Contoh-Contoh Permasalahan Contoh 1

BAB V LUAS SEGITIGA

LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM

D. Contoh-Contoh Permasalahan Contoh 1

s L 

Dengan jalan yang sama akan diperoleh : ra =

a s L  ^{dan rb=}s b L  D. Contoh-Contoh Permasalahan Contoh 1

Tunjukkan bahwa jari-jari lingkaran luar sebuah segitiga siku-siku adalah R = ^𝑐₂ Solusi

Luas sebuah segitiga siku-siku adalah L = ½ ab Sehingga R = ^𝑎𝑏𝑐_4𝐿 =_2𝑎𝑏^𝑎𝑏𝑐 =^𝑐₂

Contoh 2

Tunjukkan bahwa jari-jari lingkaran dalam sebuah segitiga siku-siku adalah r = s – c Solusi

Luas segitiga siku-siku adalah ½ ab Karena r = ^𝐿_𝑠 , maka r = ½ab

½(a+b+c)

=

_{𝑎+𝑏+𝑐}^𝑎𝑏

Disamping itu, pada segitiga siku-siku juga berlaku c² = a² + b² = (a + b)² – 2ab Yang berarti bahwa ab = ½[(a + b)² – c2

] Sehingga r = _{𝑎+𝑏+𝑐}^𝑎𝑏 =

𝑎+𝑏 2−𝑐2 2

𝑎+𝑏+𝑐 = ^{𝑎+𝑏+𝑐 𝑎+𝑏−𝑐} _{2 𝑎+𝑏+𝑐} = ¹₂ 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 Atau r = ½(a + b + c – 2c) = ½(a + b + c) – c = s - c

Contoh 3

Tentukan semua nilai yang mungkin untuk pecahan berikut 𝑅 + 𝑟

𝑎 + 𝑏

dimana R dan r berturut-turut adalah merupakan jari-jari lingkaran luar dan lingkaran dalam sebuah segitiga siku-siku yang panjang kedua kakinya adalah a dan b

Solusi

Perhatikan gambar berikut

Jarak antara masing-masing sudut ke titik-titik singgung lingkaran dalam pada segitiga ABC di atas adalah

AU = AV = ^{𝑏+𝑐−𝑎}₂ , BV = BT = ^{𝑎+𝑐−𝑏}₂ , CT = CU = ^{𝑎+𝑏−𝑐}₂

Titik-titik C, T, U dan S (pusat lingkaran dalam) membentuk persegi. Panjang sisi persegi itu adalah r = CT = CU = ^{𝑎+𝑏−𝑐}₂

Disamping itu, R = ^𝑐₂ Sehingga 𝑅 + 𝑟 =^𝑐 2⁺ 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 2 ⁼ 𝑎 + 𝑏 2 Akibatnya, hanya ada satu nilai untuk _𝑎+𝑏^𝑅+𝑟, yaitu ¹₂

Contoh 4

Pada segitiga siku-siku ABC dengan sudut siku-siku di C, garis ℓ dibuat melalui C dan sejajar AB. Titik P dan Q terletak pada AB dengan P antara A dan Q, dan titik R dan S terletak pada garis ℓ dengan C antara R dan S sedemikian hingga PQRS adalah persegi. Jika PS memotong AC di X, dan QR memotong BC di Y, jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC = 10, dan luas persegi PQRS = 576. Tentukan jumlah jari-jari lingkaran dalam dari segitiga AXP, CXS, CYR, dan BYQ.

Solusi

Jari-jari lingkaran dalam segitiga siku-siku ABC dengan a = BC, b = AC, dan c = AB adalah r = ^{𝑎+𝑏−𝑐}₂ , karena titik pusat lingkaran dalam berjarak sama dengan jarak dari titik siku-siku C ke titik singgung di sisi AC atau BC. Sehingga jumlah jari-jari lingkaran dalam dari segitiga-segitiga AXP, CXS, CYR, dan BYQ adalah setengah

C ^A B S T U V

dari selisih antara jumlah panjang kaki-kaki segitiga-segitiga tersebut dengan jumlah panjang dari segitiga-segitiga tersebut.

Jika t adalah panjang sisi persegi PQRS, maka jumlah panjang kaki-kaki segitiga AXP, CXS, CYR, dan BYQ adalah

AP + PX + XS + SC + CR + RY +YQ+ QB = AP + PS + SR + RQ + QB = AP + t + t + t + QB = AB − PQ + 3t = c − t + 3t = c + 2t.

Jumlah panjang sisi miring dari segitiga-segitiga AXP,CXS,CYR, dan BYQ adalah AX + XC + CY + YB = AC + CB = b + a.

Sehingga jumlah jari-jari lingkaran dalam dari segitiga-segitiga AXP,CXS,CYR, dan BYQ adalah ^{𝑐+2𝑡−(𝑎+𝑏)}₂ = t − r.

Sehingga hasilnya adalah 576 − 10 = 24 − 10 = 14.

Contoh 5

Garis-garis AB, BC, dan EF menyinggung lingkaran dengan panjang AB = BC = 16. Tentukan keliling ΔBEF

Solusi

Misalkan BF = a, BE = b, dan EF = c

Sesuai sifat garis singgung lingkaran dari satu titik di luar lingkaran, maka CF = FD dan DE = EA, sehingga DF = 16 – a dan DE = 16 – b

Akibatnya DE + DF = c = 32 – (a + b) Keliling segitiga = a + b + c = a + b + 32 – (a + b) = 32 B E F ^D A C

Contoh 6

Diberikan dua buah garis yang menyinggung sebuah lingkaran yang berpusat di O di titik B dan C serta kedua garis berpotongan di titik A di luar lingkaran. Tunjukkan bahwa lingkaran tersebut melalui titik pusat lingkaran dalam segitiga ABC.

Solusi

Perhatikan gambar berikut

Karena AB dan AC masing-masing merupakan garis singgung lingkaran, maka besar ukuran masing-masing sudut alas segitiga siku-siku ABC adalah setengah dari ukuran sudut BOC.

Selanjutnya kita misalkan titik potong dari garis-garis sumbu segitiga ABC adalah Q, sehingga besar ukuran sudut BQC = 180⁰ – ½ m∠BOC.

Buat sebuah titik pada lingkaran yang berada di luar segitiga, sehingga ukuran sudut BPQ = ½ m∠BOC

Karena ΔBQC dan ΔBPC saling komplemen, maka BQCP harus merupakan segiempat tali busur.

Itu artinya bahwa Q terletak pada lingkaran

Contoh 7

Diberikan segitiga siku-siku ABC dengan lingkaran luarnya adalah lingkaran O dengan jari-jari R1, kemudian dibuat sebuah lingkaran P dengan jari-jari R2 yang menyinggung kedua kaki segitiga siku-siku ABC dan juga menyinggung lingkaran O (seperti pada gambar). Tunjukkan bahwa R2 = a + b – c.

A B C P Q O

?

C A ^B (O, R1) (P, R2)

Solusi

Misalkan C = (0, 0). Kemudian P = (R2, R2) and O = (b/2, a/2). Karena OP dapat diperpanjang hingga titik singgung kedua lingkaran, maka OP = R1 – R2 = c/2 – R2.

Sementara itu, dari segitiga siku-siku kecil yang ditengah, OP² = (b/2 – R2)² + (R2 – a/2)2

. Sehingga c² – 4R2 + 4R2² = a² + b² – 4aR2 + 8R2².

Kemudian kita bisa mengganti c² dengan a² + b², sehingga persamaan tersebut menjadi R2 = a + b – c.

AKIBAT: Pada setiap lingkaran dengan setengah keliling s = (a + b + c)/2, jarak dari C ke salah satu titik singgung lingkaran dalamnya adalah s – c. sehingga pada segitiga siku-siku, seperti segitiga ACB di atas, dengan lingkaran dalamnya yang berpusat di Q dengan jari-jari R3, maka R3 = s – c = (a + b – c)/2. Sehingga R2 = 2R3.

Contoh 8

Segitiga siku-siku ABC terbagi menjadi dua buah segitiga oleh garis tinggi CD. Tunjukkan bahwa panjang garis tinggi tersebut sama dengan jumlah panjang jari-jari ketiga lingkaran dalam.

B C A O P Q A B C D [O1,r1] ^[O2,r2] [O3,r3]

Solusi

Ketiga segitiga adalah siku-siku, sehingga 2r1 = a + b – c, 2r2 = BD + CD – a, and 2r3

= AD + CD – b. jumlahkan ketiga persamaan tersebut, sehingga diperoleh 2r1 + 2r2 + 2r3 = AD + BD + 2CD – c = 2CD.

Sehingga r1 + r2 + r3 = CD.

Contoh 9

Persegi ABCD memiliki panjang sisi a dan diagonal AC seperti pada gambar berikut. Lingkaran dalam dari ACN dan BCN adalah kongruen. Berapakah jari- jari dari kedua lingkaran itu bila dinyatakan dalam a.

Solusi

Karena BCN adalah segitiga siku-siku, maka r = ½(BC + BN – CN)

Karena kedua lingkaran kongruen, maka akan berakibat CN² = s(s – AB), dimana s adalah setengah keliling segitiga ABC

Karena AC = a 2, maka s = ^{𝑎 2}₂ + a. Sehingga CN² = ^{𝑎 2}₂ + 𝑎 ^{𝑎 2}₂ = ^𝑎 2 2+1 2 Maka CN = ^𝑎₂ 2 + 2 Dan BN2 = ^𝑎 2 2+1 2 − 𝑎2 =^{𝑎2 2−1} ₂ Sehingga BN = ^𝑎₂ 2 − 2 A B C D N

Contoh 10

Sebuah segitiga siku memiliki tiga buah lingkaran yang menyinggung sisi siku-siku serta ketiganya sekaligus juga menyinggung lingkaran luar segitiga. Lingkaran O1 adalah lingkaran yang menyinggung kedua sisi siku-siku, lingkaran O2 dan O3

berturut-turut menyinggung sisi AC dan BC dititik tengah M dan N. Tunjukkan bahwa r1² = 32r2r3.

Solusi

Diameter lingkaran O2 dan O3 adalah sama dengan tinggi busur AC dan BC. Sehingga vb = 2r2 dan va = 2r3

Postulat :

Pada setiap segitiga siku-siku, jar-jari Lingkaran dalam r = 2𝑣_𝑎𝑣_𝑏 Bukti : va = R – b/2 2va = c – b vb = R – a/2 2vb = c – a 4vavb = ab – c(a + b – c) 4vavb = ab – 2cr 2vavb = ab/2 – cr 2vavb = rs – cr = r(s – c) = r2 .

Karena r1 = 2r (Lihat contoh 7), maka r2 = r1²/4 = 8r2r3. Sehingga r1² = 32r2r3. A B C M N O1

BAB IX