I Pendahuluan
1.1. Pengertian Statistik dan Statistika
Statistik merupakan kumpulan angka yang bermakna.
Statistika merupakan suatu ilmu pengetahuan pembantu yang berhubungan dengan cara
pengumpulan data, penyajian data dan penganalisisan data, dan dari analisis tersebut dapat ditarik suatu kesimpulan dan dari kesimpulan dapat dibuat suatu keputusan, yang mana keputusan yang diambil sebenarnya dalam suasana ketidakpastian dan adanya variasi.
1.2. Data
Data bentuk jamak dari datum yang berarti keterangan atau ilustrasi. Berdasarkan bentuknya data terdiri dari
a. berupa angka/bilangan b. berupa simbul/lambang Berdasarkan sifatnya data terdiri
a. data kualitatif yaitu berupa simbul atau lambang , misalnya Si A orangnya pintar. Si B orangnya cantik, dan sebagainya.
b. data kuantitatif yaitu berupa angka atau bilangan, misalnya Si A nilai ujiannya 75, Si B tinggi badannya 167 cm, dan sebagainya.
Data kuantitatif harganya berubah-ubah atau bersifat peubah (variable) Berdasarkan kejadiannya atau jenisnya data terdiri dari:
a. Data diskrit yaitu data hasil perhitungan b. Data kontinu yaitu data hasil pengukuran Berdasarkan sumbernya data terdiri dari:
a. data intern b. data ekstern
Untuk apa dan buat apa data tersebut ?
Sesuai dengan pengertiannya yaitu keterangan atau ilustrasi maka data merupakan kumpulan angka/lambang yang bermakna.
Selanjutnya mau diapakan data tersebut ?
Karena merupakan angka/lambang yang bermakna, selanjutnya akan disajikan agar lebih jelas maknanya.
Banyak cara, dalam menyajikan data yaitu: dengan 1. Tabel atau Daftar
2. Grafik atau Diagram. Macam-macam Tabel atau Daftar
a. Daftar baris kolom b. Daftar kontingensi c. Daftar sebaran frekuensi Macam-macam Grafik atau Diagram
a. Diagram Garis b. Diagram Batang
c. Diagram Lambang atau Simbol d. Diagram Lingkaran atau Pastel e. Diagram Peta atau Kartogram f. Diagram Pencar atau Diagram Titik.
Contoh Grafik atau Diagram Garis
Data Persentase Perolehan SMS dari Keempat Kontestan ( A, B, C dan D ) KDI Star Pada Minggu 1 s.d 4 Tahun 2010.Propinsi Lampung
Minggu 1 Minggu 2 Minggu 3 Minggu 4
Lampung Timur 24.5 21.4 19.7 18
Lamping Barat 30.4 27.8 23.5 25
Lampung Utara 28.7 24.4 27.1 30
Lampung Selatan 16.4 26.4 29.7 27
No Jenis Kelamin Frekuensi Persentase ( % )
2 Perempuan 152 31,40
Total 484 100,00
Contoh: Grafik atau Diagram Lingkaran atau Pastel
Usia Responden
Perempuan Laki-laki Category
Usia Responden No Usia frek % 1 16 – 20 28 8,54 2 21 – 30 72 21,95 3 31 – 40 112 34,15 4 41 – 60 109 33,23 5 > 60 7 2,13 Total 328 100,00
Usia Responden ( Dalam Persen )
Jenis Pekerjaan Utama Responden
No Jenis Pekerjaan Utama frek %
> 60 16 - 20 Tahun 41 - 60 21 - 30 31 - 40 Category Usia Responden Petani/peternak Pensiunan Pelajar/mahasiswa Pekerja mandiri/sektor informal Tidak bekerja
Lain-Lain Pegawai swasta Ibu rumah tangga Pegawai negeri/TNI/Polri Wiraswasta/Pengusaha Category Jenis Pekerjaan Responden
1 PNS/TNI/Polri 58 15,10
2 Pegawai swasta 36 9,38
3
Wiraswasta/
Pengusaha 62 16,15
4 Pekerja mandiri/sektor informal 24 6,25 5 Petani/peternak 82 21,35 6 Pelajar/mahasiswa 17 4,43 7 Ibu rumah tangga 45 11,72
8 Pensiunan 5 1,30
9 Tidak bekerja 26 6,77
10 Lain-Lain 29 7,55
Total 384 100,00
Jenis Pekerjaan Utama Responden
Hasil Kerja Kelompok A, B, C, D dan E Dari Tahun 1 sampai dengan 3.
Komposisi Mahasiswa Kedokteran pada Perguruan Tinggi di Kota Bandar Lampung Th. 2010
Data Penjualan Sepeda Motor di Dealer ABC Selama 1 Tahun
Bulan Motor Januari 750 Pebruari 800 Maret 675 April 725 Mei 700 Juni 650 Juli 800 Agustus 750 Septembe r 650 Oktober 650 November 600 Desember 575
Dese mbe r Nove mbe r Okto ber Septe mbe r Agus tus Juli Juni Mei April Mare t Pebr uari Janu ari 800 750 700 650 600 Bulan Penjualan B a n y a kn y a M o to r
Trend Penjualan Motor
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 800 750 700 650 600 Bulan P e n ju a la n M o to r Length 2 Moving Average MAPE 3.93 MAD 27.27 MSD 1015.63 Accuracy Measures Actual Fits Variable
Contoh lain Pembuatan Histogram dan Poligon Kelas Interval Xi fi 23 - 31 27 4 32 - 40 36 9 41 - 49 45 15 50 - 58 54 22 59 - 67 63 19 68 - 76 73 16 77 - 85 81 10 86 - 94 90 5 Jumlah - 100
85.5 76.5 67.5 58.5 49.5 40.5 31.5 22.5 25 20 15 10 5 0 Xi Fr e ku e n si Poligon 1.3. Pengukuran Data
Ada empat jenis pengukuran berdasarkan tingkat pengukuran ( level of measurement ) terhadap data.
1. Data Nominal
Merupakan data kualitatif yang bersifat setara atau sama antar data yang satu dengan yang lain. Jadi hanya diberikan nama.
Contoh : Jenis kelamin, dsb. 2. Data Ordinal
Merupakan data kualitatif yang bersifat tidak setara setara atau tidak sama antar data yang satu dengan yang lain. Jadi diberikan nama dan urutan.
Contoh.Sikap Seseorang, Jenjang Pendidikan, Rating acara Televisi, dsb. 3. Data Interval
Merupakan data kuantitatif yang mempunyai perbedaan antar data yang satu dengan yang lainnya dan perbedaannya jelas terukur. Jadi berikan nama , urutan.dan jarak dan tidak mempunyai titik nol murni
Contoh: Temperatur Suhu, dsb.
4. Data Rasio
Merupakan data kuantitatif yang mempunyai perbedaan antar data yang satu dengan yang lainnya
diukur dengan jelas dan mempunyai harga nol mutlak. Jadi berikan nama , urutan, jarak.dan perbandingan.
Contoh : Berat Badan, Produksi.
Secara garis besarnya Statistika dibagi menjadi dua bagian, yaitu Statistik Deskriptif dan Induktif. Statistik Deskriptif ( Eksplorasi ) merupakan penyajian dan analisis data, sedangkan Statistik Induktif atau Inferensial atau Konfirmasi merupakan penarikan kesimpulan dari hasil analisis data.
DATA DATA KUALITATIF DATA KUANTITATIF DATA NOMINAL DATA ORDINAL DATA INTERVAL DATA RASIO
Statistik Deskriptif
DATA ORDINAL
DATA NOMINAL DATA INTERVAL
DATA RASIO
DATA INPUT METODE
STATISTIKA
DATA OUTPUT
Statistik
Deskriptif Penyajian Data
Sari Numerik Data
Dimensi Waktu
Grafik
Tabel
Ukuran Pemusatan Data
Ukuran Letak Data
Ukuran Penyimpangan Data
Deret Waktu
Ukuran Letak
Jenis Data Data Kualitatif
Data Kuantitatif
Grafik Bar ( Batang )
Grafik Pie ( Lingkaran )
Tabel Kontingensi
Grafik Line (Garis )
Steam and Leaf
Distribusi Frekuensi
Distribusi Frekuensi Histogram
Poligon
Pareto
Ukuran Pemusatan Data Rata-rata
Modus
Rata-rata Hitung
Rata-rata Ukur
Mengukur Angka Indeks
Bentuk ( Shape ) Data
Ukuran Letak Data Median
Kuartil
Desil
Persentil
Ukuran Penyimpangan Data Range ( Rank )
Variance ( Ragam ) Simpangan Baku
Koefisien Keragaman
Indeks
Tak Tertimbang Tertimbang Relatif Rantai
Sederhana Agregatif Sederhana Sederhana Laspeyre s Paasche Drobisch Fisher Marshall-Edgeworth
Bentuk Data Kemiringan
Keruncingan
Koefisien Pearson
Momen Kemiringan
Momen Keruncingan
Uji Bentuk Data Boxplot
Histogram
Data Deret Waktu Trend
Siklus Musim Irreguler Free Hand Moving Average Least Square Indeks Harga Kuantitas Nilai
1.4. Populasi dan Sampel
Populasi merupakan kumpulan dari suatu obyek dengan ciri tertentu yang karakteristiknya akan diukur, atau populasi adalah totalitas semua nilai yang karakteristiknya akan diukur, sedangkan sampel merupakan bagian dari populasi.
1.5. Parameter dan Statistik
Parameter adalah besaran-besaran atau ukuran dari populasi Statistk adalah besaran-besaran atau ukuran dari sampel.
Dalam prakteknya ukuran atau besaran parameter dinotasikan atau dilambangkan dengan huruf
Yunani, seperti , , , dan seterusnya, sedangkan ukuran atau besaran statistik dinotasikan dengan huruf Latin, seperti x, y, t, z dan seterusnya.
Yang utama dalam mempelajari statistika adalah memahami dua besaran atau perumusan yang memegang peranan penting, yaitu Rata-rata dan Ragam atau Simpangan Baku, yaitu:
Nama Besaran Parameter Statistik
Rata-rata (Nilai Tengah)
( Mean = Average) N X N i i
1
nX n i ix
1
Ragam (Variansi ) ( Variance ) N X N i i
1 2 ) ( 2
2 1( 1 ) 2
n X X n i is
Simpangan baku ( Standard Deviation ) N X N i i
1 2 ) (
( 1 ) 2 1
n X X n i is
POPULASI Berukuran N Sampel nContoh
Misalkan diketahui data populasi sebagai berikut: N = { 1, 2, 3, 4, 5 }. Hitung rata-rata dan simpangan baku.
Jawab Rata-rata populasi N X N i i
1
= N X X X X X1 2 3 4 5 = 5 5 4 3 2 1 = 5 15 = 3Simpangan baku populasi
N X N i i
1 2 ) (
atau cari melalui ragam yaitu NX N i i
1 2 ) ( 2
N X N i i
1 2 ) ( 2
= 5 ) 3 5 ( ) 3 4 ( ) 3 3 ( ) 3 2 ( ) 3 1 ( 2 2 2 2 2 = 5 ) 1 4 0 4 1 ( = 2Setelah ragam diperoleh tinggal diakarkan, maka diperoleh simpangan baku atau = 2= 1,414
Ada cara lain dalam menghitung ragam populasi jika tidak mencari dulu rata-rata, yaitu
2 2 2 2 ( ) ( ) N X X N
i
i
Data ke- X X2 1 1 1 2 2 4 3 3 9 4 4 16 5 5 25 Jumlah Xi=15 Xi2=55 2 2 2 2 ( ) ( ) N X X N
i
i
= 2 2 5 ) 15 ( ) 55 ( 5 = 25 225 275 = 25 50 = 2Ternyata hasilnya sama, yaitu 2 = 2.
Kalau diketahui data itu sampel, yakni n = { 1, 2, 3, 4, 5 } ditanyakan hitung rata-rata dan simpangan baku Rata-rata sampel n X n i i
x
1 = n X X X X X1 2 3 4 5 = 5 5 4 3 2 1 = 5 15 = 3Simpangan baku sampel 1 ) ( 2 1
n X X n i is
atau cari melalui ragam yaitu
1 ) ( 2 1 2
n X X n i is
1 ) ( 2 1 2
n X X n i is
= 1 5 ) 3 5 ( ) 3 4 ( ) 3 3 ( ) 3 2 ( ) 3 1 ( 2 2 2 2 2 = 4 10 = 2,5Setelah ragam diperoleh tinggal diakarkan, maka s = 2,5= 1,581
Ada cara lain dalam menghitung ragam sampel jika tidak mencari dulu rata-rata, yaitu
) 1 ( ) ( ) ( 2 2 2
n n X X n s i i = ) 1 5 ( 5 ) 15 ( ) 55 ( 5 2 = 20 225 275 = 2,5 20 50 s = 2,5 = 1,581Ternyata hasilnya sama, yaitu s 2 = 2,5
Apabila dilihat hasil normalitas dengan bantuan paket diperoleh: Contoh lainnya C1 C2 C3 C4 10 1 11 101 20 2 12 102 30 3 13 103 40 4 14 104 50 5 15 105 Descriptive Statistics: C1, C2, C3, C4
Variable N Mean St-Dev Variance C1 5 30.00 15.81 250.00 C2 5 3.00 1.581 2.50 C3 5 13.00 1.581 2.50 C4 5 103.00 1.581 2.50
70 60 50 40 30 20 10 0 -10 100 80 60 40 20 0 C1 P e rc e n t Mean 30 StDev 15.81 N 5 Empirical CDF of C1 Normal
II . SARI NUMERIK DATA
Ukuran Pemusatan, Ukuran Letak dan Ukuran Penyimpangan Data
2.1. Bagi data mentah atau data tidak berkelompok
2.1.1 Ukuran Pemusatan Data
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 100 80 60 40 20 0 Data P e rc e n t 3 1.581 5 13 1.581 5 Mean StDev N C2 C3 Variable Empirical CDF of C2, C3 Normal
2.1.1.1 Rata-rata Hitung
Jika data populasi, misalkan N = {1, 2, 3, 4, 5}, maka
N X N i i
1
= 5 3 5 4 3 2 1 Jika data sampel, misalkan n = {1, 2, 3, 4, 5}, maka
n X n i i
X
1 = 5 3 5 4 3 2 1 2.1.1.2. Rata-rata Ukur ( Rata-rata Geometrik )
Digunakan untuk menghitung rata-rata laju kenaikan atau laju penurunan dari sekelompok data pada peridr tertentu, yang mempunyai perubahan angka secara mencolok. Dengan notasi sebagai n n X X X G 1. 2... Contoh
Tingkat penjualan motor PT Adira selama empat tahun terakhir adalah 1000, 3000, 5000, 9000 Jawab
Kalau dengan rata-rata hitung adalah
n X n i i
X
1 = 4 4500 9000 5000 3000 1000 n n X X X G 1. 2... G 41000x3000x5000x9000. = 3408,66 atau 3409.4 3 2 1 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 Tahun Penjualan B a n y a kn y a M o to r y a n g T e rj u a l
Trend Penjualan Motor dari Dealer Adira
Ditinjau dari prakiraan penjualan sampai tahun ke sembilan.
9 8 7 6 5 4 3 2 1 20000 15000 10000 5000 0 Tahun Penjualan B a n y a kn y a M o to r y a n g T e rj u a l MAPE 17 MAD 500 MSD 300000 Accuracy Measures Actual Fits Forecasts Variable
Plot Analisis Penjualan Motor
Linear Trend Model Yt = -2000 + 2600*t
4 3 2 1 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 Tahun Penjualan c1 Length 2 Moving Average MAPE 16 MAD 1333 MSD 4166667 Accuracy Measures Actual Fits Variable
Moving Average Motor yang terjual
Count 1 1 1 1 Percent 25.0 25.0 25.0 25.0 Cum % 25.0 50.0 75.0 100.0 c1 1000 3000 5000 9000 4 3 2 1 0 100 80 60 40 20 0 Ta h u n P e n ju a la n P e rc e n t
Pareto Chart untuk Penjualan Motor
Cara lainnya n n n X X X X X X G 1 1 2 0 1 . ... = n n X X 0
dengan
G = rata-rata geometrik X0 = Data awal
Xn = Data yang ke-n
n = banyaknya data n n n X X X X X X G 1 1 2 0 1. ... 4 5000 9000 . 3000 5000 . 1000 3000 G = 4 1000 9000 = 1,73
Berarti rata-rata laju kenaikan penjualan motor secara rasio adalah 1,73 dari tahun ke tahun.
Rata-rata Geometrik ( Rasio 1,73 ) 1.000 x 1,73 = 1.730
1,730 x 1,73 = 2.993 2.993 x 1,73 = 5.178 5.178 x 1,73 = 8.958
Kalau diperhatikan hasil 8 958 hampir sama dengan 9 000 ( karena pembulatan hasil 1,73 )
Dalam rata-rata hitung secara matematis merupakan sebuah rasio atau proses pembagian antara pembilang dengan penyebut, sedangkan dalam rata-rata harmonik akan digunakan bila
pembilang tetap sedangkan penyebut bervariasi. Dengan perumusan sebagai
i X n H 1 dengan H = rata-rata harmonik Xi = data ke-i. n = banyaknya data
Contoh: bila digunakan data di atas, maka :
i X n H 1 = 9000 1 5000 1 3000 1 1000 1 ( 4 = 90000 148 4 = 2857Bila diperhatikan contoh di atas antara rata-rata hitung, rata-rata geometrik dan rata-rata harmonik maka :
hasilnya adalah 2857 < 3409 < 4500 atau H < G < X .
n i i i n i i X w w H 1 1 dengan H = rata-rata harmonik Xi = data ke-i. n = banyaknya data w = bobot dari dataContoh
Sebuah mobil menempuh perjalanan dari kota A ke kota B, C dan D. Jarak antar kota sebagai berikut: Kota A ke Kota B = 900 kilo meter
Kota A ke Kota C = 800 kilo meter Kota A ke Kota D = 700 kilo meter
Untuk menempuh kota tersebut digunakan mobil dengan tiga kecepatan yang berbeda, yaitu: Kota A ke Kota B dengan kecepatan 45 km perjam
Kota A ke Kota C dengan kecepatan 50 km perjam Kota A ke Kota D dengan kecepatan 70 km perjam Berapakah rata-rata kecepatan mobil tersebut. Jawab
Jika menggunakan rata-rata hitung, maka rata-rata kecepatan
n X n i i
X
1 = 3 55 70 50 45
n i i i n i i X w w H 1 1 = ) 70 700 50 800 45 900 ( 700 800 900 H = 52,174Berarti rata-rata kecepatan harmonik adalah 52,174 km perjam
2.1.2. Modus ( Mode = Mo )
Modus adalah suatu fenomena yang sering muncul, atau suatu kejadian yang sering terjadi. Contoh: misalkan datanya. 1, 3, 2, 4, 5, 3
Jawab:
1, 2, 3, 3, 4, 5 Maka Mo = 3
2.2. Ukuran Letak Data 2.2.1. Median ( Me )
Median adalah membagi data menjadi dua bagian yang sama. Caranya:
Untuk data ganjil:
Misalnya: 2, 1, 3, 5, 6, 4, 2
1. Urutkan data tersebut dari kecil ke besar, sehingga: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6 2. Letak Median adalah data keempat
3. Nilai Mediannya adalah 3 atau Me = 3 Untuk data genap
Misalnya: 2, 1, 3, 5, 5, 6, 4, 2
1. Urutkan data tersebut dari kecil ke besar, sehingga: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6
2. Tentukan Letak Median, yaitu : 2
) 1 (n Berhubung banyaknya data delapan,
2 ) 1 (n = 2 ) 1 8 (
= 4,5 adalah data ke 4,5 ( empat koma
lima )
3. Nilai Mediannya adalah
Me = Data ke-4 + ½ (Data ke-5 – Data ke-4) = 3 + ½ (4 –3) = 3,5
Misalnya: 2, 5, 7, 6, 9, 7, 8, 4
Urutkan data tersebut dari kecil ke besar, sehingga: 2, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9
Letak Median adalah data keempat dan data kelima atau data ke 4,5 ( empat koma lima ) Nilai Mediannya adalah
Me = Data ke-4 + ½ (Data ke-5 – Data ke-4) = 6 + ½ ( 7 – 6 ) = 6,5
2.2.2. Kuartil ( Ki )
Kuartil adalah membagi data menjadi empat bagian yang sama. Jadi Ki , di mana i = 1, 2, 3.
Caranya:
1. Susun data tersebut dari kecil ke besar
2. Tentukan letak Kuartil yang diinginkan, yaitu dengan Ki i(n41) 3. Tentukan nilai Kuartil yang diinginkan.
Contoh:
Data sebagai berikut: 75, 82, 66, 57, 64, 56, 92, 94, 86, 52, 60, 70 Setelah disusun menjadi: 52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94
Maka letak untuk K1 = 4 41 ) 1 12 (
1 3
Jadi nilai K1 = Data ke-3 + ¼ ( Data ke-4 – Data ke-3 )
= 57 + ¼ ( 60 – 57 ) = 57 ¾ = 57,75
Untuk K3 = 3(1241) 9 43
Jadi nilai K3 = Data ke-9 + ¾ ( Data ke-10 – Data ke-9 )
= 82 + ¾ ( 86 – 82 ) = 85 Untuk K2 = Me atau
K2 = 2(1241) = 6,5
Jadi nilai K2 = Data ke-6 + ½ ( Data ke-7 – Data ke-6 )
= 66 + ½ ( 70 – 66 ) = 68 K2 = Me, Jadi Median sama dengan nilai K2
2.2.3. Desil ( Di )
Desil adalah membagi data menjadi 10 bagian yang sama. Jadi, Di , di mana i = 1, 2, . . . , 9.
Caranya:
1. Susun data tersebut dari kecil ke besar
2. Tentukan letak Desil yang diinginkan, yaitu dengan
10 ) 1 ( i n Di
3. Tentukan nilai Di yang diinginkan. Contoh:
Tentukan D3 ? dari data 52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94
Letak D3 = 10 ) 1 12 ( 3 = 3,9
Nilai D3 = Data ke-3 + 0,9 (data ke-4 – data ke-3)
= 57 + 0,9 (60 – 57) = 57 + 2,7 = 59,7
2.2.4. Persentil ( Pi )
Persentil adalah membagi data menjadi seratus bagian yang sama. Jadi, Pi , di mana i = 1, 2, . .
, 99 Caranya:
1. Susun data tersebut dari kecil ke besar
2. Tentukan letak Desil yang diinginkan, yaitu dengan
100 ) 1 ( i n Pi
3. Tentukan nilai Di yang diinginkan. Contoh:
Tentukan nilai P10 ? dari data 52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94 Letak P10 adalah 100 ) 1 12 ( 10 10 P = 1,3 = 52 + 0,3 (56 – 52) = 52 + 1,2 = 53,2
2.3. Ukuran Penyimpangan Data
2.3.1. Simpangan Baku ( Standard Deviation )
Jika data sampel, maka
1 ) ( 2 1
n X X n i is
ContohDiketahui data sampel sebagai berikut : 52, 56, 57, 60, 64, 66, 70, 75, 82, 86, 92, 94
Dari data tersebut diperoleh harga-harga n = 12, Xi = 854, Xi2 = 63 086, K1 = 57,75 dan K3 =
85,0 X = 71,17 S2 = ) 1 ( ) ( ) ( 2 2
n n X X n i i = ) 1 12 ( 12 ) 854 ( ) 63086 ( 12 2 = 209,97 maka s = 14,492.3.2. Rentang Antar Kuartil ( RAK )
RAK = K3 – K1
Untuk data tersebut di atas, maka RAK = 85,00 – 57,75 = 27,25
2.3.3. Koefisien Keragaman ( KK atau Coeffition of Variation )
KK =
x s
x 100 %
Untuk data tersebut di atas, maka KK = 100% 17 , 71 49 , 14 x = 20,36
Jika dihitung dengan paket program diperoleh: Descriptive Statistics: C1
C1 12 71,17 14,49 209,97 20,36 57,75 85,00 27,25
Contoh Latihan
Diketahui data sampel mengenai nilai Quis dari 2 kelompok mahasiswa Unila, sebagai berikut:
I 40 41 42 42 43 43 45 45 45 45 47 47 48 48 49 50
II 35 36 36 37 37 38 40 40 40 40 42 43 43 44 44 45
a. Hitung Rata-rata, Modus , Median, Kuartil 1 dan Kuartil 3 untuk Mahasiswa Kelompok I b. Hitung Rata-rata, Modus , Median, Kuartil 1 dan Kuartil 3 untuk Mahasiswa Kelompok II c. Hitung Ragam dan Simpangan baku untuk kelompok I dan II
d. Hitung RAK dan KK untuk kelompok I dan II
e. Buatlah Boxplot dari kedua kelompok mahasiswa tersebut? Jawab
a. Untuk Data Kelompok I
n X X
i = 16 50 ... 41 40 = 16 720 = 45 , Mo = 45 Letak Me = 2 ) 1 (n = 2 ) 1 16 ( = 8,5Nilai Me = Data ke-8 + 0,5 ( Data ke-9 – Data ke-8 ) = 45 + 0,5 ( 45 – 45 ) = 45 , Letak Ki atau Qi = 4 ) 1 (n i Letak K1 = 4 ) 1 16 ( 1 = 4,25
Nilai K1 = Data ke-4 + 0,25 ( Data ke-5 – Data ke-4 )
Letak K3 = 4 ) 1 16 ( 3 = 4 51 = 12,75
Nilai K3 = Data ke-12 + 0,75 ( Data ke-13 – Data ke-12 )
= 47 + 0,75 ( 48 – 47 ) = 47 + 0,75 = 47,75 atau Q3 = 47,75
b. Untuk Data Kelompok II
n X X
i = 16 45 ... 36 35 = 16 640 = 40 , Mo = 40 Letak Me = 2 ) 1 (n = 2 ) 1 16 ( = 8,5Nilai Me = Data ke-8 + 0,5 ( Data ke-9 – Data ke-8 ) = 40 + 0,5 ( 40 – 40 ) = 40 , Letak Ki atau Qi = 4 ) 1 (n i Letak K1 = 4 ) 1 16 ( 1 = 4,25
Nilai K1 = Data ke-4 + 0,25 ( Data ke-5 – Data ke-4 )
= 37 + 0,25 ( 37 – 37 ) = 37 atau Q1 = 37 Letak K3 = 4 ) 1 16 ( 3 = 4 51 = 12,75
Nilai K3 = Data ke-12 + 0,75 ( Data ke-13 – Data ke-12 )
= 43 + 0,75 ( 43 – 43 ) = 43 + 0 = 43 atau Q3 = 43
c. Ragam untuk Klp I adalah s2 =
) 1 ( ) ( ) ( 2 2
n n X X n i i = ) 1 16 ( 16 ) 720 ( ) 32534 ( 16 2 = 8,933simpangan baku untuk klp I adalah s = S2 = 8,989 = 2,989
Ragam untuk Klp II adalah s2 =
) 1 ( ) ( ) ( 2 2
n n X X n i i = ) 1 16 ( 16 ) 640 ( ) 25758 ( 16 2 = 10,533d. RAK( IQR = Inter Quartile Range ) untuk KLP I = Q3 – Q1 = 47,75 – 42,25 = 5,5
RAK( IQR = Inter Quartile Range ) untuk KLP II = Q3 – Q1 = 43,0 – 37,0 = 6,0
KK ( CV = Coefficient of Variation ) untuk Klp I =
X s x 100 % = 45 989 , 2 x 100 % = 6,64 %
KK ( CV = Coefficient of Variation ) untuk Klp II =
X s x 100 % = 40 246 , 3 x 100 % = 8,11 %
e. Boxplot untuk Klp I dan II
50 48 46 44 42 40 K lp I Boxplot of Klp I
45,0 42,5 40,0 37,5 35,0 K lp I I Boxplot of Klp II Klp II Klp I 50,0 47,5 45,0 42,5 40,0 37,5 35,0 D a ta Boxplot of Klp I; Klp II
Jika dikerjakan dengan paket program statistik, yaitu Minitab, diperoleh sebagai berikut Descriptive Statistics: Klp I; Klp II
Variable N Mean St-Dev Variance Coef-Var Q1 Median Q3 RAK=IQR Mode
Klp I 16 45,0 2,989 8,933 6,64 42,25 45,0 47,75 5,5 45
Klp II 16 40,0 3,246 10,533 8,11 37,00 40,0 43,00 6,0 40
Diagram Batang dan Daun Untuk Data Klp I dan II ( Stem-and-Leaf Display: Klp I; Klp II ) Stem-and-leaf of Klp I N = 16 Leaf Unit = 0,10 1 40 0 2 41 0 4 42 00 6 43 00 6 44 (4) 45 0000 6 46 6 47 00 4 48 00 2 49 0 1 50 0 Stem-and-leaf of Klp II N = 16 Leaf Unit = 0,10 1 35 0 3 36 00 5 37 00 6 38 0 6 39 (4) 40 0000 6 41 6 42 0 5 43 00 3 44 00 1 45 0
50 48 46 44 42 40 38 36 Klp I Klp II Data
Dotplot Data Klp I dan II
Each symbol represents up to 7 observations.
Klp II Klp I 50,0 47,5 45,0 42,5 40,0 37,5 35,0 D a ta
Kelompok II Kelompok I 50.0 47.5 45.0 42.5 40.0 37.5 35.0 D a ta Boxplot Dari C1 C2 C3 55 50 45 40 35 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 Klp I P e rc e n t Mean 45 StDev 2,989 N 16 AD 0,288 P-Value 0,570 Probability Plot of Klp I Normal - 95% CI
50 45 40 35 30 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 Klp II P e rc e n t Mean 40 StDev 3,246 N 16 AD 0,422 P-Value 0,283 Probability Plot of Klp II Normal - 95% CI 16 14 12 10 8 6 4 2 50.0 47.5 45.0 42.5 40.0 37.5 35.0 Banyaknya Data D a ta Klp I Klp II Variable
b. Bagi Data Berkelompok
Bagi data cukup banyak atau disebut data berkelompok sebaiknya dibuat dalam tabulasi. Membuat Tabulasi Data
Tabulasi data dapat dikerjakan dengan menggunakan komputer, tabulasi data dengan komputer dapat menghemat waktu dan efisien. Membuat tabulasi termasuk dalam kerja memproses data. Membuat tabulasi data tidak lain dari memasukan data ke dalam tabel-tabel dan mengatur angka-angka, sehingga dapat dihitung jumlah kasus dalam berbagai kategori.
Bagian dari Tabel
Tabel terdiri dari baris dan kolom, tabel yang sederhana mempunyai 4 (empat) bagian penting, yaitu:
1. membuat nomor dan judul tabel , 2. stub (potongan) , 3. box head ( ) dan 4. body (badan) Tabel
Judul
Box head (Judul Kolom)
Stub
(Judul Baris)
body ( badan )
Jenis-jenis Tabel
Ada beberapa jenis tabel yang sering digunakan, antara lain: a. Tabel induk (master table)
b. Tabel teks (text table)
c. Tabel frekuensi (frequention table) Tabel Induk
Tabel induk adalah tabel yang berisi semua data yang tersedia secara terperinci. Tabel ini biasa dibuat untuk melihat kategori data secara keseluruhan. Tabel tersebut tidak pernah dimasukan ke dalam penjelasan keterangan, tetapi digunakan sebagai dasar tabel untuk membuat tabel lain yang lebih singkat. Jika sangat diperlukan, tabel ini diletakan pada apendiks. Tabel induk berisi semua informasi atau keterangan yang diperlukan.
Tabel Teks
Tabel teks adalah tabel yang telah diringkaskan untuk suatu keperluan tertentu. Tabel ini biasanya diletakan dalam teks keterangan yang dibuat. Tabel teks digunakan ketika membuat penafsiran. Tabel teks lebih pendek dan lebih padat serta tidak mengandung banyak baris dan kolom.
Tabel Frekuensi
Tabel frekuensi adalah tabel yang menyajikan berapa kali sesuatu hal terjadi. Kategori dinyatakan dalam kelas tertentu dan terdapat dalam stub. Kelas atau kelompok diletakan dalam kolom kedua dan jika diinginkan suatu persentase diletakan pada kolom ketiga. Tabel frekuensi yang
menyatakan persentase dinamakan tabel frekuensi relatif, sedangkan jika angka angka kumulatif yang digunakan, maka tabel tersebut dinamakan tabel frekuensi kumulatif.
Untuk data yang berukuran cukup banyak sebaiknya dibuat dalam bentuk kelompok sebut saja dibuat dalam bentuk sebaran (distribusi) frekuensi. Dari kelompok tersebut baru dianalisis secara deskripsi.
2.2.1. Sebaran (distribusi) Frekuensi
Caranya?
Dari kelompok data yang masih mentah tersebut, susun atau urutkan terlebih dahulu dari data terkecil ke data terbesar.
1. Tentukan Rank atau Range atau Rentang atau R, yaitu: R = Data terbesar – Data terkecil
2. Tentukan banyak kelas interval ( b ) dengan aturan Strugess, yaitu: b = 1 + 3,3 log n
n = banyaknya data.
3. Tentukan panjang kelas interval ( p ), yaitu: p =
b R
4. Tentukan nilai ujung kiri kelas interval pertama ( biasanya nilai data terkecil ). Contoh 1:
Hasil ujian Statistika dari 100 mahasiswa Jurusan Manajemen , Jurusan Fakultas Ekonomi Universitas Ruwa Jurai, Bandar Lampung. Semerter Genap 2005/2006, sebagai berikut:
36 40 41 43 44 45 46 47 49 51 37 40 42 43 44 45 46 47 49 51 37 40 42 43 44 45 46 48 49 51 38 40 42 43 44 45 46 48 49 51 38 40 42 43 44 45 47 48 49 52 38 41 42 43 45 46 47 48 50 52 39 41 42 44 45 46 47 48 50 52 39 41 42 44 45 46 47 48 50 53 39 41 43 44 45 46 47 48 50 53 39 41 43 44 45 46 47 49 50 54
1. Tentukan rentang atau range/rank (R) ialah data terbesar, yaitu 95 dikurangi data terkecil, yaitu 34, maka R = 54 – 36 = 18
2. Tentukan banyak kelas interval (b) dengan aturan Strurgess, yaitu: b = 1 + (3,3) log n di mana n = banyaknya data = fi
b = 1 + 3,3 log 100
= 1 + 3,3 (2) = 7,6 8
3. Tentukan panjang kelas interval (p), yaitu:
b R p = 8 18 3
4. Tentukan ujung kiri kelas interval pertama, biasanya diambil sama dengan data terkecil, yakni 36. Selanjutnya sajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut:
NILAI UJIAN TABULASI FREKUENSI
36 - 38 IIIII I 6
39 - 41 IIIII IIIII IIIII 15 42 - 44 IIIII IIIII IIIII IIIII IIII 24 45 - 47 IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII II 27 48 - 50 IIIII IIIII IIIII III 18
51 - 53 IIII III 9
54 - 56 I 1
JUMLAH 100
Tabel Sebaran Frekuensi, sebagai berikut:
NILAI UJIAN NILAI TENGAH (XI) FREKUENSI ( fi )
36 - 38 37 6 39 - 41 40 15 42 - 44 43 24 45 - 47 46 27 48 - 50 49 18 51 - 53 51 9 54 - 56 54 1 JUMLAH - 100 Contoh 2.
Hasil ujian Statistika dari 80 mahasiswa Program Studi Biologi, Jurusan MIPA FKIP Universitas Ruwa Jurai, Bandar Lampung. Semerter Genap 2001/2002, sebagai berikut:
66. 41. 69. 46. 61. 67. 70. 76. 84. 56. 73. 57. 53. 65. 74. 34. 79. 55. 62. 43. 36. 65. 87. 63. 72. 93. 47. 66. 75. 90. 66. 81. 48. 64. 45. 74. 67. 60. 54. 64. 95. 37. 68. 56. 58. 65. 44. 57. 78. 39. 52. 73. 80. 74. 67. 56. 51. 49. 86. 47. 82. 61. 77. 64. 68. 55. 64. 59. 76. 58. 54. 63. 85. 59. 75. 62. 71. 50. 55. 72. Prosedurnya:
Urutkan data dari kecil ke besar, maka:
34 36 37 39 41 43 44 45 46 47 47 48 49 50 51 52 53 54 54 55 55 55 55 56 56 56 57 57 58 58 59 59 60 61 61 62 62 63 63 64 64 64 65 65 65 66 66 66 67 67 67 68 68 69 70 71 72 72 73 73 74 74 74 75 75 76 76 77 78 79 80 81 82 84 85 86 87 90 93 95
1. Tentukan rentang atau range/rank (R) ialah data terbesar, yaitu 95 dikurangi data terkecil, yaitu 34, maka R = 95 – 34 = 61
2. Tentukan banyak kelas interval (b) dengan aturan Strurgess, yaitu:
b = 1 + (3,3) log n di mana n = banyaknya data = fi
b = 1 + 3,3 log 80
= 1 + 3,3 (1,903) = 7,28 7
3. Tentukan panjang kelas interval (p), yaitu:
b R p = 7 61 9
4. Tentukan ujung kiri kelas interval pertama, biasanya diambil sama dengan data terkecil, yakni 34. Selanjutnya sajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut:
NILAI UJIAN TABULASI FREKUENSI
34 - 42 IIIII 5
43 - 51 IIIII IIIII 10 52 - 60 IIIII IIIII IIIII III 18 61 - 69 IIIII IIIII IIIII IIIII I 21 70 - 78 IIIII IIIII IIIII 15
79 - 87 IIII III 8
88 - 96 III 3
JUMLAH 80
Tabel Sebaran Frekuensi, sebagai berikut:
NILAI UJIAN NILAI TENGAH (XI) FREKUENSI ( fi )
34 - 42 38 5 43 - 51 47 10 52 - 60 56 18 61 - 69 65 21 70 - 78 74 15 79 - 87 83 8 88 - 96 92 3 JUMLAH - 80 90 80 70 60 50 40 14 12 10 8 6 4 2 0 Nilai Ujian Fr e q u e n cy
95 93 90 87 86 85 84 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 41 39 37 36 34 4 3 2 1 0 Nilai Ujian B a n y a kn y a M a h a si sw a Nilai Ujian 100 90 80 70 60 50 40 30 Nilai Ujian
100 90 80 70 60 50 40 30 N ila i U jia n
Boxplot of Nilai Ujian
96 88 80 72 64 56 48 40 250 200 150 100 50 0
Nilai Ujian Mahasiswa
Fr e q u e n cy
100 90 80 70 60 50 40 30 100 80 60 40 20 0 Nilai Ujian P e rs e ta se N ila i Mean 63.51 StDev 13.70 N 80 Normal
2.2.1.1. Rata-rata Hitung
Bagaimana cara menghitung rata-rata untuk data dalam sebaran frekuensi ? Ada dua cara menghitung rata-rata untuk data dalam sebaran frekuensi, yaitu:
Cara biasa adalah
i i i f X f XDengan fi = frekuensi kelas interval dan Xi = nilai tengah kelas interval Untuk contoh data tersebut di atas adalah
Kelas Interval Nilai tengah ( Xi ) Frekuensi( fi ) fiXi
34 - 42 38 5 190 43 - 51 47 10 470 52 - 60 56 18 1 008 61 - 69 65 21 1 365 70 - 78 74 15 1 110 79 - 87 83 8 664 88 - 96 92 3 276 JUMLAH 80 5 083 Jadi, fiXifi X = 80 5083 = 63,5375
Cara coding ficifi
p X
X 0
dengan X0 = rata-rata sementara di mana coding ditetapkan
p = panjang kelas interval ci = coding ( pemberian kode )
fi = frekuensi kelas interval.
Kelas Interval Nilai tengah ( Xi ) Frekuensi ( fi ) Coding ( ci ) fici
34 - 42 38 5 -3 - 15 43 - 51 47 10 -2 - 20 52 - 60 56 18 -1 - 18 61 - 69 65 21 0 0 70 - 78 74 15 1 15 79 - 87 83 8 2 16 88 - 96 92 3 3 9 JUMLAH 80 -13 ficifi p X X 0 = 65 + 9 80 ) 13 ( = 65 - 80 117 = 65 – 1,4625 = 63,5375
Jika dihitung secara langsung tanpa dibuat sebaran frekuensi terlebih dulu dengan bantuan paket program diperoleh hasinya sebagai berikut:
Descriptive Statistics: Nilai
N for
Variable N Mean StDev Variance Q1 Median Q3 Mode Mode Nilai 80 63,61 13,72 188,11 54,25 64,00 73,75 64; 65 4 90 80 70 60 50 40 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Nilai Fr e q u e n cy Histogram of Nilai
90 80 70 60 50 40 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Nilai Fr e q u e n cy Mean 63,61 StDev 13,72 N 80
Histogram (with Normal Curve) of Nilai
100 90 80 70 60 50 40 30 N ila i Boxplot of Nilai
Jika dikerjakan dengan paket program SPSS Statistics 17.0 sebagai berikut:
Descriptives
Descriptive Statistics
N Minimum Maximum Mean Std. Deviation
X 80 34 95 63.62 13.671 Valid N (listwise) 80 Frequencies Statistics X N Valid 80 Missing 0
X Frequency Percent Valid Percent Cumulative Percent Valid 34 1 1.3 1.3 1.3 36 1 1.3 1.3 2.5 37 1 1.3 1.3 3.8 39 1 1.3 1.3 5.0 41 1 1.3 1.3 6.3 43 1 1.3 1.3 7.5 44 1 1.3 1.3 8.8 45 1 1.3 1.3 10.0 46 1 1.3 1.3 11.3 47 2 2.5 2.5 13.8 48 1 1.3 1.3 15.0 49 1 1.3 1.3 16.3 50 1 1.3 1.3 17.5 51 1 1.3 1.3 18.8 52 1 1.3 1.3 20.0 53 1 1.3 1.3 21.3 54 2 2.5 2.5 23.8 55 3 3.8 3.8 27.5 56 3 3.8 3.8 31.3 57 2 2.5 2.5 33.8 58 2 2.5 2.5 36.3 59 2 2.5 2.5 38.8 60 1 1.3 1.3 40.0 61 2 2.5 2.5 42.5 62 2 2.5 2.5 45.0 63 2 2.5 2.5 47.5 64 4 5.0 5.0 52.5 65 3 3.8 3.8 56.3 66 3 3.8 3.8 60.0 67 3 3.8 3.8 63.8 68 2 2.5 2.5 66.3 69 1 1.3 1.3 67.5 70 1 1.3 1.3 68.8 71 1 1.3 1.3 70.0 72 2 2.5 2.5 72.5
Explore
Case Processing Summary Cases
Valid Missing Total
N Percent N Percent N Percent
X 80 100.0% 0 .0% 80 100.0%
Descriptives
Statistic Std. Error
X Mean 63.63 1.528
95% Confidence Interval for Mean
Lower Bound 60.58 Upper Bound 66.67 5% Trimmed Mean 63.60 Median 64.00 Variance 186.896 Std. Deviation 13.671 Minimum 34 Maximum 95 Range 61 Interquartile Range 19 Skewness .027 .269 Kurtosis -.336 .532 Contoh lainnya
Diketahui data hasil Quis Statistika pada 80 mahasiswa yang sudah disajikan dalam bentuk Sebaran atau distribusi frekuensi, namun sesuatu hal data tersebut hilang namun masih ingat “Nilai Tengah atau Tanda Kelas” ( Xi ) dan “Frekuensi” ( fi ) untuk masing-masing kelas interval
65 dan 21, 38 dan 5, 92 dan 3, 47 dan 10, 74 dan 15, 56 dan 18 serta 83 dan 8 Pertanyaannya
Buatlah Tabel sebaran frekuensi Jawab
Untuk mendapatkan kelas interval, maka urutkan atau susun nilai Xi dan fi dari kecil ke besar.
Selanjutnya lihat selisihnya berapa ? Dari 38 ke 47 selisihnya 9 dan dari 47 ke 56 juga 9, maka pamjang kelas (p) adalah 9. Selanjutnya cari lebar kelas ( jika panjang kelas interval 9, maka lebarnya adalah 8 ). Bila lebar dibagi dua atau 8 dibagi 2 adalah 4. Dari nilai tengah kelas interval pertama, yaitu 38 dikurangi 4, maka didapat ujung kiri kelas interval pertama yaitu 34. Dari nilai tengah kelas interval pertama, yaitu 38 ditambah 4, maka didapat ujung kanan kelas interval pertama yaitu 42. dan seterusnya, sehingga diperoleh sebaran frekuensi dan dihitung untuk keperluan lainnya sebagai berikut
Kelas Interval Xi fi fi Xi ci fi ci fi Xi2 fi ci2 34 - 42 38 5 190 -3 -15 7 220 45 43 - 51 47 10 470 -2 -20 22 090 40 52 - 60 56 18 1 008 -1 -18 56 448 18 61 - 69 65 21 1 365 0 0 88 725 0 70 - 78 74 15 1 110 1 15 82 140 15 79 - 87 83 8 664 2 16 55 112 32 88 - 96 92 3 276 3 9 25 392 27 Jumlah 80 5 083 -13 337 127 177
2.2.1.1. a. Rata-rata cara biasa, fiXifi
X =
80 5083
= 63,5375
2.2.1.1.b. Rata-rata cara coding, ficifi
p X X 0 hasilnya sama = 65 + 9 80 13 = 65 – 1,4625 = 63,5375
2.2.1.2. Modus
Bagaimana cara menghitung Modus ( Mo ) untuk data dalam sebaran frekuensi ?
Mo = b + p 2 1 1 b b b
dengan b = batas bawah dari kelas interval di mana Modus berada p = panjang kelas interval
b1 = selisih frekuensi kelas Modus dengan sebelum kelas Modus
b2 = selisih frekuensi kelas Modus dengan sesudah kelas Modus.
Jadi, Mo = b + p 2 1 1 b b b = 60,5 + 9 6 3 3 = 60,5 + 3 = 63,5 2.2.1.3. Median ( Me )
Bagaimana cara menghitung Median ( Me ) untuk data dalam sebaran frekuensi?
Me = f F n p b 2
dengan n = banyaknya data
b = batas bawah dari kelas interval di mana Median berada p = panjang kelas interval
F = jumlah frekuensi sebelum frekuensi kelas yang ada Median f = frekuensi yang ada Median
Jadi, Me = 21 33 2 80 9 5 , 60 = 60,5 + 3 = 63,5 2.2.1.4. Kuartil ( Ki )
Bagaimana cara menghitung Kuartil (Ki ) untuk data dalam sebaran frekuensi?
Ki = b + p f F in ) 4 ( Contoh Hitung K1 K1 = 51,5 + 9 18 15 4 80 = 51,5 + 2,5 = 54,0 Hitung K3 K3 = 69,5 + 9 15 54 4 240 = 69,5 + 3,6 = 73,1 2.2.1.5. Desil ( Di ) Di = b + p f F in 4 D3 = 51,5 + 9 18 15 10 240 = 51,5 + 4,5 = 56,00 D7 = 69,5 + 9 15 54 10 560
= 69,5 + 1,2 = 70,7 2.2.1.6. Persentil ( Pi ) Pi = b + p f F in 100 P10 = 42,5 + 9 10 5 100 800 = 42,5 + 2,7 = 45,2 P90 = 78,5 + 9 8 69 100 7200 = 78,5 + 3,375 = 81,875
2.2.1.7. Ragam ( S2 ) dan Simpangan Baku ( S )
Untuk data dalam Sebaran Frekuensi
cara biasa s2 =
2 2 2 ) ( ) ( ) ( fi fiXi fiXi fi = 6400 ) 5083 ( ) 337127 ( 80 2 = 177,0736 s = 13,307 cara coding s2 = p2 (( ) ) 2 2
fi fidi fi fidi = 92 ( 2 80 13 80 177 ) = 81( 2,2125 – 0,0264) s2 = 177,0741 s = 13,307 samaTerlihat nilai rata-rata, yaitu 63,5375 adalah sama antara cara biasa dan cara coding, begitu juga nilai simpangan baku cara biasa dan cara coding adalah sama yaitu 13,307.
2.2.1.8. Ukuran Kemiringan
Ukuran kemiringan merupakan ukuran yang menyatakan sebuah model sebaran atau distribusi yang mempunyai kemiringan tertentu. Jika diketahui besarnya nilai ukuran kemiringan, maka
dapat diketahui bagaimana model distribusinya. Apakah distribusi tersebut simetris, positif atau negatif, dengan melihat nilai dari koefisien kemiringan.
Ada empat jenis Koefisien Kemiringan, yaitu:
1. K untuk Pearson 1 adalah
s Mo x
k ( )
2. K untuk Pearson 2 adalah
s Mo x
k 3( ) 3. K untuk Kuartil adalah k =
1 3 1 2 3 2 ) ( K K K K K 4. K untuk Persentil adalah k =
10 90 10 50 90 2 ) ( P P P P P
Ada tiga kriteria untuk mengetahui model distribusi dari sekumpulan data, yaitu: 1. Jika koefisien kemiringan lebih kecil dari nol, maka bentuk distribusinya negatif. 2. Jika koefisien kemiringan lebih besar dari nol, maka bentuk distribusinya positif. 3. Jika koefisien kemiringan sama dengan nol, maka bentuk distribusinya simetris.
2.2.1.9. Kurtosis
Kurtosis merupakan derajat kepuncakan dari suatu distribusi, biasanya diambil relatif terhadap distribusi normal. Koefisien Kurtosis ( K ) dengan perumusan :
K = 10 90 1 3 ) ( 5 , 0 P P K K
a. Suatu distribusi yang mempunyai puncak relatif tinggi dinamakan leptokurtik. b. Suatu distribusi yang mempunyai puncak relatif mendatar dinamakan platikurtik.
c. Suatu distribusi yang mempunyai puncak tidak terlalu tinggi dan tidak terlalu mendatar dinamakan mesokurtik.
Ada tiga kriteria untuk mengetahui derajat kepuncakan dari suatu distribusi, yaitu:
1. Jika koefisien kurtosis kurang dari 0,263, maka distribusinya disebut platikurtik.
2. Jika koefisien kurtosis sama dengan 0,263, maka distribusinya disebut mesokurtik.
3. Jika koefisien kurtosis lebih dari 0,263, maka distribusinya disebut leptokurtik. 120 100 80 60 40 20 0 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 X Fu n g si P a d a t 30 5 60 20 Mean StDev Distribution Plot Normal
80 70 60 50 40 30 20 10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 X Fu ng si P ad at 30 5 50 10 Mean StDev Distribution Plot Normal
Untuk lebih jelasnya diberikan contoh data sebagai berikut: Diketahui data sebagai berikut:
Kelas Interval Xi fi fi Xi Xi2 fi Xi2 ci ci2 fi ci2 61 - 65 63 4 252 3 969 15 876 -3 -12 36 66 - 70 68 9 612 4 624 41 616 -2 -18 36 71 - 75 73 11 803 5 329 58 619 -1 -11 11 76 - 80 78 2 156 6 084 12 168 0 0 0 81 - 85 83 4 332 6 889 27 556 1 4 4 86 - 90 88 7 616 7 744 54 208 2 14 28 91 - 95 93 3 279 8 649 25 947 3 9 27 Jumlah 40 3 050 43 288 235 990 0 -14 142 Pertanyaannya
a. Hitunglah rata-rata x ( baik cara biasa maupun cara coding ) b. Hitung Modus ( Mo ) dan Median ( Me )
d. Hitung Desil 3 ( D3 ) dan Desil 7 ( D7 )
e. Hitung Persentil 10 ( P10 ) dan Persentil 90 ( P90 )
f. Hitung simpangan baku ( s ) cara biasa maupun cara coding g. Hitung Koefisien Kemiringan ( k )
h. Hitung Koefisien Keruncingan K ( Kurtosis )
Jawab a. cara biasa
fi fiXi x = 40 3050 = 76,25 cara coding
fi fici p x x 0 = 78 + 5 40 14 = 78 – 1,75 = 76,25 b. Mo = b + p 2 1 1 b b b = 70,5 + 5 9 2 2 = 70,5 + 0,91 = 71,41 Me = b + p
f F n 2 = 70,5 + 5 11 13 20 = 70,5 + 3,18 = 73,68 c. Ki = b + p f F in 4 = K1 = 65,5 + 5 9 4 10 ( = 65,5 + 3,33 = 68,83 K3 = 80,5 + 5 4 28 30 = 80,5 + 2,5 = 83,00 d. Di = b + p f F in 10 = D3 = 65,5 + 5 4 28 30 = 65,5 + 2,5 = 68,00 D7 = 80,5 + 5 4 26 28 = 80,5 + 5 = 85,50 e. Pi = b + p f F in 10 =P10 = 60,5 + 5 4 0 4 = 60,5 + 5 = 65,50 P90 = 85,5 + 5 7 30 36 = 85,5 + 4,29 = 89,79 f. cara biasa s2 =
2 2 2 ) ( ) ( ) ( fi fiXi fiXi fi = 1600 ) 3050 ( ) 235990 ( 40 2 = 1600 9302500 9439600 = 1600 137100 = 85,6875 s = 9,257 cara coding s2 = p2 (( ) ) 2 2
fi fici fi fici = 52 ( 2 40 14 40 142 ) = 25 (3,4275) = 85,6875 s = 9,257 g. Koefisien Kemiringank untuk Pearson 1 adalah
s Mo x
k ( ) = (76,259,25771,41) = 0,523 k untuk Pearson 2 adalah
s Mo x
k 3( ) = 3(76,259,25771,41) = 1,569
k untuk Kuartil adalah k =
1 3 1 2 3 2 ) ( K K K K K = 83 , 68 00 , 83 ] 83 , 68 ) 68 , 73 ( 2 00 , 83 [ = 0,315
k untuk Persentil adalah k =
10 90 10 50 90 2 ) ( P P P P P = [89,7989,279(73,6865),5065,50] = 0,326
Karena keempat nilai k 0, maka bentuk distribusinya adalah positif ( miring ke kanan ) h. Kurtosis K = 10 90 1 3 ) ( 5 , 0 P P K K = 0,589(83,79,006568,50,83)) = 0,338
40 30 20 10 0 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 X D e n si ty
Distribusi Normal Miring ke kanan ( Leptokurtik )
Contoh soal
1. Diketahui data sampel mengenai nilai Quis dari 2 kelompok mahasiswa, sebagai berikut:
I 60 61 62 62 63 63 65 65 65 65 67 67 68 68 69 70
II 55 57 57 58 58 59 60 60 60 60 61 62 62 63 63 65
a. Hitung Rata-rata, Modus , Median, Kuartil 1 dan Kuartil 3 untuk Mahasiswa Kelompok I b. Hitung Rata-rata, Modus , Median, Kuartil 1 dan Kuartil 3 untuk Mahasiswa Kelompok II c. Buatlah Boxplot dari kedua kelompok mahasiswa tersebut?
d. Hitung Simpangan baku untuk kelompok II (sampai 3 desimal atau 3 angka dibelakang koma.).
2. Diketahui informasi mengenai Sebaran Frekuensi namun hanya “Nilai Tengah” dan “Frekuensi” untuk masing-masing kelas interval sebagai berikut: 60,0 dan 15; 49,4 dan 8; 75,9 dan 4; 65,3 dan 11; 54,7 dan 12; 70,6 dan 7 44,1 dan 3.
a. Lengkapilah tabel sebaran frekuensi.tersebut.
c. Hitunglah Modus dan Median d. Hitunglah K1 dan K3
e. Buat Histogram dan Poligon Jawab
1. Descriptive Statistics: Klp I; Klp II
Variable Mean StDev Variance Q1 Median Q3 Mode Klp I 65,000 2,989 8,933 62,25 65,0 67,75 65 Klp II 60,000 3,246 10,533 57,00 60,0 63,00 60 1.a. X n X n i i
1 = 16 1040 = 65, Mo = 65 , Me = 65 , K1 = 62,25 , K3 = 67,75 1.b. X n X n i i
1 = 16 960 = 60, Mo = 60 , Me = 60 , K1 = 57 , K3 = 63 1.c. Klp II Klp I 70,0 67,5 65,0 62,5 60,0 57,5 55,0 D a ta BOXPLOT Klp I dan Klp II 1.d. 1 ) ( 2 1
n X X n i is
= 2,9892.a Kelas Interval Xi fi fi Xi Xi2 fi Xi2 ci fi ci ci2 fi ci 2 41,5 - 46,7 44,1 3 132,3 1 944,81 5 834,43 -3 -9 9 27 46,8 - 51,1 49,4 8 395,2 2 440,36 19 522,88 -2 -16 4 32 51,2 - 57,3 54,7 12 656,4 2 992,09 35 905,08 -1 -12 1 12 57,4 - 62,6 60,0 15 900,0 3 600,00 54 000,00 0 0 0 0 62,7 - 67,9 65,3 11 718,3 4 264,09 46 904,99 1 11 1 11 68,0 - 73,2 70,6 7 494,2 4 984,36 34 890,52 2 14 4 28 73,3 - 78,5 75,9 4 303,6 5 760,81 23 043,24 3 12 9 36 Jumlah 60 3600,0 25 986,52 220 101,14 0 146
2b. Rata-rata cara biasa, fiXifi
X =
60 3600
= 60,0
Rata-rata cara coding, X X0 p ficifi
= 60,0 + 5,3 60 0 = 60 2.c. Mo = b + p 2 1 1 b b b = 57,35 + 5,3 4 3 3 = 57,35 + 2,27 = 59,62 Me = f F n p b 2 Me = 15 23 2 60 3 , 5 35 , 57 = 57,35 + 2,47 = 59,82 2d. Ki = b + p f F in ) 4 ( K1 = 51,15 + 5,3 12 11 4 60 = 51,15 + 1,77 = 52,92 K3 = 62,65 + 5,3 11 38 4 60 = 62,65 + 3,37 = 66,02
75.9 70.6 65.3 60.0 54.7 49.4 44.1 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Xi Fr e k ( fi ) Histogram 75,9 70,6 65,3 60,0 54,7 49,4 44,1 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Xi Fr e ku e n si
III PENGANTAR TEORI PELUANG
3.1. Pendahuluan
Dalam Teori Peluang kita sebenarnya ingin mengukur derajat ketidakpastian dari suatu kejadian, apalagi kejadian tersebut belum terjadi.
Contoh:
1. Berapa peluang besok akan hujan? Jawabnya adalah 2 1
= 0,5 mengapa ?
Perhatikan kemungkinan terjadi kejadiannya (outcame) adalah hujan atau tidak hujan.
Jadi hujan dan tidak hujan merupakan anggota dari ruang sampel (S) atau S = { hujan, tidak hujan }
Anggota dari ruang sampel merupakan titik sampel. Jadi kalau ditanya berapa peluang besok akan hujan adalah ada satu diantara dua atau satu per dua atau 0,5.
2. Pelantunan sebuah mata uang ( koin ) yang homogen, maka peluangnya adalah 0,5, karena kemungkinan hasil dari pelantunan mata uang adalah muncul H (huruf) atau G (Gambar) Jadi S = { H, G }. Peluang munculnya H pada pelantunan sebuah mata uang yang homogen
adalah P(H) = 0,5
3. Pelantunan sebuah dadu yang homogen.
Hasil dari pelantunan dadu adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jika ditanya berapa peluang muncul mata
dadu genap pada pelantunan tersebut?
Jawabnya adalah 3 diantara 6 atau 6 3
= 0,5.
4. Pelantunan sebuah dadu yang homogen dan kejadian A adalah mata dadu kurang dari 3 dan kejadian B adalah mata dadu ganjil, ditanyakan berapa P(A) dan P(B)
Jawab
Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1, 2} B = {1, 3, 5}, maka P(A) = 6 2 = 3 1 dan P(B) = 6 3 = 0,5. Definisi:
Peluang adalah banyaknya titik sampel dari suatu kejadian sebut saja n dibagi dengan
banyaknya titik sampel yang harus terjadi.sebut saja N, makapeluang kejadian adalah
N n
Jadi nilai peluang terletak antara 0 sampai dengan 1 atau 0 ≤ P( sesuatu kejadian ) ≤ 1
Berarti peluang suatu kejadian benar-benar tidak terjadi, maka peluangnya adalah 0 dan peluang suatu kejadian benar-benar terjadi sepenuhnya adalah 1.
Jadi yang namanya peluang tidak mungkin kurang dari 0 atau negatif dan tidak mungkin lebih dari
1, karena n N dan n N.
Selanjutnya untuk itu perlu diketahui istilah-istilah dan definisi dalam mempelajari peluang seperti: Ruang Sampel ( S ) adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan.
Kejadian adalah suatu himpunan bagian (sub himpunan) dari ruang sampel.
Kejadian sederhana adalah suatu kejadian yang hanya mempunyai satu titik sampel.
Kejadian majemuk adalah suatu kejadian yang hanya mempunyai lebih dari satu titik sampel. Ruang nol (Ruang kosong) atau Ø adalah himpunan bagian (sub himpunan) dari ruang sampel yang tidak mengandung satupun titik sampel.
3.2. Pengolahan Terhadap Kejadian 3.2.1. Irisan Dua Kejadian
Irisan dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A B adalah kejadian yang mengandung semua unsur unsur persekutuan kejadian A dan B.
Contoh:
S
3.2.2. Gabungan (Paduan) Dua Kejadian
Gabungan atau paduan dua kejadian A dan B, dilambangkan A B, adalah kejadian yang mencakup semua unsur atau anggota A atau anggota B atau keduanya.
Contoh
3.2.3. Komplemen Suatu Kejadian
Komplemen suatu kejadian A relatif terhadap S, adalah himpunan semua anggota S yang bukan
anggota A, dilambangkan dengan A = A' Contoh
3.3. Kaidah Penjumlahan
Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka
3.3.1. Kejadian Saling Terpisah
Dua kejadian A dan B dikatakan saling terpisah, bila A B = Ø Contoh B B A S S A B A B A S A B A B
Akibat dari definisi-definisi tersebut di atas diperoleh dalil sebagai berikut: 1. A = Ø 2. A Ø = A 3. A A = Ø . 4. . A A = S 5. S = Ø 6. Ø’ = S 7. ( A )’ = A
3.4. Mencacah Titik Sampel
Dalam mencacah titik sampel ada 3 jenis, yaitu: Kaidah Penggandaan, Permutasi dan Kombinasi.
3.4.1. Kaidah Penggandaan
Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, dan bila untuk setiap cara tersebut operasi
kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, maka kedua operasi itu secara bersama-sama dapat
dilakukan dalam n1.n2 cara.
3.4.2. Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan benda.
3.4.2.1. Permutasi Penuh
Banyaknya permutasi n benda yang berbeda ada n!
Ada enam orang duduk berbaris untuk difoto, ada berapa susunan mereka berbaris ? Jawab
n ! = 6 ! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
3.4.2.2. Permutasi Sebagian
Banyaknya permutasi akibat pengambilan r unsur dari n benda yang berbeda adalah:
contoh
Diketahui data n = 1, 2, 3, 4, 5 diambil disusun r =2 , maka:
5 P 2 = (55!2)! = 3 2 1 5 4 3 2 1 x x x x x x = 20 3.4.2.3. Permutasi Melingkar
Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah: (n – 1)! contoh
Empat buah lilin yang berbeda warna sebut saja putih, kuning, merah dan hijau akan ditaruh di atas kue yang bentuk melingkar. Ada berapa susunan yang berbeda ?
Jawab
(n – 1)! = ( 4 – 1 )! = 3 ! = 1 x 2 x 3 = 6
3.4.2.4. Permutasi Bagian-Bagian
Banyaknya permutasi n benda yang berbeda dari n benda yang n1 diantaranya berjenis pertama,
n2 diantaranya berjenis kedua, …. , nk berjenis ke-k adalah: ! .!,... ! ! 2 1 n nk n n contoh
Pelantunan sebuah dadu yang homogen sebanyak 12 kali dan muncul mata 1 sebanyak 2 kali, muncul mata 2 sebanyak 2 kali, muncul mata 3 sebanyak 2 kali, muncul mata 4 sebanyak 2 kali, muncul mata 5 sebanyak 2 kali, muncul mata 6 sebanyak 2 kali.
Jawab 12 P ( 2.2.2.2.2.2 ) = ! .!,... ! ! 2 1 n nk n n = 2!!2!,212!.2!!.2!.2! = 7.484.400 3.4.3. Kombinasi
Banyaknya kombinasi r unsur yang berbeda dari n benda adalah:
!)!(
!
rrn
n
r
n
contohKasus yang sama pada permutasi sebagian, yaitu n = 5 dan r =2 dengan cara kombinasi. Jawab
!)!(
!
rrn
n
r
n
=!2)!25(
!5
2
5
= 2 1 1 3 2 1 5 4 3 2 1 x x x x x x x X x = 103.5. Peluang Suatu Kejadian
Peluang suatu Kejadian A adalah jumlah semua titik sampel di A di bagi dengan semua titik sampel yang mesti terjadi di S.
Dengan demikian 0 ≤ P( A ) ≤ 1, P(Ø ) = 0, P( S ) = 1
3.5.1. Kaidah Penjumlahan
3.5.1.1. Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka: P(AB) = P(A) + P(B) – P(A B)
Bukti
Perhatikan Gambar sebagai berikut:
P(AB) = I + II + III = AB + A saja + Bsaja = AB + AB – AB = AB + A( 1 – B ) + ( 1 – A)B = AB + A – AB + B – AB = A + B – AB = A + B – (AB), maka
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) terbukti.
Contoh
Suatu sampel acak berukuran 100 responden yang ditanya mengenai musik gemarannya dari hasil survei yang ditanya ternyata ada 70 responden senang musik pop ( P ) dan 65 responden senang musik dangdut ( D ).
a. Buatlah permasalahan tersebut dalam bentuk diagram venn. b. Berapa peluang yang menyukai kedua jenis musik tersebut.
c. Berapa peluang yang menyukai musik pop saja dan musik dangdut saja. Jawab a. P PD D S II I III
b. P(P D) = P(P) + P(D) – P(PD) (P D) = P + D – (PD) (P D) = P + D – (PD) (P D) = 70 + 65 – 100 (P D) = 35, jadi P(P D) = 100 35 = 0,35 c. P(PD)= P( P ) – P(PD) = 100 70 100 35 = 100 35 = 0,35 P(PD) = P( D ) – P(PD) = 100 65 – 100 35 = 100 30 = 0,30 3.5.1.2. Bila A dan B saling terpisah, maka P(AB) = P(A) + P(B)
Bila A dan A adalah dua kejadian yang satu merupakan komplemen lainnya, maka P(A) + P( A)= 1
3.45.1.3. Bila A dan B dan C adalah tiga kejadian sembarang, maka:
P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)
Bukti (ABC) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 +7 Di mana 1 = ABC 2. ABC = AB( 1 – C ) = AB - ABC 3. ABC = ( 1 – A )BC = BC - ABC 4. ABC = A( 1 – B )C = (A – AB)C = AC - ABC
5. ABC = A( 1 – B )( 1 – C ) = (A – AB)(1 – C) = A –AC – AB + ABC
6. ABC = (1 – A )B(1 – C) = (B – AB)( 1 – C ) = B – BC –AB + ABC 7. ABC = (1 – A)(1 –B)C = (1 – B – A + AB)C = C –BC –AC + ABC
(A B C) = ABC + AB – ABC + BC – ABC + AC – ABC + A –AC – AB + ABC + B – BC
–AB + ABC + C –BC –AC + ABC = A = B + C – AB – AC – BC + ABC, 1 5 7 2 4 6 3
= A + B + C – ( A B ) – ( A C ) – ( B C ) + ( A B C ), maka
P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC). Terbukti.
Contoh
Suatu sampel acak berukuran 200 responden yang ditanya mengenai produk telepon genggam ( hp, hand phone ) yang disukai, dari hasil survei yang ditanya ternyata ada 90 responden menyukai produk Nokia ( N ), ada 70 responden menyukai produk Samsung ( S ), ada 80 responden menyukai produk Sony Ericson ( SE ). Ada 35 responden menyukai produk Nokia dan Samsung , ada 30 responden menyukai produk Nokia dan Sony Ericson, ada 25 responden menyukai produk Samsung dan Sony Ericson , ada 10 responden menyukai produk Nokia dan Samsung dan Sony Ericson.
a. Buatlah permasalahan tersebut dalam bentuk diagram venn. b. Berapa peluang yang tidak menyukai ketiga jenis hp tersebut.
c. Berapa peluang yang menyukai Nokia dan Samsung saja, Nokia dan Sony Ericson saja dan Samsung
dan Sony Ericson saja.
d. Berapa peluang yang menyukai jenis Nokia saja, Samsung saja dan Sony Ericson saja. Jawab
Diketahui N = 90, S = 70 dan SE =80, N S = 50 N SE = 45 S SE = 40 N S SE = 25 ( N S SE ) = N + S + SE – ( N S ) – ( N SE ) – ( S SE ) + ( N S SE ) – ( N S SE ) = 90 + 70 + 80 – 50 – 45 – 40 + 25 ( N S SE ) = 130 ( N S SE )’ = 200 – 130 = 70, maka P( N S SE )’ = 200 70 = 0,35 ABC
