BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Nilai Matematika
Nilai matematika dalam penelitian ini adalah hasil belajar siswa yang telah diberi nilai atau bobot. Penilaian hasil belajar merupakan kegiatan atau cara yang ditujukan untuk mengetahui tercapainya atau tidaknya tujuan pembelajaran dan juga proses pembelajaran yang telah dilakukan (Tiur Asi, 2002. Hal:1). Ada beberapa jenis penilaian yang dilakukan oleh Guru untuk melihat hasil belajar siswa diantaranya adalah Penilaian formatif, penilaian sumatif, penilaian diagnostik, penilaian selektif, dan penilaian penempatan.
Penilaian formatif adalah penilaian yang dilaksanakan pada akhir program belajar-mengajar untuk melihat tingkat keberhasilan proses belajar mengajar itu sendiri. Penilaian sumatif adalah penilaian yang dilaksanakan pada akhir unit program, yaitu akhir catur wulan, akhir semester, dan akhir tahun. Tujuannya adalah untuk melihat hasil yang dicapai oleh para siswa, yakni seberapa jauh tujuan-tujuan kurikuler dikuasai oleh para siswa. (Nana Sudjana,1989.hal:5).
2.2 Sikap
sedangkan konasi berkenaan dengan kecenderungan berbuat terhadap objek tersebut. Oleh sebab itu, sikap selalu bermakna bila dihadapkan pada objek tertentu, misalnya sikap seseorang terhadap mata pelajaran (Nana Sudjana, 1989).
Dalam Sikap selalu terdapat hubungan subjek-objek. Tidak ada sikap yang tanpa objek. Objek sikap dapat berupa benda, orang, kelompok orang, nilai-nilai sosial, pandangan hidup dan lain sebagainya. Sikap bukan bakat atau bawaan sejak lahir, melainkan dipelajari dan dibentuk melalui pengalaman-pengalaman.
Sikap dapat diukur yaitu dengan skala sikap. Skala sikap dinyatakan dalam bentuk pernyataan untuk dinilai oleh responden, apakah pernyataan itu didukung atau ditolaknya, melalui rentangan nilai tertentu. Oleh sebab itu pernyataan yang diajukan dibagi atas dua kategori yaitu pernyataan positif dan pernyataan negatif. Skala sikap yang digunakan adalah skala Likert.
2.3 Kemampuan Numerik
Kemampuan numerik yaitu kemampuan khusus dalam menghitung. Kemampuan numerik merupakan kemampuan memahami hubungan angka dan memecahkan masalah yang berhubungan dengan konsep-konsep bilangan. Tes kemampuan numerik berfungsi untuk menilai kemampuan siswa untuk menggunakan angka-angka dengan cara yang logis dan rasional (Dwi Sunar Prasetyono,2010). Tes kemampuan numerik ini dirancang untuk mengukur kekuatan logika dan kemampuan menangani masalah secara terstruktur dan analitis.
2.4Variabel Dummy
memberikan nilai 0 dan 1 untuk setiap kategori. Kedua nilai yang diberikan tidak menunjukkan bilangan ( Numerik ) tetapi sebagai identifikasi kelas atau kategorinya.
Adanya variabel dummy pada model regresi maka model regresi dapat digunakan sebagai fungsi yang lain yaitu untuk membandingkan dua regresi.
2.5 Uji Validitas
Uji validitas digunakan untuk mengukur valid atau tidak validnya suatu kuesioner. Suatu kuesioner dikatakan valid jika pertanyaan kueioner mampu mengungkapkan sesuatu yang akan diukur oleh kuesioner tersebut ( Imam Ghazali,2005).
Dalam uji validitas dapat dihitung dengan bantuan SPSS ( Statistical product and service solutions) atau dapat dihitung dengan teknik korelasi Product Moment yaitu dengan rumus sebagai berikut.
(2.1)
Dengan :
Koefisien Korelasi Jumlah Responden Skor Pertanyaan skor total
Jika nilai hitung lebih besar dari tabel maka kuesioner dinyatakan valid.
2.6 Uji Reabilitas
Uji reabilitas dapat dilakukan dengan mengggunakan koefisien Alpha
Cronbach. Adapun rumus dari Alpha Cronbach adalah :
(2.2)
Dengan :
r : Koefisien reabilitas yang dicari k : Jumlah Butir Pertanyaan (soal)
: Varians butir-butir pertanyaan (soal) ke-i : Varians skor tes
Untuk mencari varians butir digunakan rumus sebagai berikut :
(2.3)
Dengan :
: jumlah skor jawaban subjek untuk pertanyaan ke –n N : Jumlah soal
Dengan bantuan SPSS perhitungan uji reabilitas dapat dilihat dari Cronbach’s Alpha if item deleted, dan jika nilai Cronbach’s Alpha >0,60 maka tiap butir soal dinyatakan reliabel.
2.7 Analisis Regresi
Hubungan antara variabel terikat Y dengan Variabel bebas X biasanya dilukiskan dalam sebuah garis, yang disebut dengan garis regresi. Garis regresi ada yang berbentuk linear (lurus) dan juga berbentuk Nonlinear( Tidak lurus).
Regresi pertama kali diperkenalkan pada tahun 1877 oleh Sir Francis Galton, pada penelitiannya terhadap manusia. Penelitian tersebut membandingkan antara tinggi anak laki-laki dan tinggi badan orang tuanya. Istilah regresi pada mulanya bertujuan untuk membuat perkiraan nilai suatu variabel (tinggi badan anak) terhadap suatu variabel yang lain (tinggi orangtua). Pada perkembangan selanjutnya, analisa regresi digunakan sebagai alat untuk membuat perkiraan nilai suatu variabel dengan menggunakan beberapa variabel lain yang berhubungan dengan variabel tersebut (Algifari,2000).
Secara umum, model regresi sederhana dapat dituliskan dalam bentuk :
(2.4)
Model regresi sederhana (2.4) untuk populasi di atas dapat ditaksir berdasarkan sampel acak yang berukuran n dengan model regresi untuk sampel yaitu:
(2.5)
Dengan :
Variabel Tak bebas
Variabel bebas (explanatory variable ) Nilai intercept
koefisien Regresi
penduga parameter sisaan
2.7.1 Analisis Regresi Berganda
Dalam analisis regresi berganda terdapat satu variabel tak bebas dan dua atau lebih variabel bebas. Secara umum, persamaan regresi berganda dapat dibuat dalam bentuk berikut:
2.7.2 Metode Matriks
2.7.2.1Konsep Dasar dan Definisi Matriks
(Pangeran Sianipar, 2008. Aljabar Linier) Matriks ialah susunan berbentuk empat persegi panjang dari elemen-elemen ( bilangan-bilangan ) yang terdiri dari beberapa baris dan kolom dibatasi dengan tanda kurung, seperti bentuk :
Atau disingkat dengan :
Disebut matriks tingkat , karena terdiri dari baris dan kolom. Setiap disebut unsur (elemen) dari matriks, sedangkan dan berturut-turut menyatakan baris dan kolom. Jadi elemen terdapat pada baris ke- dan kolom ke- . Pasangan bilangan disebut (ukuran atau bentuk) dari matriks .
2.7.2.2Transpos Suatu Matriks
Jika baris-baris dan kolom-kolom dari suatu matriks dipertukarkan ( baris pertama menjadi kolom pertama dan seterusnya ), maka diperoleh suatu matriks
yang disebut transpos matriks.
Transpos suatu matriks A, dilambangkan dengan , ialah matriks yang diperoleh dari A dengan mempertukarkan baris dengan lajurnya.
A = maka =
2.7.2.3Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua matriks yang berukuran sama dapat dijumlahkan maupun dikurangkan dengan menambahkan ataupun mengurangkan unsur yang sesuai. sebagai contoh bila
A= dan B=
Maka
Sedangakan
2.7.2.4Perkalian Matriks
Perkalian dua matriks hanya dapat dikerjakan bila keduanya memenuhi sifat tertentu dan perkalian itu dikerjakan dengan cara yang tertentu pula. Dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama selalu dapat diperkalikan. Sedangkan perkalian AB hanya memenuhi arti bila banyaknya lajur A sama dengan banyaknya baris B. Jadi bila A dinyatakan dengan aij dan unsur B dinyatakan dengan bjk maka unsur C=AB adalah
Perhatikan bahwa pada umumnya AB≠BA Bila
A= dan B=
Dalam perkalian ini, BA tidak dapat dilakukan (tidak terdefenisi) . akan tetapi bila A dan B setangkup dan perkalian AB terdefenisi maka AB=BA. Perkalian suatu matriks dengan matriks satuan akan menghasilkan matriks itu sendiri.
2.7.2.5Invers Suatu Matriks
Misalkan A suatu matriks bujur sangkar p×p. Suatu matriks B ukuran p×p disebut inversi (balikan) dari A bila dipenuhi . Lambang yang biasa digunakan untuk inversi adalah , jadi .
Tidak mudah menghitung inversi suatu matriks kecuali bila ukurannya kecil seperti 2×2, atau bila bentuknya amat sederhana. Untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar dan bentuknya tidak sederhana biasanya perhitungan inversnya dikerjakan dengan komputer.
2.7.2.6Determinan Matriks
Determinan adalah suatu skalar (angka) yang diperoleh dari suatu matriks bujur sangkar selalui operasi khusus. Disebut operasi khusus karena dalam proses penurunan determinan dilakukan perkalian-perkalian. Determinan dinotasikan dengan tanda | |.
Salah satu cara dalam perhitungan determinan, adalah dengan menggunakan metode
Pivot.
Bila A=
Maka
2.7.2.7Minor dan Kofaktor suatu Determinan
Diketahui suatu determinan dari suatu matriks A tingkat n. Jika elemen-elemen dari baris ke- dan kolom ke- semuanya dikeluarkan akan terdapat suatu determinan dari matriks tingkat , yang disebut minor pertama dari matriks A yang ditulis dengan . Harga dari minor ditulis dengan , disingkat dengan dari elemen , jadi :
Contoh.
Bila A=
Minor dari A adalah
dan seterusnya sampai
Sehingga kofaktornya adalah
2.7.3 Penaksiran Parameter
Untuk mendapatkan taksiran parameter dari sampel dapat dilakukan dengan taksiran OLS (ordinary least square), yaitu dengan cara meminimumkan nilai sisaan ( ).
Persamaan (2.6) ditulis kembali yaitu (2.8)
(2.9)
Untuk mencari dilakukan dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat
Dengan menurunkan S secara parsial terhadap dan samakan dengan nol maka:
(2.10)
(2.11)
Jika persamaan normal dibentuk dalam bentuk matriks maka persamaan (2.11) menjadi :
(2.12)
Dengan menyelesaikan persamaan (2.12) diperoleh :
Dalam bentuk matriks dapat dituliskan
diperhitungkan ( tidak dimasukkan dalam persamaan) ukuran tersebut dapat dihitung oleh kekeliruan baku taksiran , yang dapat ditentukan dengan rumus :
(2.13 )
Dengan :
nilai data hasil pengamatan nilai hasil regresi
banyak sampel
banyak variabel bebas
2.7.4 Regresi dengan Variabel Dummy
Dalam analisis regresi, seringkali variabel penjelas tidak hanya dipengaruhi oleh variabel yang bersifat kuantitaf, tetapi bisa juga dipengaruhi oleh variabel yang bersifat kualitatif. Variabel yang bersifat seperti : jenis kelamin, suku, agama, kejadian politik dan lain-lain tersebut perlu dibuat kuantitatif dengan membentuk variabel baru yang bernilai 0 dan 1. Dimana 0 menunjukkan ketidakhadiran ciri tersebut, sedangkan 1 menunjukkan adanya ciri tersebut. sedangkan untuk pemberian 0 dan 1 untuk setiap kategori diberikan sembarang (arbitrary).
Variabel dummy dapat digunakan dalam model regresi semudah variabel kuantitatif. Dalam sebuah model regresi, bisa saja semua variabel prediktor merupakan variabel dummy , atau gabungan dari variabel kuantitatif dan dummy, sebagaimana dituliskan dalam persamaan regresi berikut:
Dengan mengasumsikan bahwa , maka diperoleh nilai ekspektasi dari variabel respon untuk masing-masing sebagai berikut :
untuk D=1
Dengan kata lain bahwa fungsi dalam hubungannya dengan mempunyai kemiringan yang sama ( ) tetapi intersep berbeda untuk tiap-tiap
Dalam regresi dengan variabel dummy, jika suatu variabel kualitatif mempunyai m kategori, maka digunakan hanya ( m-1 ) variabel dummy. Jika tidak dipenuhi, maka akan terjadi multikolinearitas (perfect multicolinearity).
2.7.5 Membandingkan Dua Regresi
Seringkali model regresi dengan variabel dummy mengasumsikan bahwa variabel kualitatif hanya mempengaruhi intersep tetapi tidak mempengaruhi koefisien kemiringan dari berbagai regresi subkelompok. Tetapi asumsi kekonstanan keofisien kemiringan antar kelompok dapat diuji dengan variabel dummy. Sebagai contoh sebuah sekolah ingin melihat ada atau tidaknya perbandingan prestasi belajar Matematika murid pria dengan murid wanita. Tentunya prestasi belajar dipengaruhi oleh banyak hal, seperti Inteligensi murid, motivasi belajar, guru, dan lain-lain.
Misalkan regresi dilakukan pada dua data terpisah berdasarkan kelompok
dummynya sebagai berikut :
Murid Pria : (2.14)
Murid Wanita: (2.15)
Kemungkinan –kemungkinan yang akan didapat dari perbandingan kedua model regresi tersebut adalah :
Kasus 1 : Kasus 2 : Kasus 3 :
Semua kemungkinan setiap kasus di atas dapat diuji jika mengelompokan semua observasi n dan N bersama-sama dan menaksir regresi berikut.
(2.16)
Dengan variabel tambahan , dengan mengamsusikan Sehingga, rata-rata Nilai matematika (Y) pada :
Murid Pria. D=1 (2.17)
Murid Wanita. D=0 (2.18)
Keuntungan dari penaksiran (2.16) dibandingkan dengan penaksiran kedua regresi (2.14) dan (2.15) secara individual adalah bahwa model regresi (2.16) dapat digunakan untuk menguji berbagai hipotesis. Jadi, jika koefisien tidak signifikan secara statistik , maka hipotesis nol diterima bahwa kedua regresi (2.17) dan (2.18) mempunyai intersep yang sama. dan jika tidak signifikan secara statistik maka hipotesis nol diterima bahwa kedua regresi (2.17) dan (2.18) mempunyai slope yang sama. pengujian hipotesis bahwa secara simultan dapat dilakukan dengan uji analisis ragam (uji F).
2.8 Penyimpangan Asumsi Model Klasik
2.8.1 Multikolinearitas
Istilah multikolinearitas mula-mula ditemukan oleh Ragnar Frisch. Multikolinearitas adalah adanya hubungan yang linear yang sempurna atau pasti diantara beberapa atau semuan variabel yang menjelaskan dari model regresi. Apabila ada kolinearitas sempurna diantara X, koefisien regresinya tak tertentu dan kesalahan standarnya tak terhingga. Jika kolinearitasnya tinggi tapi tidak sempurna, penaksiran koefisien regresi adalah mungkin, tetapi kesalahan standarnya cenderung besar. Sehingga nilai populasi dari koefisien regresi tidak dapat ditaksir dengan tepat.
1. Ketika R2 sangat tinggi tetapi tak satupun koefisien regresi signifikan secara statistik berdasarkan uji-t.
2. model yang hanya memiliki 2 variabel bebas dapat dilihat dari korelasi sederhananya.bila korelasinya tinggi (r>0,7) maka antara variabel tersebut terjadi kolinearitas.
Adanya multikolinearitas dapat dilihat dari tolerance value atau nilai Variance Inflation Factor (VIF), yaitu dengan rumus :
Dengan
koefisien determinasi ( ) berganda ketika diregresikan dengan dengan variabel-variabel lainnya. Dan batas VIF adalah 5.
2.8.2 Heteroskedastisitas
Gangguan yang muncul dalam fungsi regresi populasi adalah homoskedastik, yaitu semua gangguan mempunyai varians yang sama, namun jika variansnya tidak sama maka terjadi heterokedastisitas.
Adanya heterokedastisitas dapat dideteksi dengan uji heterokedastisitas yaitu salah satunya adalah uji Park. Tujuannya adalah untuk menguji apakah dalam model regresi terdapat ketidaksamaan variansi dari residual satu pengamatan kepengatan lainnya. Model yang baik adalah tidak terjadi heteroskedastisitas.
Rumus uji park untuk regresi sederhana adalah
(2.19)
2.8.3 Uji Normalitas
Tujuan uji normalitas adalah untuk mengetahui apakah distribusi sebuah data mengikuti atau mendekati distribusi normal. Distribusi normal merupakan sebaran datanya berbentuk lonceng. Data yang baik adalah data yang mempunyai pola seperti distribusi normal yaitu tidak menceng ke kiri atau menceng ke kanan.
Untuk menguji normalitas data dapat digunakan dengan uji Kolmogorv-Smirnov dengan melihat data residualnya. Uji kolmogorv-smirnov dihitung dengan bantuan SPSS 17.
2.9 Uji Koefisien Regresi secara Parsial
Untuk menguji koefisien regresi secara parsial dilakukan dengan uji-t. Uji-t digunakan untuk melihat signifikansi (tingkat penting) dari setiap variabel bebas apakah berpengaruh secara parsial terhadap variabel terikat secara statistik. Secara umum pengujian hipotesisnya adalah
( koefisien tidak signifikan ) (koefisien signifikan )
Untuk menghitung thitung digunakan rumus:
Dengan
variansi dari variabel bebas dengan koefisien koefisien
Setelah diperoleh selanjutnya dibandingkan dengan dengan , jika maka diterima begitu juga sebaliknya, jika
2.10 Uji Koefisien Regresi secara Simultan
Pengujian keterandalan model Regresi dengan menggunakan ANOVA dilakukan dengan menguji koefisien regresi secara simultan atau keseluruhan. Artinya apakah model yang didapat cocok digunakan atau tidak.
Langkah-langkah pengujiannya adalah sebagai berikut : 1. Menentukan formulasi hipotesis
2. Menentukan taraf nyata dari nilai dengan derajat kebebasan
3. Menentukan kriteria pengujian
diterima bila
ditolak bila
4. Menentukan nilai statistik dengan rumus
Dengan :
Jumlah kuadrat regresi Jumlah kuadrat residu (sisa)
Dengan :
5. Membuat Kesimpulan apakah ditolak atau diterima
Sumber Variasi Dk
Keterandalan model apakah ditolak atau diterima adalah dengan membandingkan nilai tabel ANOVA ( Fhitung) dengan Ftabel . Jika diterima maka model regresi tidak bisa diandalkan, dan jika ditolak maka berarti Model regresi yang didapat bisa diandalkan. Dengan bantuan SPSS tabel ANOVA dapat dicari.
2.11 Koefisien Determinasi
Koefisien determinasi (Goodness of it ) dinotasikan dengan . Nilai koefisien determinasi ini mencerminkan seberapa besar variasi dari variabel tak bebas diterangkan oleh variabel bebas , atau dengan kata lain seberapa besar memberikan kontribusi terhadap . jika koefiien , berarti variasi dari variabel tak bebas tidak dapat diterangkan oleh variabel bebas . Dan bila , maka semua titik berada tepat pada garis regresi. Dengan demikian baik atau buruknya suatu persamaan regresi ditentukan oleh nya.
ditentukan oleh rumus :
Dengan :
