SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010 TUNING PARAMETER MODEL PREDICTIVE CONTROL (MPC) FOR MAX PLUS LINEAR (MPL) SYSTEMS

1111

TUNING PARAMETER MODEL PREDICTIVE CONTROL (MPC) FOR MAX PLUS LINEAR (MPL) SYSTEMS

Nurwan1 and Subiono2

1 _{Magister Student of Mathematics Department} 2_{Lecturer of Mathematics Department}

FMIPA- I T S, Surabaya

1_{nur_1@matematika.its.ac.id} 2_{subiono2008@matematika.its.ac.id}

Abstrak

A Model Predictive Control (MPC) is one kind of design controller that can be applied to industries area and designed base on mathematical models. The Model Predictive Control has been extended to a class of discrete event systems that can be described by a model one is a linear in the max-plus algebra notion. In this paper we will discusse influence of tuning parameters ( ,N_p,N_c) as a model predictive control for max plus linear systems.

Keywords: Model Predictive Control, Max-Plus Algebra, Max-Plus Linear System.

1. PENDAHULUAN

Suatu pabrik beroperasi membutuhkan berbagai macam sumber daya. Diantara sumber daya tersebut perlu sebuah kontrol untuk mengontrol sistem agar hasil yang diperoleh bisa maksimal. Model predictive control merupakan salah satu desain kontrol yang sering digunakan dalam dunia industri (Camacho E.F., Bordons. (1999)).

Model Predictive Control (MPC) memiliki beberapa keuntungan diantaranya: model proses akan meliputi interaksi dinamis dan statis antara variabel input, output dan gangguan; batasan pada input dan output diperlakukan dengan sistematis. Model prediksi yang akurat mampu memberikan peringatan awal pada potensi masalah (Camacho E.F., Bordons., 1999).

Model predictive control telah dikembangkan dalam sistem event diskrit yang didesain berdasarkan model matemtika. MPC juga telah dikembangkan untuk sistem max plus linear. Aljabar max plus dapat digunakan untuk memodelkan berbagai macan event (Bart De Schutter (2002)), seperti sistem manufaktur, jaringan telekomonikasi dan sistem transportasi dan lain sebagainya.

1112

Model predictive control memiliki tiga parameter yaitu Np, Nc, yang dapat mempengaruhi output dari sebuah sistem. Dalam tulisan ini akan dibahas ketiga parameter dari model predictive control tersebut dan simulasinya menggunakan scilab.

2. MODEL PREDICTIVE CONTROL (MPC)

Model predictive control yang dikembangkan untuk kasus deterministik yaitu tanpa error (Bart De Schutter (2002),Tyagunov, A. A (2004)). Model yang digunakan dalam mendesain suatu pengendali adalah model ruang keadaan:

) ( ) ( ) 1 (k Ax k Bu k x (1) ) ( ) (k Cx k y (2)

Vektor x merupakan variabel keadaan, u sebagai input dan y sebagai ouput, dan A, B, C merupakan matriks sistem dengan ukuran yang sesuai. Sistem diatas dapat dikembangkan dalam bentuk Aljabar Max Plus linear yang disebut Plus Time Linear (PTL).

Perilaku Indeks (J) dari MPC didefenisikan oleh:

in out J J J p p N j N j j k u j k r k j k y 1 1 2 2 ) 1 ( ) ( ) ( ˆ . (3)

Dalam notasi matriks dapat ditulis sebagai berikut :

) ( ) ( ~ ) ( ˆ k Hu k g k y dengan: ) ( ˆ ) 1 ( ˆ ) ( ~ k N k y k k y k y p  , p N k r k r k r ( ) 1 ( ) ( ~ _{ ,} ) 1 ( ) ( ) ( ~ p N k u k u k u  dan CB B CA B CA CB CAB CB H p p N N        2 1 0 0 0 , ( ) ( ) 2 k x CA CA CA k g p N  .

1113

Pada bagian berikut ini diberikan secara ringkas mengenai Aljabar Max Plus beserta beberapa notasi terkait yang digunakan pada pembahasan berikutnya.

3. ALJABAR MAX PLUS

Elemen dari Aljabar Max Plus adalah bilangan real dan . Operasi dasar dari Aljabar Max Plus adalah maximum (dinotasikan dengan ) dan tambah (dinotasikan dengan ) dengan demikian didapat

) ,

max(x y

y

x dan x y x y.

Defenisi Struktur aljabar Rmaks bisa didapat (F. Baccelli dkk (1992)).

Simbol Rmaks menyatakan himpunan R dengan dua operasi biner yaitu

maksimum yang dinotsaikan oleh sedangkan penjumlahan oleh .

Untuk setiap a,b Rmaksdidefenisikan operasi dan sebagai

) , ( maks a b b a def dana b a b def

. Sehingga untuk setiap a Rmaks

didapata a a dan a a . Himpunan R_maks dengan operasi dan disebut Max Plus dan dinyatakan dengan R (R_maks , , ,e), dengan

.

Operasi dan dapat diperluas dalam bentuk matriks. Didefenisikan

n n def ... 3 , 2 ,

1 . MisalkanA a_i,j dan B b_i,jadalah matriks m n atas R_maxmaka

B

A adalah matriks m n dengan elemen ke-(i, j) diberikan oleh :

) , max( )

(A B _i,j a_i,j b_i,j a_i,j b_i,j , i n, j m

Bila c R_max, maka c A adalah matriks m ndengan elemen ke-(i, j) adalah sebagai berikut :

j i j i c a a c _{, ,} .

Selanjutnya bila A dan B masing-masing adalah matriks berukuran m p dan p n, maka A B adalah matriks m ndengan elemen ke-(i, j) adalah sebagai berikut :

1114 ) , ( max ) ( , , , i,k k,j k j k k i k j i a b a b B

A untuk semua i,j , i n, j m.

4. SISTEM MAX PLUS LINEAR dan MPC

System event diskrit dapat dimodelkan melalui aljabar max plus (Baccelli, F. dkk(1992)) : ) ( ) 1 ( ) (k A x k B u k x (4) ) ( ) (k C xk y (5) Dengan nxn nxm lxn R C R B R

A _max, _max,dan _max dimana m adalah banyaknya komponen input dan l adalah banyaknya komponen output.

Berdasarkan persamaan (5) dan (6), dapat dibuat suatu sistem untuk setiap input u(k),...,u(k N_p 1): ) ( ) ( ) ( ˆ 1 1 0C A B u k i k x A C k j k y j j i j (6) dalam notasi matriks dapat ditulis :

) ( ) ( ~ ) ( ~_{y k H u k g k (7)} dengan : B C B A C B A C B C B A C B C H p p N N        2 1 ) ( ) ( 2 k x A C A C A C k g p N 

Masalah MPC untuk Aljabar max Plus didefenisikan sebagai berikut :

2 1 , , ) ( ~ ) ( ~ min min outp inp k u k u J J J (8) ) ( ) ( ~ ) ( ~_{y k H u k g k} ) ( ) ( ~ ) ( ) ( ~ ) (k u k F k y k h k E

1115 0 ) (k j u untuk j 0,...N_p 1 0 ) ( 2 j k u untuk j N_c,...N_p 1 dengan: ) 1 ( ) ( ) (k u k u k u ) 2 ( ) 1 ( 2 ) ( ) 1 ( ) ( ) ( 2 k u k u k u k u k u k u

Contoh Sistem Perakitan Sederhana

Dalam tulisan ini mengambil contoh penerapan pada sistem perakitan sederhana (Subiono, (2001)) dengan tiga unit pemproses (gambar 1).

Gambar 1 : sistem perakitan sederhana Dari gambar (1) diperoleh sistem sebagai berikut:

) ( 2 ) ( 5 ) 1 ( ₁ 1 k x k u k x ) ( ) ( 6 ) 1 ( ₂ 2 k x k u k x ) ( 3 ) ( 6 ) ( 6 ) 1 ( 1 2 3 3 k x k x k x k x ) ( 3 ) (k x₃ k y

Selanjutnya ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :

) ( 0 2 ) ( 3 6 6 6 5 ) 1 (k x k u k x (9) ) ( 3 ) (k x k y

dengan , notasi menyatakan tranpose . Matriks diberikan oleh

1116 3 6 6 6 5 A , 0 2

B dan C 3 . Selanjutnya dengan

keadaan awal dan input awal , didapat evolusi system (9)

62 56 50 44 38 32 26 20 14 8 2 62 56 50 44 38 32 26 20 14 8 2 61 55 49 43 37 31 25 19 13 7 1 x .

Fungsi obyektif dari model predictive control diberikan oleh : ) ( ~ ) ( ~ ) ( ~ ) ( ) (k J k J y k r k u k J _{out in}

dengan 0adalah bobot dan r(k)adalah referensi signal. Dalam hal ini indeks perilaku diberikan oleh

) ) 1 ( ) ( ( ) ) 1 ( ) 1 ( , ) ( ) ( ( min ) ( minJ k y k r k y k r k u k u k )) 1 ( ) ( ( )) 1 ( ) 1 ( ), 1 ( ) 1 ( ), ( ) ( ), ( ) ( ( min k u k u k y k r k r k y k y k r k r k y )) 1 ( ) ( ( ) 1 ( ) 1 ( ), 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ), 1 ( ) ( ) ( ) ( ), 1 ( ) ( ) ( ) ( ( min k u k u k y k r k u k u k r k y k u k u k y k r k u k u k r k y .

Dalam tulisan ini ditentukan nilai k 1, N_p 6 , N_c 3 dan referensi signal ' 85 75 66 55 45 40 ) (k

r . Selanjutnya hasil simulasi

menggunakan scilab berdasarkan diperoleh :

11 16 21 27 33 11 16 21 27 11 16 21 11 16 11 H

1117 ) ( 21 39 34 18 33 29 15 27 24 12 21 19 9 15 14 6 9 9 ) (k x k g Untuk x(0) 1 2 2', didapat ' 41 35 29 23 17 11 ) 0 ( g ' 63 51 41 35 23 11 ) 0 ( Y 5. KESIMPULAN

Model Predictive control untuk sistem max plus linear merupakan pendekatan dengan desain input yang optimal. Aljabar max plus dapat digunakan untuk memodelkan sebuah sistem dalam bentuk sistem max plus linear. Untuk menentukan nilai awal atau kondisi awal dari matrik hasil evolusi sistem dapat digunakan toolbox scilab Max Plus. Pengaturan awal dari parameter Np, Nc, dan barisan r(k) dapat mempengaruhi output dari sebuah sistem yang ada. Horison prediksi (Np) dapat mengontrol keminimalan terhadap selisih antara keluaran

proses dan lintasan referensi, Horison kontrol (Nc) pengontrol terhadap perubahan

perubahan harga untuk kemudian memiliki harga yang tetap. Sedangkan pemilihan parameter seminimal mungkin untuk menstabilkan permasalahan yang ada.

1118

DAFTAR PUSTAKA

Bart De Schutter and T.J.J van den Boom (2002), Model Predictive Control for Max Plus Linear Discrete Event Systems, Automatica, Vol.37, No.1049-1056

Camacho E.F. and Bordons. (1999). Model Predictive Control. London: Springer- Verlag.

F. Baccelli, G. Cohen, G.J. olsder, and J.-P. Quadrat (1992), Synchronization and

linearity: an algebra for discrete event systems, Wiley.

Tyagunov, A. A (2004), High-Performance Model Predictive Control for Process

Industry,Technische Universiteit Eindhoven

Subiono, (2001), Terapan aljabar max-plus pada proses produksi perakitan,