Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
19
(2007), 433–472
Power-free values, large deviations,
and integer points on irrational curves
par
Harald A. HELFGOTT
R´esum´e. Soitf ∈Z[x] un polynˆome de degr´ed≥3 sans racines de multiplicit´edou (d−1). Erd˝os a conjectur´e que sif satisfait les conditions locales n´ecessaires alorsf(p) est sans facteurs puis-sances (d−1)`emes
pour une infinit´e de nombres premiersp. On prouve cela pour toutes les fonctions f dont l’entropie est assez grande.
On utilise dans la preuve un principe de r´epulsion pour les points entiers sur les courbes de genre positif et un analogue arithm´etique du th´eor`eme de Sanov issu de la th´eorie des grandes d´eviations.
Abstract. Letf ∈Z[x] be a polynomial of degreed≥3 without roots of multiplicity d or (d−1). Erd˝os conjectured that, if f satisfies the necessary local conditions, thenf(p) is free of (d−1)th powers for infinitely many primesp. This is proved here for allf with sufficiently high entropy.
The proof serves to demonstrate two innovations: a strong re-pulsion principle for integer points on curves of positive genus, and a number-theoretical analogue of Sanov’s theorem from the theory of large deviations.
Harald A.Helfgott
D´epartement de math´ematiques et de statistique Universit´e de Montr´eal
CP 6128 succ Centre-Ville Montr´eal, QC H3C 3J7, Canada
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