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Journal de Th´

eorie des Nombres

de Bordeaux

17

_{(2005), 737–748}

On the length of the continued fraction for values

of quotients of power sums

par

Pietro CORVAJA

_et

Umberto ZANNIER

R´esum´e. _{En g´en´eralisant un r´esultat de Pourchet, nous} d´emon-trons que siα, β sont deux sommes de puissances d´efinies surQ, satisfaisant certaines conditions n´ecessaires, la longueur de la frac-tion continue pourα(n)/β(n) tend vers l’infini pourn→ ∞. On

d´eduira ce r´esultat d’une in´egalit´e de type Thue uniforme pour les approximations rationnelles des nombres de la formeα(n)/β(n).

Abstract. _{Generalizing a result of Pourchet, we show that, if} α, βare power sums overQsatisfying suitable necessary assump-tions, the length of the continued fraction forα(n)/β(n) tends to infinity asn→ ∞. This will be derived from a uniform Thue-type

inequality for the rational approximations to the rational numbers α(n)/β(n),n∈N.

PietroCorvaja

Dipartimento di Matematica Universit`a di Udine

via delle Scienze 206 33100 Udine (Italy)

E-mail_{:corvaja@dimi.uniud.it}

UmbertoZannier

Scuola Normale Superiore Piazza dei Cavalieri, 7 56100 Pisa (Italy)

E-mail_{:u.zannier@sns.it}