NASKAH BUKU PENGAYAAN UNTUK SMP SEGITIGA. Disusun Oleh : Nama : MUHAMMAD YUSUF, S.Pd. Pekerjaan : PENDIDIK Unit Kerja : SMP NEGERI 1 BOLO

NASKAH BUKU PENGAYAAN

UNTUK SMP

Disusun Oleh :

Nama : MUHAMMAD YUSUF, S.Pd.

Pekerjaan : PENDIDIK

Unit Kerja : SMP NEGERI 1 BOLO

KABUPATEN BIMA

NUSA TENGGARA BARAT

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat dan karunia-Nya sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan naskah buku yang berjudul “Segitiga” ini.

Naskah buku ini di susun dalam rangka menambah wawasan peserta didik tentang Segitiga, khusunya pada tingkat SMP. Selama mengikuti kegiatan pembelajaran reguler, peserta didik hanya mendapat sedikit pengetahuan tentang Segitiga. Buku ini mencoba menguraikan beberapa hal tentang Segitiga yang tentu lebih luas dari materi yang didapat saat pembelajaran reguler.

Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada seluruh keluarga saya atas segala dukungannya sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan naskah ini.

Akhirnya saya berharap agar naskah buku ini bisa bermanfaat bagi dunia pendidikan kita, khusunya bagi perkembangan pengetahuan matematika peserta didik kita. Saya juga berharap adanya saran dan masukan demi penyempurnaan naskah ini.

Bolo, Juli 2013 Penyusun

DAFTAR ISI

Halaman

Halaman Judul i

Kata Pengantar ii

Daftar Isi iii

BAB I SIFAT UMUM SEGITIGA 1

A. Unsur-Unsur Segitiga 1

B. Jenis Segitiga 1

C. Sifat Segitiga 3

D. Garis-Garis Istimewa pada Segitiga 4

E. Kesebangunan pada Segitiga 5

BAB II KESEBANGUNAN PADA SEGITIGA 6

BAB III KONGRUENSI SEGITIGA 11

A. Sisi Sudut Sisi 11

B. Sudut Sisi Sudut 12

C. Sudut Sudut Sisi 13

D. Sisi Sisi Sisi 14

BAB IV SEGITIGA SIKU-SIKU DAN TEOREMA PYTHAGORAS 15

A. Teorema Pythagoras 15

B. Kebalikan Teorema Pythagoras 16

C. Contoh Soal 16

D. Tripel Pythagoras 18

E. Dua Segitiga Siku-Siku Khusus 20

F. Beberapa Hubungan pada Segitiga Siku-Siku 21

BAB V LUAS SEGITIGA 24

BAB VI SEGITIGA SAMASISI 29

A. Definisi 29

B. Sifat-Sifat Segitiga Samasisi 29

C. Luas Segitiga Samasisi 30

D. Contoh Permasalahan pada Segitiga Samasisi 30 E. Jari-Jari Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar 34

F. Teorema – Teorema Penting 34

BAB VII SEGITIGA SAMAKAKI 38

A. Sifat Segitiga Samakaki 38

B. Analisis Soal Menggunakan Segitiga Samakaki 38 C. Membelah Segitiga Samakaki menjadi Beberapa Segitiga

Samakaki

41 D. Membelah Sebuah Segitiga Menjadi Dua Buah Segitiga

Samakaki

41

BAB VIII LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM 44

A. Lingkaran Luar 44

B. Lingkaran Dalam 45

C. Lingkaran Singgung Luar 46

D. Contoh-Contoh Permasalahan 47

BAB IX GARIS CEVIAN 54

A. Segitiga dan Lingkaran Cevian 54

B. Segitiga Kontak dan Titik Gergonne 55

C. Isogonal Conjugates 56

D. Symmedian 56

E. Perbandingan pada Symmedian 57

F. Panjang Symmedian 57

G. Garis-Garis Cevian Khusus 57

BAB X TEOREMA STEWART DAN APLIKASINYA 59

BAB XI TEOREMA CEVA DAN APLIKASINYA 68

A. Teorema Ceva 68

B. Teorema Ceva pada Titik Berat 69

C. Teorema Ceva pada Orthocenter 69

D. Teorema Ceva pada Titik Pusat Lingkaran Dalam 70

BAB XII TITIK-TITIK PENTING 71

A. Titik-Titik Penting 71

B. Titik Nagel 74

C. Titik Napoleon 75

D. Titik Torricelli 77

BAB XIII SEGITIGA SAMASISI DI DALAM SEBUAH PERSEGI PANJANG 78

A. Perhitungan Panjang Segmen Garis 78

B. Cara Membentuk Segitiga Samasisi 79

C. Contoh Soal 79

BAB XIV SEGITIGA 3-4-5 DI DALAM SEBUAH PERSEGI 84

A. Aneka Kreasi Segitiga 3-4-5 di Dalam Sebuah Persegi 84

B. Contoh Soal 85

Lampiran :

1. Surat Pengantar Kepala Sekolah 2. Biodata Penyusun

3. Fotokopi SK CPNS dan SK Terakhir 4. Fotokopi KTP

BAB I

SIFAT UMUM SEGITIGA

A. Unsur-unsur Segitiga

Perhatikan gambar segitiga berikut :

Segitiga memiliki tiga buah sisi sebagai pembatas. Pada setiap segitiga juga terdapat tiga buah sudut, dimana masing-masing sudut diapit oleh dua buah sisi dan titik pertemuan kedua sisi itu sebagai titik sudutnya. Penamaan sebuah segitiga biasanya didasarkan pada huruf-huruf yang ada masing-masing titik sudut sesuai urutan abjad.

Segitiga pada gambar di atas disebut segitiga ABC, dengan sisi-sisi AB, BC, dan AC. Sudut-sudutnya adalah ∠CAB dengan titik sudut A, ∠ABC dengan titik sudut B, dan ∠BCA dengan titik sudut C.

B. Jenis Segitiga

1. Berdasarkan besar sudutnya

Berdasarkan besar sudutnya segitiga dibedakan atas 3 jenis, yaitu :

a. Segitiga Lancip, yaitu segitiga yang besar ukuran ketiga sudutnya kurang dari 900 .

b. Segitiga Siku-Siku, yaitu segitiga yang besar ukuran salah satu sudutnya 900 .

c. Segitiga Tumpul, yaitu segitiga yang besar ukuran salah satu sudutnya lebih dari 900.

2. Berdasarkan panjang sisinya

Berdasarkan pajang sisinya segitiga juga dibedakan atas 3 jenis, yaitu : a. Segitiga Samasisi, yaitu segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. b. Segitiga Samakaki, yaitu segitiga yang dua sisinya sama panjang.

A

B C

c. Segitiga Sembarang, yaitu segitiga yang ketiga sisinya tidak sama panjang.

Contoh

Tentukan jenis segitiga-segitiga berikut

Solusi :

Segitiga ABC : Berdasarkan sudut = Lancip Berdasarkan sisi = Samakaki Segitiga DEF Berdasarkan sudut = Siku-siku

Berdasarkan sisi = Samakaki Segitiga GHI Berdasarkan sudut = Tumpul

Berdasarkan sisi = Sembarang Segitiga JKL Berdasarkan sudut = Siku-siku Segitiga MNO Berdasarkan sudut = Tumpul

Berdasarkan sisi = Samakaki Segitiga PQR Berdasarkan sudut = Lancip

Berdasarkan sisi = Samakaki

Segitiga Samasisi Segitiga Samakaki Segitiga Sembarang

A B C D E F G H I J K L M N P O Q R 590 590 620 1200 420 420 450 850 500

C. Sifat Segitiga

1. Panjang Sisi Segitiga

Jumlah panjang dari dua buah sisi segitiga senantiasa lebih panjang dari panjang sisi yang ketiga. Sifat ini dikenal dengan nama Ketaksamaan Segitiga.

Perhatikan gambar segitiga berikut :

Pernyataan di atas dapat dirumuskan sebagai berikut :

a. AC + AB > BC b. AB + BC > AC c. AC + BC > AB 2. Jumlah Sudut Segitiga

Jumlah ketiga sudut segitiga adalah 1800.

Pada segitiga di atas, ∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 1800

Contoh 1

Terdapat lima potong kayu dengan panjang 1m, 2m, 3m, 4m, dan 5m. Berapa banyak jenis segitiga yang bisa dibuat dengan menggunakan potongan-potongan kayu tersebut bila tidak ada potongan-potongan kayu yang disambung.

Solusi

Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, maka pasangan potongan kayu yang bisa dibuat segitiga adalah (2,3,4), (2,4,5), (3,4,5)

(1,2,3) tidak bisa digunakan, karena 1 + 2 = 3 (1,2,4) tidak bisa digunakan, karena 1 + 2 < 4 (1,2,5) tidak bisa digunakan, karena 1 + 2 < 5 (1,3,4) tidak bisa digunakan, karena 1 + 3 = 4 (1,3,5) tidak bisa digunakan, karena 1 + 3 < 5 (1,4,5) tidak bisa digunakan, karena 1 + 4 = 5 (2,3,5) tidak bisa digunakan, karena 2 + 3 = 5 Contoh 2

Tentukan nilai x pada gambar di samping. Solusi

Karena jumlah sudut segitiga adalah 1800 Maka x = 1800 – (65 + 75)0 = 400 A B C x 750 650

Contoh 3

Pada gambar di samping, garis PS, QT dan RU berpotongan pada satu titik yaitu titik O. Tentukan nilai a + b + c + d + e + f

Solusi

∠POQ = 1800 _{– (a + b)}

∠POQ = ∠SOT

∠SOT = 1800 _{– (∠SOR + ∠TOU)}

Sehingga a + b = ∠SOR + ∠TOU

Sementara itu ∠SOR = 1800 _{– (c + d) dan ∠TOU = 180}0 _{– (e + f)}

Sehingga a + b = 1800 – (c + d) + 1800 – (e + f) a + b + c + d + e + f = 3600

D. Garis-Garis Istimewa pada Segitiga

1. Garis Tinggi, yaitu garis yang ditarik tegak lurus dari salah satu titik sudut sebuah segitiga ke sisi segitiga yang ada dihadapannya. Karenanya ada tiga buah garis tinggi pada sebuah segitiga. Ketiga garis tinggi segitiga itu berpotongan pada satu titik yang disebut orthocenter.

2. Garis Berat, yaitu garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga ke titik tengah dari sisi yang ada dihadapannya. Garis berat suatu segitiga juga ada tiga dan ketiganya berpotongan pada satu titik dan menjadi titik berat segitiga itu.

3. Garis Bagi Sudut, yaitu garis yang membagi dua sebuah sudut segitiga menjadi dua sudut yang ukurannya sama. Garis bagi sudut pada setiap segitiga juga ada tiga dan ketiganya berpotongan pada satu titik yang menjadi titik pusat lingkaran dalam segitiga itu. Lingkaran dalam adalah lingkaran yang menyinggung ketiga sisi segitiga.

4. Garis Sumbu, yaitu garis yang membagi dua tegak lurus sebuah sisi segitiga. Ketiga garis sumbu segitiga berpotongan pada sebuah titik yang menjadi titik pusat lingkaran luar segitiga. Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga.

P Q R S T U O

a

b

c

d

e

f

E. Kesebangunan pada Segitiga

Dua segitiga disebut sebangun jika memenuhi salah satu dari dua syarat berikut : 1. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, atau

2. Sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama

Contoh 1 Contoh 2

Apakah kedua segitiga sebangun Apakah kedua segitiga sebangun

Solusi Solusi

∠B = 1800 _{– (30}0

+ 500) = 1000 𝐾𝐿_𝑃𝑄 =₂₀4 =1₅ , 𝐿𝑀_𝑄𝑅 = ₂₅5 = 1₅ , 𝐾𝑀_𝑃𝑅 =₃₆6 = 1₆ ∠F = 1800 _{– (30}0

+ 1000) = 500 Maka ΔKLM tidak sebangun dengan

∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F ΔPQR

Maka ΔABC sebangun dengan ΔDEF

A B C D E F K L M P Q R 4 5 6 20 25 36 300 500 300 1000

BAB II

KESEBANGUNAN SEGITIGA

Kita dapat menyatakan bahwa ΔABC and ΔA’B’C’ adalah sebangun dengan koefisien k, jika m∠A = m∠A’, m∠B = m∠B’, m∠C = m∠C’ dan

𝐴′𝐵′ 𝐴𝐵 = 𝐵′𝐶′ 𝐵𝐶 = 𝐴′𝐶′ 𝐴𝐶 = 𝑘 Notasi yang biasa digunakan adalah ΔABC ∿ ΔA’B’C’.

Theorem 1.

Diberikan sebuah ΔABC dan titik B’ yang terletak pada AB serta titik C’ yang terletak pada AC sedemikian hingga BC sejajar dengan B’C’. maka ΔABC ∿ ΔA’B’C’

Theorem 2.

Untuk setiap ΔABC dan sebuah bilangan real k > 0, terdapat sebuah ΔA’B’C’ yang sebangun dengan dengan ΔABC dengan koefisien k.

Theorem 3.

Diberikan ΔABC dan ΔA’B’C’ sedemikian sehingga m∠A = m∠A’ dan m∠B = m∠B’. Maka kedua segitiga tersebut sebangun.

Theorem 4.

Diberikan ΔABC dan ΔA’B’C’ sedemikian sehingga m∠A = m∠A’ dan 𝐴′𝐵′_𝐴𝐵 = 𝐴′𝐶′_𝐴𝐶. maka kedua segitiga tersebut sebangun.

Theorem 5.

Diberikan ΔABC dan ΔA’B’C’ sedemikian sehingga 𝐴′𝐵′ 𝐴𝐵 = 𝐵′𝐶′ 𝐵𝐶 = 𝐴′𝐶′ 𝐴𝐶 Maka kedua segitiga tersebut sebangun

A B

C

B’ C’

Theorem 6.

Diberikan sebuah segitiga siku-siku ABC, dengan ∠C sebagai sudut siku-siku.

Diberikan pula CD sebagai garis tinggi ΔABC dari titik C dengan M terletak pada AB. Maka ΔABC, ΔACD, ΔCBD semuanya sebangun.

Contoh 1

Diberikan trapesium ABCD dengan panjang dua sisi sejajarnya adalah AD = 9 dan BC = 6, sedemikian hingga jarak antara kedua sisi sejajar tersebut adalah 5. Diberikan pula titik O sebagai titik potong perpanjangan garis AB dan CD

(a) Tunjukkan bahwa ΔOBC dan ΔOAD adalah kongruen (b) Tentukan jarak dari O ke AD

Solusi

Perhatikan gambar berikut

(a) Karena BC sejajar dengan AD, maka sesuai teorema 1 berlaku ΔOBC ∿ ΔOAD (b) Koefisien perbandingan ΔOBC dan ΔOAD adalah _𝐴𝐷𝐵𝐶 = 6₉= 2₃

Sehingga perbandingan tinggi kedua segitiga juga harus 2₃ Misalkan tinggi ΔOAD = t, maka tinggi ΔOBC = t – 5 Akibatnya

𝑡 − 5

𝑡 =

2 3 Sehingga diperoleh nilai t = 15

Jarak O ke AD adalah sama saja dengan tinggi ΔOAD, sehingga jaraknya adalah 15 A B C D O A D B C

Contoh 2

Pada ΔABC, D adalah titik tengah BC, E adalah titik tengah AC, dan F adalah titik tengah AB. Tunjukkan bahwa ΔDEF sebangun dengan ΔABC dengan koefisien ½. Solusi

Perhatikan gambar berikut

Karena DE ⫽ AB , maka ΔCDE ∿ ΔABC

Akibatnya DE : AB = CD : CB = ½ atau DE = ½ AB

Dengan cara yang sama diperoleh EF = ½ BC, dan DF = ½ CA Sehingga perbandingan sisi dari ABC dan DEF adalah

𝐷𝐸 𝐴𝐵 = 𝐸𝐹 𝐵𝐶 = 𝐷𝐹 𝐶𝐴 = 1 2

Sesuai teorema 5, maka ΔABC ∿ ΔDEF dengan koefisien ½

Contoh 3

Tentukan nilai x, y dan z pada masing-masing gambar berikut

Untuk menyelesaikan soal ini, perhatikan kembali teorema 6 di atas dan akan dibahas dengan lebih detail lagi pada bagian Teorema Pythagoras

A B _D C E F 6 8 65 156 x x y z y z (a) _(b)

Contoh 4

Gunakan gambar berikut untuk membuktikan bahwa 𝑥 𝑦

=

𝐵𝐴 𝐵𝐶 solusi

Karena ∠EBC = ∠BCD, maka BE ⫽ CD, sehingga ΔAEB ∿ ΔACD Akibatnya AE : AC = AB : AD

Karena BCD samakaki, maka BD = BC, sehingga AD = AB + BC Sehingga AE : AC = AB : AD ⇒ x : (x + y) = AB : (AB + BC) x(AB + BC) = AB(x + y) 𝐴𝐵+𝐵𝐶 𝐴𝐵 = 𝑥+𝑦 𝑥 1 +𝐵𝐶_𝐴𝐵 = 1 +𝑦_𝑥 𝑥 𝑦

=

𝐵𝐴 𝐵𝐶 x y A B C

∘ ∘

∘

∘

x y A B C

∘ ∘

∘

∘

D E

Contoh 5

Sisi miring dari segitiga siku-siku 5-12-13 adalah merupakan garis bagi sudut M dari segitiga KLM. Tentukan panjang M.

Solusi

Perhatikan gambar berikut

ΔKLN ∿ ΔKPM, sehingga 12 : KP = KN : KM Karena LMP samakaki, maka LP = LM

Sehingga 12 : KP = KN : KM ⇒ 12 : (12 + LM) = 5 : (5 + x) 12(5 + x) = 5(12 + LM) 60 + 12x = 60 + 5LM 12x = 5LM

Sementara itu dengan menggunakan teorema pythagoras, LM2 = LK2 + KM2 Sehingga LM2 = 122 + (5 + x)2 LM2 = 169 + 10x + x2 Karena 12x = 5LM Maka 12𝑥₅ 2= 169 + 10x + x2 Sehingga 144x2 = 4225 + 250x + 25x2 119x2 – 250x – 4225 = 0 x = 250± 62500 +4×119×4225_2×119 =250± 100(625+119×169)_2×119 x = 250±1440_2×119 dan karena x harus positif, maka x = 250+1440_2×119 = 845₁₁₉ L M N K 5 12 13 x ∘ ∘ L ∘ ∘ ∘ ∘ M N K 5 13 12 P x

BAB III

KONGRUENSI SEGITIGA

Dua segitiga, ΔABC dan ΔDEF, disebut kongruen jika ukuran sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. Notasi untuk menyatakan kekongruensian dua segitiga tersebut adalah ΔABC ≅ ΔDEF.

Contoh

Jika semua segitiga pada gambar di samping adalah kongruen, temukan tiga buah segitiga terbesar yang kongruen

Jawab

ΔACH, ΔBDI, dan ΔEGJ

A. Sisi Sudut Sisi

Jika ΔABC dan ΔDEF adalah dua buah segitiga yang memenuhi AB = DE, ∠ABC = ∠DEF, dan BC = EF, maka ΔABC ≅ ΔDEF.

Perhatikan gambar berikut

Kedua gambar di atas adalah sama persis, yang satu merupakan duplikat dari yang lain, dengan AB = DE, ∠ABC = ∠DEF, dan BC = EF. Jika titik A dan C dihubungkan

A B C D E F _{AC = EF} AB = DE BC = DF ΔABC ≅ ΔDEF ∠BAC = ∠DEF ∠BCA = ∠EFD ∠ABC = ∠EDF A B _C D E F A B C D E F G H I J

dan titik D dan E juga dihubungkan, maka panjang AC = DE, demikian juga dengan m∠BAC = m∠EDF dan m∠BCA = m∠EFD. Sehingga ΔABC ≅ ΔDEF.

Contoh

Perhatikan gambar di samping.

Jika AE = CE dan BE = DE. Tunjukkan bahwa ΔABE ≅ ΔCDE

Solusi

AE = CE Sesuai soal

mBEA = mCED Sesuai sifat dua sudut yang berseberangan

BE = DE Sesuai soal

Sehingga ΔABE ≅ ΔCDE

B. Sudut Sisi Sudut

Jika ABC dan DEF memenuhi

∠CAB = ∠FDE AB = DE ∠ABC = ∠DEF Maka ΔABE ≅ ΔCDE

Perhatikan gambar berikut

∠CAB = ∠FDE AB = DE ∠ABC = ∠DEF

Jika panjang AC, BC, DF, dan EF diukur dengan teliti, maka pasti akan ditemukan bahwa BC = EF, AC = DF, demikian pula dengan ∠BCA = ∠EFD.

Sehingga ΔABE ≅ ΔCDE

A B C D E A B C D E F

∘

∘

x x

Contoh

Perhatikan gambar berikut

Solusi ∠MKL = 1800 _{– (85}0 + 200) = 750 Sehingga ∠MKL = ∠PRQ KL = QR ∠KLM = ∠RQP Maka ΔKLM ≅ ΔPQR

C. Sudut Sudut Sisi

Jika ABC dan DEF memenuhi ∠ABC = ∠DEF ∠CAB = ∠FDE

AC = DF Maka ΔABE ≅ ΔCDE

Contoh

Perhatikan gambar di samping.

Jika ∠EAD = ∠EBC

AD = BC Tunjukkan bahwa AE = BE

Solusi

∠EAD = ∠EBC sesuai soal AD = BC sesuai soal ∠E = ∠E sudut berimpit Akibatnya AE = BE K M L Q P R Jika KL = QR, tunjukkan bahwa ΔKLM ≅ ΔPQR 200 200 850 750 A B C D E F ΔADE ≅ ΔBCE (sudut-sudut-sisi) B D E A C

D. Sisi Sisi Sisi

Jika sisi-sisi yang bersesuaian pada dua buah segitiga sama panjang, maka kedua segitiga tersebut kongruen.

Perhatikan gambar berikut.

Contoh

Perhatikan gambar di samping.

Jika AC = AB dan BY = CY, tunjukkan bahwa ΔBYA ≅ ΔCYA

Solusi

AC = AB dan BY = CY (sesuai soal)

AY = AY (garis berimpit)

Maka ΔBYA ≅ ΔCYA

A B C D E F ΔABE ≅ ΔCDE A B _C Y

BAB IV

SEGITIGA SIKU-SIKU DAN TEOREMA PYTHAGORAS

A. Teorema Pythagoras

Jika sebuah segitiga adalah segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b, dan c, dimana a ≤ b < c, maka a2

+ b2 = c2.

Ada banyak pembuktian yang telah disampaikan oleh para ahli tentang teorema itu, salah satunya dengan cara berikut :

Perhatikan pula pembuktian Euclid berikut

Pada masing-masing sisi segitiga siku-siku dibuat sebuah persegi dengan panjang sisi sesuai panjang sisi segitiga.

Dari ketiga persegi yang dibuat itu diperoleh hubungan bahwa luas persegi sisi c sama dengan luas persegi sisi a ditambah luas persegi dengan sisi b

Dengan demikian a2 + b2 = c2

a

c

b

a b c A B C A B C D E F H J G I K

Garis BHI dibuat sejajar dengan CF.

BCF dan ECA adalah dua segitiga yang kongruen (sesuai syarat sisi-sudut-sisi) ECA dan ECB memiliki luas yang sama (sama-sama beralaskan CE dengan tinggi BC). Sehingga luas ECA = ½ Luas persegi pada sisi BC.

Karena BI sejajar dengan CF, maka luas BCH = ½ Luas FCHI

Dengan demikian luas FCHI sama dengan luas persegi pada sisi BC.

Dengan membuat garis BG dan CJ, maka dengan kesebangunan akan diperoleh bahwa luas HIGA sama dengan luas persegi pada sisi AB.

Sehingga luas persegi pada sisi AC = luas persegi pada sisi BC + Luas persegi pada sisi AB

Perhatikan pula pembuktian dengan gambar berikut

B. Kebalikan Teorema Pythagoras :

Jika sebuah segitiga dengan panjang sisi-sisinya adalah a, b, dan c yang memenuhi a2 + b2 = c2, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku

C. Contoh Soal

1. Dapatkah ketiga ruas garis dengan panjang sebagai berikut digunakan untuk membentuk segitiga siku-siku?

a) 2 cm, 7 cm, dan 1 cm b) 37 m, 12 m, dan 35 m c) 6m, 7m, dan 8m solusi a a a a a a a a b b b b b b b b c c c c c c

a) Tidak dapat membentuk segitiga apapun, karena 2 + 1 < 7 b) Dapat membentuk segitiga siku-siku, karena 122 + 352 = 372 c) Dapat membentuk segitiga, tetapi bukan segitiga siku-siku 2. Tentukan panjang sisi miring dari segitiga berikut.

Solusi x2 = 52 + 122

= 25 + 144 = 169 x = 13

3. Tentukan nilai x pada gambar berikut.

Solusi

x2 + 632 = 652 x2 + 3969 = 4225

x2 = 256 x = 16

4. Panjang salah sisi siku-siku sebuah segitiga siku-siku adalah 9 cm, sedangkan selisih panjang dari dua sisi yang lainnya adalah 1 cm. Tentukan panjang semua sisi segitiga tersebut.

Solusi

Misalkan panjang sisi miringnya = c dan panjang sisi siku-siku yang lainnya = b, dengan c > b Maka 92 + b2 = c2 c2 – b2 = 81 (c + b)(c – b) = 81 (c + b) (1) = 81 c + b = 81 5 cm 12 cm 63 cm x 65 cm

Karena c – b = 1 dan c + b = 81, maka 2c = 82, sehingga c = 41dan b = 40 Sehingga panjang ketiga sisi segitiga tersebut adalah 9 cm, 40 cm dan 41 cm

5. Panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku adalah 50 cm, sedangkan selisih panjang dua sisi yang lainnya adalah 34 cm. Tentukan panjang semua sisi segitiga tersebut.

Solusi

Misalkan panjang dua sisi siku-siku segitiga itu adalah a dan b Maka a2 + b2 = 502 Karena a – b = 34, maka a = 34 + b (34 + b)2 + b2 = 502 1156 + 68b + b2 + b2 = 2500 2b2 + 68b – 1344 = 02688 b2 + 34b – 672 = 0 (b – 14)(b + 48) = 0 B = 14 atau b = - 48

Karena b harus positif maka b = 14 dan a = 48

Sehingga panjang ketiga sisi segitiga itu adalah 14 cm, 48 cm, dan 50 cm

D. Tripel Pytagoras

Perhatikan kembali soal nomor 1(b) di atas.

Ruas-ruas garis dengan panjang 12 cm, 35 cm, dan 37 cm dapat digunakan untuk membentuk segitiga siku-siku. Hal ini dikarenakan 122 + 352 = 372, sehingga memenuhi teorema yang berlaku pada segitiga siku-siku yaitu a2 + b2 = c2.

Bilangan-bilangan bulat positif yang memenuhi hubungan seperti itu disebut tripel pytagoras.

Berikut daftar beberapa bilangan tripel pytagoras

(3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (8,15,17) (9,40,41) (11,60,61) (12,35,37) (13,84,85) (15,112,113) (16,63,65) (17,144,145) (19,180,181) (20,21,29) (20,99,101) (21,220,221) (23,264,265) (24,143,145) (25,312,313)

(27,364,365) (28,45,53) (28,195,197) (29,420,421) (31,480,481) (32,255,257) (33,56,65) (33,544,545) (35,612,613) (36,77,85) (36,323,325) (37,684,685) (39,80,89) (39,760,761) (40,399,401) (41,840,841) (43,924,925) (44,117,125) (44,483,485) (48,55,73) (48,575,577) (51,140,149) (52,165,173) (52,675,677) (56,783,785) (57,176,185) (60,91,109) (60,221,229) (60,899,901) (65,72,97) (68,285,293) (69,260,269) (75,308,317) (76,357,365) (84,187,205) (84,437,445) (85,132,157) (87,416,425) (88,105,137) (92,525,533) (93,476,485) (95,168,193) (96,247,265) (100,621,629) (104,153,185) (105,208,233) (105,608,617) (108,725,733) (111,680,689) (115,252,277) (116,837,845) (119,120,169) (120,209,241) (120,391,409) (123,836,845) (124,957,965) (129,920,929) (132,475,493) (133,156,205) (135,352,377) (136,273,305) (140,171,221) (145,408,433) (152,345,377) (155,468,493) (156,667,685) (160,231,281) (161,240,289) (165,532,557) (168,425,457) (168,775,793) (175,288,337) (180,299,349) (184,513,545) (185,672,697) (189,340,389) (195,748,773) (200,609,641) (203,396,445) (204,253,325) (205,828,853) (207,224,305) (215,912,937) (216,713,745) (217,456,505) (220,459,509) (225,272,353) (228,325,397) (231,520,569) (232,825,857)

(240,551,601) (248,945,977) (252,275,373) (259,660,709) (260,651,701) (261,380,461) (273,736,785) (276,493,565) (279,440,521) (280,351,449) (280,759,809) (287,816,865) (297,304,425) (300,589,661) (301,900,949) (308,435,533) (315,572,653) (319,360,481) (333,644,725) (336,377,505) (336,527,625) (341,420,541) (348,805,877) (364,627,725) (368,465,593) (369,800,881) (372,925,997) (385,552,673) (387,884,965) (396,403,565) (400,561,689) (407,624,745) (420,851,949) (429,460,629) (429,700,821) (432,665,793) (451,780,901) (455,528,697) (464,777,905) (468,595,757) (473,864,985) (481,600,769) (504,703,865) (533,756,925) (540,629,829) (555,572,797) (580,741,941) (615,728,953) (616,663,905) (696,697,985)

E. Dua Segitiga Siku-Siku Khusus 1. Segitiga Siku-Siku Samakaki

Jika sebuah segitiga siku-siku, memiliki dua sisi siku-siku yang sama, misalkan panjangnya adalah p, maka panjang sisi miringnya adalah p 2.

1 1 2 2 3 2 4 4 2 2 2 3 2 4 2

Contoh Soal

Berapakah keliling persegi ABCD pada gambar di samping?

Solusi

Karena ABD adalah segitiga siku-siku samakaki, dan panjang sisi miringnya adalah 18 2, maka AB = AD = 18

Sehingga luas persegi ABCD = 182 = 324 2. Segitiga Siku-Siku 300-600-900

Pada permodelan di atas, jika panjang sisi siku-siku terpendeknya adalah p, maka panjang sisi siku-siku yang lainnya = p 3 dan sisi miring = 2p

Contoh

Tentukan nilai a dan b pada segitiga di samping Solusi

Segitiga di samping adalah segitiga siku-siku 300-600-900, sehingga a = 17 dan b = 34

F. Beberapa Hubungan Pada Segitiga Siku-Siku

Hubungan 1

Sebuah segitiga siku-siku dengan dengan sudut siku-siku di C. CXPY adalah sebuah persegi, dimana P pada sisi miring, X pada sisi A dan Y pada sisi B. tunjukan bahwa jika t adalah sisi persegi itu, maka berlaku

1 𝑡 = 1 𝑎+ 1 𝑏 1 2 3 2 4 6 3 3 3 2 3 300 a b 17 3 A B C D 18 2

Bukti

Perhatikan gambar berikut

Sehingga t2 = (a – t)(b – t) t2 = ab – at – bt + t2 at + bt = ab t(a + b) = ab t = _𝑎+𝑏𝑎𝑏 1 𝑡 = 𝑎+𝑏 𝑎𝑏 1 𝑡 = 1 𝑎+ 1 𝑏 Hubungan 2

Diketahui ABC adalah segitiga siku-siku dengan sisi-sisi a, b, dan sisi miring c. jika d adalah panjang garis tinggi segitiga itu dengan alas sisi miring, maka berlaku hubungan 1 𝑎2+ 1 𝑏2 = 1 𝑑2 Bukti

Perhatikan gambar berikut A C B t t b a

Karena YP sejajar CB, maka m∠XBP = m∠YPA Demikian pula dengan m∠YAP = m∠BPX Sehingga ΔXBP ∿ ΔXYPA Dengan demikian : YP : XB = YA : XP t : (a – t) = (b – t) : t P Y X C A B a b c d D

DB2 = a2 – d2 DB = 𝑎2_{− 𝑑}2

Karena m∠DCB = m∠DAC dan m∠DBC = m∠DCA, maka ΔACD ∿ ΔDBC Sehingga DC : DB = AC : BC

d : 𝑎2_{− 𝑑}2 _{= b : a}

b 𝑎2_{− 𝑑}2 _{= ad}

Keduanya dikuadratkan, maka b2(a2 – d2) = a2d2 b2a2 – b2d2 = a2d2 a2d2 + b2d2 = a2b2 d2(a2 + b2) = a2b2 d2 = 𝑎 2_𝑏2 𝑎2_+𝑏2 1 𝑑2 = 𝑎2_{+ 𝑏}2 𝑎2_𝑏2 1 𝑎2+ 1 𝑏2 = 1 𝑑2

BAB V LUAS SEGITIGA

Rumus luas segitiga yang paling umum adalah L = 1₂at

Di samping itu, juga dikenal rumus dengan menggunakan aturan sinus L = 1₂ab sinC

Rumus luas yang lain adalah yang dikenal dengan Rumus Heron.

Untuk suatu segitiga dengan panjang sisi a, b, dan c, serta s sebagai setengah keliling segitiga tersebut, maka

L = 𝑠 (𝑠 − 𝑎) (𝑠 − 𝑏) (𝑠 − 𝑐) dimana s = 𝑎+𝑏+𝑐₂

Di samping itu dengan menggunakan jari-jari lingkaran luar segitiga, R, dan jari-jari lingkaran dalam, r, juga berlaku rumus luas sebagai berikut

L = 𝑎𝑏𝑐_4𝑅 L = rs Contoh 1

Keliling sebuah segitiga siku-siku adalah 60 dan luasnya 120. Tentukan panjang sisi-sisi segitiga tersebut

Solusi L = ½ at 120 = ½ at B A C a c b t

Sehingga at = 240

Karena segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku, maka t = b dan a2 + b2 = c2 Sehingga a2 + b2 = [60 – (a + b)]2 = 3600 – 120(a + b) + a2 + b2 + 2ab

120(a + b) – 2ab = 3600 120(a + b) – 2(240) = 3600 120(a + b) = 3600 + 480 = 4080 a + b = 34

Sehingga nilai c = 60 – 34 = 26

Karena ab = 240 dan a + b = 34, maka a = 10 dan b = 24 atau a = 24 dan b = 10 Sehingga panjang sisi segitiga itu adalah 10, 24, dan 26

Contoh 2

Segitiga ABC memiliki alas 8 dan tinggi 3. Jika panjang dua sisi yang lainnya adalah x dan 2x, tentukan x.

Solusi

Perhatikan gambar berikut

ΔABD ∿ ΔADC, sehingga AD : DC = AB : AC 3 : m = 2x : x Sehingga m = 3/2 Maka x2 = 32 + (3/2)2 = 9 + 9/4 x2 = (9/4) x 5 Sehingga x = 3₂ 5 Contoh 3

Tentukan luas segitiga samasisi dengan keliling 36 Solusi

Karena kelilingnya 36 maka panjang salah satu sisinya adalah 12 8 3 2x x m 8 – m A B _D C

Tinggi segitiga t2 = 122 – 62 t2 = 144 – 36 = 108 = 36 . 3 t = 6 3 Sehingga luasnya L = ½ x 12 x 6 3 L = 36 3 Contoh 4

Luas segitiga samasisi ABC di samping adalah 9 3. Sebuah segi-6 beraturan dibuat pada segitiga itu sehingga panjang sisi segi-6 tersebut sam dengan panjang potongan sisi segitiga ABC “ yang masih tersisa”. Tentukan luas dan keliling segi-6 beraturan tersebut

Solusi

Misalkan panjang sisi segitiga adalah a, maka tingginya adalah 𝑎₂ 3 Dan karena luas segitiga adalah 9 3, maka ½ x a x 𝑎₂ 3 = 9 3 Sehingga a = 6

Karena panjang potongan sisi segitiga ABC yang masih tersisa sama dengan panjang sisi segi-6, maka setiap sisi persegi itu dibagi menjadi 3 bagian yang sama panjang dan panjang sisi segi-6 adalah 2

Karena tiap sisi segitiga dibagi menjadi 3 bagian yang sama, maka tinggi sebuah segitiga kecil adalah ⅓ dari tinggi segitiga ABC, demikian pula dengan panjang alasnya adalah ⅓ dari alas segitiga ABC

Sehingga luas sebuah segitiga kecil adalah 1/9 x 9 3 = 3 , dan karena ada 3 potongan segitiga kecil, maka total luasnya adalah 3 3

Luas Segi-6 = Luas ABC – luas 3 potongan segitiga = 6 3

A

Kelilingnya adalah 2 x 6 = 12 Contoh 5

Tentukan perbandingan luas ΔABD dengan ΔBDC

Solusi

Panjang AB dapat dihitung denga teorema pythagoras AB2 = BD2 – AD2 = 152 – 52 = 200 Sehingga AB = 100 2 Luas ABD = ½ x 5 x 100 2 = 250 2 Luas ABC = ½ x 9 x 100 2 = 450 2 Luas BDC = 450 2 – 250 2 = 200 2 Sehingga perbandingan adalah

250 2 ∶ 200 2 5 ∶ 4

1 5

5

4

B

A

D

C

Contoh 6

Pada ΔABC, AB = 24 cm dan BC = 10 cm. BD tegak lurus terhadap AC. Tentukan perbandingan luas daerah yang diarsir dengan daerah yang tidak diarsir.

Solusi AC2 = 242 + 102 = 676 AC = 26 cm Misalkan CD = x, maka AD = 26 – x BD2 = AB2 – AD2 = 242 – (26 – x)2 Sementara itu, BD2 = 102 – x2 Sehingga 576 – 676 + 52x – x2 = 100 – x2 52x = 200 Berarti x = 50₁₃ Maka BD2 = 102 – (50/13)2 = 100 – 2500/169 = 14400₁₆₉ Sehingga BD = 120₁₃

Luas yang tidak diarsir = ½ x 50₁₃ x 120₁₃ Luas yang diarsir = ½ x 288₁₃ x 120₁₃ Perbandinganya ½ x 50₁₃ x 120₁₃ : ½ x 288₁₃ x 120₁₃ 50 : 288 25 : 144 A B C D

BAB VI

SEGITIGA SAMASISI

A. Definisi

Segitiga samasisi adalah segitiga yang ketiga sisinya samapanjang. Akibat dari definisi itu adalah ketiga sudutnya juga sama besar, yaitu 600.

B. Sifat-Sifat Segitiga Samasisi

1. Memiliki tiga sumbu simetri. Ketiga sumbu simetri itu juga merupakan garis bagi sudut, garis tinggi, dan garis berat, serta sekaligus merupakan garis sumbu

AF = FB = BD = DC = CE = EA

∠PAF = ∠PBF = ∠PBD = ∠PDC = ∠PCE = ∠PAE = 300

AD ⏊ BC, BE ⏊ AC, CF ⏊ AB

2. Perbandingan antara dua potong garis yang ada pada masing-masing garis tinggi adalah 1 : 2

Contoh : AP = 2PD, BP = 2PE, dan CP = 2PF

3. Semua segitiga yang terbentuk oleh ketiga garis tinggi adalah segitiga siku (300 – 600 – 900). Ada 3 buah yang besar dan ada 6 buah yang kecil. Karena sama-sama segitiga siku (300 – 600 – 900), maka segitiga yang besar sebangun dengan segitiga yang kecil.

4. Panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah dua kali panjang jari-jari lingkaran dalamnya.

5. Lingkaran dalam dan lingkaran luarnya adalah konsentrik, yaitu memiliki titik pusat yang sama.

600 600 600 300 300 300 A B _D C E F P

C. Luas Segitiga Samasisi

Sebagaimana telah diketahui, bahwa luas segitiga = ½ x alas x tinggi. Karena segitiga sama sisi memiliki kekhususan, maka cara perhitungan luasnya juga memiliki kekhususan.

Perhatikan gambar berikut.

Karena garis tingginya membagi dua alas (seperti yang diuraikan di atas) maka dengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh hasil sebagai berikut :

t2 = a2 – (a/2)2 t2 = a2 – a2/4 t2 = 3𝑎 2 2 t = 𝑎 3₂ Sehingga luasnya = 𝑎×𝑡₂ = 𝑎×𝑎 3₄ = 𝑎2₄ 3

D. Contoh Permasalahan pada Segitiga Samasisi

1. Segitiga yang disebelah kiri adalah segitiga samasisi. Gambar sebelah kanan dibuat dengan cara memotong setiap sisi segitiga semula menjadi 3 bagian yang sama, kemudian dibuat segitiga samasisi pada potongan yang ditengah dengan membuang alasnya. Jika segitiga semula memiliki panjang sisi 1, tentukan luas bangun yang dibuat pada gambar kedua.

a a 𝑎 2 𝑎 2 t

Solusi

Bentuk gambar di atas dapat dipandang sebagai bentuk berikut

Karena panjang sisi segitiga semula adalah 1, maka luasnya = 3₄ Panjang sisi sebuah segitiga samasisi yang kecil adalah 1₃

Sehingga luasnya = 3₃₆

Karena ada 3 buah segitiga samasisi kecil yang kongruen yang menonjol keluar dari segitiga semula, maka luasnya = 3₄ + 3 × 3₃₆ = 3₃

2. Segitiga OAB dan OA1B1 adalah segitiga-segitiga samasisi, dengan titik sudut sekutu O. Tunjukkan bahwa titik-titik tengah dari OB, OA1, dan AB1 adalah titik-titik sudut sebuah segitiga samasisi

Untuk membuktikan bahwa DEF adalah segitiga samasisi, kita dapat menggunakan rata-rata geometri, dimana kita harus membuktikan bahwa DEF adalah rata-rata geometri dari dua segitiga sama sisi yang ada.

Dari gambar di atas, diperoleh :

½ A + ½ B1 = D ½ B + ½ O = E ½ O + ½ A1 = F Ketiga persamaan tersebut dijumlahkan, sehingga

O A B B1 A1 D E F

½ ABO + ½ B1OA1 = DEF Sehingga DEF samasisi

3. Semua segitiga yang ada pada gambar berikut adalah samasisi. Jika panjang sisi segitiga yang besar adalah p, tentukan luas daerah yang diarsir.

Solusi

Luas segitiga yang besar = 𝑝2₄ 3 . Luas sebuah segitiga yang kecil = 𝑝₁₆2 3 Sehingga luas daerah yang diarsir = 3𝑝₁₆2 3

4. Sudut E dari sebuah segitiga samasisi ABE terletak di dalam persegi satuan ABCD. Jika R adalah daerah yang berisi semua titik-titik yang berada di dalam persegi dan di luar segitiga dan berjarak dari AD adalah antara 1₂ dan 1₃. tentukan luas R. (AMC 12 Tahun 2008)

Solusi

Segitiga AEF adalah segitiga siku-siku (300 – 600 – 900) dengan sisi miring AE = 1 dan EF =

3

2. Daerah R adalah merupakan daerah dua

trapesium kongruen dengan tinggi 1₆ dan garis sejajar terpendek = 1 − 3₂, dan garis sejajar terpanjang adalah 2 3𝐸𝐺 + 1 3𝐴𝐷 = 2 3 1 − 3 2 + 1 3∙ 1 = 1 − 3 3 Maka luas R adalah

2 ∙1 6∙ 1 2 1 − 3 2 + 1 − 3 3 = 1 6 2 − 5 3 6 = 12 − 5 3 36 A B C D E F G

5. Sebuah persegi panjang dan sebuah segitiga samasisi dengan luas yang sama memiliki lingkaran luar yang kongruen yang berjari-jari 2.

Tentukan ukuran persegi panjang. Solusi

Karena R = 2, maka pada segitiga berlaku R = 𝑎 3₃ = 2 Sehingga panjang sisi segitiga = a = 2 3

Luas segitiga = 𝑎2₄ 3 = 2 3 2 3 4 = 4∙3 3 4 = 3 3

Sementara pada persegi panjang, diameternya = 4 Misalkan ukurannya adalah x dan y, maka x2 + y2 = 42 Sehingga x2 + y2 = 16

Luasnya = xy = luas segitiga, sehingga xy = 3 3, sehingga x2

y2 = 27 Maka x2 + y2 = 16 ⇒ x2 + 27_𝑥2 = 16

⇒ x4 – 16x2 + 27 = 0

Penyelesaian dari persamaan tersebut adalah x2 = 8 ± 37. Karena y2 = 16 – x2, maka y2 = 16 − 8 ± 37

Maka pilihan yang tepat yang dapat menghasilkan nilai x dan y yang positif adalah x2 = 8 + 37 dan y2 = 8 − 37

Sehingga ukuran persegi panjang adalah x = 8 + 37 dan y = 8 − 37. x

y 4

E. Jari-Jari Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar

Sebagaimana yang disebutkan di atas, bahwa lingkaran dalam dan lingkaran luar dari sebuah segitiga samasisi adalah konsentrik.

Panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga samasisi dengan panjang sisi a adalah sebagai berikut

Sedangkan panjang sisi lingkaran dalamnya adalah sebagai berikut

F. Teorema-Teorema Penting Teorema 1

Jika ABC adalah segitiga samasisi dan M adalah sebuah titik pada busur BC dari lingkaran luar ABC, maka

│MA│ = │MB│ + │MC│. Teorema 2

Jika ABC adalah segitiga samasisi dan M adalah sebuah titik yang terletak pada bidang segitiga ABC, maka │MA│ ≤ │MB│ + │MC│. A B _D C E F P

Jari-jari lingkaran luar = R = PB

Sebagaimana yang sudah dihitung di atas, AD = BE = CF = 𝑎 3₂

Dan sudah pula diketahui bahwa PB = ⅔BE Sehingga R = 𝑎 3₃ B _D C E F P

Jari-jari lingkaran luar = r = PE Karena, AD = BE = CF = 𝑎 3₂ Dan PE = ⅓BE Sehingga r = 𝑎 3₆ A B C M

⦁

Teorema 3

Jika M adalah sebuah titik pada bidang segitiga samasisi ABC. Maka jarak │MA│, │MB│ dan │MC│ dapat menjadi panjang sisi-sisi sebuah segitiga.

Dari teorema 2 di atas, diketahui

│MA│ ≤ │MB│ + │MC│

Pertidaksamaan itu adalah merupakan bentuk pertidaksamaan segitiga, sehingga ketiganya dapat menjadi panjang segitiga.

Segitiga yang dibentuk dengan panjang sisi │MA│, │MB│ dan │MC│ disebut

segitiga Pompeiu. Karena M berada di dalam daerah segitiga ABC, maka segitiga

pompeiu dapat diduplikasi keluar dari daerah segitiga ABC.

Buatlah sebuah titik N seperti pada gambar sehingga BNM samasisi. Sehingga sekarang kita punya dua segitiga

AMB dan BNC,

dimana AB = BC, BM = BN

dan ∠MBA = 600 - ∠MBC = ∠CBN Sehingga kedua segitiga tersebut sebangun.

Karena AM = CN, maka segitiga NMC memiliki panjang sisi yang sama dengan │MA│, │MB│ dan │MC│. Oleh karenanya NMC merupakan segitiga Pompeiu.

Teorema 4 (Tabirca)

Jika ABC adalah segitiga samasisi, dan M adalah titik yang berada di dalam segitiga ABC, maka besar sudut-sudut dari segitiga Pompeiu dan luasnya mengikuti atuaran berikut :

(a) Ukuran ketiga sudutnya adalah ∠BMC – 600 , ∠CMA – 600 dan ∠AMB – 600 (b) Luas segitiga Pompeiu adalah 1₃ (Luas ABC) – 3₄ 𝑀𝑂 2 , dimana O adalah titik pusat lingkaran luar segitiga ABC.

A

C B

M

Pembuktian

(a) Pada segitiga NMC,

∠CMN = ∠CMB - ∠NMB = ∠CMB – 600 , ∠CNM = ∠CNB – ∠MNB = ∠CNM – 600 = ∠AMB – 600 akhirnya, ∠MCN = 1800 – {∠CMN + ∠CNM} = 1800 – {∠CMB – 600 + ∠AMB – 600} = 3000 – {3600– ∠AMC} = {∠AMC – 600 } .

(b) Pada gambar, NMC adalah segitiga Pompeiu, misalkan kita lambangkan dengan Sp, maka :

Luas(Sp) = 1₂( 𝐶𝑀 ∙ 𝐵𝑀 ) sin(∠CMN) = 1₂ 𝐶𝑀 ∙ 𝐵𝑀 sin(∠CMB – 600) = 1₂ 𝐶𝑀 ∙ 𝐵𝑀

[

sin(∠CMB) × 1₂ – cos(∠CMB) × 3₂)

]

= 1₄ 𝐶𝑀 ∙ 𝐵𝑀 sin(∠CMB) – 3₄ 𝐶𝑀 ∙ 𝐵𝑀 cos(∠CMB) = 1₂Luas (CMB) – 3₈

{

𝐶𝑀 2 + 𝐵𝑀 2 - a2

}

dimana a = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐴 = 𝐴𝐵 Luas (Sp) = 1₂Luas (CMB) – 3₈

{

𝐶𝑀 2 _{+ 𝐵𝑀} 2 - a2

}

Identik dengan cara itu, kita bisa mendapatkan Luas (Sp) = 1₂Luas (CMA) – 3₈

{

𝐶𝑀 2 _{+ 𝑀𝐴} 2

- a2

} ,

dan Luas (Sp) = 1₂Luas (BMA) – 3₈

{

𝐵𝑀 2 _{+ 𝑀𝐴} 2

- a2

}

Ketiganya dijumlahkan

3Luas(Sp) = 1₂Luas (ABC) – 3₈

{

2( 𝑀𝐴 2 _{+ 𝑀𝐵} 2 _{+ 𝑀𝐶} 2_{) – 3a}2

_}

Pada setiap segitiga dengan titik pusat G, berlaku formula Leibniz berikut 𝑀𝐴 2 _{+ 𝑀𝐵} 2 _{+ 𝑀𝐶} 2 _{= 3 𝑀𝐴} 2

+ 1₃ 𝐴𝐵 2+ 𝐵𝐶 2+ 𝐴𝐶 2 Pada segitiga sama sisi, G = 0, dan a2 = 𝐴𝐵 2 _{= 𝐵𝐶} 2 _{= 𝐴𝐶} 2_.

A

B C

N M

Sehingga 𝑀𝐴 2 _{+ 𝑀𝐵} 2 _{+ 𝑀𝐶} 2 _{= 3 𝑀𝑂} 2

+ a2 Maka

3Luas(Sp) = 1₂Luas (ABC) – 3₈ (6 𝑀𝑂 + 2a2 – 3a2) = 1₂Luas (ABC) – 6 3₈ 𝑀𝑂 2 + 3₈a2)

Karena luas segitiga samasisi dengan panjang sisi a adalah 𝑎2₄ 3 Maka

3Luas(Sp) = 1₂Luas (ABC) – 3 3₄ 𝑀𝑂 2 + 1₂Luas (ABC) = Luas (ABC) – 3 3₄ 𝑀𝑂 2

Sehingga

BAB VII

SEGITIGA SAMAKAKI

Segitiga samakaki adalah segitiga yang memiliki dua sisi yang sama panjang. Kedua sisi yang sama panjang itu disebut kaki-kaki segitiga dan satu sisi lainnya disebut alas. Segitiga samasisi adalah merupakan segitiga samakaki yang memiliki sifat kekhususan.

A. Sifat Segitiga Samakaki

1. Garis tinggi sebuah segitiga samakaki memotong alas menjadi dua bagian yang sama panjang

2. Garis tinggi sebuah segitiga samakaki membagi sudut puncak menjadi dua sudut yang sama besar. Artinya garis tinggi juga merupakan garis bagi sudut puncak

3. Dua sudut yang menghadap dua sisi yang sama panjang adalah sama besar

B. Analisis Soal Menggunakan Sifat Segitiga Samakaki Contoh 1

Tentukan nilai x pada gambar di samping

670

Solusi

x + 670 + 670 = 1800 Maka x = 460

Contoh 2

Tentukan nilai x pada gambar di samping

Jawab x = 7

Contoh 3

Tentukan nilai-nilai x pada gambar-gambar berikut

Solusi x 7 650 x 300 x x 680 650 x 300 x x 680 1 3 1 1 1 2 2 2 ∠1 = 650 ∠2 = 1800 _{– 2 x 65}0 ∠2 = 500 ∠3 = ∠2 = x = 500 ∠1 = 900 _{– 30}0 ∠1 = 600 x = ∠1 = 600 ∠1 = 1800 _{– 2 x 68}0 = 440 ∠2 = ∠1 = 440 x = 1800 – 2 x 2 x = 1800 – 2 x 440 = 920

Contoh 4

PO adalah garis sumbu pada sisi MN. Tentukan x.

Solusi

Karena garis sumbu MN tepat melalui titik O, maka ΔMNO samakaki Sehingga 2x + 5 = 15 – 3x x = 2 Contoh 5 Pada ΔJKL, JK = JL. Tentukan : a) m∠KMJ b) KL c) m∠KJM d) m∠KJL e) m∠K Solusi

Karena JK = JL, maka ΔJKL samakaki Akibatnya

a) JM adalah garis tinggi, sehingga m∠KMJ = 900

b) JM adalah garis berat pada sisi KL, sehingga KM = ML, maka KL = 8 c) JM adalah garis bagi, sehingga m∠KJM = m∠MJL = 900 _{– 56}0

= 340 d) Sehingga m∠KJL = m∠KJM + m∠MJL = 680 e) m∠K = m∠L = 560 M N O 2x + 5 15 – 3x 5x + 1 J K 4 M L 6 560

C. Membelah Segitiga Samakaki menjadi Beberapa Segitiga Samakaki 1. Untuk Segitiga Samkaki Lancip

2. Untuk Segitiga Samakaki Siku-siku

3. Untuk Segitiga Samakaki Tumpul

D. Membelah Sebuah Segitiga menjadi Dua Buah Segitiga Samakaki Cara pembelahannya adalah sebagai berikut

Berdasarkan teorema sudut luar, maka ∠ADC = ∠DAB + ∠B = 2α. Dari bentuk di atas ada tiga kasus yang mungkin, yaitu :

A B C A B D C α α 2α

1. Kasus 1 : ∠ADC = ∠DCA = 2α.

Kasus ini mengakibatkan ∠CAD = 1800 – 4 > 00. Ini berarti bahwa kedua segitiga tersebut memiliki perbandingan sudut 1 : 2, dengan sudut α memenuhi 00 < α < 450.

Pada kasus ini hanya ada satu kemungkinan segitiga yang dibelah seperti itu yaitu segitiga (360, 720, 720)

2. Kasus 2 : ∠ADC = ∠CDA = 2α.

Kasus ini mengakibatkan ∠CAB = 3α, dan ∠ACD = 1800 – 4 > 00. Ini berarti bahwa segitiga asal mememilik perbandingan sudut 1 : 3.

Pada kasus ini ada dua jenis segitiga yang bisa dibelah seperti itu, yaitu segitiga (360, 360, 1080) dan segitiga (180₇0 , 180₇0 , 540₇0 )

3. Kasus 3 : ∠DCA = ∠CAD

Akibat dari kasus ini adalah jumlah kedua sudut tersebut adalah 90 – α, sehingga ∠CAB = 900

.

Hanya ada kemuningkan segitiga yang bisa dibelah dengan cara ini, yaitu segitiga (450, 450, 900)

E. Masalah Langley

Masalah ini diungkapkan oleh Edward M Langley, dalam Majalah Matematika The

Mathematical Gazette, Vol. 11, No. 160 (Oktober 1922), Hal. 173.

Berikut permasalahan yang disampaikan oleh Langley Pada segitiga ABC berikut, ∠A = 200

dan AB = AC. Titik D terletak pada AC sehingga ∠DBC = 600. Dan titik E terletak pada AB sehingga ∠ECB = 500. Tentukan ukuran ∠BDE. A B C D E 200 500 600

Solusi

Buat titik X pada CD sehingga ∠XBC = 200

, seperti pada gambar berikut

Maka

EB = BC (ΔEBC memiliki sudut alas yang sama) = BX (ΔBCX memiliki sudut alas yang sama)

Sehingga ΔEBX samasisi, karena EB = BX dan ∠EBX = 600

EX = BX (segitiga samasisi)

= XD (ΔBXD memiliki sudut alas yang sama) Akibatnya ΔEXD samakaki

Sementara itu ∠EXD = 1800 _{– EXB – BXC = 180}0 _{– 60}0 _{– 80}0 ∠EXD = 400 sehingga ∠XDE = 700 Karena p0 = ∠XDE – ∠XDB Maka p0 = 700 – 400 = 300 A B C D E 500 600 200 200 p0 X

BAB VIII

LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM

A. Lingkaran Luar

Sebagaimana telah disebut pada bagian awal, bahwa ketiga garis sumbu segitiga berpotongan di titik pusat lingkaran luar segitiga tersebut

Perhatikan gambar berikut

Jari-jari lingkaran luas segitiga dapat dicari dengan cara berikut Misalkan panjang jari-jari lingkaran luarnya R.

Tarik BD tegaklurus AC (dengan panjang tb)!

Tarik garis tengah BE, jadi panjang BE = 2R! Hubungkan E dengan C!

Perhatikan segitiga ABD dan segitiga EBC.

A  E ( sebab menghadap busur yang sama BC )

 D  BCE = siku-siku.

Jadi  ABD EBC. Sehingga diperoleh: C : tb = 2R: a atau 2Rtb = ac. Jadi 2R = b t ac  2R = b bt abc  R = b bt abc 2  R = L abc

4 (sebab b.tb = 2 kali luas daerah segitiga ABC)

A B _D C E F O A C B D a/2 b c α α O R A B C D E a b c tb O

Karena luas daerah segitiga juga dapat dinyatakan dengan L = s(sa)(sb)(sc) Maka diperoleh : R = ) )( )( ( 4 s s a s b s c abc   

Disamping itu, dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh hubungan sebagai berikut :

Jika jari-jari lingkaran luar sebuah segitiga adalah R dan sudut-sudutnya adalah α, β dan γ, serta a sebagai panjang sisi di hadapan sudut α, b sebagai panjang sisi dihadapan sudut β, dan c sebagai panjang sisi dihadapan sudut γ, maka

𝑎 sin 𝛼= 𝑏 sin 𝛽= 𝑐 sin 𝛾= 2𝑅 B. Lingkaran Dalam

Sebagaimana yang disebutkan pada bagian awal buku ini bahwa ketiga garis bagi sudut sebuah segitiga berpotongan di titik pusat lingkaran dalam segitiga tersebut. Lingkaran dalam adalah lingkaran yang menyinggung semua sisi segitiga.

Panjang jari-jari lingkaran dalam suatu segitiga dapat dicari sebagai berikut.

Buat ruas-ruas garis GD,CE,GF, berturut-turut tegaklurus AC, BC, dan AB. Misalkan panjang jari-jari lingkaran dalam tersebut r.

Luas daerah AGB = ½ c.r Luas daerah BGC = ½ a .r Luas daerah CGA = ½ b.r --- +

Luas daerah  ABC = ½ (a + b + c) .r G A B C D E F a b c

 L = s.r  r =

s L

dengan L = luas daerah segitiga ABC, s = setengah keliling segitiga ABC dan r = jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC

Karena luas daerah segitiga ABC = s(sa)(sb)(sc) maka rumus di atas dapat ditulis :

r = s c s b s a s s(  )(  )(  )

C. Lingkaran Singgung Luar

Lingkaran singgung luar sebuah segitiga adalah lingkaran yang menyinggung suatu sisi segitiga dan dua perpanjangan dua sisi yang lain.

Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga dapat dihitung sebagai berikut Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya a, b, c.

Misalkan

ra = panjang jari-jari lingkaran singgung luar yang menyinggung sisi a,

rb= panjang jari-jari lingkaran singgung luar yang menyinggung sisi b, dan

rc = panjang jari-jari lingkaran singgung luar yang menyinggung sisi c)

Pandang lingkaran singgung luar pada AB, dengan titik pusat Zc.

ZcD, ZcE, ZcF berturut-turut tegaklurus pada AC, BC, dan AB.

Luas daerah segitiga ACZc = ½. b.rc

Luas daerah segitiga CBZc = ½. a. rc

--- + Luas daerah segi-4 CAZcB = ½ (a + b).rc

Luas daerah segitiga ABZc = ½.c.rc

--- - Luas daerah segitiga ABC

= ½(a + b-c).rc

= (s – c).rc ( dengan s = setengah keliling).

A B C D E F Za Zb Zc rc

Jika L = luas daerah segitiga ABC, maka L = (s – c).rc atau rc = c s L 

Dengan jalan yang sama akan diperoleh : ra =

a s L  dan rb=s b L  D. Contoh-Contoh Permasalahan Contoh 1

Tunjukkan bahwa jari-jari lingkaran luar sebuah segitiga siku-siku adalah R = 𝑐₂ Solusi

Luas sebuah segitiga siku-siku adalah L = ½ ab Sehingga R = 𝑎𝑏𝑐_4𝐿 =_2𝑎𝑏𝑎𝑏𝑐 =𝑐₂

Contoh 2

Tunjukkan bahwa jari-jari lingkaran dalam sebuah segitiga siku-siku adalah r = s – c Solusi

Luas segitiga siku-siku adalah ½ ab Karena r = 𝐿_𝑠 , maka r = ½ab

½(a+b+c)

=

𝑎𝑏 𝑎+𝑏+𝑐

Disamping itu, pada segitiga siku-siku juga berlaku c2 = a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab Yang berarti bahwa ab = ½[(a + b)2 – c2]

Sehingga r = _{𝑎+𝑏+𝑐}𝑎𝑏 = 𝑎+𝑏 2−𝑐2 2 𝑎+𝑏+𝑐 = 𝑎+𝑏+𝑐 𝑎+𝑏−𝑐 2 𝑎+𝑏+𝑐 = 1 2 𝑎 + 𝑏 − 𝑐

Atau r = ½(a + b + c – 2c) = ½(a + b + c) – c = s - c

Contoh 3

Tentukan semua nilai yang mungkin untuk pecahan berikut 𝑅 + 𝑟

𝑎 + 𝑏

dimana R dan r berturut-turut adalah merupakan jari-jari lingkaran luar dan lingkaran dalam sebuah segitiga siku-siku yang panjang kedua kakinya adalah a dan b

Solusi

Perhatikan gambar berikut

Jarak antara masing-masing sudut ke titik-titik singgung lingkaran dalam pada segitiga ABC di atas adalah

AU = AV = 𝑏+𝑐−𝑎₂ , BV = BT = 𝑎+𝑐−𝑏₂ , CT = CU = 𝑎+𝑏−𝑐₂

Titik-titik C, T, U dan S (pusat lingkaran dalam) membentuk persegi. Panjang sisi persegi itu adalah r = CT = CU = 𝑎+𝑏−𝑐₂

Disamping itu, R = 𝑐₂ Sehingga 𝑅 + 𝑟 =𝑐 2+ 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 2 = 𝑎 + 𝑏 2 Akibatnya, hanya ada satu nilai untuk _𝑎+𝑏𝑅+𝑟, yaitu 1₂

Contoh 4

Pada segitiga siku-siku ABC dengan sudut siku-siku di C, garis ℓ dibuat melalui C dan sejajar AB. Titik P dan Q terletak pada AB dengan P antara A dan Q, dan titik R dan S terletak pada garis ℓ dengan C antara R dan S sedemikian hingga PQRS adalah persegi. Jika PS memotong AC di X, dan QR memotong BC di Y, jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC = 10, dan luas persegi PQRS = 576. Tentukan jumlah jari-jari lingkaran dalam dari segitiga AXP, CXS, CYR, dan BYQ.

Solusi

Jari-jari lingkaran dalam segitiga siku-siku ABC dengan a = BC, b = AC, dan c = AB adalah r = 𝑎+𝑏−𝑐₂ , karena titik pusat lingkaran dalam berjarak sama dengan jarak dari titik siku-siku C ke titik singgung di sisi AC atau BC. Sehingga jumlah jari-jari lingkaran dalam dari segitiga-segitiga AXP, CXS, CYR, dan BYQ adalah setengah

C A B S T U V

dari selisih antara jumlah panjang kaki-kaki segitiga-segitiga tersebut dengan jumlah panjang dari segitiga-segitiga tersebut.

Jika t adalah panjang sisi persegi PQRS, maka jumlah panjang kaki-kaki segitiga AXP, CXS, CYR, dan BYQ adalah

AP + PX + XS + SC + CR + RY +YQ+ QB = AP + PS + SR + RQ + QB = AP + t + t + t + QB = AB − PQ + 3t = c − t + 3t = c + 2t.

Jumlah panjang sisi miring dari segitiga-segitiga AXP,CXS,CYR, dan BYQ adalah AX + XC + CY + YB = AC + CB = b + a.

Sehingga jumlah jari-jari lingkaran dalam dari segitiga-segitiga AXP,CXS,CYR, dan BYQ adalah 𝑐+2𝑡−(𝑎+𝑏)₂ = t − r.

Sehingga hasilnya adalah 576 − 10 = 24 − 10 = 14.

Contoh 5

Garis-garis AB, BC, dan EF menyinggung lingkaran dengan panjang AB = BC = 16. Tentukan keliling ΔBEF

Solusi

Misalkan BF = a, BE = b, dan EF = c

Sesuai sifat garis singgung lingkaran dari satu titik di luar lingkaran, maka CF = FD dan DE = EA, sehingga DF = 16 – a dan DE = 16 – b

Akibatnya DE + DF = c = 32 – (a + b) Keliling segitiga = a + b + c = a + b + 32 – (a + b) = 32 B E F D A C

Contoh 6

Diberikan dua buah garis yang menyinggung sebuah lingkaran yang berpusat di O di titik B dan C serta kedua garis berpotongan di titik A di luar lingkaran. Tunjukkan bahwa lingkaran tersebut melalui titik pusat lingkaran dalam segitiga ABC.

Solusi

Perhatikan gambar berikut

Karena AB dan AC masing-masing merupakan garis singgung lingkaran, maka besar ukuran masing-masing sudut alas segitiga siku-siku ABC adalah setengah dari ukuran sudut BOC.

Selanjutnya kita misalkan titik potong dari garis-garis sumbu segitiga ABC adalah Q, sehingga besar ukuran sudut BQC = 1800 – ½ m∠BOC.

Buat sebuah titik pada lingkaran yang berada di luar segitiga, sehingga ukuran sudut BPQ = ½ m∠BOC

Karena ΔBQC dan ΔBPC saling komplemen, maka BQCP harus merupakan segiempat tali busur.

Itu artinya bahwa Q terletak pada lingkaran

Contoh 7

Diberikan segitiga siku-siku ABC dengan lingkaran luarnya adalah lingkaran O dengan jari-jari R1,

kemudian dibuat sebuah lingkaran P dengan jari-jari R2 yang menyinggung kedua kaki segitiga siku-siku

ABC dan juga menyinggung lingkaran O (seperti pada gambar). Tunjukkan bahwa R2 = a + b – c.

A B C P Q O

?

C A B (O, R1) (P, R2)

Solusi

Misalkan C = (0, 0). Kemudian P = (R2, R2) and

O = (b/2, a/2). Karena OP dapat diperpanjang hingga titik singgung kedua lingkaran, maka OP = R1 – R2 = c/2 – R2.

Sementara itu, dari segitiga siku-siku kecil yang ditengah, OP2 = (b/2 – R2)2 + (R2 – a/2)2. Sehingga

c2 – 4R2 + 4R22 = a2 + b2 – 4aR2 + 8R22.

Kemudian kita bisa mengganti c2 dengan a2 + b2, sehingga persamaan tersebut menjadi R2 = a + b – c.

AKIBAT: Pada setiap lingkaran dengan setengah keliling s = (a + b + c)/2, jarak dari C ke salah satu titik singgung lingkaran dalamnya adalah s – c. sehingga pada segitiga siku-siku, seperti segitiga ACB di atas, dengan lingkaran dalamnya yang berpusat di Q dengan jari-jari R3, maka R3 = s – c = (a + b – c)/2. Sehingga R2 =

2R3.

Contoh 8

Segitiga siku-siku ABC terbagi menjadi dua buah segitiga oleh garis tinggi CD. Tunjukkan bahwa panjang garis tinggi tersebut sama dengan jumlah panjang jari-jari ketiga lingkaran dalam.

B C A O P Q A B C D [O1,r1] [O2,r2] [O3,r3]

Solusi

Ketiga segitiga adalah siku-siku, sehingga 2r1 = a + b – c, 2r2 = BD + CD – a, and 2r3

= AD + CD – b. jumlahkan ketiga persamaan tersebut, sehingga diperoleh 2r1 + 2r2 +

2r3 = AD + BD + 2CD – c = 2CD.

Sehingga r1 + r2 + r3 = CD.

Contoh 9

Persegi ABCD memiliki panjang sisi a dan diagonal AC seperti pada gambar berikut. Lingkaran dalam dari ACN dan BCN adalah kongruen. Berapakah jari- jari dari kedua lingkaran itu bila dinyatakan dalam a.

Solusi

Karena BCN adalah segitiga siku-siku, maka r = ½(BC + BN – CN)

Karena kedua lingkaran kongruen, maka akan berakibat CN2 = s(s – AB), dimana s adalah setengah keliling segitiga ABC

Karena AC = a 2, maka s = 𝑎 2₂ + a. Sehingga CN2 = 𝑎 2₂ + 𝑎 𝑎 2₂ = 𝑎 2 ₂₊₁ 2 Maka CN = 𝑎₂ 2 + 2 Dan BN2 = 𝑎 2 ₂₊₁ 2 − 𝑎 2 ₌𝑎2 2−1 2 Sehingga BN = 𝑎₂ 2 − 2 A B C D N

Contoh 10

Sebuah segitiga siku memiliki tiga buah lingkaran yang menyinggung sisi siku-siku serta ketiganya sekaligus juga menyinggung lingkaran luar segitiga. Lingkaran O1 adalah lingkaran yang menyinggung kedua sisi siku-siku, lingkaran O2 dan O3

berturut-turut menyinggung sisi AC dan BC dititik tengah M dan N. Tunjukkan bahwa r12 = 32r2r3.

Solusi

Diameter lingkaran O2 dan O3 adalah sama dengan tinggi busur AC dan BC. Sehingga vb = 2r2 dan va = 2r3

Postulat :

Pada setiap segitiga siku-siku, jar-jari Lingkaran dalam r = 2𝑣𝑎𝑣𝑏 Bukti : va = R – b/2 2va = c – b vb = R – a/2 2vb = c – a 4vavb = ab – c(a + b – c) 4vavb = ab – 2cr 2vavb = ab/2 – cr 2vavb = rs – cr = r(s – c) = r2.

Karena r1 = 2r (Lihat contoh 7), maka r2 = r12/4 = 8r2r3. Sehingga r12 = 32r2r3.

A B C M N O1

BAB IX

Garis Cevian

Garis adalah segmen garis yang menghubungkan suatu titik sudut segitiga dengan sisi yang ada dihadapannya. Oleh karenanya, dapat dibuat tiga buah garis cevian dari suatu titik yang terletak di dalam segitiga, dan titik itu disebut titik cevian.

Garis tinggi, garis berat dan garis garis bagi sudut adalah juga merupakan garis-garis Cevian

AD adalah Garis Cevian

A. Segitiga dan Lingkaran Cevian

Misalkan titik P adalah suatu titik yang terletak di dalam segitiga, kemudian dibuat garis-garis cevian dari masing-masing sudut ke sisi-sisi yang ada dihadapannya. Katakanlah titik potong garis-garis cevian itu terhadap sisi-sisi AB, BC, dan CA berturut-turut adalah C’, B’, dan A’.

ΔA’B’C’ disebut segitiga cevian dari ΔABC Lingkaran luar ΔA’B’C’ disebut lingkaran cevian

B C A D A B C A’ B’ C’ P Lingkaran cevian Segitiga cevian

B. Segitiga Kontak dan Titik Gergonne

Bila dibuat segitiga melalui ketiga titik singgung lingkaran dalam sebuah segitiga, misalnya ΔABC, maka segitiga itu disebut segitiga kontak dari ΔABC.

Bila dibuat garis-garis cevian dari masing-masing sudut ke titik-titik singgung lingkaran dalamnya, maka garis-garis cevian akan berpotongan pada satu titik yang disebut Titik Gergonne (Ge).

Bila dibuat garis-garis yang melalui titik gergonne dan sejajar dengan sisi-sisi segitiga kotak, maka keenam titik potong garis-garis itu dengan ABC adalah siklik (terletak pada sebuah lingkaran), dan lingkaran itu disebut Lingkaran Adam.

Titik pusat Lingkaran Adam = Titik pusat lingkaran dalam

A B C D E F I

⦁

B C D E F I

⦁

Ge B A C Ge I

⦁

C. Isogonal Conjugates

Dua garis AB dan AC yang melalui sudut A disebut isogonal jika yang satu merupakan cerminan terhadap garis bagi sudut A dari yang lain.

Jika garis-garis yang melalui A, B, dan C berpotongan di P, maka garis-garis isogonal berpotongan di Q. Titik P dan Q disebut Isogonal Conjugates

D. Symmedian

Pada ΔABC, Symmedian ASa adalah garis cevian yang melalui sudut A ke Sa yang terletak pada sisi BC yang isogonal conjugate dengan garis berat AMa, dengan Ma sebagai titik tengah BC.

Dua Symmedian yang lainnya, BSb dan CSc memiliki definisi yang sejenis.

Tiga buah symmedian berpotongan pada satu titik yang disebut Titik Symmedian atau Titik Lemoine.

Titik Symmedian K pada segitiga siku-siku adalah titik tengah garis tinggi pada sisi miring. A B C A B C Ma Sa Symmedian Garis Berat

Garis bagi sudut A

A

C B

B

E. Perbandingan pada Symmedian F. Panjang Symmedian 𝐶𝑆_𝑐 = 𝑎𝑏 2𝑎2+ 𝑏2− 𝑐2 𝑎2 _{+ 𝑏}2 𝐵𝑆𝑏 = 𝑎𝑐 2𝑎2 _{+ 𝑐}2_{− 𝑏}2 𝑎2_{+ 𝑐}2 𝐴𝑆_𝑎 =𝑏𝑐 2𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2 𝑏2_{+ 𝑐}2

G. Garis-Garis Cevian Khusus

Sebagaimana yang disebutkan di atas, bahwa garis-garis tinggi, garis-garis berat, garis-garis bagi adalah merupakan garis-garis cevian yang khusus. Berikut uraian tentang garis-garis tersebut.

Jika t adalah garis tinggi, b adalah garis berat, dan s adalah garis bagi sudut, maka akan berlaku beberapa teori berikut.

Garis Tinggi :

Garis-garis tinggi sebuah segitiga berpotongan pada orthocenter.

tc = a sin B tc =

2𝐿 𝑐

tc adalah garis tinggi dari titik C. Hal sama juga

berlaku untuk ta dan tb

A B C a b c tc A B _Sa C Sb Sc K a b c

𝑩𝑺

_𝒂

𝑪𝑺

_𝒂

=

𝒄

𝟐

𝒃

𝟐

Garis Berat :

Garis-garis berat sebuah segitiga berpotongan pada titik berat segitiga. Sepanjang sebuah garis berat pada segitiga, jarak antara titik sudut ke titik berat adalah dua kali jarak dari titik berat ke sisi segitiga.

Panjang sebuah garis berat : 𝑏_𝑐 = 𝑎2 2 + 𝑏2 2 − 𝑐2 4

bc adalah garis berat dari sudut C, hal yang

sama juga berlaku untuk ba dan bb

Garis Bagi Sudut :

Garis-garis bagi sudut sebuah segitiga berpotongan pada titik pusat lingkaran dalam segitiga tersebut

Teorema Garis Bagi Sudut :

𝑎 𝑚 =

𝑏 𝑛

Panjang sebuah garis bagi sudut : 𝑠𝑐 = 𝑎𝑏 1 − 𝑐 2 𝑎2_+𝑏2 B A C bc A B C 2x x r sc a b m n c A B C

BAB X

TEOREMA STEWART DAN APLIKASINYA

Teorema Stewart

Segitiga dengan ukuran seperti pada gambar di samping memenuhi hubungan berikut :

a

2

n + b

2

m = c(d

2

+ mn)

Pembuktian

Buat garis CE ⏊ AB sehingga kita dapat menerapkan teorema pythagoras

Pada ΔCEB a2 = h2 + (m – p)2 Pada ΔCED d2 = h2 + p2 Sehingga a2 = d2 - p2 + (m – p)2 a2 =d2 + m2 – 2mp Pada ΔCEA b2 = h2 + (n + p)2 Sehingga b2 = d2 - p2 + (n + p)2 b2 = d2 + n2 + 2np Selanjutnya a2n =d2n + m2n – 2mnp b2m = d2m + n2m + 2mnp Sehingga a2n + b2m = d2n + m2n + d2m + n2m = d2(n + m) + mn(m + n) a2n + b2m = c(d2 + mn) C B m _D n A a b d c C a B d b m D n A c p

Panjang Garis Berat

Berdasarkan Teorema Stewart a2n + b2m = c(mc2 + mn)

𝑎2_𝑐 2 + 𝑏2_𝑐 2 = 𝑐 𝑚𝑐2+ 𝑐2 4 𝑚_𝑐2 ₌𝑎2 2 + 𝑏2 2 − 𝑐2 4 Maka panjang garis berat untuk masing-masing sisi

2ma2 = b2 + c2 – 1 2a 2 2mb2 = a2 + c2 – 1 2b 2 2mc2 = a2 + b2 – 1 2c 2 Contoh 1

Untuk segitiga dengan ukuran 3 – 4 – 5, panjang garis beratnya : 𝑚𝑎 = 73₂ , 𝑚𝑏 = 13 , 𝑚𝑐 = 5 2 Perhitungannya : Nilai a = 3, b = 4, dan c = 5 2ma2 = b2 + c2 – 1 2a 2 = 42 + 52 – ½ 32 = 16 + 25 – ½ . 9 4ma2 = 32 + 50 – 9 = 73 ma = 73 2 2mb2 = a2 + c2 – 1 2b 2 _{= 32 + 52 – ½ 42 = 9 + 25 – ½ . 16} 2mb2 = 9 + 25 – 8 = 26 mb = 13 2mc2 = a2 + b2 – 1 2c 2 _{= 32 + 42 – ½ 52 = 9 + 16 – ½ . 25} 4mc2 = 18 + 32 – 25 = 25 mc = 5 2 C B D A a mc m = c/2 n = c/2