Graf-Graf Khusus dan Bilangan Dominasinya

Agustina M , Ika Hesti A , Dafik 1_{CGANT - Universitas Jember}

2_{Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember,} mahagustina@yahoo.co.id hestyarin@gmail.com

3_{Jurusan Matematika FKIP Universitas Jember,d.dafik@gmail.com}

Abstract

Dominating set merupakan himpunan titik yang mendominasi titik-titik yang bertetangga dan seminimal mungkin. Himpunan D ⊆ V(G) adalah

dominating set dari titik jika setiap titik diV(G) bertetangga dengan se-buah titik diD. Domination number γ(G) adalah kardinalitas terkecil dari sebuahdominating set. Nilai daridomination number selaluγ(G)⊆V(G). Penelitian ini mengembangkandominating set pada beberapa graf khusus diantaranya adalah graf Shackel (Sm, n), graf Cn ⊙(P4 +K1), graf join Cn +Pn, graf Lobster Li,j,k, dan graf Triangular Ladder Ln. Hasil dari

penelitian ini adalah beberapa teorema yang menyatakan kardinalitas min-imaldominating set.

Key Words: Dominating set, Domination number.

Pendahuluan

Sejarah dominating set dimulai pada tahun 1850 di Eropa. Untuk menyele-saikan masalah pada papan catur 8×8 diperlukan minimal berapaQueen agar semua posisi dapat diserang langsung oleh Queen. Secara matematis dipelajari sejak tahun 1960 yang kemudian berkembang pada aplikasi seperti komunikasi, jaringan komputer, teori jaringan sosial, pemasangan kamera pengawas, dan penempatan pos pantau.

Dominating set merupakan subsetD⊆V dari titik diGsedemikian hingga untuk semua titik v ∈V, salah satu dari v ∈D atau sebuah tetangga u dari v

ada di D. Domination number dinotasikan γ(G) adalah kardinalitas minimum dari sebuah dominating set. Nilai dari domination number selalu γ(G)⊆V(G) [6].

Penelitian terkaitdominating set berkembang cukup pesat [7] [1][9][10][11]. Dalam penelitian ini mengembangkandominating set pada beberapa graf khusus dan operasinya diantaranya adalah graf Shackel (Sm, n), graf Cn⊙(P4 +K1), graf joinCn+Pn, graf Lobster Li,j,k, dan graf Triangular Ladder Ln.

Teorema yang Digunakan

Teorema terkait batas atas dan bawah daridomination number Theorem 1 [6]Untuk sebarang graf G,

⌈_1+∆(p _G)⌉ ≤γ(G)≤p−∆(G)

Bukti. Misalkan S adalah sebuahdominating set dari G. Pertama, kita andaikan batas bawah. Setiap titik dapat sebagai dominating set dan ∆(G) ke titik yang lain. Berakibat, γ(G) ≥ ⌈_1+∆(p_G)⌉. Untuk batas atasnya, misalkan

v adalah titik dengan degree maksimum ∆(G). Maka v sebagai dominating set N[v] dan titik diV−N[v] merupakandominating set mereka sendiri. Berakibat,

V −N[v] merupakan dominating set dengan kardinalitas n−∆(G), sehingga

γ(G)≤n−∆(G).

Hasil Penelitian dan Pembahasan

Pada bagian ini, peneliti mengembangkan dominating set yang berjarak satu pada graf khusus meliputi graf Shackel (Sm, n), graf Cn⊙(P4 +K1), graf join

Cn+Pn, graf Lobster Li,j,k, dan graf Triangular LadderLn.

3 Teorema 1 Misal G adalah graf Shackel(Sm, n) yang dinotasikan dengan

Shackel (Sm, n) untuk n ≥ 2 dan m ≥ 3. Maka bilangan dominasinya adalah

γ(Shackel(Sm, n)) =n.

Bukti. Graf Shackel(Sm, n) adalah graf dengan himpunan titik V = {xi; 1 ≤ i ≤ n} ∪ {zi; 1 ≤ i ≤ n+ 1} ∪ {xi,j; 1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ m−2} dan himpunan sisiE={zixi∪xizi+1; 1≤i≤n} ∪ {xixi,j; 1≤i≤n,1≤j≤m} serta p = |V| = mn+n−1, q = |E| = mn, dan ∆ = m. Pilih titik yang menjadidominating set D={xi; 1≤i≤n}, maka dengan mudah dapat dilihat bahwa D adjacent dengan semua elemen V \D. Kardinalitas|D|=n sehingga

γ(Shackel(Sm, n)) =n. Berdasarkan teorema 1 dinyatakan bahwa⌈_1+∆p ⌉ ≤γ ≤

p−∆, untuk nilai pdan ∆ diperoleh batas atas dan bawah domination number

yaitu⌈n(m_m+1)₊₁−1⌉ ≤γ ≤m(n−1) +n−1. Makaγ(Shackel(Sm, n)) berada dalam interval batas dominating number yaitu ⌈n(m_m+1)₊₁−1⌉ ≤γ ≤m(n−1) +n−1. 2

3 Teorema 2 Misal G adalah graf Cn ⊙(P4 +K1), untuk n ≥ 3 memiliki

domination number γ(Cn⊙(P4+K1)) =n.

Bukti. Graf Cn⊙(P4+K1) adalah graf dengan himpunan titikV(Cn⊙ (P4 +K1)) = {xi; 1 ≤ i≤n} ∪ {xi,j; 1 ≤i≤ n,1 ≤j ≤ 5} dan himpunan sisi

E(Cn⊙(P4 +K1)) = {x1xn, xixi+1; 1 ≤ i ≤ n−1} ∪ {xixi,j; 1 ≤ i ≤ n,1 ≤

sertap=|V|= 6n,q =|E|= 9n, dan ∆(Cn⊙(P4+K1)) = 5. Pilih titik yang menjadidominating set D={xi,1; 1≤i≤n}, maka dengan mudah dapat dilihat bahwa D adjacent dengan semua elemen V \D. Kardinalitas|D|=n sehingga

γ(P4+K1) =n. Berdasarkan teorema 1 dinyatakan bahwa⌈_1+∆(C p

n⊙(P4+K1))⌉ ≤ γ ≤p−∆(Cn⊙(P4+K1)), untuk nilaipdan ∆(Cn⊙(P4+K1)) diperoleh batas atas dan bawah domination number yaitu ⌈n⌉ ≤γ(Cn⊙(P4+K1)) ≤6n−5. Maka γ(P4+K1) berada dalam interval batas dominating number yaitu ⌈n⌉ ≤

γ(Cn⊙(P4+K1))≤6n−5. 2

3 Teorema 3 MisalG adalah graf Join Cn+Pn, untukn≥3 memiliki

domi-nation number γ(Cn+Pn) =⌈n₃⌉.

Bukti. Graf JoinCn+Pnadalah graf dengan himpunan titikV(Cn+Pn) = {xi, yi; 1 ≤ i ≤ n₃} dan himpunan sisi E(Cn +Pn) = {x1yn} ∪ {xixi+1,1 ≤

i ≤ n−1} ∪ {xiyj; 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ n} ∪ {yiyi+1; 1 ≤ i ≤ n−1} serta

p = |V| = 2n, q = |E| = n2 + 2n−1, dan ∆(Cn+Pn) = n+ 2. Pilih titik yang menjadi dominating set D = {x3i−2; 1 ≤ i ≤ ⌈n₃⌉}, maka dengan mudah dapat dilihat bahwa D adjacent dengan semua elemen V \ D. Kardinalitas |D|=⌈n

3⌉sehinggaγ(Cn+Pn) =⌈n₃⌉. Berdasarkan teorema 1 dinyatakan bahwa ⌈_1+∆(Cp

n+Pn)⌉ ≤γ(Cn+Pn) ≤p−∆(Cn+Pn), untuk nilai p dan ∆(Cn+Pn)

diperoleh batas atas dan bawahdomination number yaitu⌈_n2₊₃n ⌉ ≤γ(Cn+Pn)≤

n−2. Makaγ(Cn+Pn) berada dalam interval batas dominating number yaitu ⌈_n2₊₃n ⌉ ≤γ(Cn+Pn)≤n−2. 2

3 Teorema 4 Misal G adalah graf Lobster Li,j,k, untuk n≥2 memiliki

domi-nation number γ(Li,j,k) = 2n.

Bukti. Graf LobsterLi,j,k adalah graf dengan himpunan titikV(Li,j,k) = {xi∪xi,j∪xi,j,k; 1≤i≤n,2≤j≤p,1≤k≤l}dan himpunan sisi E(Li,j,k) = {xixi+1; 1 ≤ i ≤ n−1} ∪ {xixi,j∪xi,jxi,j,k; 1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ p,1 ≤ k ≤ l} serta p = |V| = 6n, q = |E| = 5n−1, dan ∆(Li,j,k) = 4. Pilih titik yang menjadidominating set D={xi,1∪xi,2; 1≤i≤n}, maka dengan mudah dapat dilihat bahwa D adjacent dengan semua elemen V \D. Kardinalitas |D|= 2n

sehingga γ(Li,j,k) =. Berdasarkan teorema 1 dinyatakan bahwa ⌈_1+∆(p_Li,j,k)⌉ ≤

γ(Li,j,k) ≤ p−∆(Li,j,k), untuk nilai p dan ∆(Li,j,k) diperoleh batas atas dan bawah domination number yaitu ⌈6₅n⌉ ≤ γ(Li,j,k) ≤ 6n−3. Maka γ(Li,j,k) berada dalam interval batasdominating number yaitu⌈6n

Makaγ(Li,j,k). 2

3 Teorema 5 MisalG adalah graf Triangular Ladder Ln memiliki domination

number

γ(Ln) = (

⌈n₂⌉, untukn= 3 dan n= 2kdimana k≥2 ⌊n

2⌋, untukn= 2k+ 1 dimanak≥2

Bukti. Graf Triangular LadderLnadalah graf dengan himpunan titikV(Ln) = {ui, vi; 1≤i≤n} dan himpunan sisi E(Ln) = {uiui+1, vivi+1; 1 ≤i≤n−1} ∪ {uivi; 1 ≤ i≤n} serta p =|V|= 2n, q =|E|= 4n−3, dan ∆(Ln) = 4. Pilih titik yang menjadi dominating set D={y4i−2∪x4j; 1 ≤i≤ ⌈n₄⌉,1≤j≤ ⌊n₄⌋}, untuk n = 3 dan n = 2k dimana k ≥ 2 maka dengan mudah dapat dilihat bahwaDadjacent dengan semua elemen V \D, kardinalitas|D|=⌈n

2⌉ sehingga

γ(Ln) =⌈n₂⌉, untukn= 3 dan n= 2k dimanak≥2. Sedangkan untukn yang lainnya, pilih titik yang menjadi dominating set D = {y2, x2i+2; 1 ≤ i≤ ⌊n₂⌋}, maka dengan mudah dapat dilihat bahwaDadjacent dengan semua elemenV\D, kardinalitas |D|=⌊n₂⌋ sehinggaγ(Ln) =⌊n₂⌋, untukn= 2k+ 1 dimana k≥2. Berdasarkan teorema 1 dinyatakan bahwa ⌈_1+∆(p_L

n)⌉ ≤ γ(Ln) ≤ p−∆(Ln),

disubtitusikan nilai p dan ∆(Ln) diperoleh batas atas dan bawah domination

number yaitu ⌈2₅n⌉ ≤γ(Ln)≤2n−4. Maka γ(Ln) berada dalam interval batas

dominating number. 2

Kesimpulan

Pada penelitian ini difokuskan padadomination numberγ(G) berjarak satu pada beberapa graf khusus dan operasinya. Berdasarkan hasil penelitian diatas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa:

• Untuk graf Shackel(Sm, n) dengan n≥2 dan m ≥3, didapatkan

domina-tion number γ (Shack (Sm, n)) =n.

• Untuk graf Cn⊙(P4+k1) dengann≥3, didapatkandomination number

γ(Cn⊙(P4+k1)) =n.

• Untuk graf Join Cn+Pn dengan n ≥ 3, didapatkan domination number

• Untuk graf Lobster Li,j,k dengan n ≥ 2, didapatkan domination number

γ(Li,j,k) = 2n

• Untuk graf Triangular LadderLn, didapatkandomination number

γ(Ln) = (

⌈n

2⌉, untuk n= 3 dan n= 2k dimanak≥2 ⌊n₂⌋, untuk n= 2k+ 1 dimanak≥2

References

[1] A. D. Jumani, L. Chand, Dominating Number of Prism over Cycle Cn, Sindh University Research Journal (Science Series), Sindh Univ. Res. Jour. (Sci. ser) Vol.44 (2) 237-238 (2012).

[2] Dafik, M. Miller, J. Ryan and M. Baˇca, Antimagic total labeling of disjoint union of complete s-partite graphs,J. Combin. Math. Combin. Comput.,65

(2008), 41–49.

[3] Dafik, Structural Properties and Labeling of Graphs, University of Ballarat, 2007.

[4] Goddard, W and Henning, M.A. Independent Domination in Graphs: A Survey and Recent Results. South African National Research Foundation and The University Of Johannesburg, 2006.

[5] Haynes, T.W and Henning, M.A, Total Domination Good Vertices in Graphs. Australasian Journal of Combinatorics, 26(2002), 305-315. [6] Haynes, T.W, Fundamental of Domination in Graphs, New York: Marcel

Dekker, INC., 1998.

[7] Hesti, I.K, Dafik, On the Domination Number of Some Families of Special Graph, Jember: University of Jember, 2014.

[8] Joseph A. Gallian,A Dynamic Survey of Graph Labeling, University of Min-nesota, 1997.

[9] Liedloff, Dominating Set on Bipartite Graphs, Universit´e Paul Verlaine-Metz, 2009.

[10] Y. B. Maralabhavi, Anupama S. B., Domination Number of Jump Graph, International Mathematical Forum, Vol. 8, 2013, no. 16, 753 - 758. 2013.

[11] Michael A. Henning, Anders Yeo,A New Upper Bound on The Total Domi-nation Number of a Graph, the electronic journal of combinatorics 14, 2007.