Perancangan Kontroler State Dependent Riccati Equation Untuk Stabilisasi Pendulum Terbalik Dua Tingkat

(1)

Perancangan Kontroler State Dependent Riccati Equation Untuk

Stabilisasi Pendulum Terbalik Dua Tingkat

Dyah Tri Utami – 2206100159

Jurusan Teknik Elektro – FTI, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Kampus ITS, Keputih – Sukolilo, Surabaya 60111, email: dyah@elect-eng.its.ac.id

Abstrak – Pendulum terbalik dua tingkat merupakan sistem yang biasanya digunakan untuk menguji suatu kontroler. Menyelesaikan permasalahan kestabilan sistem ini menjadi tidak mudah karena sistem bersifat dinamis dan nonlinier sehingga penyelesaiannya melibatkan algoritma kontrol yang struktur dan perhitungannya rumit. Untuk mengatasi permasalahan tersebut maka dirancanglah suatu kontroler pseudo-linier yang struktur algoritmanya sesederhana kontroler linier. Kontroler inilah yang kemudian disebut dengan State Dependent Riccati Equation. Disebut pseudo-linier karena linierisasi dilakukan secara berulang pada setiap periode waktu tertentu namun secara keseluruhan sistem masih dalam bentuk nonlinier. Menstabilkan plant pada tugas akhir ini tidak hanya dilakukan dengan metode kontrol SDRE saja tetapi juga metode LQR sebagai pembanding. Perbandingan kedua kontroler tersebut menghasilkan kesimpulan bahwa kontroler SDRE lebih cepat mencapai stabil dan mampu mengatasi sudut awal dengan range yang lebarnya lebih dari dua kali serta disturbance kereta yang nilainya hampir lima kali dari yang mapu diatasi oleh kontroler LQR.

Kata Kunci:Two Stage Inverted Pendulum, State Dependent Riccati Equation, Linear Quadratic Regulator, SimMechanics

1. PENDAHULUAN

Mengatur sistem nonlinear bukanlah suatu hal yang mudah karena melibatkan algoritma kontrol dengan perhitungan dan struktur yang rumit sehingga tidak mudah untuk diterapkan. Karena alasan tersebut, pada banyak penelitian digunakan pendekatan linear untuk memudahkan perhitungan sistem nonlinier. Namun solusi tersebut menyebabkan metode ini hanya efektif untuk subset yang kecil disekitar daerah linierisasinya saja. Salah satu metode yang dapat mengatasi permasalahan tersebut adalah State-Dependent Riccati Equation (SDRE). Metode ini menggunakan parameterisasi State-Dependent Coefficient untuk mendapatkan bentuk linear state space pada setiap periode waktu tertentu. Dengan demikian terbentuklah sistem yang linier di dalam sistem nonlinier. Jadi secara keseluruhan sistem masih dalam bentuk nonlinear.

Seperti halnya Linear Quadratic Regulator (LQR), SDRE juga memiliki prosedur yang sistematis. Dimulai dengan mendapatkan model matematis plant nonlinier kemudian dari persamaan nonlinier tersebut dirubah kedalam bentuk State-Dependent Coefficient yang menghasilkan bentuk state space dengan matriks state yang dependent. Proses selanjutnya adalah menentukan matriks pembobot Q dan R, lalu digunakan untuk menghitung aljabar Riccati yang bersifat juga bersifat dependent terhadap state karena perhitungannya melibatkan matriks state yang juga dependent. Setelah ditentukan solusi Riccati, selanjutnya dapat dicari nilai gain feedback yang dapat menstabilkan plant pendulum.

Kontroler SDRE ini akan diterapkan pada plant nonlinier berorde enam yaitu Two Stage Inverted Pendulum (TSIP) yang merupakan pengembangan dari sistem pendulum terbalik dengan dua batang pendulum yang disusun secara bertingkat dan dihubungkan dengan sebuah kereta. Gaya input diberikan pada kereta yang bergerak dalam arah horizontal untuk menstabilkan kedua batang pendulum dalam posisi setimbang terbalik. Untuk mensimulasikan pergerakan plant TSIP secara visual, pada tugas akhir ini digunakan software SimMechanics pada Matlab yang juga dihubungkan dengan simulink untuk memberikan gaya kontrol. Dalam proses pengujian kontroler SDRE ini akan dibandingkan dengan kontroler LQR untuk membuktikan bahwa metode SDRE mampu mengatasi subset yang lebih luas dari yang dapat dilakukan oleh kontroler yang mengandalkan linierisasi dalam mengatur sistem nonlinier.

2. TWO STAGE INVERTED PENDULUM Two Stage Inverted Pendulum terdiri dari dua buah batang pendulum yang tersusun bertingkat dengan arah gerak rotasional di bidang vertikal dan sebuah kereta yang dapet bergerak sepanjang sumbu horizontal sebagaimana ditunjukkan pada gambar 1. Gaya kontrol u diberikan ke kereta sehingga kereta bergerak sepanjang sumbu horizontal untuk menstabilkan kedua batang pendulum di sudut kestabilannya dari suatu kondisi awal dan juga mengembalikan kereta ke posisinya semula.

(2)

. . .

Gambar 1 model fisik two stage inverted pendulum

Ada dua cara untuk mendapatkan model matematika plant two stage inverted pendulum ini yaitu melalui metode mekanika Newton dan metode Lagrange. Pada tugas akhir ini dipilih metode Lagrange untuk memodelkan plant secara matematis dengan alasan : a. Jumlah persamaannya sama dengan derajat

kebebasan plant.

b. Yang dianalisa hanya gaya yang telah diketahui. c. Proses permodelannya sederhana

Jadi memodelkan two stage inverted pendulum secara matematis dalam penelitian ini adalah menentukan bentuk state spacenya dengan cara menganalisa gaya yang bekerja pada pendulum berdasarkan metode Lagrange. Persamaan Lagrange , , , (1) Dengan q adalah variabel state. Pada sistem TSIP ini variabel statenya didefinisikan sebagai ! "!# $% $& !% $% $& '(

Gaya yang terjadi pada pendulum pada saat bergerak adalah gaya kinetik dan gaya potensial yang ditentukan di titik pusat massa dari masing-masing bagian pendulum sebagai berikut

)*)+, 0

.)/0.1,2,3 4%56%cos $%

)/0.,+,9 4&56&cos$%: $& : %cos $%

)*)+, 1_{2 4}#!#&

)/0.1,2,3 %_&4%=>!#: 6%$%cos $%?&:

>6%$%sin $%?&' :%_&B%$%&

)/0.,+,9 %_&4&=>!#: %$%cos $%: 6&$% :

$& cos$%: $&&: >%$%sin $%:

6&$% : $& sin$%: $&&' : %

&B&$& &

(2)

Dimana B_%dan B_& adalah momen inersia yang nilainya adalah 1/3 kali massa dan kuadrat radius untuk batang silinder pejal yang berotasi pada salah satu ujungnya. Berdasarkan persamaan (2) yang diterapkan pada persamaan Lagrange (1) didapati tiga keadaan sebagai berikut.

Pada kereta saat !_#, C, dari persamaan (1) didapatkan !# !#: !# C

4#: 4%: 4&!#D : 4%6%cos $%: 4&26%cos $%:

4&6&cos$% $&$%D : 4%6%sin $%

4&26%sin $% 4&6&sin$% $&$%&:

4&6&cos$% $& $D& 24&6&sin$% $&$%$&

4&6&sin$% $& $&&: E#!# C (3) Pada batang pendulum bawah saat $_%, 0, dari persamaan (1) didapatkan

F$% G $%: $% 0

B%: 4%6%&: B&: 4&26%&: 4&6&&: 24&26%6&cos $&$D%:

24&26%6&sin$& $%$&: 4%6%cos $%: 4%6%cos $%:

4%6%cos$% $%!#D : B&: 4&6&&: 4&26%6&cos $&$D&:

4&26%6&sin $&$&& 4%56%sin $% 4&26%sin $%:

6&sin$% $& : E%$% 0 (4) Pada batang pendulum atas saat $_&, 0, dari persamaan (1) didapatkan F$& G $&: $& 0

4&6&cos$% $& !#D : B&: 4&6&&: 4&26%6&cos $&$%D :

B&: 4&6&&$&D : 4&26%6&sin$&$%& 4&56&sin$%

$& : E&$& 0 (5) Dari persamaan (3), (4), (5) dapat dibuat bentuk matrix sebagai berikut

H$%, $& I !D $%D $&D J : K>$%, $&, $% ,$& ?I ! $% $& J : L$%, $& MN(6) Dengan masing-masing matriks statenya adalah sebagai berikut

H I4%6%: 4&264% cos $#: 4%%: 4: 4&&6&cos$%: $&

4&6&cos$%: $&

O 4%6%: 4&26% cos $%: 4&6&cos$%: $&

B%: 4%6%&: B&: 4&46%&: 4&6&& : 44&6%6&cos $&

B&: 4&6&&: 24&6%6&cos $&

O 4&6&cos$%: $& B&: 4&6&&: 24&6%6&cos $&

B&: 4&6&&

(3)

K QE0# 0 O

4%6%: 4&26% sin $%: 4&6&sin$%: $&$%D

E% $& 24&26%6&sin $&

$% 4&26%6&sin $&

O

4&6&sin$%: $& 2$%: $&

$& 4&26%6&sin $&

E&

J

L R4%56%sin$% 4&5260%sin $%: 6&sin$%: $&

4&56&sin$%: $&

S

M R10

0S (7)

3. SIMMECHANICS TSIP

SimMechanics adalah salah satu software simulasi, merupakan bagian dari simulink physical modeling yang juga merupakan bagian dari software matlab. Software ini adalah suatu tools yang dapat digunakan untuk memodelkan dam mensimulasikan secara visual suatu sistem mekanik secara tiga dimensi. Selain itu dengan simmechanics tidak diperlukan perhitungan model matematis yang rumit karena dibangun berdasarkan model mekanik hanya dengan menentukan koordinat vektor dan jenis block atau perangkat serta tipe gerakannya saja. Block ini terdiri dari body, joint, sensor dan actuator, constraint dan drivers serta force element, utilities, dan interface element.

Berdasarkan model fisik plant yang ditunjukkan pada gambar 1 maka dibangunlah plant TSIP menggunakan SimMechanics (gambar 2.a) yang hasilnya berupa tampilan visual (gambar 2.b).

(a) Rancangan TSIP (b) Tampilan simulasi

Gambar 2. SimMechanics model TSIP

Berikut adalah penjelasan untuk berbagai block yang digunakan dalam membangun plant TSIP di SimMechanics beserta fungsinya masing-masing. • Ground

Ground adalah komponen dasar untuk membangun setiap model mekanik pada SimMechanics. Block ini merupakan referensi tetap yang menjadi pusat sumbu koordinat dari keseluruhan sistem.

• Body

Body digunakan untuk memodelkan benda yang parameternya dapat disesuaikan berdasarkan massa, momen inersia dan koordinat vector serta letak pusat massanya sesuai dengan yang diinginkan. Secara umum ada tiga bagian koordinat system yang ada pada blok body ini yaitu CS1, CG, CS2 yang masing-masing merepresentasikan koordinat pada titik kedua ujung benda serta titik pada pusat massa.

3 perpindahan 2 theta1 1 theta2 B F Revolute1 B F Revolute B F Prismatic C S 1C S 2 Pendulum1 C S 1 Pendulum C S 1 C S 2 Moving Base Env Joint Sensor2 Joint Sensor1 Joint Sensor Joint Initial C ondition1

Joint Initial C ondition

Joint Actuator

Ground

1 input U

(4)

Gambar 3. Body pada TSIP untuk menampilkan kereta dan pendulum

• Perismatic

Perismatic merupakan bagian dari

yang berfungsi untuk menghubungkan antara dua body dengan tipe sambungan dengan satu derajat kebebasan yang bertranslasi sepanjang sumbu tertentu. Untuk lebih jelasnya pada gambar 4 akan ditunjukkan ilustrasi tipe sambungan block prismatic (gambar 4.a) beserta penerapannya pada system TSIP

(a) Ilustrasi (b) prismatic joint Gambar 4. Perismatic

• Revolute

Seperti halnya prismatic, revolute juga bagian dari block library joint yang merupakan sekumpulan block yang berfungsi sebagai penghubung antar dua bagian dengan tipe joint yang berbeda-beda. Tipe

block revolute adalah rotasional antara bagian satu terhadap bagian lainny dihubungkan. Berikut adalah ilustrasi beserta penerapan block revolute pada TSIP yang ditunjukkan pada gambar 5

(a) Ilustrasi (b) revolute Gambar 5. Revolute

4. STATE DEPENDENT RICCATI EQUATION Suatu sistem nonlinier biasanya dituliskan dalam bentuk persamaan seperti berikut

Untuk mendesain kontroler SDRE berikut adalah langkah-langkahnya

CS1 CS2

Body

Gambar 3. Body pada TSIP untuk menampilkan kereta dan

Perismatic merupakan bagian dari block library joint yang berfungsi untuk menghubungkan antara dua n dengan satu derajat kebebasan yang bertranslasi sepanjang sumbu tertentu. Untuk lebih jelasnya pada gambar 4 akan ditunjukkan block prismatic (gambar 4.a) serta penerapannya pada system TSIP (gambar 4.b)

b) prismatic joint pada TSIP 4. Perismatic

Seperti halnya prismatic, revolute juga bagian dari block library joint yang merupakan sekumpulan block yang berfungsi sebagai penghubung antar dua bagian beda. Tipe sambungan block revolute adalah rotasional antara bagian satu terhadap bagian lainny dihubungkan. Berikut adalah ilustrasi beserta penerapan block revolute pada TSIP

(b) revolute joint pada TSIP lute

STATE DEPENDENT RICCATI EQUATION stem nonlinier biasanya dituliskan dalam

Untuk mendesain kontroler SDRE berikut adalah

1) Mengubah persamaan nonlinier pada (8) men bentuk pseudo linier yang disebut State Dependent Coefficient (SDC) berikut ini

2) Menentukan matriks pembobot Q dan R dari bentuk state space yang dihasilkan SDC. Dapat diberikan matriks pembobot yang nilainya berubah-ubah namun untuk memudahkan perhitungan pada tugas akhir ini diberikan matriks pembobot yang nilainya tetap.

3) Menyelesaikan persamaan Riccati

untuk mendapatkan matriks semi definite P(x)

4) Bangun kontroler dengan memberikan kontrol input u yang optimal pada plant

Untuk memudahkan memahami urutan prosesnya berikut ini akan ditampilkan diagram urutan pengontrolan SDRE pada gambar 6

Gambar 6. Algoritma SDRE

Dari persamaan (6) pada bagian sebelumnya akan dirubah menjadi bentuk SDC seperti pada persamaan (9) dengan bantuan matriks balik sehingga didapatkan bentuk SDC plant TSIP ini pada persamaan (12).

Dengan matriks Csd merupakan modifikasi dari matriks C - ditunjukkan pada persamaan (13) pada awalnya adalah matriks (3x1) kemudian dirubah menjadi matriks (3x3) agar dapat membentuk matriks yang sesuai pada saat dikalikan dengan invers matriks D pada pembentukan State Dependent Coefficient.

Mengubah persamaan nonlinier pada (8) menjadi bentuk pseudo linier yang disebut State Dependent Coefficient (SDC) berikut ini

Menentukan matriks pembobot Q dan R dari bentuk state space yang dihasilkan SDC. Dapat diberikan matriks pembobot yang nilainya untuk memudahkan perhitungan pada tugas akhir ini diberikan matriks pembobot yang nilainya tetap.

Menyelesaikan persamaan Riccati berikut ini (10) untuk mendapatkan matriks semi definite P(x)

Bangun kontroler dengan memberikan kontrol input u yang optimal pada plant

Untuk memudahkan memahami urutan prosesnya berikut ini akan ditampilkan diagram urutan

6

Gambar 6. Algoritma SDRE

Dari persamaan (6) pada bagian sebelumnya akan dirubah menjadi bentuk SDC seperti pada persamaan (9) dengan bantuan matriks balik sehingga didapatkan bentuk SDC plant TSIP ini pada persamaan (12).

akan modifikasi dari ukkan pada persamaan (13) - yang pada awalnya adalah matriks (3x1) kemudian dirubah menjadi matriks (3x3) agar dapat membentuk matriks yang sesuai pada saat dikalikan dengan invers matriks D pada pembentukan State Dependent Coefficient.

(5)

L90Q ! $% $& T L U V V W0₀ XYZ[Y\X]0Z&[Y ^_` aY 0 aY 0 0 0 X]Z[]^_`a] a] b c c d Q$!% $& T R4%56%: 40&526% sin $%

4&56&sin $&

S (13)

5. LINEAR QUADRATIC REGULATOR Kontrol optimal secara umum ditujukan untuk memilih input plant u dengan indeks performansi yang minimum. Linear Quadratic Regulation, disebut Linier karena model dan bentuk kontrolernya berupa linier. Sedangkan disebut kuadratik karena cost functionnya adalah kuadratik dan karena referensinya bukanlah berupa fungsi waktu maka disebut regulator. untuk keperluan analisa dirancang pula kontroler Linear Quadratic Regulator sebagai pembanding controller SDRE. Kontroler LQR dipilih karena memiliki struktur algoritma pengontrolan yang serupa dengan SDRE yaitu sebagai berikut:

Untuk mendesain kontroler LQR berikut adalah langkah-langkahnya

1) Mengubah persamaan nonlinier pada (8) menjadi bentuk linier pada persamaan (14) melalui mekanisme linierisasi pada titik tertentu

! e! : fN (14)

2) Menentukan matriks pembobot Q dan R berdasarkan minimisasi fungsi kriteria energi mínimum melalui indeks performansi kuadratik berikut

B %_&!(_{τh!τ :}%

&i j!(! : N(ENk l

+m (15)

3) Menentukan matriks S dari persamaan riccati berikut

e(_{h : he hfE}n%_f(_{h : 0} ₍₁₆₎

4) Menghitung nilai gain feedback K untuk mendapatkan sinyal control berikut

N En%_f(_{o E}n%_f(_{h! p!} ₍₁₇₎

Linierisasi dilakukan pada model matetatis plant TSIP pada titik operasi sudut 0 radian. Titik ini dipilih sebab merupakan titik keseimbangan yang diinginkan. Linierisasi pada titik keseimbangan

$% $& $% $& 0 (3.3) Sehingga didapatkan

sin $% $% ; sin $_& $_& ; cos $_% 0 ; cos $& 0

cos$%: $& $%$& ; cos$_%: $_& 0 $%& 0 ; $&& 0 ; $%$& 0

Sehingga didapatkan persamaan baru untuk model plant TSIP yang linier pada titik keseimbangannya 0 derajat sebagai berikut

H0,0 Qr!&& s& T : K0,0, 0,0 Q!r&& s& T : L900,0 Q !% r% s% T MN (3.5) Dengan masing-masing matriks D, G, Csd merupakan matriks pada persamaan (7) yang telah disubstitusikan dengan parameter plant sehingga diperoleh bentuk matriks sebagai berikut

e U V V V W0₀ 0 0 0 0 0 0 0 4.527 20.05 15.14 0 0 0 0.9241 6.954 34.91 1 0 0 2.876 4.334 3.743 0 1 0 0.01252 0.06201 0.1149 0 0 1 0.007366 0.7831 0.3604 bc c c d f U V V V W 0₀ 0 1.538 2.318 2.002 bc c c d (3.4)

6. HASIL SIMULASI DAN ANALISA 6.1 Simulasi TSIP dengan kontroler SDRE Pada bagian ini akan diberikan hasil simulasi untuk plant DIP yang dikontrol menggunakan kontroler SDRE untuk tiga kondisi awal plant yang berbeda-beda yaitu

• Data 1 : konsisi awal kereta pada sumbu referensi x=0, sudut batang pendulum bagian bawah theta 1= 0.9 radian (51.57 derajat) dan sudut batang pendulum bagian bawah theta2=-0.2 radian (11.46 derajat) serta kecepatan kereta, kecepatan sudut awal kedua batang pendulum nol

• Data 2 : konsisi awal kereta pada sumbu referensi x=0, sudut batang pendulum bagian bawah theta1=0.9 radian (51.57 derajat) dan sudut batang pendulum bagian atas theta2= 0 radian serta kecepatan kereta, kecepatan sudut awal kedua batang pendulum nol

• Data 3 : konsisi awal kereta pada sumbu referensi x=0, sudut batang pendulum bagian bawah theta1= 0.4 radian (22.9 derajat) dan dan sudut batang pendulum bagian atas theta2= 0.2 radian (11.46 derajat) serta kecepatan kereta, kecepatan sudut awal kedua batang pendulum nol

Hasil selengkapnya untuk ketiga kondisi awal diatas dapat diamati pada tabel 1. Uji hasil desain simulasi menunjukkan bahwa semakin besar simpangan awal maka semakin lambat system dapat kembali ke posisi stabil. Apabila salah satu dari ketiga bagian DIP baik itu kereta, pendulum bawah maupun pendulum atas diberi simpangan awal akan mengakibatkan efek pada ketiga bagian tersebut. Yang memiliki efek terbesar terhadap keseluruhan system DIP adalah bagian

(6)

batang pendulum sisi atas. Sedikit perubahan pada konsisi awal batang pendulum bagian atas akan menyebabkan perubahan yang besar pada DIP baik itu berupa settling time maupun overshot respon yang dapat dilihat pada gambar 4.3 hingga 4.5.

Tabel 1. Perbandingan sudut awal

Gambar 4.3 posisi kereta hasil simulasi kontroler SDRE

Gambar 4.4 sudut pendulum bawah pada hasil simulasi kontroler SDRE

Gambar 4.5 sudut pendulum atas hasil simulasi kontroler SDRE

6.2 Perbandingan kontroler SDRE dan LQR Kontroler LQR memiliki struktur algoritma pengontrolan yang serupa dengan SDRE. Yang membedakan antara kedua kontroler tersebut adalah SDRE diterapkan pada plant nonlinier melalui parameterisasi SDC, sedangkan LQR hanya dapat digunakan bila plant bersifat linier. Apabila plant nonlinier dikontrol menggunakan kontroler LQR maka diperlukan mekanisme linierisasi untuk merubah sifat plant yang nonlinier dengan melakukan pendekatan liniernya sehingga diperoleh model plant yang linier untuk titik tertentu yang telah ditentukan. Mekanisme linierisasi ini menyebabkan kontroler LQR hanya efektif untuk sebset yang kecil disekitar daerah linierisasinya saja. Berikut diberikan

perbandingan kedua kontroler tersebut pada tabel 2 untuk plant TSIP dengan parameter yang sama dan juga matriks pembobot Q dan R yang sama pula.

Tabel 2.Perbandingan range maks kontroler LQR dan SDRE

Range Maks LQR SDRE

Sudut awal Theta 1 (rad) ±0.3 ±0.9

Theta 2 (rad) ±0.2 ±0.5

Disturbance (gain impuls) 52 100

Pengujian dilakukan pada plant TSIP untuk mengetahui batas maksimum kondisi awal sudut theta 1 dan theta 2 yang dapat di atasi oleh kedua kontroler sehingga pendulum masih dapat mencapai posisi stabilnya. Dari hasil simulasi yang ditunjukkan pada tabel 2 didapati bahwa batang pendulum bagian atas memiliki batas awal dengan range yang lebih sempit dari batang pendulum bagian bawah. Apabila kondisi awal yang diberikan pada plant terlalu besar maka plant tidak dapat kembali ke dalam keadaan stabil. Apabila diberikan disturbance pada kedua kontroler dapat dipastikan bahwa kontroler SDRE mempu mengatasi Disturbance yang lebih besar sebagaimana dapat dilihat pada tabel 2. Disturbance diberikan pada kereta dengan memberikan gangguan berupa sinyal impuls yang diperkuat dan angka yang tertepa dada tabel adalah nilai penguatannya yang menunjukkan bahwa kontroler SDRE mampu mengatasi disturbance yang nilainya hampir 2x dari besarnya disturbance yang mampu diatasi kontroler LQR.

Pada Simulasi ini juga dapat dibuktikan bahwa kontroler SDRE mampu mengatasi subset yang lebih besar dari yang dapat diatasi kontroler LQR karena proses linierisasi tidak dilakukan pada keseluruhan sistem melainkan dilakukan linierisasi yang berulang pada setiap periode waktu tertentu.

Untuk membandingkan kecepatan respon kedua kontroler maka dilakukan simulasi untuk membandingkan kecepatan respon dan besarnya overshoot yang diperlihatkan pada gambar 8-12 yang hasilnya ada pada tabel 3 berikut ini

Tabel 3. perbandingan respon kontroler SDRE dan LQR

SDRE LQR Settling time overshoot Settling time overshoot Kereta 3.73 1.1592 3.55 1 Pend. 1 3.09 0.415 3.05 0.48 Pend. 2 0.98 0.1004 1.05 0.18

Dari hasil simulasi tersebut dapat disimpulkan bahwa kontroler SDRE mempunyai respon yang sedikit lebih cepat yang artinya system DIP yang dikontrol menggunakan SDRE mampu kembali keposisi stabil lebih cepat dari pada system dengan kontroler LQR meskipun pergerakan kereta pada gambar 4.6 menunjukkan bahwa overshootnya lebih tinggi namun di bagian lainnya pada gambar 4.7 dan ganmar 4.8 menunjukkan bahwa overshootnya lebih rendah.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.5 1 1.5 2 Waktu (Detik) Ja ra k ( m e te r)

Posisi Kereta untuk kontrol SDRE pada beberapa initial condition

0.9 // -0.2 (rad) 0.9 // 0 (rad) 0.4 // 0.2 (rad) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 waktu (detik) S u d u t (r a d ia n )

Sudut Pendulum Bawah kontroller SDRE dengan sudut ( Theta1 / Theta2 ) tertentu

data1 data2 data3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 Waktu (detik) S u d u t (r a d ia n )

Sudut Pendulum Atas kontroller SDRE dengan sudut ( Theta1 / Theta2 ) tertentu

data1 data2 data3 Kondisi awal (rad) Settling time (detik) Overshoot

Theta1 Theta2 kereta Pend.1 Pend.2 keretaPend.1Pend.2 0.9 -0.2 2.52 1.5 1.8 2.4 -0.5 0.27

0.9 0 2.73 2.27 2.2 4.2 -0.83 0.2

(7)

Gambar 4.6 hasil simulasi posisi kereta kontroler SDRE dan LQR

Gambar 4.7 hasil simulasi sudut pendulum bagian bawah kontroler SDRE dan LQR

Gambar 4.8 hasil simulasi sudut pendulum bagian atas kontroler SDRE dan LQR

7. KESIMPULAN

Dari hasil simulasi dan analisa yang telah dilakukan pada pengerjaan tugas akhir ini diperoleh beberapa kesimpulan bahwa State Dependent Riccati Equation mampu menstabilkan plant Two Stage Inverted Pendulum yang berorde enam. Sistem kontrol State Dependent Riccati Equation secara umum memiliki respon yang lebih cepat dari sistem kontrol Linear Quadratic Regulator untuk diterapkan pada plant nonlinier. Dari hasil perbandingan dengan salh satu kontroler linier dapat disimpulkan bahwa State Dependent Riccati Equation dapat menstabilkan plant dengan sudut awal pendulum lebih dari 2x yang dapat diatasi oleh kontroler Linear Quadratic Regulator. Dan kontroler State Dependent Riccati Equation juga dapat mengatasi gangguan yang diberikan pada kereta dengan nilai yang jauh lebih besar yaitu hampir 5x dari kontroler Linear Quadratic Regulator.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Sergey Katsev, “ Streamlining af the State Dependent Riccati Equation Controller Algorithm for an Embeded Implementation”, Thesis of computer engineering, Rochester, New York November 2006

[2] ----, “SimMechanicsTM 3 User Guide”, The MathWorks Inc, Massachusetts.

[3] Wei Zhong and Helmut rock, “ Energy and Passivity Based Control of the Double Inverted Pendulum on a Cart”, proceding of the 2001 IEEE International, Mexico September 2001.

RIWAYAT HIDUP

Dyah Tri Utami lahir di kota Malang pada tanggal 16 mei 1987, anak ketiga dari tiga bersaudara pasangan Bapak Karjono dan Ibu Sofiatin ini memulai pendidikan dasar hingga tingkat SMA di Malang. Pada tahun 2006 melanjutkan studi kejenjang perguruan tinggi di Jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknologi Industri, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya di bidang studi Teknik Sistem Pengaturan. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Waktu (detik) Ja ra k ( M e te r)

Posisi Kereta untuk SDRE dan LQR

SDRE LQR 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -0.5 0 0.5 1 Waktu (Detik) S u d u t (R a d ia n )

Sudut Pendulum Bawah untuk LQR dan SDRE Sudut Pendulum Bawah untuk LQR dan SDRE Sudut Pendulum Bawah untuk LQR dan SDRE Sudut Pendulum Bawah untuk LQR dan SDRE

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Waktu (detik) S u d u t (r a d ia n )

Sudut Pendulum atas untuk LQR dan SDRE

SDRE LQR