9x9 memiliki ukuran blok 3x3 yang berjumlah sembilan buah.
Gambar 1. Pembagian blok pada sudoku 6x6 terdapat tiga aturan dalam sudoku,yaitu :
1) tiap kolom harus memuat masing-masing 1 angka tanpa perulangan 2) tiap baris harus memuat masing-masing 1 angka tanpa perulangan 3) tiap blok harus memuat masing-masing 1 angka tanpa perulangan Swarm
Manusia sejak dahulu telah menemukan bermacam-macam tingkah laku hewan atau serangga yang menarik di Alam. Sekawanan burung berterbangan di langit, Sekelompok semut pergi mencari makan, Sekelompok ikan berenang, berputar, dan melarikan diri bersama-sama, dan lain sebagainya (Shaw, 1962). Tipe pergerakan bersama ini disebut sebagai “tingkah laku kelompok”. Sekarang ini ahli biologi dan ahli komputer dalam bidang kehidupan buatan telah mempelajari bagaimana model kelompok biologi memahami cara-cara seperti hewan sosial berinteraksi, mencapai tujuan dan berevolusi. Terlebih lagi sekarang teknisi lebih tertarik pada jenis tingkah laku kelompok ini sejak hasil dari kecerdasan kelompok
dapat diaplikasikan dalam optimasi (misalnya sistem telekomunikasi (Bonabeau dkk, 1999) ,Robot (Beni dan Wang, 1989), pola kepadatan pada sistem transformasi, dan aplikasi militer. Kecerdasan Kelompok
Swarm Intelligence (SI) atau kecerdasan kelompok adalah disiplin baru yang berkembang yang memandang kecerdasan sebagai fungsi dari interaksi sosial antara individu. Kecerdasan kelompok didasarkan pada studi serangga sosial seperti semut dan lebah, yang sebagai individu yang cukup sederhana namun memiliki perilaku kelompok cerdas. Kecerdasan kelompok sebagai perilaku kolektif yang muncul dari kelompok sosial serangga (Bonabeau dan Theraulaz, 1999), definisi lain dari SI adalah sebuah fenomena yang muncul dari perilaku dari sejumlah besar partikel berbasis aturan (Kennedy dkk, 2001).
Particle Swarm Optimization
Algoritma Particle Swarm Optimization (PSO) diperkenalkan oleh Kennedy dan Eberhart pada tahun 1995 (Kennedy dkk, 2001), proses algoritmanya diinspirasi oleh perilaku sosial dari binatang, seperti sekumpulan burung dalam suatu swarm. Particle Swarm
Optimization (PSO) adalah salah satu dari teknik komputasi evolusioner, yang mana populasi
pada PSO didasarkan pada penelusuran algoritma dan diawali dengan suatu populasi yang random yang disebut dengan partikel. Berbeda dengan teknik komputasi evolusioner lainnya, setiap partikel di dalam PSO berhubungan dengan suatu velocity. Partikel-partikel tersebut bergerak melalui penelusuran ruang dengan velocity yang dinamis yang disesuaikan menurut perilaku historisnya. Oleh karena itu, partikel-partikel mempunyai kecenderungan untuk bergerak ke area penelusuran yang lebih baik setelah melewati proses penelusuran.
Beberapa istilah umum yang biasa digunakan dalam Optimisasi Particle Swarm dapat didefinisikan sebagai berikut :
1) Swarm : populasi dari kandidat solusi (partikel)
2) Particle: anggota (individu) pada suatu swarm. Setiap partikel merepresentasikan suatu solusi yang potensial pada permasalahan yang diselesaikan. Posisi dari suatu partikel adalah ditentukan oleh representasi solusi saat itu.
3) Pbest (Personal best): posisi Pbest suatu partikel yang menunjukkan posisi partikel yang dipersiapkan untuk mendapatkan suatu solusi yang terbaik.
4) Gbest (Global best) : posisi terbaik partikel pada swarm.
5) Velocity (vektor): vektor yang menggerakkan proses optimisasi yang menentukan arah di mana suatu partikel diperlukan untuk berpindah (move) untuk memperbaiki posisinya semula.
Flowchart algoritma PSO (Kachitvichyanukul, 2005).
Gambar 2. Flowchart algoritma Particle Swarm Optimization
Prosedur standar untuk menerapkan algoritma PSO adalah sebagai berikut:
1) Inisialisasi populasi dari partikel-partikel dengan posisi dan velocity secara random dalam suatu ruang dimensi penelusuran.
2) Evaluasi fungsi fitness optimisasi yang diinginkan pada setiap partikel. 3) Membandingkan evaluasi fitness partikel dengan Pbestnya.
4) Identifikasi partikel dalam lingkungan dengan hasil terbaik sejauh yang diperoleh. 5) Update velocity dan posisi partikel.
6) Kembali ke step 2 sampai kriteria terpenuhi, biasanya berhenti pada nilai fitness yang cukup baik atau sampai pada jumlah maksimum iterasi.
PERANCANGAN Penentuan Ukuran Dimensi Sudoku
Pengaturan blok tergantung ukuran dimensi yang didefinisikan. Jumlah blok sama dengan ukuran dimensi yang didefinisikan. Jika sudoku mempunyai ukuran 6x6 maka jumlah blok pada sudoku adalah 6 buah. Ukuran blok merupakan nilai faktor dari ukuran sudoku. Jika sudoku mempunyai ukuran 6x6 maka ukuran masing-masing blok dapat berukuran 1x6 atau 2x3 atau 3x2 atau 6x1 yang merupakan faktor dari ukuran dimensi sudoku. Sehingga dapat
disimpulkan dimensi sudoku adalah n x n dan ukuran masing-masing blok merupakan perkalian faktor dari n.
Implementasi PSO pada sudoku Proses Inisialisasi
Proses inisialisasi akan dilakukan dengan dua langkah. Pertama mengatur jumlah partikel, mengatur nilai velocity maksimum dan jumlah iterasi maksimum. Kedua membentuk partikel yang merupakan representasi awal dari kandidat solusi sesuai jumlah yang telah ditentukan. Bentuk partikel berupa matrik n x n yang merupakan representasi sudoku, dimana n merupakan ukuran dari dimensi sudoku. Matrik akan berisi nilai valid yaitu nilai yang diberikan oleh pengguna sebagai soal dan nilai kosong yang akan dicari oleh sistem. Sebagai nilai awal, masing-masing partikel akan diberikan nilai acak antara 1 sampai n ke matrik yang bernilai kosong. Pemberian nilai awal harus disesuaikan dengan aturan sudoku. Apabila nilai yang diberikan tidak sesuai dengan aturan sudoku maka sel tersebut akan dikosongkan (blank).
Fungsi Fitness
Fungsi fitness akan digunakan untuk mengetahui nilai yang sesuai dengan aturan sudoku pada setiap partikel. Nilai untuk setiap partikel disebut dengan pbest. Sudoku akan dianggap selesai apabila tidak ada nilai kosong pada setiap baris, setiap kolom dan setiap blok. Apabila sudoku berukuran n x n maka akan terdapat n angka pada setiap baris, n angka pada setiap kolom dan n angka pada setiap blok. Sehingga dapat diambil sebuah fungsi yaitu (jumlah nilai terisi pada tiap baris) + (jumlah nilai terisi pada tiap kolom) + (jumlah nilai terisi pada tiap blok) . Sebagai contoh untuk sudoku 4x4 maka target akan tercapai apabila semua nilai n = 4 , sehingga 4*4 + 4*4+ 4*4 = 48.
Velocity
Velocity disesuaikan dengan kasus teka-teki sudoku yaitu digunakan sebagai jumlah
perubahan kombinasi yang diperlukan untuk mendapatkan kombinasi yang tepat. Nilai velocity awal ditentukan oleh pengguna yaitu nilai velocity maksimal (vmax). Nilai velocity akan mengalami perubahan tergantung jarak nilai partikel (pbest) dengan target. Semakin sedikit jaraknya maka nilai velocity juga semakin sedikit. Nilai velocity dihitung menggunakan fungsi floor (vmax*pworst / pbest) dengan tujuan untuk mengetahui seberapa baik nilai masing-masing partikel. Fungsi ini kebalikan dari fungsi floor (vmax*pbest / pworst) (McCullock, 2010) yang menentukan seberapa kecil / buruk nilai masing-masing partikel.
Pada setiap perubahan kombinasi yang dilakukan, pada setiap blok sudoku nxn akan diberikan nilai acak antara 1 sampai n. Apabila terdapat nilai yang memiliki 1 kemungkinan maka nilai tersebut disimpan sebagai nilai valid dan tidak akan berubah untuk proses-proses selanjutnya. Apabila tidak ditemukan nilai baru yang valid, maka akan diberikan nilai acak yang sesuai dengan aturan sudoku. Apabila nilai tidak sesuai maka sel akan dikosongkan (blank). Desain Algoritma PSO pada Sudoku
Algoritma PSO pada sudoku selengkapnya adalah sebagai berikut : 1) Inisialisasi partikel
a. Set jumlah partikel dan isi dengan nilai acak, set velocity maksimal, set maksimal iterasi
b. Set partikel sesuai jumlah yang ditentukan dengan nilai acak. 2) Pada setiap iterasi
a. Evaluasi Solusi
Evaluasi Solusi dengan menghitung pbest dari masing-masing partikel dengan fungsi fitness.
b. Pada setiap partikel
Bandingkan Pbest dengan membandingkan semua partikel Set Gbest
Jika pbest baru > gbest maka nilai gbest = pbest c. Pada setiap partikel
Set posisi dengan fungsi floor (vmax*pworst / pbest)
d. jika nilai Gbest = target atau iterasi maksimal tercapai maka program berhenti, jika tidak maka menuju iterasi selanjutnya
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Data teka-teki sudoku untuk pengujian
Teka-teki yang akan digunakan dalam pengujian sistem ini berjumlah 22 teka-teki yang memiliki dimensi 4x4 sampai dengan 25x25. Jumlah iterasi maksimal yang akan digunakan adalah 100 dan nilai maksimal velocity adalah 5. Masing-masing teka-teki akan dicoba untuk jumlah partikel 1 sampai dengan 10 untuk mengetahui pengaruh jumlah partikel terhadap hasil pengujian.
Hasil pengujian
Hasil pengujian terhadap dimensi 4x4 sampai dengan 10x10 seperti pada gambar 3 dan gambar 4.
Gambar 3. Grafik pengujian terhadap jumlah iterasi dimensi 4x4 s.d 10x10
Gambar 3 menunjukkan bahwa pada dimensi selain 7x7 jumlah iterasi cenderung turun ketika jumlah partikel ditambahkan. Akan tetapi pada dimensi 7x7 meskipun jumlah iterasi menurun pada jumlah partikel ke 4 namun naik kembali pada iterasi ke 9.
Gambar 4. Grafik pengujian terhadap jumlah iterasi dimensi 11x11 s.d 17x17 Gambar 4 menunjukkan bahwa waktu tunggu untuk dimensi selain 13x13 dan 17x17 berfluktuasi dengen perbedaan antara 0,5 sampai 1,5 detik. Namun untuk dimensi 13x13 berfluktuasi antara 5 sampai 34 detik dan untuk dimensi 17x17 berfluktuasi antara 16 sampai 35 detik.
KESIMPULAN DAN SARAN
Penelitian yang telah dihasilkan dan pengujian yang telah dilakukan dapat diambil beberapa kesimpulan. Pertama, semakin besar nilai partikel menghasilkan jumlah iterasi yang cenderung menurun. Kedua, pada jumlah iterasi yang sama belum tentu menghasilkan waktu tunggu yang sama. Ketiga, bahwa jumlah iterasi yang lebih kecil belum tentu menghasilkan waktu tunggu yang lebih lama. Keempat, pada ukuran yang lebih besar belum tentu menghasilkan waktu tunggu yang lebih lama. Kelima, pada teka-teki yang memiliki banyak sel dengan kemungkinan satu angka valid atau sedikit kombinasi yang mungkin, PSO akan memperpendek jumlah iterasi, namun untuk teka-teki yang memiliki banyak sel dengan kemungkinan angka lebih dari 1 atau banyak kombinasi yang mungkin, PSO tidak banyak memberikan pengaruh. Keenam, pada dimensi 17x17 sampai dengan 25x25 terdapat perbedaan waktu tunggu yang signifikan antara jumlah partikel 1 dengan jumlah partikel 2 sampai 10. Ketujuh, pada dimensi dengan bilangan prima yaitu 7x7, 13x13, 17x17, 19x19 dan 23x23 memiliki jumlah iterasi yang lebih banyak dibandingkan dimensi yang lain. Dengan prosentase angka 40% hingga 55 %, jumlah iterasi yang didapatkan memiliki perbedaan yang signifikan. Dengan prosentase angka yang terisi 60%, jumlah iterasi memiliki mulai mendapatkan sedikit perbedaan dibandingkan dengan dimensi yang bukan prima, namun tetap bernilai lebih besar. Jumlah iterasi yang lebih tinggi pada dimensi dengan bilangan prima disebabkan karena proses pemberian angka hanya menggunakan 2 langkah yaitu pengecekan baris dan kolom tanpa melalui pengecekan blok.
Penelitian yang telah dihasilkan menunjukkan bahwa nilai pbest pada iterasi selanjutnya terkadang lebih kecil dari pada pbest sebelumnya. Hal ini terjadi karena nilai
terkadang menghasilkan nilai yang lebih kecil, sehingga partikel bisa bergerak maju atau mundur. Saran untuk penelitian selanjutnya yang pertama adalah dipilihnya fungsi velocity yang lebih sesuai sehingga partikel yang akan selalu bergerak maju. Selain itu, dapat dilakukan penelitian lebih lanjut mengenai pengaruh alat pengujian terhadap waktu tunggu pada beberapa dimensi sudoku dan jumlah partikel PSO.
DAFTAR PUSTAKA
Ahmad,R.,Lee,Y.C., Rahimi, S., dan Gupta, B., 2007, A multi-agent based approach for particle
swarm optimization. InterNational Conference on Integration of Knowledge Intensive Multi-Agent Systems, KIMAS 2007, 267-271. doi: 10.1109/KIMAS.2007.369820 ©2007, IEEE.
Beni, G., dan Wang, J., 1989, Swarm intelligence in cellular robotics systems, Proceeding of
NATO Advanced Workshop on Robots and Biological System.
Bonabeau, E., Dorigo, M., Theraulaz, G., 1999, Swarm Intelligence : From Natural to Artificial
Systems, Oxford University Press.
Emery, M.R., 2007, Solving Sudoku Puzzles With The Cougaar Agent Architecture, Thesis, Montana State University Bozeman, Montana.
Fleischer, Mark, 2003, Foundations of Swarm Intelligence: From Principles to Practice, Institute
for Systems Research, University of Maryland College Park,
http://arxiv.org/PS_cache/nlin/pdf/0502/0502003v1.pdf., diakses tanggal 16 agustus 2009, 10:25.
Kachitvichyanukul, V., 2005, Particle_Swarm_Optimization, Industrial Engineering &
Management Asian Institute of Technology, http://elesys.
fsaintek.unair.ac.id/admin/makalah/Particle_Swarm_Optimization.pdf, diakses tanggal 10 november 2009, 10:30
Kennedy, J., Eberhart, R.C., Shi, Y., 2001, Swarm Intelligence, Morgan Kaufmann Publisher. Mantere, T., dan Koljonen, J., 2006, Solving and Rating Sudoku Puzzles with Genetic
Algorithms, Department of Electrical Engineering and Automation University of Vaasa,
http://www.stes.fi/scai2006/ proceedings/step2006-86-mantere-solving-and-rating-sudoku-puzzles.pdf, diakses tanggal 14 agustus 2009, 09:21.
McGerty, S., 2009, Solving Sudoku Puzzles with Particle Swarm Optimization, final report, Macquarie University, Sydney, Australia
Mullaney, D., 2006, Using Ant Systems to Solve Sudoku Problems, School of Computer
Science and Informatics, University College Dublin,
http://ncra.ucd.ie/COMP30290/crc2006/mullaney.pdf, diakses tanggal 28 mei 2009, 12:34. Shaw, E., 1962, The schooling of fishes, Sci. Am., vol. 206, pp. 128-138.
Sun, S., Abraham, A., Zhang, G., dan Liu, H., 2007, A Particle Swarm Optimization Algorithm
for Neighbor Selection in Peer-to-Peer Networks, 6th InterNational Conference on Computer Information Systems and Industrial Management Applications (CISIM'07),
