Bab II Tinjauan Pustaka

Bab II Tinjauan Pustaka

Misalkan X vektor acak berdimensi p dengan X sebagai komponen ke-k dan _k matriks kovariansi Σ =

( )

σ_ij . Koefisien korelasi antara dua komponen X dan _i X _j adalah

(

)

( )

( )

i j ij ij ii jj _{i j} Cov X , X Var X Var X = σ = ρ σ σ ,

Nilai ρ_ij memenuhi ρij ≤1 dan ρij = ±1 jika dan hanya jika X dan i X j memiliki hubungan linear dengan probabilitas 1. Jadi ρ_ij secara umum menunjukkan ukuran ketergantungan linear antara X dan _i X . Matriks korelasi _j

X adalah P =

( )

ρ_ij .

Misalkan X , X ,1 2 … , XN sampel acak berukuran N dari X dan A = nS =

( )( )

N i i i 1 X X X X = ′ − −

∑

, dengan n= −N 1 dan S adalah matriks kovariansi sampel. Koefisien korelasi sampel antara X dan _i X adalah _j

ij ij ij ii jj ii jj a s r a a s s = =

Matriks korelasi sampelnya adalah R =

( )

r_ij . Muirhead (1982) menggaris bawahi bahwa, jika sampel acak tersebut diambil dari distribusi normal multivariat dengan semua parameter-parameternya tidak diketahui, maka r merupakan _ij

penaksir maksimum likelihood dari

ρ

_ij. Dengan demikian, R adalah penaksir maksimum likelihood bagi P.

II.1 Pengujian Kesamaan Dua Matriks Korelasi

Dalam berbagai literatur dilaporkan bahwa pengujian matriks korelasi sama dengan matriks tertentu telah dapat ditemui sejak tahun 1930 an. Hal ini dapat dilihat dalam Bartlett dan Rajalakshman (1953), Bartlett (1954), Lawley (1963), Gleser (1968) dan Aitkins (1969) serta berbagai pustaka di dalamnya.

Misalkan

k

k 1 k 2 kn

X , X , … , X sampel acak ke-k berukuran nk dari X , k = 1, 2. Kedua sampel diketahui saling bebas dan berasal dari distribusi normal p-variat. Berdasarkan kedua sampel tersebut, pengujian hipotesis kesamaan dua matriks korelasi dapat dinyatakan oleh H₀: P₁ = P₂ lawan H₁: P₁ ≠ P₂. Pada tahun 1940 an, Box (1949) tidak hanya mengembangkan alat penguji untuk hipotesis ini saja. Dia bahkan langsung mengembangkannya untuk kesamaan beberapa matriks korelasi yakni untuk k = 1, 2, ... , m berdasarkan m buah sampel acak. Oleh karena itu, statistik M-Box, begitulah nama statistik ini dikenal, akan dibahas pada Bagian II.2.

Pada tahun 1970, berdasarkan gagasan Kullback, Jennrich (1970) melaporkan hasil penelitiannya tentang pengujian H₀: P₁ = P₂ lawan H₁: P₁ ≠ P₂ di atas. Apabila Kullback (1967) membatasi diri untuk p = 2, maka Jennrich (1970) mengembangkan H₀: P₁ = P₂ lawan H₁: P₁ ≠ P₂ statistik penguji untuk p yang lebih umum. Statistik Jennrich yang akan menjadi bahan diskusi lebih lanjut dalam disertasi ini adalah sebagai berikut.

J = 1_{Tr Z}

( )

2 t_H 1 2 − −∆ ∆ dengan, a. Z = t( ) 1 2 cR R −R ;

b. ∆ adalah vektor kolom di mana elemen-elemennya sama dengan elemen-elemen diagonal dari Z;

c. H = δij + ij ij

d. R =

( )

rij = 1 1 2 2 1 2 n R n R n n + + ; e. c = 1 2 1 2 n n n +n .

Jika H₀benar, Jennrich (1970) menunjukkan bahwa J ⎯⎯d→ 2 df

χ dengan derajat

kebebasan df = p p 1

(

)

2

−

. Hipotesis H₀ditolak pada tingkat keberartian α apabila J > χ_α2_;df, dengan χ_α2_;dfadalah kuantil ke-

(

1−α

)

dari χ_df2 .

II.2 Pengujian Kestabilan Barisan Matriks Korelasi

Misalkan

k

k 1 k 2 kn

X , X , … , X sampel acak ke-k berukuran nk dari X , k = 1, 2, ... , m, di mana sampel yang satu dengan yang lain saling bebas dan berasal dari distribusi normal p-variat. Berdasarkan m buah sampel ini hendak diuji hipotesis

0

H : P₁ = P₂ = ….. = P_m lawan H₁: P_i ≠ P_j untuk suatu pasangan i dan j. Masalah kestabilan barisan m buah matriks korelasi ini merupakan masalah yang amat sangat penting. Aplikasinya dapat dijumpai dalam berbagai bidang mulai dari bisnis tanah milik Eichholtz (1995) dan Cook dkk (2002), bisnis perumahan (real estate) Lee (1998), bisnis asset Fischer (2007), manajemen risiko Annaert dkk (2003) dan Ragea (2003), pasar ekuitas Meric dan Meric (1997), pasar saham Tang (1998), Gande dan Parsley (2002) dan Da Costa dkk (2005), pasar global Goetzmann dkk (2005) hingga bisnis finansial dan ekonomi secara umum Olivares (2000) dan Ragea (2003) dan komputasi paralel Chilson dkk (2006). Sebagian hasil penelitian ini telah kami aplikasikan pada data proses pembuatan komponen sayap pesawat terbang PT DI. Dari aplikasi ini telah dihasilkan satu artikel, Djauhari dan Herdiani (2008), yang akan terbit di jurnal international.

Dari segi teori, pengujian kestabilan barisan matriks korelasi tersebut pada umumnya didasarkan kepada pendekatan Likelihood Ratio Test (LRT) dengan menggunakan statistik M-Box seperti dikemukakan dalam Meric dan Meric (1997), Tang (1998), Lee (1998), Annaert dkk. (2002), dan Da Costa dkk. (2005)

atau statistik Jennrich seperti dalam Eichholtz (1995), Olivares (2000), Annaert dkk. (2003), Gande dan Parsley (2003) dan Fischer (2007).

II.2.1 Statistik M-Box

Untuk menguji hipotesis H₀: P₁ = P₂ = ….. = P_m lawan H₁: P_i ≠ P_j untuk suatu pasangan i dan j. Box (1949) memperkenalkan statistik penguji berikut,

M = nlnRtotal −

∑

ln Ri m i i =1 n dengan R_total = m i i i 1 1 n R

N

∑

₌ , ni dan Ri adalah ukuran sampel dan matriks korelasi

dari sampel ke-i dan i = 1, 2, ..., m. Jika H₀benar, Box (1949) menunjukkan bahwa M b d ⎯⎯→

F

f , f_{1 2} , dengan a. b =

(

1

)

2 1 f 1 f f 1 D− − ; b. f = ₁ p p 1 m 1

(

)(

)

2 + − ; c. f = ₂

(

)

(

1 2

)

2 1 f 2 D D + − ; d. D = ₁

(

)(

)

2 m i 1 i 2 p 3 p 1 1 1 6 p 1 m 1 = n n ⎡ ⎤ + − ₋ ⎢ ⎥ + _{− ⎣}

∑

_⎦; e. D = 2

(

)(

)

(

)

m 2 2 i 1 i p 1 p 2 1 1 6 m 1 = n n − + ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ − _⎣

∑

_⎦.

Selanjutnya, hipotesis H₀ ditolak pada tingkat keberartian α apabila M

b > 1 2 ; f , f F_α dengan 1 2 ; f , f

F_α adalah kuantil ke-

(

1−α

)

dari distribusi

1 2

f , f F .

II.2.2 Statistik Jennrich

Statistik Jennrich untuk p yang lebih umum adalah, J =

( )

2 t 1 i i i 1 Tr Z H 2 − ⎧ ₋ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭

∑

m ∆ ∆ i =1 dengan, a. Zi = ( ) 1 i total i total n R− R −R ;

b. ∆i adalah vektor kolom di mana elemen-elemennya sama dengan elemen-elemen diagonal dari Zi;

c. H = 1

total total

I+R R− dengan menyatakan perkalian Hadamard antara dua buah matriks, yang dapat dilihat dalam Schott (1997).

Jika H₀benar, Jennrich (1970) menunjukkan bahwa J ⎯⎯d→ 2 df

χ dengan derajat

kebebasan df =

(

m 1 p p 1

) (

)

2

− −

. Hipotesis H₀ditolak pada tingkat keberartian α

apabila J > χα2;df, dengan 2

;df

α

χ adalah kuantil ke-

(

1−α dari

)

χ . df2

Apabila diperhatikan kedua statistik di atas, tampak dengan jelas bahwa statistik M-Box melibatkan perhitungan determinan matriks korelasi. Sedangkan statistik Jennrich menuntut perhitungan invers matriks. Oleh karena itu, tingkat kompleksitas komputasi kedua statistik tersebut akan semakin tinggi manakala variabel-variabel yang terlibat semakin banyak.

Sebenarnya, pengujian kesamaan beberapa matriks korelasi telah lama berkembang. Hotteling (1940) mengusulkan tentang pengujian dengan menggunakan statistik t bersyarat untuk kesamaan dua korelasi dalam tiga variabel berdistribusi normal. Awal tahun 1960 an, Lawley (1963) dan Anderson (1963) memperkenalkan pengujian untuk kesamaan semua korelasi dalam suatu distribusi normal multivariat. Selanjutnya, Aitkin dkk. (1968) mengusulkan pengujian berdasarkan Likelihood Ratio Test (LRT) dan Jennrich (1970)

mengusulkan statistik yang merupakan bentuk perumuman dari statistik Kullback (1967). Penggunaan statistik M-Box dalam pengujian kesamaan dari matriks korelasi diperkenalkan oleh Tang (1998). Sejak saat itu, para peneliti lainnya seperti Lee dkk. (1998), Cook dkk. (2002), Ragea (2002) dan Goetzmann dkk. (2005) mengikuti jejak Tang (1998) menggunakan statistik M-Box tersebut untuk pengujian kesamaan matriks korelasi.

II.3. Masalah yang Hendak Diteliti

Penelitian tentang pengujian kestabilan matriks korelasi terus berkembang. Tahun 2007 yang lalu, Schott (2007) melaporkan hasil penelitiannya tentang pengembangan pengujian tersebut apabila matriks-matriks korelasi tidak saling bebas. Statistik penguji yang dikembangkan Schott didasarkan kepada statistik Wald, yang dapat dilihat dalam Schott (2007), dan operator vec serta matriks komutasi. Dalam disertasi ini uraian yang dikemukakan tidak berada pada jalur yang dipilih oleh Schott (2007), akan tetapi tetap pada jalur di mana barisan matriks korelasi saling bebas yang satu terhadap yang lain.

Berdasarkan hasil survey kepustakaan di atas, seperti sudah diuraikan pada Bab Pendahuluan, masalah utama dalam disertasi ini adalah pengujian hipotesis kestabilan barisan matriks korelasi yang saling bebas yang tidak melibatkan perhitungan determinan matriks dan juga tidak melibatkan perhitungan invers matriks. Kedua perhitungan itu ingin dihindari karena menimbulkan ketidakefisienan dalam komputasi tatkala bekerja dengan matriks korelasi yang berukuran besar. Untuk itu, dalam disertasi ini diusulkan sebuah statistik penguji yang dibangun berdasarkan variansi vektor (VV) sebagai ukuran dispersi multivariat seperti dikemukakan dalam Djauhari (2007) dan Herwindiati dkk. (2007). Berdasarkan VV dibentuk vektor variansi variabel-variabel standar (VVVS).

Selanjutnya, penyelidikan tentang distribusi VVVS sample vec R

( )

2 didasarkan kepada hasil penelitian Browne dan Saphiro (1986), Neudecker dan Wesselman

(1990), Neudecker (1996) serta Schott (2007) tentang distribusi vec R

( )

, yang akan dirumuskan dalam Teorema III.1, Bab III. Hasil penelitian tentang distribusi asimtotik dari vec R

( )

2akan disajikan dalam bab-bab berikutnya dalam disertasi ini.