DAFTAR ISI
Halaman KelompokMatematika
PERBANDINGAN SEGIEMPAT LAMBERT PADA GEOMETRI EUCLID DAN NON-EUCLID 1-6 Anggun Novita Sari, Muslim Ansori dan Agus Sutrisno
RuangTopologi , , , , 7-14
Anwar Sidik, Muslim Ansori dan Amanto
PENERAPAN GRAF DEBRUIJN PADA KONSTRUKSI GRAF EULERIAN 15-21 Fazrie Mulia , Wamiliana , dan Fitriani
REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG BARISAN 22-27 Herlisa Anggraini , Muslim Ansori, Amanto
ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM NORM PADA RUANG 28-33 HILBERT C[a, b] (STUDI KASUS : FUNGSI POLINOM DAN FUNGSI RASIONAL)
Ida Safitri, Amanto, dan Agus Sutrisno
AlgoritmaUntukMencariGrupAutomorfismaPada Graf Circulant 34-37 Vebriyan Agung , Ahmad Faisol, Amanto
KEISOMORFISMAAN GEOMETRI AFFIN 38-41
Pratiwi Handayani, Muslim Ansori, Dorrah Aziz
METODE PENGUKURAN SUDUT MES SEBAGAI KEBIJAKAN PENENTUAN 1 SYAWAL 42-44 Mardiyah Hayati , Tiryono, dan Dorrah
KE-ISOMORFISMAAN GEOMETRI INSIDENSI 45-47
Marlina , Muslim Ansori dan Dorrah Aziz
TRANSFORMASI MATRIKS PADA RUANG BARISAN 48-53
Nur Rohmah, Muslim Ansori dan Amanto
KAJIAN ANALITIK GEOMETRI PADA GERAK MEKANIK POLISI TIDUR (POLDUR) UNTUK 54-56 PENGGERAK DINAMO
Nurul Hidayah Marfiatin, Tiryono Ruby dan Agus Sutrisno
INTEGRAL RIEMAAN FUNGSI BERNILAI VEKTOR 57-63
Pita Rini, Dorrah Aziz, dan Amanto
ISOMORFISME BENTUK-BENTUK GRAFWRAPPED BUTTERFLY NETWORKSDANGRAF 64-71 CYCLIC-CUBES
Ririn Septiana, Wamiliana, dan Fitriani
Ring Armendariz 72-77
Tri Handono, Ahmad Faisol dan Fitriani
Kelompok Statistika
APROKSIMASI DISTRIBUSIT-STUDENTTERHADAPGENERALIZED LAMBDA 82-85 DISTRIBUTION(GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA
Eflin Marsinta Uli, Warsono, dan Widiarti
ANALISIS CADANGAN ASURANSI DENGAN METODE ZILLMER DAN NEW JERSEY 86-93 Eva fitrilia, Rudi Ruswandi, dan Widiarti
PENDEKATAN DIDTRIBUSI GAMMATERHADAPGENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTION 94-97 (GLD)BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA
Jihan Trimita Sari T, Warsono, dan Widiarti
PERBANDINGAN ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE KONVENSIONAL 98-103 DENGAN METODE ANOM
Latusiania Oktamia, Netti Herawati, Eri Setiawan
PENDUGAAN PARAMETER MODEL POISSON-GAMMA MENGGUNAKAN ALGORITMA EM 104-109 (EXPECTATION MAXIMIZATION)
Nurashri Partasiwi, Dian Kurniasari dan Widiarti
KAJIAN CADANGAN ASURANSIDENGAN METODE ZILLMER DAN METODE KANADA 110-115 RozaZelvia, Rudi Ruswandi dan Widiarti
ANALISIS KOMPONEN RAGAM DATA HILANG PADA RANCANGANCROSS-OVER 116-121 Sorta Sundy H. S, Mustofa Usman dan Dian Kurniasari
PENDEKATAN DISTRIBUSI GOMPERTZ PADA CADANGAN ASURANSI JIWA UNTUK METODE 122-126 ZILLMER DAN ILLINOIS
Mahfuz Hudori, Rudi Ruswandi dan Widiarti
KAJIAN RELATIF BIASMETODEONE-STAGEDANTWO-STAGE CLUSTER SAMPLING 127-130 Rohman, Dian Kurniasar dan Widiarti
PERBANDINGAN UJI HOMOGENITAS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE 131-136 KONVENSIONAL DENGAN METODE ANOMV
Tika Wahyuni, Netti Herawati dan Eri Setiawan
PENDEKATAN DISTRIBUSI KHI-KUADRAT TERHADAPGENERALIZED LAMBDA 137-140 DISTRIBUTION(GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA
Tiyas Yulita , Warsono dan Dian Kurniasari
Kelompok Kimia
TRANSESTERIFIKASI MINYAK SAWIT DENGAN METANOL DAN KATALIS HETEROGEN 141-147 BERBASIS SILIKA SEKAM PADI (MgO-SiO2)
EviRawati Sijabat, Wasinton Simanjuntak dan Kamisah D. Pandiangan
EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING SEBAGAI INHIBITOR KERAK 148-153 KALSIUM KARBONAT (CaCO3) DENGAN METODEUNSEEDED EXPERIMENT
Miftasani,Suharso dan Buhani
EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING WULUH SEBAGAI INHIBITOR 154-160 KERAK KALSIUM KARBONAT (CaCO3) DENGAN METODESEEDED EXPERIMENT
IDENTIFIKASI SENYAWA AKTIF DARI KULIT BUAH ASAM KERANJI (Dalium indum) 161-168 SEBAGAI INHIBITORKOROSIBAJA LUNAK
Dewi Kartika Sari, Ilim Wasinton dan Simanjuntak
TransesterifikasiMinyakSawitdenganMetanoldanKatalisHeterogenBerbasis 169-175 SilikaSekamPadi(TiO2/SiO2)
Wanti Simanjuntak, Kamisah D. Pandiangan dan Wasinton Simanjuntak
UJI PENDAHULUAN HIDROLISIS ONGGOK UNTUK MENGHASILKAN GULA REDUKSI 176-182 DENGAN BANTUAN ULTRASONIKASI SEBAGAI PRAPERLAKUAN
Juwita Ratna Sari dan Wasinton Simanjuntak
STUDI FORMULASI PATI SORGUM-GELATIN DAN KONSENTRASIPLASTICIZERDALAM 183-190 SINTESA BIOPLASTIK SERTA UJIBIODEGRADABLEDENGAN METODE FISIK
Yesti Harryzona dan Yuli Darni
KelompokFisika
Pengaruh Variasi Suhu Pemanasan Dengan Pendinginan Secara Lambat Terhadap Uji 191-195 BendingDan Struktur Mikro Pada Baja Pegas Daun AISI 5140
Adelina S.E Sianturi, Ediman Ginting dan Pulung Karo-Karo
PengaruhKadarCaCO3terhadapPembentukanFaseBahanSuperkonduktorBSCCO-2212 196-201 denganDopingPb (BPSCCO-2212)
Ameilda Larasati, Suprihatin dan Ediman GintingSuka
Variasi Kadar CaCO3dalamPembentukanFaseBahanSuperkonduktor BSCCO-2223 dengan 202-207 Doping Pb (BPSCCO-2223)
Fitri Afriani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka
Sintesis Bahan Superkonduktor BSCCO-2223 Tanpa Doping Pb Pada Berbagai Kadar CaCO3 208-212 Heni Handayani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka
Pengaruh Variasi Waktu Penarikan dalam Pembuatan Lapisan Tipis TiO2dengan Metode 213-218 Pelapisan Celup
Dian Yulia Sari dan Posman Manurung
Pengaruh Suhu Sintering terhadap Karakteristik Struktur dan Mikrostruktur Komposit 219-225 Aluminosilikat 3Al2O3.2SiO2Berbahan Dasar Silika Sekam Padi
Fissilla Venia Wiranti dan Simon Sembiring
Sintesisdan KarakterisasiTitaniaSilikadenganMetode Sol Gel 226-230 Revy Susi Maryanti dan Posman Manurung
Uji Fotokatalis Bahan TiO2yang ditambahdengan SiO2padaZatWarnaMetilenBiru 231- 236 Violina Sitorus dan Posman Manurung
KARAKTERISTIK STRUKTUR DAN MIKROSTRUKTUR KOMPOSIT B2O3-SiO2BERBASIS 237-241 SILIKA SEKAM PADI DENGAN VARIASI SUHU KALSINASI
Nur Hasanah, Suprihatin, dan Simon Sembiring
RANCANG BANGUN DAN ANALISIS ALAT UKUR MASSA JENIS ZAT CAIR BERBASIS 242-247 MIKROKONTROLER ATMega8535
ANALISIS BAWAH PERMUKAAN KELURAHAN TRIKORA KABUPATEN NGADA NTT 248-250 MENGGUNAKAN METODE GPR (Ground Penetrating Radar) DAN GEOLISTRIK
R. Wulandari,Rustadi dan A. Zaenudin
Ring Armendariz
Tri Handono1, Ahmad faisol2, Fitriani3
Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia1 rihanD25@yahoo.com
Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia2 Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia3
Abstrak
Misalkan Rring komutatif dan R[x] ring polinomial. Suatu ringRdikatakan ring Armendariz jika diberikan sebarang dua polinomial f(x) = ∑ୀܽݔ,g(x) =∑ୀܾݔ∈ R[x] dimana ܽǡ ܾ ∈ R sedemikian sehingga jikaf(x)g(x)=0 makaܾܽ= 0 untuk setiapidan j.Dalam makalah ini dikaji beberapa ring yang memenuhi sifat Armendariz. JikaRadalah daerah ideal utama yang komutatif dan A ideal di R maka R/A merupakan ring Armendariz. Selanjutnya, jika diketahui R daerah integral denganAideal diRdan ring faktorR/Amerupakan Armendariz maka struktur ringRR/A adalah Armendariz yang hasil operasi pergandaan didefinisikan dengan (a,ݑത)⋅(b,ݒҧ)=(ab,ܽݒ ݑܾതതതതതതതതതതത). Ring R R/A juga merupakan Armendariz terkait sifat ring reduced yaitu ring yang tidak mempunyai elemen nilpoten tak nol.
Kata Kunci :Ring Armendariz, Ring reduced, Daerah integral,Daerah Ideal Utama, Direct Sum
1. Pendahuluan
Struktur aljabar adalah himpunan atau beberapa himpunan yang dilengkapi dengan suatu operasi atau beberapa operasi yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Salah satu contoh struktur aljabar adalah ring. Ring adalah struktur aljabar dengan satu himpunan dan dua operasi yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu.
Ring polinomial dibentuk dari perluasan suatu ring. Ring polinomial merupakan suatu himpunan yang berisi polinomial-polinomial yang dilengkapi dua operasi biner dan memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Suatu ring R komutatif dikatakan Armendariz jika pergandaan dua buah polinomial dengan koefisiennya merupakan elemen ring R menghasilkan nol, maka mengakibatkan pergandaan koefisiennya nol. Ring yang mempunyai sifat Armendariz dikatakan ring Armendariz. Ide awal mengenai ring Armendariz diperkenalkan oleh Rege dan Chawcharia pada tahun 1997 dan pemilihan nama ring Armendariz tersebut berdasarkan atas nama orang yang menemukan yaitu Efraim P. Armendariz pada tahun 1973. Pada penelitian ini, akan dikaji ring dan beberapa struktur ring yang mempunyai sifat Armendariz.
2. Landasan teori
2.1 Operasi Biner
Diberikan himpunan S ≠ ∅. Suatu operasi biner ∗pada himpunanS adalah suatu aturan yang mengawankan setiap pasangan
beraturan (a,b) ∈ S x S dengan tepat satu elemenS.
∗:SxS→S
(a,b) ↦ (a ∗ b) ∈ S (Gilbert dan Nicholson, 2004).
Contoh :
Penjumlahan biasa “+” dan perkalian biasa “•” pada himpunan bilangan real ℝ adalah operasi biner.
2.2 OperasiDirect Sum
Diberikan R dan S suatu ring. Operasi direct sum pada struktur ring
R S = {(r,s)ȁݎ א ܴ dan ݏ א ܵ} berlaku (r,s) + (t,u) = (r + t,s + u) dan (r,s)⋅(t,u) = (rt,ru+st) (Rege dan Chhawchharia, 1997).
2.3 Ring
Diberikan R himpunan sebarang tak kosong, + dan • adalah sebarang dua operasi pada R. Himpunan < R,+, •> dikatakan ring jika memenuhi sifat :
1. Terhadap operasi +,
a). Tertutup, yaitu untuk setiap a,b ∈ R berlakua + b∈R.
b). Asosiatif, yaitu untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku (a + b)+ c = a +(b + c).
c
).
Mempunyai elemen identitas, yaituterdapat 0 ∈ R sedemikian sehingga untuk setiapa ∈ R berlaku
d).Elemen invers, yaitu untuk setiap a ∈R 2.7 Pembangun
terdapat -a∈Rsedemikian sehingga berlaku a + -a = -a+ a = 0
e).Komutatif, yaitu untuk setiap a,b ∈ R berlakua + b = b + a.
2. Terhadap operasi •,
a). Tertutup, yaitu untuk setiap a,b ∈ R berlakua • b∈R.
b). Asosiatif, yaitu untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku (a • b)• c = a •(b • c).
3. Terhadap operasi + dan •,
a). Distribusi kanan, yaitu untuk setiapa,b,c ∈R berlaku
a• (b + c) = (a • b) + (a • c). b).Distribusi kiri, yaitu untuk setiap a,b,c
∈R berlaku
(a + b)• c= (a • c) + (b • c) (Herstein, 1996).
Diberikan ring <R,+, •>, jika terhadap operasi • padaRberlaku a • b = b • auntuk setiapa,b ∈ R, maka R disebut ring komutatif (Dummit dan Foote, 2004).
Contoh :
<Z, +, •> adalah ring komutatif.
2.4 Subring
Diberikan suatu ring R dan himpunan S ⊂ R dengan S ≠ ∅. Himpunan S disebut subring jika S merupakan ring terhadap operasi yang sama padaR (Herstein, 1996).
Contoh :
Himpunan 2Z merupakan subring pada ring <Z, +, • >.
2.5 Daerah Integral
Suatu ring komutatif R dikatakan daerah integral jika a • b = 0 di R yang berakibat bahwaa =0 atau b =0 (Herstein, 1996). Contoh :
Himpunan < R,+,•> dan himpunan < Z,+, •> adalah contoh daerah integral.
2.6 Ideal
Diberikan Rring danI ⊆R. I dikatakan ideal jika :
a. I subring padaR;
b. rI ⊆ I,untuk setiapr ∈R; c. Ir ⊆ I,untuk setiapr ∈R;
(i) Jika I ⊆ R hanya memenuhi (a) dan (b) makaIdikatakan ideal kiri padaR.
(ii)
Jika I ⊆ R hanya memenuhi (a) dan (c) makaIdikatakan ideal kanan pada R(Herstein,1996).DiketahuiRring komutatif danAideal padaR. Himpunan A = {pr | r ∈ R }suatu ideal yang dibangun suatu elemen p dan p disebut pembangun ideal A dapat ditulis 〈〉 = A (Dummit dan Foote, 2004).
2.8 Daerah Ideal Utama
Suatu daerah integral dikatakan daerah ideal utama jika untuk setiap idealIdiR berbentuk I = {ݔܽȁݔ א ܴ} untuk suatu ܽ ∈ I (Herstein, 1996).
Contoh :
Diberikan daerah integral Z. TerdapatI ⊂ Z . Karena I = {0} ideal pada Z yang dibangun oleh elemen 0 dan jika I ≠ {0} ideal pada Z yang berisi semua kelipatan dari a juga dibangun oleh a yaitu 〈ܽ〉= aZ ,maka Z disebut daerah ideal utama.
2.9 Ring Faktor
Jika N adalah ideal pada ring R, maka ring koset ߚ + N yang dibangkitkan oleh operasi koset adalah ring faktor dan dinotasikan sebagai berikut.
R/N= {ߚ+N|ߚ∈R} (Herstein, 1996). Contoh :
Diketahui 4Z merupakan ideal pada ring Z. Dapat dibentuk himpunan
Z /4Z = {a + 4Z |a ∈Z} yang merupakan ring faktor.
2.10 Ring Polinomial
Diberikan ring R. Himpunan <R[x],+,• > yang beranggotakan semua polinomial dengan koefisien anggota ringRdalam variabel xdan dilengkapi dua operasi biner dikatakan ring polinomial. Ring polinomial dapat disajikan sebagai <R[x],+,•> = ∑ୀܽݔǡ ܽא ܴ (Herstein, 1996).
Contoh :
Himpunan < Z[x],+, • > dengan koefisien elemen ringZmerupakan ring polinomial.
2.11 Nilpoten
Diberikan ring Rdana ∈ Rdikatakan nilpoten jikaan=0, untuk suatun∈Z+
(Herstein, 1996). Contoh :
Diberikan ringZ8 dan karena 2ത 3
=4ത2 =6ത3=0ത
maka {2ത},{4ത},{6ത} adalah elemen nilpoten tak nol padaZ8.
Suatu ring dikatakan ring reduced jika tidak mempunyai elemen nilpoten tak nol
(Herstein, 1996). Contoh :
Ring Z6 adalah ring reduced karena tidak mempunyai elemen nilpoten tak nol.
2.13 Ring Armendariz
Suatu ring R dikatakan ring Armendariz jika diberikan sebarang dua polinomial
f(x)=∑ୀܽݔ, g(x) =∑ୀܾݔ∈ R[x] dimana ܽǡ ܾ ∈ R sedemikian sehingga f(x)g(x) = 0
makaܾܽ= 0 untuk setiapidan j.
3. Metode Penelitian
Pada penelitian ini metode yang digunakan adalah studi literatur.
Pada tahap pertama, akan ditunjukkan ring faktorR/Amerupakan ring Armendariz dengan R suatu daerah ideal utama yang komutatif dan A ideal pada R. Selanjutnya diberikan sebarang dua polinomial dengan koefisiennya merupakan elemen ring faktor R/A. Akan ditunjukkan bahwa jika pergandaan dua elemen polinomial sama dengan nol maka pergandaan koefisiennya juga nol.
Pada tahap kedua, dibentuk ring yang lebih luas yaitu struktur ring R R/A yang merupakan ring dengan operasi direct sum yang didefinisikan khusus. Akan dibuktikan bahwa struktur ring R R/A merupakan ring Armendariz, dengan R suatu daerah integral, A ideal pada R dan R/A ring faktor yang Armendariz. Selanjutnya diberikan sebarang dua polinomial dengan koefisiennya merupakan elemen ring R R/A. Akan ditunjukkan bahwa jika pergandaan dua elemen polinomial sama dengan nol maka pergandaan koefisiennya nol, namun terlebih dahulu disajikan pembuktian struktur ring RR/A memenuhi aksioma-aksioma ring.
Pada tahap berikutnya akan ditunjukkan bahwa struktur ring R R/A terkait sifat ring reduced memenuhi sifat Armendariz.
Sebelumnya dikaji terlebih dahulu tentang ring reduced R dan beberapa lemma yang mendukung pembuktian struktur ringR R/A adalah Armendariz. Selanjutnya diambil sebarang dua polinomial dengan koefisiennya merupakan elemen ring R R/A. Akan ditunjukkan bahwa jika pergandaan dua elemen polinomial sama dengan nol maka pergandaan koefisiennya nol.
Bentuk struktur ringR R/A berakibat bahwa ring R R juga merupakan ring Armendariz dengan diberikan idealAsama dengan nol.
4. Hasil dan Pembahasan
Berikut ini dikaji beberapa karakteristik ring dan ring faktor yang mempunyai sifat Armendariz.
4.1 Teorema
Diketahui R adalah daerah ideal utama yang komutatif danA ideal diR. MisalkanA = 〈ݔ〉 ideal A yang dibangun oleh unsur ݔ∈ R. Akan ditunjukkan R/A merupakan ring Armendariz dengan kata lain jika ݂̅(x)݃ҧ(x) =0ത
makaܽതതതതതതపܾఫ = 0ത.
Bukti :
Diberikan sebarang dua polinomial ݂̅(x) = ∑ୀܽതݔ, ݃ҧ(x) = ∑ୀܾതݔ ∈ R/A[x] dimana ideal utama, maka ܽ dapat dinyatakan sebagai ܽ = ݔݎ ∈ A suatu elemen ideal utama yang dibangun oleh ݔ ∈ A yang mengakibatkanݎሺݔܾ)+ A = 0 + A. Karena ݔ ∈ A dan A ideal utama maka diperoleh
ݔܾ+A= 0 +A.
Dari persamaan (4.3) dapat ditulis persamaan (4.3) sehingga diperoleh ܽଵܾଵ+
ܽଶܾ + A = 0 + A. Karena R daerah ideal
utama maka haruslah memenuhi sifat tertutup pada operasi penjumlahan, maka diperoleh ܽଵܾଵ+A= 0 +Adanܽଶܾ +A =0 +Asehingga
terbuktiതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതܾܽଶܽଵܾଵ ܽଶܾ =0ത.
Berdasarkan persamaan (4.1), (4.2), (4.3) dan dapat dilanjutkan dengan langkah yang serupa sehingga didapat ܽതതതതതതపܾఫ=0ത untuk setiap i danj. Oleh karena itu R/A merupakan ring Armendariz.∎
Untuk selanjutnya diberikan tentang sifat Armendariz, namun dibuktikan terlebih dahulu bahwa struktur ring R R/A memenuhi aksioma-aksioma ring.
4.2 Lemma
Diberikan R ring dan A ideal pada R. Didefinisikan dua operasi pada struktur ring RR/A, yaitu + dan • sebagai berikut :
(a,ݑത) + (b,ݒҧ)=(a + b,ݑത+ݒҧ) dan (a,ݑത)•(b,ݒҧ)= ab,ܽݒ ݑܾതതതതതതതതതതത.
maka <RR/A, +, •> memenuhi aksioma – aksioma ring.
Berikut ini akan disajikan teorema suatu struktur ring yang memenuhi sifat Armendariz.
4.3 Teorema
Diketahui Rdaerah integral dengan A ideal di R dan R/A Armendariz maka ring R R/A Armendariz.
Bukti :
Diberikan sebarang dua polinomial ݂(x) = ∑ୀሺܽǡ ݑതሻݔ,݃(x)=∑ୀ൫ܾǡ ݒҧ൯ݔ∈ (RR/A)[x]
, dimana koefisiennya merupakan elemen ring R R/A . Akan ditunjukkan ring R R/A adalah Armendariz dengan kata lain jika
݂(x)݃(x) = (0,0ത) = 0 maka (ܽǡ ݑത)൫ܾǡ ݒҧ൯ = (ܾܽ,തതതതതതതതതതതതതതܽపݒఫݑపܾఫ) =0.
Selanjutnya untuk mempermudah pembuktian, digunakan notasi sebagai berikut : ݂(x) = (݂(ݔ)ǡ ݂ഥሺݔሻଵ ) dan݃(x) = (݃(ݔ)ǡ ݃തതതሺݔሻଵ ).
Karena R adalah daerah integral maka terdapat dua kemungkinan, yaitu :
Selanjutnya dapat disimpulkan sebagai karena itu struktur ring R ⨁ R/A ring Armendariz. ∎
Pada teorema 4.3 bahwa jika R daerah integral dengan A ideal di R dan ring R/A Armendariz maka struktur ring R ⨁ R/A ring Armendariz. Pembahasan selanjutnya akan dikaji karakterisasi ring reduced pada suatu struktur ring yang juga mempunyai sifat Armendariz.
Berikut ini akan disajikan terlebih dahulu beberapa lemma yang mendukung.
4.4 Lemma
Diketahui ring R reduced dan untuk setiap a,b ∈ R berlaku ab = 0 jika dan hanya jika ba =0.
bukti :
(⇒) Diberikan R ring reduced. Diambil sebarang a,b ∈ R dengan ab = 0. Akan ditunjukkan ba =0.Andaikan ba≠0,karena R ring reduced maka ba bukan elemen nilpoten yang artinyaሺܾܽሻ≠0 untuk suatun. Ambil n = 2sehingga diperoleh ሺܾܽሻଶ= baba ≠ 0. Diketahui bahwa ab = 0 sehingga
ሺܾܽሻଶ = baba = b0a = 0 yang berarti ba
merupakan elemen nilpoten. Hal ini kontradiksi dengan ba≠0. Sehingga haruslahba =0.
(⇐) Diberikan R ring reduced. Diambil sebarang a,b ∈ R dengan ba = 0. Akan ditunjukkan ab =0.Andaikan ab≠0,karena R ring reduced maka ab bukan elemen nilpoten yang artinyaሺܾܽሻ≠0 untuk suatun. Ambiln = 2sehingga diperoleh ሺܾܽሻଶ= abab ≠ 0. Diketahui bahwa ba = 0 sehingga ሺܾܽሻଶ = abab = a0b = 0 yang berarti ab
merupakan elemen nilpoten. Hal ini kontradiksi denganab≠0. Sehingga haruslahab =0. ∎
4.5 Lemma
Jika R suatu ring reduced maka R ring Armendariz.
Bukti :
Diketahui R ring reduced. Diberikan f(x) = ∑ୀܽݔ, g(x) = ∑ୀܾݔ ∈ R[x], dimana ܽ, KarenaR merupakan ring reducedmakaܾܽ = 0. Selanjutnya perhatikan persamaan (4.7) ܾܽଵܽଵܾ =0 (dikali ܾ)
ܾܾܽଵ+ܾܽଵܾ =0 (ܾܽ=0)
0 +ܾܽଵܾ =0 ܾܽଵܾ =0.
Karena (ܽଵܾ)2 = ܽଵܾܽଵܾ = ܽଵ0 = 0, artinya ܽଵܾ adalah elemen nilpoten. Karena R ring
reduced maka ܽଵܾ = 0. Selanjutnya subtitusikan ܽଵܾ = 0 ke persamaan (4.7) sehingga diperoleh ܾܽଵ = 0. Untuk persamaan selanjutnya dengan langkah yang serupa sehingga didapat ܾܽ =0 untuk setiap i dan j. Oleh karena itu R merupakan ring Armendariz.∎
Pada lemma 4.5 diatas tidak berlaku sebaliknya, dengan kata lain jika diketahui R ring Armendariz maka belum tentu R ring reduced. Ring Z/nZ merupakan contoh ring Armendariz tetapi bukan ringreduced.
4.6 Lemma
JikaR ringreducedmakaR[x] ringreduced.
Bukti :
4.7 Teorema
Diketahui Rring reduced dengan Aideal di R dan ring faktor R/A juga ring reduced. Akan ditunjukkan ring R R/A merupakan Armendariz.
Bukti :
Diberikan sebarang dua polinomial ݂(x) = ∑ୀሺܽǡ ݑതሻݔǡ ݃(x)=∑ୀ൫ܾǡ ݒҧ൯ݔ∈(RR/A )[x]
, dimana koefisiennya merupakan elemen ring R R/A. Akan ditunjukkan jika ݂(x)݃(x) = 0 maka (ܾܽ,തതതതതതതതതതതതതതܽపݒఫݑపܾఫ) =0.
Selanjutnya untuk mempermudah pembuktian, digunakan notasi sebagai berikut : ݂(x) = (݂(ݔ)ǡ ݂ഥሺݔሻଵ ) dan݃(x) = (݃(ݔ)ǡ ݃തതതሺݔሻଵ ).
KarenaRring reducedmaka persamaan (4.8) berakibat݃(ݔ)݂(ݔ)= 0.Pada persamaan (4.9) persamaan (4.8) dan (4.9) menghasilkan
(ܽǡ ݑത)൫ܾǡ ݒҧ൯ = (ܾܽ,ܽതതതതതതതതതതതതതതపݒఫݑపܾఫ) = 0. Oleh karena itu terbukti bahwaR R/Amerupakan ring Armendariz.∎
Dari teorema 4.7 di atas, berakibat bahwa struktur ring R R merupakan ring Armendariz dengan diberikan ideal A sama dengan {0}. Berikut ini diberikan akibatnya secara lengkap.
4.8 Akibat
Diketahui R ring reduced. Diberikan sebarang dua polinomial yang koefisiennya merupakan elemen ring R⨁ R ={(a,u) |a,u ∈ R} maka struktur ring R⨁Rmerupakan Armendariz.
5. SIMPULAN
Jika diketahui R daerah ideal utama dan A ideal di R maka ring faktor R/A merupakan ring Armendariz. Jika diketahui R daerah integral dengan A ideal di R dan ring faktor R/A Armendariz maka struktur ring R R/A dengan diberikan definisi direct sum khusus merupakan ring Armendariz. Dapat juga diperoleh sifat struktur ring R R/A merupakan ring Armendariz terkait sifat R ringreduced.
6. DAFTAR PUSTAKA
Dummit, D.S.,Foote, R.M. 2004. Abstract Algebra. 3rd Edition. John Wiley and Son inc, 111 River Street, Hoboken. Gilbert, W.C.,Nicholson, W.K. 2004. Modern
Algebra With Applications. 2nd Edition. John Wiley and Son inc., Hoboken, New Jersey.
Herstein, I.N. 1996. Abstract Algebra. 3rd Edition. Prentice-Hall, Upper Saddle river, New Jersey.
