EEM 579 ELEKTRĐK ENERJĐ SĐSTEMLERĐNĐN ANALĐZĐ 1. GĐRĐŞ
2. ĐLETĐM HATLARI
Seri ve Şönt Eleman Modelleri Nominal Devreler
Devrelerin Seri Paralel Bağlantıları
3. BARA EMPEDANS ve ADMĐTANS MATRĐSLERĐ
Çevre ve Düğüm Yöntemleri ZBARA ve YBARA Kavramları
YBARA nın Doğrudan Kurulumu
YBARA da Đndirgemeler
4. BARA EMPEDANS MATRĐSĐNDE DEĞĐŞĐKLĐKLER ELEMAN EKLEME ve ÇIKARMA – KUPLAJSIZ (BASĐT) HAL
Yeni Bara (Dal) Ekleme Referans Barasına Dal Ekleme Mevcut Bir Baraya Dal Ekleme Yeni Hal (Kiriş) Ekleme
Mevcut Bir Bara ile Referans Barası Arasına Kiriş Ekleme Mevcut Đki Bara Arasına Kiriş Ekleme
5. BARA EMPEDANS MATRĐSĐNĐN DOĞRUDAN KURULUMU ve DEĞĐŞĐKLĐKLER
ELEMAN EKLEME/ÇIKARMA – KUPLAJSIZ (GENEL) HAL
5.1 Graf Teorisi
5.1.1 Primitif Empedans Matrisi
5.1.2 Temel Çevreler Matrisi, Kirchoff Gerilimler Kanunu 5.1.3 Temel Kesitlemeler Matrisi, Kirchoff Akımlar Kanunu
5.1.4 Đncidence Matris, Topolojik Bağlantılar
5.2 Çok Kapılı Gösterilimler
5.3 Devre Matrislerinin Analitik Olarak Türetilmesi
5.4 ZBARA nın Doğrudan Kurulumu
5.5 ZBARA da Yapılan Değişiklikler
5.6 Uç Graflar Yardımıyla ZBARA
6. BARA MATRĐSLERĐNĐN KULLANILIMLARI 7. YÜK MODELLERĐ
ENERJĐ ĐLETĐM SĐSTEMLERĐNDE ÖZEL KONULAR Giriş 1 düğümü I1 = i3 + i5 = 10 1 V1 + 1.(V1 – V2) I1 = 1,1V1 – 1V2 (4) 2 düğümü I2 = i4 - i5 = 20 1 V2 - 1.(V1 – V2) I1 = 1,1V1 – 1V2 (5) 2 1 I I = − − 05 , 1 1 1 1 , 1 2 1 V V (6) ZBARA = YBARA-1 = ) 05 , 1 )( 1 , 1 ( 1 1 + − 1 , 1 1 1 05 , 1 = 155 , 0 1 , 1 155 , 0 1 155 , 0 1 155 , 0 05 , 1 ZBARA = 097 , 7 452 , 6 452 , 6 774 , 6 (3) * YBARA Genelleştirme I1 = (Y11 + Y12).V1 – Y12.V2 I2 = -Y12.V2 + (Y22 + Y12).V2 I1 i3 1 , 0 10 1 = i5 1 1 1 = V1 V2 i4 05 , 0 20 1 = I2 YBARA y1 y12 y2
YBARA = + − − + 12 22 12 12 12 11 y y y y y y = 22 21 12 11 Y Y Y Y [YBARA] = nn n n Y Y Y Y 1 1 11 V1 = 10I1 – 0I2 – 10I3 V2 = 0I1 + 20I2 + 20I3 0 = -10I1 + 20I2 + 31I3
I3 = 31 10 I1 - 31 20 I2 V1 = 10I1 – 10.[ 31 10 I1 - 31 20 I2] V1 = 10I1 - 31 100 I1 + 31 200 I2 V1 = 6,774I1 + 6,452I2 (1) V2 = 20I2 + 20.[ 31 10 I1 - 31 20 I2] V2 = 6,452I1 +20I2 - 31 400 I2 V2 = 6,452I1 + 7,097I2 (2) 2 1 V V = 097 , 7 452 , 6 452 , 6 774 , 6 2 1 Đ I (3) [V] = [Z].[I] (5)
[Z] : Bara Empedans Matrisi 10 1 20 V2 V1 I1 I3 I2
elimine edilecek kısmı ayırırsak; e r I I = N M L K e r V V Q Ir = N M L K . e r V V Ve = -N-1.MmVr (8) de yerine koy; Ir = K.Vr + L.[-N-1.M].Vr Ir = [K – L.N-1.M].Vr [ Ir ] = [K – L.N-1.M].[ Vr] Örnek: 3 2 1 I I I = − − − − 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 75 , 0 0 5 , 0 0 5 , 1 . 3 2 1 V V V [YBARAYENĐ]2×2 = 75 , 0 0 0 5 , 1 – − − 5 , 0 5 , 0 1 1
[
]
5 , 0 5 , 0 − − [YBARAYENĐ]2×2 = -j 75 , 0 0 0 5 , 1 – (-j) − − 5 , 0 5 , 0 1 1[
−0,5 −0,5]
= -j − − 50 , 0 25 , 0 25 , 0 25 , 1 [YBARAYENĐ]2×2 = − + + − 5 , 0 25 , 0 25 , 0 25 , 1 j j j jr: Elde kalacak olan,
e: Elimine (yok) edilecek olan anlamında
e I ≡Q Ir = K.Vr + L.Ve (7) Q = M.Vr + N.Ve (8) 1 3 j1 V1 2 V2 I2 I1 Z13 Z23 j2 j2 j4 I3≡0 0 K L N M
Y11 = -j1,25 = y11 + y12 y11 = -j1 z11 = +j1 Y12 = -y12 = +0,25 y12 = -j0,25 z12 = 25 , 0 1 j − = j4Ω Y22 = -j0,5 = y22 + y12 y22 = -j0,25 z22 = j4 [YBARA] n×n = nn nj n n ij i n j y y y y y y y y y ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 1 1 1 1 11 [YBARA] n-1×n-1 = ... ... ... ... ... ... ... ... 1 1 11 ij i j y y y y - nn Y 1 ... ... 1 in n y y [yn1 ... ynj ...] eleman olarak; Yij(yeni) = Yij(eski) - nn nj in Y Y Y . Y12 Y11 Y22 1 2 eski yeni
2 1 3 3 2 1 3 2 1 2 3 2 1 1 31 20 31 10 31 20 10 0 20 20 0 10 0 10 I I I I I I I I I V I I I V − = ⇒ + + − = + + = − − =
I3 değerini V1 ve V2’de yerine yazarsak;
2 1 1 1 2 1 1 1 31 200 31 100 10 31 20 31 10 10 10I I I V I I I V ⇒ = − + − − = 2 1 1 6,774I 6,452I V = + 2 2 1 2 2 1 2 2 31 400 20 452 , 6 31 20 31 10 20 20I I I V I I I V ⇒ = + − − + = 2 1 2 6,452I 7,097I V = + = 2 1 2 1 097 , 7 452 , 6 452 , 6 774 , 6 I I V V
[ ] [ ][ ]
V = Z I[Z] = Bara Empedans Matrisi
[
]
= nn n n nxn Z Z Z Z Z Z Z Z ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 22 21 1 12 11 3 2 10 1 20 V2 I1 I3 I2 1 V11. Düğüm 1 3 5 1 1( 1 2) 1 1,1 1 1 2 10 1 V V I V V V i i I = + = + − ⇒ = − 2. Düğüm 2 4 5 2 1( 1 2) 2 1 1,05 2 20 1 V V I V V V i i I = − = − − ⇒ =− + − − = 2 1 2 1 05 , 1 1 1 1 , 1 V V I I = = + − = = − 097 , 7 451 , 6 452 , 6 774 , 6 155 , 0 1 , 1 155 , 0 1 155 , 0 1 155 , 0 05 , 1 1 , 1 1 1 05 , 1 ) 05 , 1 ( * ) 1 , 1 ( 1 1 1 bara bara bara Z Y Z Ybara Genelleştirme
[
]
= ⇒ = + − − + = + + − = − + = nn n n nxn bara bara Y Y Y Y Y Y Y Y Y y y y y y y Y V y y V y I V y V y y I 1 1 11 22 21 12 11 21 22 21 12 12 11 2 12 22 1 12 2 2 12 1 12 11 1 ) ( ) ( y11 6 5 4 1/10=0,1 1/1=1 1/20=0,05 I2 I1 y22 y12[I] = [Y][V] elemine edilecek kısmı ayırırsak; = e r e r V V N M L K I I
r: Elde kalacak olan
e: Elemine edilecek (yok edilecek) olan Ie = 0 = e r r V V N M L K I 0 r e e r r NV MV LV KV I + = + = 0 r e N MV
V =− −1 de Kirschoff Akımlar Yasasını uygularsak;
[
]
] ][ [ ] [ ] [ 1 1 1 r r r r r r r V M LN K I V M LN K I V M N L KV I − − − − = − = − + = ÖRNEK:[
]
[
]
[
]
[
]
− − = ⇒ − − − = − = − − − − − = − − − − − = 5 , 0 25 , 0 25 , 0 25 , 1 50 , 0 25 , 0 25 , 0 25 , 1 25 , 0 25 , 0 25 , 0 25 , 0 75 , 0 0 0 5 , 1 5 , 0 5 , 0 1 1 5 , 0 5 , 0 75 , 0 0 0 5 , 1 1 5 , 0 5 , 0 5 , 0 75 , 0 0 5 , 0 0 5 , 1 2 2 2 2 2 2 3 2 1 3 2 1 j j j j Y j Y Y V V V j I I I x bara x bara x bara yeni yeni 4 25 , 0 5 , 0 4 25 , 0 1 25 , 0 25 , 0 1 1 25 , 0 25 , 1 22 22 12 22 22 12 12 12 12 12 11 11 11 12 11 11 j Z j y y y j Y j Z j Z j y j y Y j Z j y j y y y j Y = ⇒ − = ⇒ + = − = = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = − = + = ⇒ − = ⇒ − = + = − = y12 y11 y22 V1 j1 V2 j2 j2 j4 1 3 2 7 6Elemine edilecek nokta 8
8
[
]
[
]
[
... ...]
... ... 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 1 1 1 11 1 1 ... 1 1 1 1 11 nj n in n nn ij i j yeni xn n bara nj n in ij i n j eski nxn bara Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y − = = − − Eleman olarak; nn nj in eski ij yeni ij Y Y Y Y y ( ) = ( ) − ÖDEV 1:[
]
− − − − = 18 8 5 5 8 5 , 14 5 , 2 4 5 5 , 2 3 , 8 0 5 4 0 8 , 9 4 4 j j j j j j j j j j j j j j Ybara x3 ve 4 nolu düğümleri yok ederek; a) Yeni [Ybara]2x2 elde ediniz. b)
modelini kurunuz
c) [Zbara]2x2 yi [Ybara]2x2 admintansının tersini kullanarak bulunuz. d) [Zbara]2x2yi b şıkkındaki model ile kurunuz
y12
y11
ZBARA ÜZERĐNDE DEĞĐŞĐKLĐKLER- KUPLAJSIZ BASĐT MODEL
1. Yeni Bara (Dal) Ekleme
1.Durum) p Barası Đle Referans Bara Arasına Zb Hat (Dal) Ekleme
Diğer baralarla her hangi bir bağıntı olmadığından diğer baraların gerilimi, Ip akımının akmasına bağlı olarak değişmez.
2.Durum) Mevcut k Barası ile Yeni Bir p Barası Arasına Zb Eklemek
n 1 p Ip
[
]
1* 1 2 1 2 1 ... 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... + + = n n bara p n b bara p n n Z I I I I Z Z V V V V k p Zb Ip Ik 0Ip akımı Vk gerilimini Ip*Zkk kadar artırır.
+ = + + + + + = + + = > + = p n b kk kn k k nk k orj k p n b kk p V nZ k k p b p kk p orj k p p b k p kk p orj k yeni k I I I I Z Z Z Z Z Z Z Z Z V V V V Z Z I I Z I Z I V Z I Z I V V I Z ek V V Z I V V orj k kn .. .. ... ... ) ( ... ) : ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 Ip+Ik n 1 2 0 = = nn n n n n bara orj Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ... .. ... ... ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11
3.Durum) Mevcut k Barası ile r Referans Barası Arasına Hat (Zb) Eklemek
1. Adım: Mevcut k barasına Zb üzerinden yeni bir p barası bağlanır.
2. Adım: p barası ile r barası kısa devre edilir. (Vp=0) 2. durumdaki Zbara(n+1)(n+1) elde edilir. Tek fark Vp=0’dır.
Yani 2. durumdaki işlemler aynen uygulanır ve daha sonra (n+1). satır ve (n+1). sütun elemine edilir. Elementer olarak b kk j n n i orj ij yeni ij Z Z Z Z Z Z + − = ( +1) ( +1) ) ( ) ( 4. DURUM
Mevcut j ve k Baraları Arasına Bir Hat (Kiriş –Zb) Eklemek
.... ) ( ) ( ... 1 1 1 11 1 =Z I + +Z j Ij +Ib +Z k Ik −Ib + V Yeniden düzenlenirse; ) ( ... ... 1 1 1 1 1 11 1 Z I Z jIj Z kIk Ib Z j Z k V = + + + + + − Benzer olarak; ) ( ... ... ) ( ... ... 1 1 1 1 kk kj b k kk j kj k k jk jj b k jk j jj j j Z Z I I Z I Z I Z V Z Z I I Z I Z I Z V − + + + + + = − + + + + + =
Ib’nin çözümü için ek denklemler kullanılmalıdır. Bu denklemler; 0 = + − ⇒ = − j b b b b k j k V I Z I Z V V V
Vj ve Vk değerleri bu denklemde yerine yazılırsa;
b jk kk jj k kk jk j kj jj k j b bZ Z Z I Z Z I Z Z I Z Z Z I I ( ) ... ( ) ... ( ) ... ( 2 ) 0= + 1− 1 1+ + − + + − + + + −
Ib’nin katsayılarını toplayıp Zbb dersek; Zbb=Zb+Zjj+Zkk-2Zjk Düzenlemeler ile; Ib Zb Ik Ik-Ib Ij Ij+Ib Zorj
− − − − − − − − = b n k j bb kn jn kk jk kj jj k j nk nj kk kj orj jk jj k j n k j I I I I I Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z V V V V ... ... ) ( ... ) ( ( ... ) ( ) ( ... ) ( ( ... ) ( 0 ... ... 1 ) 1 1 ) 1 1 1
(n+1). Satır ve (n+1). Sütun elemine edilerek;
jk kk jj b j n n i orj ij yeni ij Z Z Z Z Z Z Z Z 2 * ( 1) ) 1 ( ) ( ) ( = − + + − + +
Zbara’nın Doğrudan Kurulumu
Ybara nın yersi alınarak Zbaranın bulunması, daha az işlem yapılmasını sağlar. 1.Adım r barasına Za üzerinden 1. barayı eklemek
V1 =I1 * Za
Ve diğer adımlar 1-4 durumları yardımıyla yapılır.
ÖRNEK:
Çözüm:
* Önce r. ve 1. bara arasına j1,2 ekleyelim. ] 2 , 1 [ 2 , 1 ] 1 1 [ 1 1 j Z I j V x bara = =
* Mevcut 1 barasına j0,2 üzerinden 2 barası eklenir. 1 j0,3 j0,2 j0,15 j1,2 j1,5 2 3 r
4 , 1 2 , 0 2 , 1 4 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 11 ] 2 2 [ Z Z j j j j j j j Zbara x + b = + = =
* Mevcut 1 barasına Zb = j0,3 üzerinden 3 barasını ekleyelim.
5 , 1 3 , 0 2 , 1 5 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 4 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 11 ] 3 3 [ Z Z j j j j j j j j j j j j Zbara x + b = + = =
*Mevcut 3 barasının Zb = j1,5 üzerinden r barasına bağlanması
3 5 , 1 5 , 1 3 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 5 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 4 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 33 Z j j j Z j j j j j j j j j j j j j j j j b = + = +
4x4 eleman elemine edilirse (matris indirgemesi yapılırsa;
= 75 , 0 60 , 0 60 , 0 60 , 0 92 , 0 72 , 0 60 , 0 72 , 0 72 , 0 ] 3 3 [ j j j j j j j j j Zbara x yeni
* Son olarak mevcut 2 ve 3 baraları arasına Zb=j0,15 eklenir. 4. satır 4. sütun elemanları
− − = − + + = ⇒ − + + = − = − = − = = = − = − = = = − = − = = 62 , 0 15 , 0 32 , 0 12 , 0 15 , 0 75 , 0 60 , 0 60 , 0 32 , 0 60 , 0 92 , 0 72 , 0 12 , 0 60 , 0 72 , 0 72 , 0 62 , 0 60 , 0 * 2 75 , 0 92 , 0 15 , 0 2 15 , 0 75 , 0 60 , 0 32 , 0 60 , 0 92 , 0 12 , 0 60 , 0 72 , 0 44 23 33 22 44 33 32 43 34 23 22 42 24 13 12 41 14 j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j Z Z Z Z Z Z j j j Z Z Z Z j j j Z Z Z Z j j j Z Z Z Z b Đndirgeme yapılırsa = 7137 , 0 6774 , 0 6290 , 0 6774 , 0 7548 , 0 6581 , 0 6290 , 0 6581 , 0 6968 , 0 ) ( j j j j j j j j j
GRAF TEORĐSĐ VE ĐLETĐM HATLARININ ÇOK KAPILI GÖSTERĐMLERĐ
Yönlendirilmiş Graf-Referans Yön
Primitif Eleman/Devre - Empedans Form Vpq – epq = zpq (ipq - jpq) - Admitans Form ipq – jpq = Ypq (Vpq - epq) - Pasif Eleman (jpq = 0, epq = 0) kaynak yok Vpq = Zpq = ipq * 5 6 3 2 3 4
Bir Đletim Hattı 2 kapılı Eleman
A R B Yönlendirilmiş Graf +- jpq epq zpq p q p ipq , vpq q p k q vpq = vk ipq = ik 1 2 3 4 4 6 5 3 1 2 i1 i5 i2 i3 i4 i6 4 Düğümlü Eleman Düğüm Sayısı nd = 4 Eleman Sayısı Ne=6
A i B
2 uçlu eleman V(t)=Ri(t)
ipq = Ypq.Vpq * [V] = [Z][i] – [Z][j] + e
[i] = [Y][V] –[Y][e] + j
(e,j) = 0 (Devre pasif) V = [Z][i] , i = [Y][V]
Đletim Sisteminde Sistem Grafı
Primitif Gösterilim
endüktif kuplaj
J-Baralı Sistem (Tek Hat Şeması) 1-2 ve 1-3 kısa hat 2-3 uzun hat (1-2) ve (1-3) kuplajlı 1 2 3 0 3 1 2 6 7 4 8 5 9 2 3 0 3 1 2 4 5 1 1 3 2 Z23 Y13/2 Y23/2 4,5,6,7,8,9 şönt eleman
1,2 hatlarının şöntleri ihmal
Z ve Y primitif empedans ve admitans matrisleridir. Bara empedans ve admitans matrisleri değildirler.
Primitif Empedans Matrisi ∆ ∆ − − ∆ = = − − − − 1 55 1 44 1 33 11 21 12 22 1 55 44 33 22 21 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Z Z Z Z Z Z Z Z Y Z Z Z Z Z Z Z Z Z12: Endüktif kuplaj
Eleman, Ağaç, Dal, Kiriş
Bütün düğümlere değen fakat çevre oluşturmayan alt grafı ağaç olarak adlandırılır. Ağacın dışındaki elemanların oluşturduğu grafa tümleyeni (co-tree) denir.
Dal Sayısı: nd-1 Kiriş Sayısı: ne- nd+1 Ayrık graf sayısı: d=nd-p
k= ne- nd+p
Temel Çevreler Matrisi
Temel Çevre Sayısı: ne- nd+1 (Kiriş sayısı) Temel Çevre Yönü: Kiriş yönü
Örnek: 1 2 3 2 4 2 3 1 5 4 ref 1 2 3 2 4 2 3 1 5 4 ref a) Yönlendirilmiş Graf ne=5 nd=4 b) T (2-4-5) Ağaç L (1-3) Kiriş (link) Dal: (2,4,5) (Branch) 1 2 3 2 4 1 5 4 ref I II ne=5 nd=4 nd-1= 3 dal ne-nd+1=2 kiriş 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1. Kiriş tarafından tanımlı çevre V1- V5- V2=0
3. Kiriş tarafından tanımlı çevre V3+ V4- V5=0 }
[
]
0 [ ][ ] 0 , 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 3 1 5 4 2 3 1 5 4 2 = ⇒ = + − = − − − V C V V U C n n V V V V V l b b d e Kiris Dal48 47 6 ÖRNEK: 1 3 4 21,2,3,4,5 iletim hatları elemanları ne=5 nd=4 3 4 1 2 3 4 1 2 4 3 5 1 2 I II Yönlendirilmiş Graf T (1-3-5) L(2,4)
{ 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 4 2 5 3 1 = − − − V V V V V U Cb 43 42 1
Temel Kesitlemeler Matrisi
Dallar tarafından tanımlanmıştır. Her bir kesitleme bir dal içerir. Dal sayısı kadar kesit vardır.
Kirschoff Akımlar Yasası (KCL) 2. dal tarafından kesitleme: i1+i2=0 4. dal tarafından kesitleme: -i3+i4=0 5. dal tarafından kesitleme: i1+i3+i5=0
0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 3 1 5 4 2 = − i i i i i
NOT: Temel çevreler matrisi: C
Temel kesitlemeler matrisi: B
Düğüm matrisi: A
[
]
=0 =0 Bi i i B U l b l 1 2 3 2 4 1 5 4 ref I II III T (2-4-5) L (1,3)Nd-1 = 3 Dal (3 Temel kesitleme) 1 3 5 2 4 I II 2 4 5 1 3 2 4 5 Dal Kiriş
0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 4 2 5 3 1 = − i i i i i
Düğüm Matrisi A (Düğüm (Vertex-Incidence Matris)
0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 5 4 3 2 1 = = − − − − − i A i i i i i a
Đncidence Matrisinin Özellikleri
1. Bu matrisin sütunları keyfi olarak düzenlenebilir.
2. Belli bir ağaç için bunu [Dallar | Kirişler] şekline getirmek mümkündür. ÖRNEK: 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 4 3 2 1 = − − − − − i i i i 3 4 1 2 4 3 5 1 2 1 2 3 2 4 1 5 4 ref 1.düğüm için i1+i2=0 2. düğüm için -i2+i3+i5=0 3. düğüm için -i3+i4=0 4. düğüm için -i1-i5-i4=0 1 3 5 2 4 1 3 5 U Bl Elemanlar 1 2 3 4 5 Düğüm 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 5
3. Her sütunda +1/-1 vardır. Bu elemanın hangi düğümler arasında olduğunu ve yönünü gösterir.
4. Aa’nın satırları lineer bağımlıdır. Rank(Aa) = nd-1 herhangi bir satır atılabilir. [A] indirgenmiş düğüm matrisi
TOPOLOJĐK BAĞINTILAR
A,B,C Matrislerinin Bağıntıları
1.Özellik Ortagonal CB Ortagonal BC T T 0 0 = = 2.Özellik
[
]
T l b l T b l T b T b l b l B C veya B C B C U C B U U C C B U B − = − = ⇒ = + ⇒ = = = 0 0 ] ; [ ] ; [Verilen bir ağaç için temel kesitlemeler bilinirse, temel çevreler de bilinir.
3.Özellik l b l l b b l b A A B A A U A A B A A A 1 1 1 ] ; [ ] ; [ − − − = = = = 1 2 3 4 1 2 3 5 4 − = = = = − + + − + + + = − − 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 ] [ ] ; [ 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 4 1 3 1 1 l b l b l b A A B A A A A 2 4 3 1 5
ÇOK KAPILI GÖSTERĐM
Devre Matrislerinin Analitik Olarak Türetilmesi KVL’nin Uygulaması Ve Topolojisi
I. Kiriş Dönüşümü
[
]
l T b l l b l T b l b l b l l b l b i C i B i i U C i i i i i B U Bi i i i V V V = − = ⇒ = = = = = = 0 0 ] ; [ , ] ; [ l Ti Ci= Bütün Akımlar kiriş akımları cinsinden ifade edilebilir.
II. Dal Dönüşümü
[
]
b T b l l b b l b T b l b b b v B v V B U V V V V B V C V V V U C Cv = = = = − = = = 0 0 III. Düğüm Dönüşümü[ ]
bara n n I Ai I I I i i i A = = ... ... ... ... 2 1 2 1Eleman akımlarını A matrisi ile çarparak bara akımı bulunur
* Đletim Hatları Lineer zamanla değişmiyor.
1 2 n-1 n 0 I1 I2 I(n-1) In V1 V2 Vn Uç Değişkenler bara bara bara bara bara bara bara Bara T n bara T n bara Z Y U V Y I I Z V V V V V I I I I = = = = = ] ,..., , [ ] ,..., , [ 2 1 2 1
IV. Güç Değişmezliği bara T T bara T T bara T bara T bara T V A V A V V i A V i V I V i V Güçler Alılın Güçler Verilen = ⇒ = = = =
∑
∑
* * * * * Ybara’nın Türetilmesi Ai I V A V = T bara, bara =Primitif devre için; i=yV
T bara bara T bara bara T bara T A y A Y V AyA I V AyA Ai V yA i ] [ ] [ ] [ = = = = Algoritma: - Ağacı seç - [A] belirle - [Z] kurulacak
- [Y] bul (Empedansın tersinden) - [Ybara]=[A][yprimitif][A]T ÖRNEK 1 3 4 2 II III I IV V 0,5 0,5 0,2 0,6 0,4 0,2 0,1
Devrede kuplaj olduğundan devreye bakılarak Ybara admintans matrisi kurulamaz. Bu yüzden graf oluşturulur.
T pri bara Ay A
= a A → → − − − − ref V IV III II I 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 4 3 2 1 = A − − 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 4 3 2 V IV III II I = ] [Zp 2 , 0 0 0 0 0 0 4 , 0 0 0 2 , 0 0 0 5 , 0 0 0 0 0 0 5 , 0 1 , 0 0 2 , 0 0 1 , 0 6 , 0 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 = = ⇒ − − − − − − = = − − − − = = − 362 , 0 189 , 0 230 , 0 89 , 0 344 , 0 126 , 0 230 , 0 126 , 0 271 , 0 ] [ 7 2 5 2 063 , 4 209 , 0 5 209 , 0 02 , 8 5 0 0 0 0 0 02 , 0 0 208 , 0 042 , 1 0 0 2 0 0 0 208 , 0 0 083 , 2 417 , 0 0 042 , 1 0 417 , 1 083 , 2 ] [ ] [ 1 bara bara T p bara T p p Z Y A Ay Y Z Y 1 2 3 4 1 2 3 5 4
BARA EMPENDANS MATRĐSĐNĐN KURULMASI
Uyarma kaynaklarının hepsi kiriş alınacak.
[
]
[ ]
− = ⇒ − = ⇒ = + = = ⇒ = − = l b b b k l b b b k l b b b k k l b b b k l b b l b b i i Z C U C V V V C U C V V V C U C V V V V U C U C V V V U U C n n e n U V V U C e e n CV 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * : 0 2 1 * 2 1 * 2 1 * * 2 1 *[ ]
[ ]
[ ]
bara Z Z Z Z bara bara bara bara bara l bara l bara bara l T T bara bara bara bara l T T l b T T T bara l T bara l b p T I Z Z Z Z V I Z I Z Z Z V den II I Z Z i den I I i Z Z Z Z V II I I i U C C Z C U C V V V ve I I I i U C C i i U U C C C I i C I i i dönüsümü kiriş i C i bara 4 4 4 3 4 4 4 2 1 12 1 11 22 ) 12 1 11 21 22 12 1 11 21 12 1 11 22 21 12 11 2 1 2 1 1 * * 2 1 2 1 22 ( ' ' 0 0 0 0 0 0 0 ) ( − = − − − − = + − = − = = ⇒ = − = − = = ⇒ = = = 1 n 0 In* I1*I1*,I2*,…,In* Uyarma(Akım Kaynağı) V1*,V2*…Vn* Uyarma Gerilimi
n kaynak n+1 Düğüm n+e Eleman sayısı
NOT: Yıldız uç grafı için geçerlidir. (Yıldız uç grafında, her kaynak referans noktasına bağlanır). ÖRNEK 1 2 3 4 1 4 2 5 3 3 4 1 V3* I3* V4* I4* V1* I1* Uç grafı 1 3 4 2 II III I IV V 0,5 0,5 0,2 0,6 0,4 0,2 0,1 1 2 3 4 1 4 2 5 3 7 6 8
Dal Kiriş Kaynak
T T B B U B C B C B B U B 2 2 1 1 2 1 2 1 ] | | [ 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 − = − = = − 43 42 1 3 2 1 43 42 1
[ ]
= − = − − − = − − − − − − − − − − − − − − − = = − − − − − = − − − = − 361 , 0 188 , 0 230 , 0 198 , 0 344 , 0 126 , 0 630 , 0 126 , 0 271 , 0 1 , 0 5 , 0 1 , 0 9 , 0 1 , 0 5 , 0 5 , 0 1 , 0 4 , 0 1 , 0 1 , 0 1 , 0 6 , 0 5 , 0 4 , 0 9 , 0 4 , 0 5 , 0 6 , 1 3 , 0 1 , 0 1 , 0 4 , 0 3 , 0 6 , 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 2 , 0 0 0 0 0 0 4 , 0 0 0 2 , 0 0 0 5 , 0 0 0 0 0 0 5 , 0 1 , 0 0 2 , 0 0 1 , 0 6 , 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 1 1 3 4 4 3 2 1 4 3 2 1 2 1 2 1 4 3 2 1 2 1 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z U C C Z C U C Z Z Z Z C C bara T T p4. BARA EMPEDANS ALGORĐTMALARI
Topolojik olarak, mevcut bir sisteme eklenen (veya çıkarılan) hatların/baraların Zbara’ya yansıtılması.
- Kısmi Devre
Kısmi devre, iletim devresinin bazı (veya tüm) baralarını ve bazı (veya tüm) hatlarını içeren devredir. Ait Devreye Kismi Matrisi Empedans Bara Z Matrisi Dugum A Matrisi Empedans imitif Z bara = = = ) 0 ( 0 0 Pr
Sisteme hat/bara ekleme/çıkarma işlemleri yapılarak Zbara(0)’dan Zbara (değiştirilmiş-yeni) elde edilir. Kısmi devrede;
] 1 [ ] [ ] [ (0) 1 0 01 0 1 ) 0 ( − − − = = T bara bara Y AZ A Z yazılabilir.
Öz empedansı Zαα ve kısmi devre elemanlarıyla karşılıklı empedansı Zoα ola nir α elemanını kısmi devreye ilave edelim. Yeni devrenin gerilim ve akım elemanları:
= = α α i i i ve V V V 0 0 olur.
Vo, Io = Kısmi devrenin değişkenleri Vα, Iα = Đlave elemanın değişkenleri
1 2 j n 0 n j 1 Zo Zo Zα
Empedans ve Admintans Formunda Primitif Denklemler ) ! 0 ( ] 3 [ ] 2 [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 değeğil Y Y Z Y V V Y Y Y Y i i ve i i Z Z Z Z V V = = ≠ = = − α α α αα α α α α αα α α α
2 ve 3 denklemlerinden hibrit formda;
] 4 [ 0 1 0 1 1 0 1 0 0 − = − − − − α αα α αα αα α α i V Y Y Y Y Y Z V i
Vbara ve Ibara, yeni devrenin bara gerilim ve akım vektörleridir. Bilinen ifadeyle;
] 6 [ ] 5 [ 0 0 = = = = α α i i A i A I V A V V V bara bara T
A: Yeni devrenin düğüm admintans matrisidir. Özel durumlara göre bu bilgiyi şöyle kullanabiliriz.
4.3 Hatların Đlave Edilmesi
4.3.1 Hat Đlavesi
[
]
[7] 0 ... 0 0 ... 0 ... 0 1 0 0 K A I A I A q p = −= K1=Đlave edilen elemana ilişkin, düğüm matrisinin alt matrisi
K1, elemanın kısmi devreyle bağıntısını gösterir. Kısmi Devre 1 2 p q α 0
Kısmi devrenin p ve q baraları arasına yönü pq olan α elemanı ekleyelim. Eleman; kapalı bir yol oluşturduğundan dolayı bir kiriş (link)tir. (Ama klasik link kavramından biraz faklıdır). Ve yeni bir bara oluşturmamaktadır.
Yeni devre için [7] denklemi [5] ve [6]’da kullanılacak bara ve primitif değişkenleri ] 10 [ ] 9 [ ] 8 [ 1 0 0 1 0 0 bara bara T bara T I i K i A V K V V A V = + = = α α
Yeni devre için karma formda, primitif denklemler [4]te gösteilmiştir. Vbara ve Ibaraya ait açık ifadeler ise Vo, Io ve Vα, Iα değişkenlerinin [4], [8], [9] ve 810] denklemlerinden eleminasyon sonucu elde edilebilir.
Öncelikle; ] 12 [ 0 ; ] 11 [ 0 ) ( 22 21 12 11 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 = = + − + − − − − bara bara bara bara T T T I i V B B B B olarak sembolik ifade Bu I i V Y A Y Y K Y Y A K A Z A α α αα α αα αα α
Son olarak [12]de iα’nın eleminasyonu:
[
]
[
]
[
]
[14] ] 13 [ 1 21 1 22 12 11 21 1 22 12 11 − − − − = = − B B B B Z I V B B B B bara bara bara[14]teki ters alma işlemi yapılırken aşağıdaki özel ters alma formülü (house holder) uygulanır:
[
]
] 21 [ 1 ] 20 [ ] 19 [ ] 18 [ ] 17 [ ] [ ] 16 [ ] [ ; ] 15 [ ] [ 12 ) 0 ( 21 0 0 1 21 0 0 1 12 ) 0 ( 21 1 12 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 1 0 1 0 0 1 11 0 1 0 0 11 1 11 21 1 22 12 1 11 21 12 1 11 1 11 1 1 1 1 1 1 1 αα αα α αα α Y C Z C D Y A Y K C Y Y A K C burada Z C D C Z Z Z Z A Z A B oldugundan A Z A B B B B B B B B B B Z buradan F KF G KF H G F GHK F bara T T bara bara bara bara bara T T bara + = + = + = − = = = = + − + = + + − = + − − − − − − − − − − − − − − − − −Eğer ilave edilen eleman ile kısmi devre arasında kuplaj yoksa Yoα ve Yαo sıfır vektörler haline gelir. Yeni empedans matrisi
] 22 [ 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 1 ) 0 ( ) 0 ( αα Z K Z K Z K K Z Z Z bara T bara T bara bara bara + − =
NOT: [19] ve [20]deki C CT 21
12 ≠ dir. Dolayısıyla her türlü asimetrik kuplajlı (Z0α ≠Zα0)
devre çözülebilir.
NOT: Bundan sonraki kısımlarda aksi söylenmedikçe, ilave edilen eleman simetrik kuplajlı olacaktır. (Y0α =YαT0)
Kuplajlı Hat Đlavesi (Y0α =YαT0)
] 24 [ ] 23 [ 1 0 0 1 1 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 1 ) 0 ( ) 0 ( αα α αα Y Y A K C Y C Z C Z C C Z Z Z bara T bara T bara bara bara + = + − =
Kuplajsız Hat Đlavesi
] 25 [ 1 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 1 ) 0 ( ) 0 ( + − = αα Y K Z K Z K K Z Z Z bara T bara T bara bara bara
Özel bir durum olarak; şayet hat referans bara ile q arasına eklenirse
] 26 [ 0 ... 0 0 ... 0 1 − = Iq K haline döner.
Özel bir durum olarak, ilave edilen hat r barası ile q barası arasında ise;
] 26 [ 0 ... 0 0 ... 0 1 − = Iq K
Kuplajlı Hatların Eklenmesi
] 29 [ ] 28 [ ˆ ] 27 [ ˆ 1 0 0 1 1 1 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 1 1 ) 0 ( ) 0 ( − − − + = + = − = αα α αα Y Y A K C Y C Z C Z Burada Z C Z C Z Z Z ara T bara T bara bara bara
K1: Đlave edilen hatlara ilişkin incidence matris Yoα ve Yαα [3] denklemindeki matrisler.
Kuplajsız Hatların Eklenmesi
Bu durumda [27] denklemi ] 31 [ ˆ ] 30 [ ˆ 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 1 1 ) 0 ( ) 0 ( αα Z K Z K Z Z K Z K Z Z Z bara T bara T bara bara bara + = − = −
Zαα: Đlave edilen elemanların primitif empedans matrisi.
Bara (Dal) Eklenmesi Yeni Bir Bara Eklenmesi
Burada yeni hat ilavesiyle yeni bir bara eklemesi de yapıldığından hat bir daldır. Yeni devrenin düğüm matrisi:
Kısmi Devre 1 2 p q 0 α
) 34 ( 1 0 ) 33 ( 0 .. .. 0 0 ... ... 0 : ) 32 ( 0 1 0 ... ... 0 0 .. .. 0 0 .. .. 0 2 0 2 0 − = = − = K A A I K Tanıa I A A p p
Yeni devre için, çok kapılı gösterimdeki Vbara ve Ibara vektörlerini şöyle parçalara ayıralım: Vbara’ ve Ibara’ yeni ilave edilen q barasının dışındaki tüm baralara ilişkin değerler olsun. q içinde Vq ve Iq tanımlanırsa; ) 35 ( ; ' ' = = q bara bara q bara bara I I I V V V
(34) ve (35) numaralı denklemleri (5) ve (6) denklemlerinde yerine koyalım:
) 39 ( ) 38 ( ) 37 ( ) 36 ( ' 2 0 0 ' 2 ' 0 0 q bara q bara T bara T I i I i K i A V V V V A V − = = + − = = α α α
Yeni devre için primitif denklemler (4) ile verilmiştir.
Vbara ve Ibara arasındaki bağıntıyı elde etmek için diğer değişkenler (V0,i0,Vα,iα) (4), (36) ve (39) denklemlerinden yok edilirler. Bu eleminasyonla;
) 40 ( ) ( ( ' ' 1 0 0 1 2 1 0 0 2 0 1 0 0 − = − + − + − − − − − q bara q bara T T T V I I V Y A Y Y K Y Y A K A Z A αα α αα αα α
(40) denklemindeki 1. denklemden Vbara, Ibara’ya ve Iq’ya göre ifade edilebilir. Burada 1 ) 0 ( 0 1 0 0 − − = bara T Z A Z
A olduğu hatırda tutulup 2. denklemde kullanılırsa;
) 44 ( 1 ) 43 ( ) 42 ( ) 41 ( ) 1 ( 12 21 ) 0 ( 21 12 ) 0 ( ) 0 ( 0 0 2 21 0 0 2 12 ' 12 ) 0 ( 21 ) 0 ( 21 12 ) 0 ( ) 0 ( + = + = + = = αα αα α αα α αα Y D Z D Z D D Z Z Z Y A Y K D Y Y A K D I I Y D Z D Z D D Z Z V V bara bara bara bara bara T T q bara bara bara bara bara q bara
Đlave edilen elemanla kısmi devre arasında kuplaj yoksa;
) 45 ( 2 ) 0 ( 2 ) 0 ( 2 2 ) 0 ( ) 0 ( + = αα Z K Z K Z K K Z Z Z bara T bara T bara bara bara
Zαα: Đlave edilen elemanın primitif empedansı
D12 ve D21 ters kuplaj olmasını da içeren genel ifadelerdir. Ters kuplaj yoksa Y0α =YαT0 daha basit olarak kullanılır.
Kuplajlı Bir Bara Đlavesi
) 47 ( ) 46 ( ) 1 ( 0 0 2 2 2 ) 0 ( 2 ) 0 ( 2 2 ) 0 ( ) 0 ( 0 0 αα α αα α α Y Y A K C Y C Z C Z C C Z Z Z Y Y bara T bara T bara bara bara T + = + = =
Kuplajsız Bir Bara Đlavesi
) 48 ( 2 ) 0 ( 2 ) 0 ( 2 2 ) 0 ( ) 0 ( + = αα Z K Z K Z K K Z Z Z bara T bara T bara bara bara
Zαα = Đlave edilen elemanın primitif empedansı.
- Özel bir durum olarak yeni bara referansa bağlanırsa K2 sıfır vektördür. Ancak bu vektör ilgili denklemlerde kullanılmalıdır.
Kuplajlı Hatların Eklenmesi 1 0 0 2 2 1 2 ) 0 ( 2 ) 0 ( 2 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 49 ( ) ( − − + = + = αα α αα Y Y A K C Y C Z C Z C C Z Z Z bara T bara T bara bara bara
K2 : Đlgili ilave hattına ait bara indirgeme matrisinin bir alt matrisi Y0α,Y αα: Matris
Kuplajsız Hatların Eklenmesi
) 50 ( 2 ) 0 ( 2 ) 0 ( 2 2 ) 0 ( ) 0 ( + = αα Z K Z K Z K K Z Z Z bara T bara T bara bara bara
Zαα : Primitif empedans matrisi
ÖRNEK:
1 barası referans bara ve şönt kapasite yok. Zbarayı kurun.
Çözüm
1. Adım
a elemanını ekleyelim. (r-2): referans baraya dal ekleme
] 1 , 0 [ = bara Z 2. Adım
b elemanı eklenir. (2-3): dal ekleme, kuplajsız..
= = = 5 , 0 1 , 0 1 , 0 1 , 0 ) 48 ( 4 , 0 ]; 1 [ 2 Z den Zbara K αα 1 2 5 3 4 0,1 e 0,2 f 0,3 b 0,4 a 0,1 c 0,5 d 0,5 0,2 1 2 3 5 4 a b e f d c
5 Baralı Sistem Yönlendirilmiş Graf
2 2 b 2 3 2 3 2
3. Adım
c elemanı eklenir. (1-3): kiriş eklenir, kuplajsız.
[
]
[ ]
[
]
= + − − − − − = = − − − = − − = − = = − = 025 , 0 05 , 0 05 , 0 09 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 1 , 0 5 , 0 1 , 0 5 , 0 1 , 0 1 , 0 1 , 0 ) 26 ( ) 25 ( 5 , 0 5 , 0 1 , 0 1 0 5 , 0 1 , 0 1 0 5 , 0 1 , 0 1 , 0 1 , 0 ; 5 , 0 ; 1 0 025 , 0 05 , 0 05 , 0 01 , 0 1 ) 0 ( 1 1 ) 0 ( 1 4 4 4 8 4 4 4 7 6 bara bara T bara Z dan ve K Z K K Z Z K αα 4. Adımd elemanı eklenir. 1-4 kuplajsız dal ekleme.
= = = 5 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 0 25 , 0 05 , 0 0 , 0 05 , 0 09 , 0 ) 48 ( 5 , 0 ; 0 0 2 Z den Zbara K αα 5. Adım
e elemanı eklenir. 2-5: b ile kuplajlı.
Kuplajlı kısmın primitif empedansı: = 2 , 0 1 , 0 1 , 0 4 , 0 c Z
[
1,429]
;[
5,714]
; 714 , 5 429 , 1 429 , 1 857 , 2 0 1 = − = − − = = − αα α Y Y Burada Z Yc c 5 2 3 e b = 0 0 1 2 K 3 2 4 e 3 2 3 2 3 2 c 3 2 3 2 4 3 2 d e b e b e b e b 4Sadece b elemanı ile e elemanı kuplajlı olduğundan;
[
]
[
]
= = + = + = = = = = − − + = − = 26 , 0 00 , 0 10 , 0 08 , 0 00 , 0 50 , 0 00 , 0 00 , 0 10 , 0 00 , 0 25 , 0 05 , 0 08 , 0 00 , 0 05 , 0 09 , 0 26 , 0 714 , 5 1 085 , 0 1 085 , 0 0 , 0 10 , 0 08 , 0 0 , 0 25 , 0 75 , 0 00 , 0 10 , 0 08 , 0 0 , 0 25 , 0 75 , 0 5 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 0 25 , 0 05 , 0 0 , 0 05 , 0 09 , 0 00 , 0 25 , 0 75 , 0 714 , 5 1 429 , 1 0 1 1 0 0 1 ) 47 ( ) 46 ( 0 1 1 2 ) 0 ( 2 2 ) 0 ( 2 2 ) 0 ( 2 0 bara bara T bara T bara Z Y C Z C C Z C C Z C den ve A αα 6. Adımf elemanı eklenir. (4-5): Kiriş ve 6 ile kuplajlı
− − = + = = − = − − − − = − − = − − = 714 , 0 0 , 1 576 , 0 286 , 0 ) 24 ( 385 , 5 539 , 1 077 , 3 385 , 5 539 , 1 077 , 3 539 , 1 154 , 6 308 , 2 077 , 3 308 , 2 615 , 4 1 0 0 0 0 1 1 1 ; 3 , 0 0 , 0 2 , 0 0 , 0 2 , 0 1 , 0 2 , 0 1 , 0 4 , 0 0 0 1 1 0 0 αα α αα α Y Y A K C ten Y Y Y A Z c c 2 5 3 4 e f b − = 1 1 0 0 1 K 2 3 4 5 3 2 4 5 f 2 3 4 5 b e f b e f f e b f e b
(23)te yerine yazılırsa: = 2085 , 0 1170 , 0 0532 , 0 066 , 0 1170 , 0 2340 , 0 1064 , 0 0319 , 0 0532 , 0 1064 , 0 2074 , 0 0372 , 0 066 , 0 0319 , 0 0372 , 0 0862 , 0 bara Z 2 3 4 5
Yıldız Uç Grafı
[
]
= ⇒ − − − = − = − − = = − − − = − − − = − 1333 , 0 0333 , 0 0333 , 0 0833 , 0 2 , 0 1 , 0 6 , 0 1 2 , 0 1 , 0 1 , 0 0 0 1 , 0 2 , 0 0 2 , 0 0 1 , 0 1 , 0 2 , 0 1 , 0 6 , 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 2 1 1 3 4 1 1 1 1 bara bara T p Z Z Z Z Z Z B Z B Z B BKapı Uç Grafı
[
]
− − = ⇒ − − − − − = − = − − − − = = − − − = − − − = − 150 , 0 050 , 0 050 , 0 0833 , 0 3 , 0 1 , 0 6 , 0 1 3 , 0 1 , 0 3 , 0 1 , 0 1 , 0 1 , 0 3 , 0 1 , 0 3 , 0 1 , 0 1 , 0 1 , 0 3 , 0 1 , 0 6 , 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 2 2 1 1 3 4 2 2 2 2 bara bara T p Z Z Z Z Z Z B Z B Z B B a III I II = 3 , 0 0 0 0 2 , 0 0 0 0 1 , 0 p Z I II III I II III J2* J1* b c a III I II c b Jıı* Jı* = 3 , 0 0 0 0 2 , 0 0 0 0 1 , 0 p Z I II III I II III I II III Jı* Jıı* a b c I II III J1* J2* a b cAĞAÇ DÖNÜŞÜMÜ Primitif Empedans Matrisi (Her iki devre için)
= 3 , 0 0 0 0 2 , 0 0 0 0 1 , 0 p Z
1.UYARMA GRAFI ĐÇĐN (Kaynak: Jı*,Jıı*)
2. UYARMA GRAFI ĐÇĐN (Kaynak J1*, J2*)
A.) Jı Jıı Uyarma Kaynaklarının Dal Seçilmesi Durumu Đçin
B.) J1 J2 Uyarma Kaynaklarının Dal Seçilmesi Durumu Đçin
III I II J2* J1* − − = − − − = 150 , 0 050 , 0 050 , 0 0833 , 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 2 2 Zbara B III I II c b Jı* Jıı* = − − − = 1333 , 0 0333 , 0 0333 , 0 0833 , 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Zbara B J2 J1 Jıı Jı − − = = − − = 150 , 0 050 , 0 050 , 0 0833 , 0 1 1 0 1 2 1 1 1 2 1 bara T u bara u bara u Z B Z B Z B J1 J2 Jı Jıı
J2 J1 Jıı Jı = = − − − = 1333 , 0 0333 , 0 0333 , 0 0833 , 0 1 1 0 1 1 2 2 2 1 2 bara T u bara u bara u Z B Z B Z B J1 J2
