Analisis Kestabilan Lereng Dengan Metode Irisan

Analisis

Analisis

Analisis

Analisis Kes

Kes

Kes

Kesttttabilan Lereng dengan Metode Irisa

abilan Lereng dengan Metode Irisa

abilan Lereng dengan Metode Irisa

abilan Lereng dengan Metode Irisan

n

n

n

γ = 22.5 kN/m3 c = 30 kPa φ = 33o γ = 19.5 kN/m3 c = 10 kPa φ = 33o Saifuddin Arief ariefs1@inco.com

Kata Pengantar

Metode Irisan merupakan metode yang paling sering digunakan dalam analisis kestabilan lereng. Kelebihan utama dari metode irisan adalah mudah dipahami serta membutuhkan data yang relatif sedikit dibandingkan dengan metode yang lainnya. Metode irisan juga telah teruji kehandalannya selama puluhan tahun.

Hampir sebagian besar metode-metode yang termasuk dalam metode irisan akan dijelaskan dalam tulisan ini. Untuk memudahkan pemahaman pada bagian akhir dari tulisan ini juga disertakan beberapa contoh perhitungan.

Tiada ada gading yang tak retak, saran dan masukkan akan diterima dengan senang hati.

Maret 2008 Sorowako, Sulawesi Selatan

Saifuddin Arief

"Maha suci Engkau, tidak ada yang kami ketahui selain dari apa yang telah Engkau ajarkan kepada kami; Sesungguhnya Engkaulah yang Maha mengetahui lagi Maha Bijaksana." [Al Baqoroh: 32]

Yang telah menciptakan tujuh langit berlapis-lapis. kamu sekali-kali tidak melihat pada ciptaan Tuhan yang Maha Pemurah sesuatu yang tidak seimbang. Maka lihatlah berulang-ulang, Adakah kamu Lihat sesuatu yang tidak seimbang?

[Al Mulk: 3]

Tulisan ini dipersembahkan kepada kedua orang tua penulis, Imam Syafi’i dan Zuliatin, istriku tersayang Hesti, kedua buah hatiku, Izzuddin dan Hanif, semoga kebaikan dan kebahagian selalu tercurahkan untuk mereka.

1

Pendahuluan

Metode irisan merupakan metode yang sangat populer dalam analisa kestabilan lereng. Metode ini telah terbukti sangat berguna dan dapat diandalkan dalam praktek rekayasa serta membutuhkan data yang relatif sedikit dibandingkan dengan metode lainnya, seperti metode elemen hingga (finite element), metode beda hingga (finite difference) atau metode elemen diskrit (discrete element).

Ide untuk membagi massa di atas bidang runtuh ke dalam sejumlah irisan telah digunakan sejak awal abad 20. Pada tahun 1916, Peterson melakukan analisis kestabilan lereng pada beberapa dinding dermaga di Gothenberg, Swedia, dimana bidang runtuh dianggap berbentuk sebuah busur lingkaran dan kemudian massa di atas bidang runtuh dibagi ke dalam sejumlah irisan vertikal. Dua puluh tahun kemudian, Fellenius (1936) memperkenalkan metode irisan biasa. Setelah itu muncul beberapa metode irisan lainnya, antara lain yang dikembangkan oleh: Janbu (1954, 1957); Bishop (1955); Morgenstern dan Price (1965); Spencer (1967); Sarma (1973, 1979); Fredlund dan Krahn (1977), Fredlund, dkk (1981); Chen dan Morgenstern (1983); Zhu, Lee dan Jiang (2003).

Terdapatnya beberapa macam variasi dari metode irisan disebabkan oleh adanya perbedaan asumsi-asumsi yang digunakan dalam perhitungan faktor keamanan. Asumsi tersebut dipergunakan karena analisis kestabilan lereng merupakan persoalan statika taktentu (indefinite statics) sehingga diperlukan beberapa asumsi tambahan yang diperlukan dalam perhitungan faktor keamanan.

2

Prinsip-prinsip Dasar Metode Irisan

Semua metode irisan menyatakan kondisi kestabilan suatu lereng dinyatakan dalam suatu indeks yang disebut faktor keamanan (F), yang didefinisikan sebagai berikut:

setimbang agar tepat diperlukan yang geser kekuatan tersedia yang material geser kekuatan = = τ s F [1]

Faktor keamanan diasumsikan mempunyai nilai yang sama untuk setiap irisan.

Kekuatan geser material yang tersedia untuk menahan material sehingga lereng tidak longsor dinyatakan dalam kriteria keruntuhan Mohr-Coulomb sebagai berikut:

(

)

tan ' '

σ

u

φ

c s= + n − [2] dimana: s = Kekuatan geser c′ = kohesi efektif

φ′ = sudut gesek efektif

σn = tegangan normal total

u = tekanan air pori

Kekuatan geser tersebut dianggap tidak tergantung pada kondisi tegangan-regangan yang ada pada lereng.

Besarnya tahanan geser yang diperlukan agar lereng berada dalam kondisi tepat setimbang [Sm] dapat dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut:

(

)

(

)

F u c F s Sm n β φ σ β '+ − tan ' = =

(

)

F u N c Sm ' tan 'β + − β φ = [3]

Karakteristik lainnya yaitu geometri dari bidang gelinciran harus ditentukan atau diasumsikan terlebih dahulu. Untuk menyederhanakan perhitungan, bidang runtuh biasanya dianggap berbentuk sebuah busur lingkaran, gabungan busur lingkaran dengan garis lurus, atau gabungan dari beberapa segmen garis lurus. Ilustrasi beberapa bentuk bidang runtuh tersebut dan gaya-gaya yang bekerja pada setiap irisan ditunjukkan pada gambar 1 sampai gambar 3.

Gambar 1. Model lereng dengan bidang runtuh yang berbentuk sebuah busur lingkaran.

Gambar 2. Model lereng dengan bidang runtuh yang berupa gabungan dari sebuah busur lingkaran dengan segmen garis lurus.

Gambar 3. Model lereng dengan bidang runtuh yang berupa gabungan dari beberapa segmen garis lurus (multilinier).

Definisi dari variabel-variabel pada gambar-gambar di atas adalah sebagai berikut: W = Berat total irisan.

N = Gaya normal total pada dasar irisan.

Sm = Gaya geser pada dasar irisan yang diperlukan agar irisan berada dalam

kondisi tepat setimbang.

E = Gaya antar-irisan horisontal; tikbawah L dan R menunjukkan masing-masing untuk sebelah kiri dan kanan dari irisan.

X = Gaya antar-irisan vertikal; tikbawah L dan R menunjukkan masing-masing untuk sebelah kiri dan kanan dari irisan.

kW = Gaya seismik horisontal yang bekerja pada pusat massa irisan, dimana k adalah koefisien seismik.

R = Radius lingkaran untuk bidang runtuh busur lingkaran; atau lengan momen dari gaya geser Sm terdapat pusat momen untuk bidang runtuh yang bukan

busur lingkaran.

f = Jarak tegak lurus dari gaya normal N terhadap pusat momen. x = Jarak horisontal dari pusat massa irisan terhadap pusat momen. e = Jarak vertikal dari pusat massa irisan terhadap pusat momen.

h = Tinggi rata-rata irisan b = Lebar irisan

β = Panjang dasar irisan [β = b sec α]

a = Jarak vertikal dari gaya hidrostatik terhadap pusat momen. A = Gaya hidrostatik pada retakan tarik

α = Sudut kemiringan dari garis singgung pada titik di tengah dasar irisan terhadap bidang horisontal. Sudut kemiringan bernilai positif apabila searah dengan kemiringan lereng, dan bernilai negatif apabila berlawanan arah dengan kemiringan lereng.

Setelah geometri dari bidang runtuh ditentukan kemudian selanjutnya massa di atas bidang runtuh dibagi ke dalam sejumlah irisan tertentu. Tujuan dari pembagian tersebut adalah untuk mempertimbangkan terdapatnya variasi kekuatan geser dan tekanan air pori sepanjang bidang runtuh.

Dengan mengacu pada beberapa gambar di atas terlihat bahwa persoalan kestabilan lereng merupakan persoalan statik taktentu, yaitu persoalan dimana terdapat lebih banyak variabel yang tak diketahui dibanding dengan jumlah persamaan yang ada. Jumlah persamaan dan variabel yang tak diketahui diperlihatkan pada Tabel 1. Untuk menyelesaikan persoalan tersebut diperlukan sejumlah asumsi tambahan sehingga persoalannya berubah menjadi persoalan statik tertentu.

Hampir semua metode irisan mengasumsikan bahwa titik kerja dari gaya normal pada dasar di irisan terletak pada tengah dari dasar irisan, asumsi menyebabkan jumlah variabel yang tak diketahui akan berkurang menjadi (5n – 2). Masih terdapat sejumlah (n – 2) asumsi tambahan yang diperlukan untuk menjadikan persoalan statik taktentu menjadi persoalan statik tertentu. Terdapatnya beberapa variasi metode irisan disebabkan oleh adanya perbedaan asumsi tambahan yang digunakan. Asumsi yang digunakan oleh beberapa metode irisan diberikan pada Tabel 2.

Jumlah asumsi yang digunakan akan menentukan kondisi kesetimbangan yang dapat dipenuhi, apabila jumlah asumsinya melebihi (n – 2) maka tidak semua kondisi

kesetimbangan dapat dipenuhi. Kondisi kesetimbangan yang dipenuhi oleh berapa metode irisan ditunjukkan pada Tabel 3.

Berdasarkan kondisi kesetimbangan yang dapat dipenuhi, metode irisan dapat dikelompokkan menjadi dua kategori.

1. Metode yang tidak memenuhi semua kondisi kesetimbangan gaya dan momen, antara lain yaitu metode irisan biasa, metode Bishop yang disederhanakan, metode Janbu yang disederhanakan, dan metode Corps of Engineer.

2. Metode yang memenuhi semua kondisi kesetimbangan gaya dan momen, antara lain yaitu Metode Spencer, Metode Morgenstern-Price dan Metode Kesetimbangan Batas Umum.

Tabel 1. Persamaan dan variabel yang tidak diketahui

Persamaan Keterangan

n Kesetimbangan momen untuk tiap irisan n Kesetimbangan gaya dalam arah vertikal n Kesetimbangan gaya dalam arah horisontal n Kriteria keruntuhan (Persamaan Mohr-Coulomb) 4n Jumlah total persamaan

Variabel Yang Tak Diketahui _Variabel 1 Faktor keamanan (F)

n Gaya normal pada dasar tiap irisan (N) n Titik kerja gaya Normal pada dasar tiap irisan n Gaya geser pada dasar tiap irisan (Sm) n – 1 Gaya geser antar-irisan (X)

n – 1 Gaya normal antar-irisan (E)

n – 1 Titik kerja gaya antar-irisan (garis dorong) 6n – 2 Jumlah total variabel yang tidak diketahui

Tabel 2. Asumsi-asumsi yang digunakan oleh beberapa metode irisan

Metode Asumsi

Irisan Biasa (Fellenius) Resultan gaya antar-irisan sama dengan nol dan bekerja sejajar dengan permukaan bidang runtuh.

Bishop Yang Disederhanakan

Gaya geser antar-irisan sama dengan nol (X=0).

Janbu Yang Disederhanakan

Gaya geser antar-irisan sama dengan nol (X=0). Faktor koreksi digunakan sebagai faktor empiris untuk

memasukkan efek dari gaya geser antar irisan.

Janbu Yang Umum Letak gaya antar-irisan didefinisikan oleh garis gaya antar irisan yang diasumsikan.

Lowe-Karafiath

Kemiringan dari resultan gaya geser dan normal antar-irisan sama dengan rata-rata dari kemiringan permukaan lereng dan kemiringan bidang runtuh

Corps of Engineers

Kemiringan dari resultan gaya geser dan normal antar-irisan besarnya sama dengan:

Kemiringan permukaan lereng, atau

Kemiringan dari kaki bidang runtuh ke puncak bidang runtuh.

Spencer Kemiringan dari resultan gaya geser dan normal antar-irisan adalah sama untuk semua antar-irisan.

Morgenstern-Price Kemiringan gaya geser antar irisan besarnya sebanding dengan fungsi tertentu yang diasumsikan.

Kesetimbangan Batas Umum

Sudut gaya antar irisan besarnya sebanding dengan fungsi tertentu yang diasumsikan.

Tabel 3. Kondisi kesetimbangan yang dipenuhi

Kesetimbangan Gaya Kesetimbangan Metode Vertikal Horisontal Momen Irisan Biasa (Fellenius) Tidak Tidak Ya Bishop Yang Disederhanakan Ya Tidak Ya Janbu Yang Disederhanakan Ya Ya Tidak

Janbu Yang Umum Ya Ya Tidak

Lowe-Karafiath Ya Ya Tidak

Corps of Engineers Ya Ya Tidak

Spencer Ya Ya Ya

Morgenstern-Price Ya Ya Ya

Kesetimbangan Batas Umum Ya Ya Ya

Oleh karena letak dari bidang runtuh tidak diketahui dan harus diasumsikan terelebih dahulu maka harus dilakukan perhitungan pada sejumlah bidang runtuh, untuk mencari bidang runtuh yang memberikan faktor keamanan terkecil. Bidang runtuh yang menghasilkan faktor keamanan terkecil dinamakan sebagai bidang runtuh kritis. Penentuan bidang runtuh kritis dapat dilakukan secara coba-coba atau dengan menggunakan metode optimasi.

Penjelasan yang lebih detail dari beberapa metode irisan diberikan pada beberapa subbab berikut.

3

Metode Irisan Biasa (Metode Fellenius)

Metode irisan biasa (Fellenius, 1936) merupakan metode yang paling sederhana diantara beberapa metode irisan. Metode ini juga dinamakan sebagai metode lingkaran Swedia. Asumsi yang digunakan dalam metode ini adalah resultan gaya antar irisan sama dengan nol dan bekerja sejajar dengan permukaan bidang runtuh, serta bidang runtuh berupa sebuah busur lingkaran. Kondisi kesetimbangan yang dapat dipenuhi oleh metode ini hanya kesetimbangan momen untuk semua irisan pada pusat lingkaran runtuh.

Gambar 4. Gaya-gaya yang bekerja pada tiap irisan

Gaya normal total ditentukan dengan menggunakan kesetimbangan gaya dalam arah tegak lurus dasar irisan, besarnya yaitu:

α

α

sin

cos kW

W

N = − [4]

Dengan merujuk pada Gambar 1, kesetimbangan momen pada pusat lingkaran runtuh untuk semua irisan adalah sebagai berikut:

(

)

(

sin cos

)

(

)

0 1 1 = + − − +

∑

∑

= = Aa R S h R kW WR n i m n i c α α [5]

dimana hc adalah tinggi pusat massa irisan dari titik tengah pada dasar irisan.

Gaya geser yang diperlukan agar lereng berada dalam kondisi setimbang adalah:

(

)

F u N c S_m = 'β + − β tanφ' [6]

Apabila persamaan di atas disubstitusikan ke dalam persamaan [5] akan diperoleh persamaan untuk menghitung faktor keamanan (F) sebagai berikut:

(

)

[

]

R a A R h kW W u N c F n i c n i +             − + − + =

∑

∑

= = 1 1 cos sin ' tan ' α α φ β β [7]

Apabila dibandingkan dengan metode lainnya yang lebih teliti, seperti Metode Bishop atau Metode Spencer, faktor keamanan yang dihitung dengan metode ini pada umumnya mempunyai nilai yang lebih rendah sebesar 5% sampai 20%. Bahkan untuk lereng landai dengan tekanan air pori yang tinggi, perbedaannya dapat mencapai sekitar

60%. Untuk lereng dengan material yang mempunyai sudut gesek sama dengan nol (φ = 0) metode ini dapat memberikan nilai faktor keamanan yang sama akuratnya dengan Metode Bishop Yang Disederhanakan. Untuk lereng dengan dengan material yang mempunyai sudut gesek lebih besar daripada nol, metode ini sebaiknya tidak digunakan karena dapat menghasilkan rancangan lereng yang tidak ekonomis.

4

Metode Bishop Yang Disederhanakan (Simplified Bishop Method)

Diantara metode irisan lainnya, metode Bishop yang disederhanakan (Bishop, 1955) merupakan metode yang paling populer dalam analisis kestabilan lereng. Asumsi yang digunakan dalam metode ini yaitu besarnya gaya geser antar-irisan sama dengan nol (X=0) dan bidang runtuh berbentuk sebuah busur lingkaran. Kondisi kesetimbangan yang dapat dipenuhi oleh metode ini adalah kesetimbangan gaya dalam arah vertikal untuk setiap irisan dan kesetimbangan momen pada pusat lingkaran runtuh untuk semua irisan, sedangkan kesetimbangan gaya dalam arah horisontal tidak dapat dipenuhi.

Gambar 5. Gaya-gaya yang bekerja pada tiap irisan

Kesetimbangan gaya dalam arah vertikal menghasilkan persamaan sebagai berikut:

0 sin

cos +S −W =

N

α

_m

α

[8]

Substitusi persamaan [3] ke persamaan [8] akan menghasilkan persamaan untuk gaya normal total (N) sebagai berikut:

F F u c W N ' ' ' tan sin cos tan sin sin

φ

α

α

φ

α

β

α

β

+ − − = [9]

Dengan merujuk pada Gambar 1, kesetimbangan momen pada pusat lingkaran runtuh untuk semua irisan adalah sebagai berikut:

(

)

(

sin cos

)

(

)

0 1 1 = + − − +

∑

∑

= = Aa R S h R kW WR n i m n i c α α [10]

dimana hc adalah tinggi pusat massa irisan dari titik tengah pada dasar irisan. Gaya

geser antar-irisan dihilangkan dari persamaan di atas karena resultan momen dari gaya-gaya tersebut saling menghilangkan.

Dengan mensubstitusikan persamaan [3] ke dalam persamaan di atas akan menghasilkan persamaan untuk menghitung faktor keamanan (F) sebagai berikut:

(

)

[

]

R a A R h kW W u N c F n i c n i +             − + − + =

∑

∑

= = 1 1 cos sin ' tan ' α α φ β β [11]

dimana N dihitung menggunakan persamaan [9].

Pada persamaan [11] variabel faktor keamanan (F) terdapat pada kedua sisi persamaan sehingga perhitungan nilai F tidak dapat dilakukan secara langsung dan harus dihitung dengan menggunakan aproksimasi berulang (iterasi). Aproksimasi berulang dilakukan beberapa kali sampai nilai perbedaan dari F pada kedua sisi persamaan lebih kecil dari nilai toleransi yang diberikan.

Metode Bishop yang disederhanakan merupakan metode sangat populer dalam analisis kestabilan lereng dikarenakan perhitungannya yang sederhana, cepat dan memberikan hasil perhitungan faktor keamanan yang cukup teliti. Kesalahan metode ini apabila dibandingkan dengan metode lainnya yang memenuhi semua kondisi kesetimbangan seperti Metode Spencer atau Metode Kesetimbangan Batas Umum, jarang lebih besar dari 5%. Metode ini sangat cocok digunakan untuk pencarian secara otomatis bidang runtuh kritis yang berbentuk busur lingkaran untuk mencari faktor keamanan minimum.

5

Metode Janbu Yang Disederhanakan (Simplified Janbu Method)

Metode Janbu yang disederhanakan (Janbu, 1954, 1973) juga termasuk salah satu metode yang populer dan sering digunakan dalam analisis kestabilan lereng. Asumsi yang digunakan dalam metode ini yaitu gaya geser antar irisan sama dengan nol. Metode ini memenuhi kesetimbangan gaya dalam arah vertikal untuk setiap irisan dan kesetimbangan gaya dalam arah horisontal untuk semua irisan, namun kesetimbangan momen tidak dapat dipenuhi. Sembarang bentuk bidang runtuh dapat dianalisis dengan metode ini.

Gambar 6. Gaya-gaya yang bekerja pada tiap irisan

Kesetimbangan gaya dalam arah vertikal akan menghasilkan persamaan sebagai berikut:

0 sin

cos +S −W =

N

α

_m

α

[12]

Dengan mensubstitusikan persamaan [3] ke dalam persamaan [12] akan dihasilkan persamaan untuk gaya normal total (N) sebagai berikut:

F F u c W N _' ' ' tan sin cos tan sin sin

φ

α

α

φ

α

β

α

β

+ − − = [13]

Kesetimbangan gaya pada arah horisontal untuk semua irisan adalah sebagai berikut:

(

)

∑

(

)

∑

= = = + − − − n i m n i R L E N S kW E 1 1 0 cos sinα α [14]

Berdasarkan prinsip aksi reaksi diperoleh bahwa resultan gaya-gaya normal antar irisan akan saling menghilangkan. Hal ini dapat dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut:

ER[j-1] = EL[j] [15]

dimana j adalah nomor irisan. Syarat batas untuk gaya normal antar-irisan pada sisi kiri irisan ke-1 dan pada sisi kanan irisan ke-n, adalah sebagai berikut:

EL[1] = 0 [16]

ER[n] = A [17]

Dengan mengunakan persamaan [15], [16] dan [17] maka persamaan [14] dapat ditulis sebagai berikut:

(

)

∑

= = + − − − n i m kW S N A 1 0 cos sinα α [18]

Dengan mensubstitusikan persamaan [3] ke dalam persamaan di atas maka akan diperoleh persamaan untuk menghitung faktor keamanan (F) sebagai berikut:

(

)

(

)

(

N kW

)

A u N c F _n i n i + + − + =

∑

∑

= = 1 1 ' ' sinα cos tanφ α β β [19]

Faktor keamanan (F) terdapat pada kedua sisi dari persamaan di atas sehingga perhitungannya harus dilakukan dengan menggunakan aproksimasi berulang, sampai diperoleh nilai perbedaan dari F pada sisi kiri dan kanan lebih kecil dari nilai toleransi yang diberikan.

Faktor keamanan yang dihitung dengan persamaan [14] merupakan faktor keamanan yang belum dikoreksi, sehingga setelah F dihitung dengan persamaan [19] kemudian harus dikalikan dengan faktor koreksi fo.

Fjanbu = fo . F [20]

Faktor koreksi dimasukkan sebagai koreksi dari pengabaian gaya geser antar irisan, yang dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

              − + = 2 4 . 1 1 L d L d t fo [21]

Besarnya nilai t bervariasi sesuai dengan jenis tanah yaitu sebagai berikut:

t = 0.69 untuk tanah dengan c ≠ 0 dan φ = 0

t = 0.31 untuk tanah dengan c = 0 dan φ≠ 0

t = 0.50 untuk tanah dengan c ≠ 0 dan φ≠ 0

Gambar 7. Faktor koreksi untuk Metode Janbu Yang Disederhanakan.

Faktor keamanan yang dihitung dengan metode ini apabila dibandingkan dengan metode yang teliti, seperti metode Kesetimbangan Batas Umum dan Morgenstern-Price, pada umumnya lebih rendah sekitar 30%, akan tetapi kadang dapat juga lebih besar sekitar 5%.

6

Metode Kesetimbangan Batas Umum (Generalized Limit Equlibrium

Method)

Metode Kesetimbangan Batas Umum dikembangkan oleh Fredlund di tahun 70-an (Fredlund dan Krahn 1977; Fredlund dkk 1981). Metode ini dapat memenuhi semua kondisi kesetimbangan dan dapat digunakan untuk gelinciran dengan bidang runtuh sembarang.

Asumsi yang digunakan oleh metode kesetimbangan batas umum yaitu terdapat hubungan antara gaya geser antar-irisan dan gaya normal antar-irisan, yang dinyatakan dengan persamaannya sebagai berikut:

E x f

dimana:

X = gaya geser antar-irisan E = gaya normal antar-irisan

λ = faktor skala

f(x) = sebuah fungsi yang diasumsikan

Gambar 8. Gaya-gaya yang bekerja pada tiap irisan

Beberapa bentuk fungsi f(x) yang dapat digunakan diperlihatkan pada Gambar 9. Pada umumnya pengaruh dari bentuk fungsi yang digunakan terhadap nilai faktor keamanan adalah kecil sekali, sehingga dalam perhitungan faktor keamanan seringkali dipergunakan asumsi fungsi f(x)=konstanta atau f(x)=setengah-sinus.

Adanya asumsi mengenai gaya geser antar-irisan tersebut akan mengurangi sejumlah (n - 1) variabel yang tidak diketahui sedangkan faktor skala (λ) merupakan sebuah variabel baru atau tambahan yang besarnya tidak ketahui sehingga memberikan jumlah total variabel yang tidak diketahui akan berkurang sebesar (n – 2). Dengan adanya hal tersebut maka jumlah total variabel yang tidak diketahui akan menjadi 4n, sama dengan jumlah persamaan yang ada. Oleh karena jumlah variabel yang tidak diketahui sama dengan jumlah persamaan yang ada maka semua kondisi kestimbangan dapat dipenuhi.

Kesetimbangan gaya dalam arah vertikal untuk setiap irisan adalah sebagai berikut:

(

X_L −X_R

)

+ Ncos

α

+S_msin

α

−W =0 [23]

Dengan mensubstitusikan persamaan [3] ke dalam persamaan di atas menghasilkan persamaan untuk gaya normal total (N) untuk setiap irisan sebagai berikut:

(

)

F F u c W X X N L R ' ' ' tan sin cos tan sin sin

φ

α

α

φ

α

β

α

β

+ − − + − = [24]

Besarnya gaya normal antar-irisan pada sisi kanan irisan (ER) dapat ditentukan dari

kesetimbangan gaya pada arah horisontal untuk setiap irisan, persamaannya adalah sebagai berikut: kW S N E E_R = _L − sinα+ _mcosα − [25]

Gaya geser antar-irisan pada sisi kiri dan kanan untuk setiap irisan dapat dinyatakan sebagai berikut: L L L f x E X =λ ( ) [26] R R R f x E X =λ ( ) [27]

Faktor Keamanan Terhadap Kesetimbangan Gaya (FF)

Kesetimbangan gaya pada arah horisontal untuk semua irisan adalah sebagai berikut:

(

)

∑

(

)

∑

= = = + − − − n i m n i R L E N S kW E 1 1 0 cos sinα α [28]

Resultan dari gaya normal antar-irisan akan saling menghilangkan dan dengan menggunakan syarat batas untuk gaya normal antar-irisan pada sisi kiri irisan pertama dan sisi kanan irisan terakhir, maka persamaan [28] dapat disederhanakan sebagai berikut:

(

)

∑

= = + − − − n i m kW S N A 1 0 cos sinα α [29]

Dengan mensubstitusikan persamaan [3] ke dalam persamaan [29] akan menghasilkan persamaan untuk faktor keamanan terhadap kesetimbangan gaya (FF) sebagai berikut:

(

)

(

)

(

N kW

)

A u N c F _n i n i F + + − + =

∑

∑

= = 1 1 ' ' sinα cos tanφ α β β [30]

Besarnya N pada persamaan ini dihitung menggunakan persamaan [24] dengan menggunakan F=FF.

Faktor Keamanan Terhadap Kesetimbangan Momen (FM)

Dengan merujuk pada Gambar 2 dan 3, kesetimbangan momen pada pusat gelinciran untuk semua irisan adalah sebagai berikut:

(

)

(

)

0 1 = + − − +

∑

∑

= = Aa R S Nf kWe Wx n i m n i i [31] Gaya geser dan gaya normal antar-irisan dihilangkan dari persamaan di atas karena resultan momen dari gaya-gaya tersebut saling menghilangkan.

Dengan mensubstitusikan persamaan [3] ke dalam persamaan [31] akan menghasilkan persamaan untuk faktor keamanan terhadap kesetimbangan gaya (FF) sebagai berikut:

(

)

[

]

(

Wx kWe Nf

)

Aa R u N c F _n i i n i M + − + − + =

∑

∑

= =1 ' tan 'β β φ [32]

Besarnya N pada persamaan ini dihitung menggunakan persamaan [24] dengan menggunakan F=FM.

Perhitungan Faktor Keamanan

Faktor keamanan terhadap kesetimbangan momen (FM) dan faktor keamanan terhadap

kesetimbangan gaya (FF) harus dihitung secara serentak dengan mengasumsikan nilai

dari faktor skala (λ) harus terlebih dahulu. Prinsip dari perhitungan ini adalah untuk mencari suatu nilai faktor skala yang menghasilkan perbedaan absolut dari (FM – FF)

lebih kecil dari toleransi yang diberikan. Apabila kondisi tersebut sudah dipenuhi berarti kondisi kesetimbangan gaya dan momen telah dapat dipenuhi.

7

Metode Morgenstern-Price

Metode Morgenstern-Price (Morgenstern & Price, 1965) dikembangkan terlebih dahulu daripada metode kesetimbangan batas umum. Metode ini dapat digunakan untuk semua bentuk bidang runtuh dan telah memenuhi semua kondisi kesetimbangan.

Metode Morgenstern-Price menggunakan asumsi yang sama dengan metode kesetimbangan batas umum yaitu terdapat hubungan antara gaya geser antar-irisan dan gaya normal antar-irisan, yang dapat dinyatakan dengan persamaannya sebagai berikut:

E x f

X =λ ( ) [33]

Bentuk beberapa fungsi f(x) yang dapat digunakan dapat dilihat pada gambar 9.

Terdapat perbedaan cara perhitungan faktor keamanan diantara metode Morgenstern-Price dan metode kesetimbangan batas umum. Dalam metode kesetimbangan batas umum, perhitungan faktor keamanan dilakukan dengan menggunakan kesetimbangan gaya dalam arah horisontal dan kesetimbangan momen pada pusat gelinciran untuk semua irisan. Sementara itu metode Morgenstern-Price, perhitungan faktor keamanan dilakukan dengan menggunakan kondisi kesetimbangan gaya dan momen dari setiap irisan.

Persamaan Kesetimbangan Gaya

Kesetimbangan gaya dalam arah vertikal untuk setiap irisan adalah sebagai berikut:

(

XL −XR

)

+ Ncos

α

+Smsin

α

−W =0 [34]

Dengan mensubstitusikan persamaan [3] ke dalam persamaan di atas menghasilkan persamaan untuk gaya normal total (N) untuk setiap irisan sebagai berikut:

(

)

F F u c W X X N L R ' ' ' tan sin cos tan sin sin

φ

α

α

φ

α

β

α

β

+ − − + − = [35]

Besarnya gaya normal antar-irisan pada sisi kanan irisan (ER) dapat ditentukan dari

kesetimbangan gaya pada arah horisontal untuk setiap irisan, yang dapat dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut:

kW S

N E

ER = L − sinα+ mcosα − [36]

Dengan menggunakan persamaan [3], maka persamaan [36] dapat ditulis ulang sebagai berikut:

(

)

_kW F u N c N E E_{R L}  −      + − + −

= sinα 'β β tanφ' cosα [37]

Gaya geser antar-irisan pada sisi kiri dan kanan untuk setiap irisan dapat dinyatakan sebagai berikut: L L L f x E X =λ ( ) [38] R R R f x E X =λ ( ) [39]

Dengan menggunakan persamaan [35], [37], [38], dan [39] maka gaya normal antar-irisan pada sisi kanan (ER) dapat dinyatakan sebagai berikut:

( )

(

)

( )

(

)

(

(

( )

)

)

(

(

( )

)

)

(

F

)

u c z x f z z x f kW z W E z x f z x f E R R L R L R ' ' tan 1 sin cos 1 1 1 β β φ λ α α λ λ λ α α α α α α − − − + − − + − − = [40] dimana: α + α φ α − α φ = α cos sin tan sin cos tan ' ' F F z [41]

Persamaan Kesetimbangan Momen

Persamaan kesetimbangan momen pada titik tengah dasar irisan adalah sebagai berikut:

(

tan

)

(

tan

)

₂1

(

)

0 2 1 2 1 − + + + − = − R R L R c L L y b E y b b X X Wkh E α α [42]

dimana hc adalah tinggi pusat massa irisan dari titik tengah pada dasar irisan. Dari

persamaan di atas, titik kerja gaya antar-irisan pada sisi kanan irisan (yR) dapat dihitung

dengan menggunakan persamaan sebagai berikut:

(

)

(

)

[

tanα

]

tanα 1 2 1 2 1 2 1_{b b X X Wkh b} y E E y _{L L L R c} R R = − + + − − [43]

Perhitungan Faktor Keamanan

Persamaan [40] dan [43] adalah sistem persamaan yang digunakan dalam perhitungan faktor keamanan. Kedua persamaan tersebut harus digunakan secara serentak, dimulai dari irisan persamaan sampai irisan terakhir. Dalam perhitungan tersebut digunakan syarat batas untuk irisan pertama sebagai berikut:

EL[1] = E0 = 0 [44]

yL[1] = y0 = 0 [45]

Untuk irisan terakhir syarat batas adalah sebagai berikut

[ ]

2 2 1 w w n R n E h E = = γ [46]

[ ]

n w R n y h y = = ₃1 _[47]

dimana hw adalah tinggi air yang mengisi retakan tarik. Apabila tidak ada air yang

mengisi retakan tarik maka En = 0 dan yn = 0.

Prinsip dari perhitungan faktor keamanan dalam metode Morgenstern-Price adalah mencari pasangan nilai faktor keamanan dan faktor skala, sehingga syarat batas pada irisan terakhir dapat dipenuhi. Persyaratan lainnya yang harus dipenuhi adalah tidak

ada gaya normal pada dasar irisan yang mempunyai nilai negatif dan semua titik kerja gaya antar irisan harus berada di dalam massa gelinciran.

8

Metode Spencer

Spencer (1967) menganggap resultan gaya antar irisan pada semua irisan mempunyai sudut kemiringan tertentu yang sama. Hal ini secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut:

( )

θ =λ =tan E X [48] dimana θ adalah sudut kemiringan dari resultan gaya antar-irisan. Oleh karena itu metode Spencer dapat dianggap sebagai kasus khusus dari metode Morgenstern-Price dimana f(x) = 1. Metode Spencer dapat digunakan untuk sembarang bentuk bidang runtuh dan memenuhi semua kondisi kesetimbangan gaya dan kesetimbangan momen pada setiap irisan.

9

Bidang runtuh Kritis

Penentuan bidang runtuh kritis yang menghasilkan faktor keamanan minimum adalah salah satu tahap penting dalam analisis kestabilan lereng menggunakan metode irisan. Lokasi dari bidang runtuh kritis tersebut dapat ditentukan dengan cara coba-coba atau dengan menggunakan metode optimasi. Prinsip dasarnya yaitu sebuah bidang runtuh yang masuk akal dibuat kemudian dihitung faktor keamanannya. Kemudian proses tersebut diulangi untuk sejumlah bidang runtuh yang masuk akal lainnya. Dari semua bidang runtuh yang dicoba kemudian dipilih bidang runtuh yang menghasilkan faktor keamanan yang terkecil, bidang runtuh ini disebut sebagai bidang runtuh kritis.

Bidang runtuh busur lingkaran

Lokasi bidang runtuh kritis yang berbentuk busur lingkaran dapat ditentukan antara lain dengan menggunakan dua metode sebagai berikut:

Metode Grid and Radius

Metode Grid and Radius

Dalam metode grid dan radius, bidang runtuh busur lingkaran dibuat dengan menentukan titik pusat lingkaran dan radius lingkaran atau garis yang menyinggung lingkaran. Titik-titik pada grid digunakan sebagai pusat dari lingkaran-lingkaran yang akan dicoba. Apabila digunakan adalah garis yang menyinggung lingkaran maka radius lingkaran adalah jarak tegak lurus dari pusat lingkaran terhadap garis singgung. Garis singgung dapat berupa garis horisontal maupun garis miring, seperti yang terlihat pada Gambar 11. Cara lain yang dapat digunakan yaitu dengan menggunakan grid pusat lingkaran dan sebuah titik atau beberapa titik yang dilewati oleh lingkaran tersebut, seperti yang terlihat pada Gambar 12 dan Gambar 13.

(a) (b)

Gambar 11. Bidang runtuh kritis busur lingkaran dengan metode grid and radius menggunakan garis tangen

Gambar 12. Bidang runtuh kritis busur lingkaran dengan metode grid and radius menggunakan sebuah titik singgung

Gambar 13. Bidang runtuh kritis busur lingkaran dengan metode grid and radius menggunakan beberapa titik singgung

Pada periode awal perkembangan metode irisan, faktor keamanan dari semua bidang runtuh yang dianalisis ditampilkan dalam bentuk kontur faktor keamanan, seperti yang terlihat Gambar 14. Setiap titik pada grid menggambarkan nilai faktor keamanan minimum dari semua bidang runtuh yang berpusat pada titik tersebut. Kontur faktor keamanan menggambarkan cakupan dari bidang runtuh yang telah dianalisis serta menunjukkan bahwa faktor keamanan minimum telah diperoleh.

Gambar 14. Kontur faktor keamanan minimum dari lereng dengan bidang runtuh busur lingkaran

Cara lain yang dapat digunakan untuk menampilkan faktor keamanan dari semua bidang runtuh yang dianalisis adalah dengan menampilkan peta faktor keamanan. Semua bidang runtuh yang masuk akal dari keseluruhan bidang runtuh yang dicoba

dikelompokkan berdasarkan nilai faktor keamanannya. Nilai faktor keamanan diurutkan dari yang paling besar ke yang paling kecil kemudian dikelompokkan berdasarkan nilai interval tertentu, setiap interval diberi warna yang berbeda, seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini. Pada contoh ini, warna merah adalah menunjukkan kelompok faktor bidang runtuh dengan keamanan yang paling kecil dan garis putih adalah lokasi dari bidang runtuh kritis. Kelebihan dari cara ini yaitu dapat ditunjukkan secara jelas lokasi dari bidang runtuh kritis terhadap semua bidang runtuh yang dicoba.

Gambar 15. Peta faktor keamanan untuk bidang runtuh berbentuk busur lingkaran

Kelemahan dari metode grid and radius adalah tidak dapat digunakan untuk menentukan nilai faktor keamanan minimum untuk lereng dengan material yang hanya mempunyai nilai sudut gesek saja (φ>0, c=0) atau lereng yang hanya mempunyai nilai kohesi saja (c>0, φ=0). Untuk kedua kasus tersebut nilai faktor keamanan minimum akan terletak di pinggir dari grid titik-titik pusat lingkaran.

Metode Entry and Exit

Bidang runtuh busur lingkaran dalam metode ini dibuat dengan menentukan daerah dimana tempat busur lingkaran masuk (entry area) dan daerah dimana tempat busur lingkaran tersebut keluar (exit area). Daerah masuk dan daerah keluar tersebut kemudian dibagi kedalam sejumlah titik, sehingga dihasilkan sejumlah titik masuk (entry points) dan titik keluar (exit points).

Langkah selanjutnya dalam pembuatan busur lingkaran adalah dengan memilih sebuah titik masuk dan sebuah titik keluar. Kemudian dibuat garis yang menghubungkan kedua titik tersebut, setelah itu di tengah garis hubung ini dibuat sebuah garis baru

yang tegak lurus terhadap garis hubung tersebut. Sepanjang garis yang tegak lurus terhadap garis hubung tersebut akan menjadi lokasi dari titik-titik radius.

Gambar 16. Skema dari metode Entry Area dan Exit Area

Gambar 17. Skema dari pembuatan sebuah busur lingkaran dengan metode entry and exit

Gambar 18. Map faktor keamanan dari semua bidang runtuh busur lingkaran yang dibuat dengan metode entry and exit

Dengan menggunakan tiga buah titik yaitu titik radius, titik masuk dan titik keluar maka dapat ditentukan pusat dan radius dari sebuah bidang runtuh. Dalam pembuatan titik radius dibuat suatu dikontrol sehingga tidak menghasilkan busur lingkaran yang mempunyai radius tak hingga (garis lurus) maupun bidang runtuh dengan sudut kemiringan pada titik masuknya tidak lebih besar dari 90o. Contoh dari penggunaan metode ini ditunjukkan pada Gambar 18.

Bidang runtuh gabungan (komposit)

Pada bidang runtuh gabungan antara busur lingkaran dengan garis lurus, bidang runtuh dimulai oleh sebuah busur lingkaran yang akan berhenti apabila memotong lapisan batuan keras tersebut, setelah itu bidang runtuh dilanjutkan oleh segmen garis yang mewakili lapisan batuan keras, segmen garis ini akan berhenti apabila sudah menyinggung busur lingkaran pada sisi yang lain, kemudian bagian terakhir dari bidang runtuh adalah lanjutan dari busur lingkaran, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Gambar 19. Bidang runtuh gabungan dari busur lingkaran dan garis lurus.

Gambar 20. Bidang runtuh gabungan dari busur lingkaran dan beberapa segmen garis lurus.

Permukaan batuan keras tidak harus berupa garis lurus akan tetapi dapat juga berupa gabungan dari beberapa segmen garis lurus, seperti yang terlihat pada Gambar 20. Hal yang harus diperhatikan untuk kondisi ini yaitu sebaiknya dihindari sudut perpotongan antara kedua segmen garis yang terlalu tajam, karena dapat menyebabkan perhitungan faktor keamanan yang tidak konvergen.

Pada bidang runtuh gabungan, penentuan bidang runtuh kritis hanya perlu dilakukan pada bagian busur lingkaran saja, sedangkan untuk permukaan batuan dasar hal tersebut tidak perlu dilakukan. Contoh penentuan bidang runtuh kritis dan faktor keamanannya untuk bidang runtuh gabungan diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

Gambar 21. Kontur faktor keamanan minimum dari lereng dengan bidang runtuh busur gabungan dari busur lingkaran dan planar

Gambar 22. Kontur faktor keamanan minimum dari lereng dengan bidang runtuh busur gabungan dari busur lingkaran dan planar

Bidang runtuh blok/baji

Apabila bidang runtuh diasumsikan berbentuk sebuah blok maka bidang runtuh dianggap sebagai kombinasi dari tiga buah garis lurus. Langkah pertama dalam penentuan bidang runtuh kritis adalah menentukan dua tempat untuk grid yang sesuai, seperti yang terlihat pada Gambar 23. Grid tersebut dapat berupa segi empat atau sembarang jajaran genjang.

Gambar 23. Skema dari metode grid untuk menentukan bidang runtuh kritis yang berbentuk blok/baji

Sebuah bidang runtuh dibuat dengan menghubungkan permukaan lereng bagian kiri dengan sebuah titik pada grid sebelah kiri dan permukaan lereng bagian kanan dengan sebuah titik yang terletak pada grid sebelah kanan, kemudian segmen bidang runtuh bagian tengah dibuat dengan menghubungkan kedua titik tersebut, seperti yang terlihat pada Gambar 24.

Gambar 24. Sebuah bidang runtuh yang dibuat dengan metode grid

Untuk menghubung sebuah titik dengan permukaan lereng dibuat dengan melakukan proyeksi dengan sudut tertentu ke permukaan lereng dan sudut proyeksi tersebut dibuat bervariasi nilainya, seperti yang terlihat pada gambar berikut.

Gambar 25. Sudut proyeksi dari sebuah titik pada grid ke permukaan lereng

Dalam metode ini, daerah pada kaki lereng dianggap berada dalam kondisi yang serupa dengan kondisi tekanan tanah pasif, dimana massa gelinciran mengalami dorongan ke arah luar dan atas. Sedangkan daerah pada puncak lereng dianggap dalam kondisi tekanan tanah aktif. Menurut teori tekanan tanah, besarnya sudut kemiringan pada daerah pasif adalah sebesar (45o – φ/2) dan sudut kemiringan pada daerah tekanan tanah aktif adalah sebesar (45o + φ/2). Kedua nilai sudut inilah yang digunakan sebagai acuan dalam pembuatan sudut proyeksi.

Kelemahan dari metode ini yaitu kadang-kadang gagal untuk mendapatkan nilai faktor keamanan yang konvergen untuk bidang runtuh yang dicoba. Salah satu kondisi yang menyebabkan hal tersebut terjadi adalah ketika bidang runtuh mempunyai sudut yang terlalu tajam, seperti yang terlihat pada gambar berikut ini.

Gambar 26. Contoh bidang runtuh yang memiliki sudut yang tajam.

Apabila pada lereng terdapat bidang perlapisan yang miring maka bentuk dari grid tersebut dapat dibuat sejajar dan tegak lurus terhadap bidang seperti yang terlihat pada

Gambar 27. Contoh sebuah bidang runtuh yang dicoba dengan metode ini ditunjukkan pada Gambar 28.

Gambar 27. Grid yang mengikuti bentuk bidang perlapisan.

Gambar 28. Sebuah bidang runtuh yang mengikuti bidang perlapisan.

Pada gambar berikut ini adalah contoh peta faktor keamanan dari semua bidang runtuh block yang dianalisis. Pada contoh ini, warna merah adalah menunjukkan kelompok faktor bidang runtuh dengan keamanan yang paling kecil dan garis putih adalah lokasi dari bidang runtuh kritis.

Gambar 29. Peta faktor keamanan minimum dari lereng dengan bidang runtuh busur gabungan dari busur lingkaran dan planar

Metode Optimasi

Metode optimasi dapat digunakan untuk menentukan bidang runtuh kritis untuk sembarang bidang runtuh. Dalam metode ini digunakan bidang runtuh awal yang merupakan bidang runtuh kritis yang diperoleh dengan menggunakan salah satu metode konvensional di atas. Langkah selanjutnya adalah membagi bidang runtuh kritis tersebut ke dalam sejumlah segmen garis lurus, seperti yang terlihat pada gambar berikut ini.

Gambar 30. Skema dari penentuan bidang runtuh kritis dengan metode optimasi

Dalam pencarian bidang runtuh kritis, titik pada sebuah ujung segmen tertentu digeser secara acak ke segala arah, sementara itu semua titik lainnya dibuat tetap. Kemudian dihitung faktor keamanan untuk bidang runtuh baru yang dibuat tersebut. Proses ini diulangi untuk semua titik yang lainnya. Proses ini dilakukan sampai diperoleh perbedaan nilai faktor keamanan yang baru dengan faktor keamanan yang sebelumnya lebih kecil dari toleransi yang diberikan, atau jumlah bidang runtuh yang dicoba sudah mencapai nilai maksimum.

Kelebihan metode optimasi adalah bidang runtuh yang dihasilkan lebih masuk akal daripada yang diperoleh dengan menggunakan cara konvensional serta memberikan nilai faktor keamanan yang lebih kecil. Contoh penentuan bidang runtuh kritis berbentuk busur lingkaran dengan metode optimasi diberikan pada Gambar 31b. Untuk contoh tersebut faktor keamanan minimum yang diperoleh dengan menggunakan cara tradisional adalah 1.280, sedangkan metode optimasi menghasilkan faktor keamanan minimum 1.240. Contoh penentuan bidang runtuh kritis berbentuk blok dengan metode

optimasi diberikan pada Gambar 32. Untuk contoh tersebut faktor keamanan minimum yang diperoleh dengan menggunakan cara tradisional adalah 1.744, sedangkan metode optimasi menghasilkan faktor keamanan 1.609.

(a) (b)

Gambar 31. Contoh Penentuan bidang runtuh kritis berbentuk busur lingkaran. (a) dengan cara tradisional, (b) dengan metode optimasi

(a) (b)

Gambar 32. Contoh Penentuan bidang runtuh kritis berbentuk blok. (a) dengan cara tradisional, (b) dengan metode optimasi

Bidang runtuh Yang Masuk Akal

Salah satu konsekuensi dari penentukan bidang runtuh kritis secara otomatis dengan menggunakan program komputer yaitu dapat menghasilkan bidang runtuh yang tidak masuk akal, yaitu bidang runtuh yang tidak sesuai dengan kondisi lereng yang sebenarnya atau menghasilkan mekanisme keruntuhan yang tidak mungkin terjadi sepanjang bidang runtuh yang dibuat. Untuk mengatasi hal ini maka harus selalu diperiksa dan dipertimbangkan apakah bidang runtuh kritis dan faktor keamanan yang dihasilkan oleh perangkat lunak masuk akal atau tidak.

10

Pengaruh Asumsi Gaya Geser Antar-irisan Terhadap Ketelitian

Perhitungan Faktor Keamanan

Salah satu faktor yang mempengaruhi ketelitian perhitungan faktor keamanan adalah asumsi mengenai geser antar irisan yang digunakan. Untuk metode-metode yang memenuhi semua kondisi kesetimbangan gaya dan momen, pada umumnya pengaruh dari asumsi gaya geser antar irisan terhadap perhitungan faktor keamanan untuk semua bentuk bidang runtuh adalah kecil sekali dan dapat diabaikan. Namun hal tersebut tidak berlaku pada metode-metode yang tidak memenuhi semua kondisi kesetimbangan. Pada umumnya untuk semua bentuk bidang runtuh, kecuali bidang runtuh busur lingkaran, terdapat pengaruh yang cukup besar dari asumsi gaya geser antar-irisan terhadap faktor keamanan dengan kesetimbangan momen (FM). Faktor keamanan

dengan kesetimbangan gaya (FF) juga dipengaruhi oleh asumsi gaya geser antar-irisan

yang digunakan, kecuali untuk bidang runtuh planar.

Bidang Runtuh Busur Lingkaran

Grafik hubungan dari faktor keamanan (F) terhadap nilai faktor skala (λ) yang diasumsikan dari sebuah lereng homogen dengan bidang runtuh busur lingkaran diberikan pada Gambar 33. Untuk kasus ini terlihat bahwa pengaruh gaya geser antar-irisan terhadap kesetimbangan momen adalah kecil sekali, hal ini ditunjukkan oleh kurva kesetimbangan momen yang hampir horisontal. Akan tetapi pengaruh dari gaya geser antar-irisan terhadap kesetimbangan gaya adalah cukup besar.

Gambar 33. Hubungan Faktor Keamanan Terhadap Faktor Skala Untuk Bidang runtuh Busur Lingkaran

Oleh karena kesetimbangan momen hanya dipengaruhi sedikit sekali oleh gaya geser antar-irisan sehingga asumsi mengenai gaya antar-irisan menjadi kurang berarti. Untuk bidang runtuh yang berbentuk busur lingkaran gaya geser antar-irisan dapat diabaikan, seperti yang digunakan pada Metode Bishop Yang Disederhanakan, namun tetap menghasilkan faktor keamanan yang cukup akurat apabila dihitung dengan menggunakan kesetimbangan momen.

Bidang Runtuh Planar

Grafik hubungan dari faktor keamanan (F) terhadap nilai λ yang diasumsikan dari sebuah lereng homogen dengan bidang runtuh busur lingkaran diberikan pada Gambar 34. Untuk kasus ini terlihat bahwa pengaruh gaya geser antar-irisan terhadap faktor keamanan kesetimbangan gaya (FF) adalah kecil sekali, hal ini ditunjukkan dengan

kurva yang hampir horisontal. Sementara itu pengaruh dari gaya geser antar-irisan terhadap faktor keamanan kesetimbangan momen (FM) adalah cukup besar.

Gambar 34. Hubungan Faktor Keamanan Terhadap Faktor Skala Untuk Bidang runtuh Planar

Bidang runtuh Gabungan dari Busur Lingkaran dan Garis Lurus.

Untuk lereng dengan bidang runtuh gabungan dari busur lingkaran dan garis lurus, terdapat pengaruh yang cukup besar dari asumsi gaya geser antar-irisan terhadap faktor keamanan terhadap kesetimbangan gaya maupun faktor keamanan terhadap kesetimbangan momen, seperti yang terlihat pada Gambar 35. Dari gambar tersebut terlihat bahwa semakin besar nilai faktor skala (λ) semakin besar pula nilai faktor keamanan terhadap gaya (FF), akan tetapi sebaliknya untuk faktor keamanan terhadap

Gambar 35. Hubungan Faktor Keamanan Terhadap Faktor Skala Untuk Bidang runtuh Gabungan

Bidang runtuh Tipe Blok (Baji)

Seperti pada kasus sebelumnya, untuk bidang runtuh ini juga terdapat pengaruh yang cukup dari asumsi gaya antar irisan terhadap kesetimbangan gaya dan kesetimbangan momen, seperti yang terlihat pada Gambar 36.

Gambar 36. Hubungan Faktor Keamanan Terhadap Faktor Skala Untuk Bidang runtuh Gabungan

Contoh untuk bidang runtuh gabungan dan bidang runtuh blok menunjukkan pentingnya perhitungan faktor keamanan menggunakan metode yang memenuhi semua kondisi kesetimbangan. Hal ini disebabkan karena metode yang tidak memenuhi semua kondisi kesetimbangan dapat menghasilkan faktor keamanan yang tidak akurat.

11

Kelemahan Metode Irisan

Meskipun metode irisan telah sukses diaplikasikan pada banyak praktek rekayasa lereng, namun harus disadari terdapat beberapa kelemahan yang terkandung dalam metode irisan. Beberapa kelemahan dalam metode irisan antara lain yaitu: hubungan tegangan dan regangan diabaikan, faktor keamanan diasumsikan mempunyai nilai yang konstan sepanjang bidang runtuh, dapat menghasilkan nilai gaya normal pada dasar irisan yang tidak realistis, serta kadangkala terdapat persoalan konvergensi dalam perhitungan faktor keamanan.

Metode irisan hanya menggunakan keseimbangan statik saja dan mengabaikan adanya hubungan tegangan-regangan dalam lereng, sehingga distribusi tegangan yang bekerja pada bidang runtuh yang dihitung dengan metode irisan kurang sesuai dengan kondisi distribusi tegangan yang sebenarnya di lapangan. Contoh perhitungan tegangan normal yang bekerja sepanjang bidang runtuh dengan menggunakan metode irisan dan metode elemen hingga ditunjukkan pada Gambar 37 dan 38. Distribusi tegangan normal sepanjang bidang runtuh yang dihasilkan oleh metode elemen hingga lebih realistis dan sesuai dengan kondisi di lapangan.

Gambar 37. Distribusi tegangan normal sepanjang bidang runtuh untuk tipe keruntuhan kaki

Gambar 38. Distribusi tegangan normal sepanjang bidang runtuh untuk tipe keruntuhan dalam

Faktor keamanan diasumsikan mempunyai nilai yang sama sepanjang bidang runtuh, sehingga faktor keamanan yang dihitung dengan metode irisan adalah faktor keamanan global untuk keseluruhan lereng. Sebagai akibatnya maka adanya variasi nilai faktor keamanan sepanjang bidang runtuh tidak dapat diperhitungkan. Berikut ini adalah contoh perbandingan perhitungan faktor keamanan dengan menggunakan metode irisan dan metode elemen hingga.

Gambar 39. Nilai faktor keamanan pada setiap irisan

yang dihitung dengan metode elemen-hingga (FE) dan metode irisan (LE)

Kadangkala, nilai gaya normal pada bidang runtuh untuk irisan tertentu mempunyai nilai yang tidak realistik karena nilainya yang sangat besar atau kadang-kadang bernilai negatif. Hal tersebut disebabkan karena dalam perhitungan gaya normal digunakan persamaan sebagai berikut:

(

)

α

φ

α

β

α

β

m F u c W X X N L R ' ' tan sin sin − − + − = dimana F m ' tan sin cosα+ α φ = α

Grafik nilai m_α untuk beberapa nilai sudut kemiringan (α), sudut gesek (φ), dan faktor keamanan (F) diperlihatkan pada Gambar 40. Dari gambar tersebut terlihat bahwa untuk suatu kondisi tertentu m_α dapat mempunyai nilai yang kecil sekali atau bahkan bernilai nol sehingga menyebabkan gaya normal nilainya menjadi besar sekali atau bahkan takterhingga.

Gambar 40. Nilai ma untuk bererapa nilai α, φ dan F.

Kadangkala dalam perhitungan faktor keamanan tidak diperoleh suatu penyelesaian yang konvergen. Salah satu penyebab terjadi hal tersebut yaitu karena persamaan perhitungan faktor keamanan merupakan persamaan nonlinear. Penyebab lainnya yang mungkin yaitu adanya gaya normal pada dasar irisan pada suatu irisan tertentu yang mempunyai nilai sangat besar sekali atau malahan bernilai negatif.

12

Contoh Perhitungan

Contoh 1

Sebuah lereng tanah mempunyai sudut kemiringan 2 horisontal : 1 vertikal dan tinggi 20 m. Sifat-sifat geoteknis material yaitu berat satuan 16 kN/m3, kohesi 20 kPa dan sudut gesek 20o.

c = 20 kPa φ = 20o γ = 16 kN/m3

Gambar 41. Model lereng untuk contoh 1

Faktor Keamanan Untuk Bidang Runtuh Yang Ditentukan

Geometri dari bidang runtuh yang ditentukan yaitu sebuah busur lingkaran yang mempunyai titik pusat di (25,80) dan kaki bidang runtuh (20,20), seperti yang terlihat pada gambar di atas.

Dalam perhitungan faktor keamanan, jumlah irisan yang dipergunakan adalah 10 buah dengan lebar irisan yang sama. Data-data tiap irisan untuk bidang runtuh yang diasumsikan diperlihatkan pada Tabel 4.

Tabel 4. Data-Data Untuk Tiap Irisan [Contoh 1] Irisan b (m) h (m) _α (o) W (kN) u_β (kN) c_β (kN) 1 5.00 1.35 -2.38 108.32 0.00 100.09 2 5.00 3.85 2.38 308.31 0.00 100.09 3 5.00 5.94 7.16 474.85 0.00 100.79 4 5.00 7.59 11.99 607.23 0.00 102.23 5 5.00 8.80 16.91 703.92 0.00 104.52 6 5.00 9.53 21.97 762.43 0.00 107.83 7 5.00 9.74 27.21 778.93 0.00 112.44 8 5.00 9.35 32.71 747.63 0.00 118.85 9 5.00 6.99 38.59 559.58 0.00 127.93 10 5.00 2.50 45.00 199.99 0.00 141.42

Metode Irisan Biasa

Perhitungan faktor keamanan dengan metode irisan biasa untuk bidang runtuh yang diasumsikan menghasilkan nilai faktor keamanan 1.473. Tabulasi perhitungannya diperlihatkan pada tabel berikut.

Tabel 5. Tabulasi Perhitungan Faktor Keamanan Dengan Metode Irisan Biasa [Contoh 1]

Irisan b (m) h (m) _α (o) W (kN) u_β (kN) c_β (kN) N (kN) RM DM 1 5.00 1.35 -2.38 108.32 0.00 100.09 108.22 139.48 -4.50 2 5.00 3.85 2.38 308.31 0.00 100.09 308.04 212.21 12.82 3 5.00 5.94 7.16 474.85 0.00 100.79 471.15 272.27 59.21 4 5.00 7.59 11.99 607.23 0.00 102.23 593.98 318.42 126.19 5 5.00 8.80 16.91 703.92 0.00 104.52 673.47 349.65 204.80 6 5.00 9.53 21.97 762.43 0.00 107.83 707.08 365.18 285.21 7 5.00 9.74 27.21 778.93 0.00 112.44 692.73 364.58 356.16 8 5.00 9.35 32.71 747.63 0.00 118.85 629.04 347.81 404.06 9 5.00 6.99 38.59 559.58 0.00 127.93 437.39 287.13 349.02 10 5.00 2.50 45.00 199.99 0.00 141.42 141.42 192.89 141.42 Total 2849.61 1934.38 F 1.473

Formula yang dipakai pada tabel di atas adalah sebagai berikut:

α

cos W N =

(

)

[

]

∑

= − + = n i u N c RM 1 ' tan 'β β φ

∑

= = n i W DM 1 sinα

DM RM F =

Metode Bishop yang disederhanakan

Perhitungan faktor keamanan dengan metode Bishop yang disederhanakan harus dilakukan dengan iterasi. Perhitungan faktor keamanan untuk bidang runtuh yang ditentukan memerlukan 4 kali iterasi untuk menghasilkan nilai faktor keamanan yang konvergen. Nilai faktor keamanannya adalah 1.519

Formula-formula yang dipakai untuk perhitungan pada Tabel 7 adalah sebagai berikut:

lama F m ' tan sin cosα α φ α = +       ₋ − = lama F u c W m N ' ' tan sin sin 1

β

α

β

α

φ

α

(

)

[

]

∑

= − + = n i u N c RM 1 ' tan 'β β φ

∑

= = n i W DM 1 sinα DM RM F_baru =

Untuk setiap iterasi, nilai Flama adalah nilai Fbaru yang diperoleh dari iterasi sebelumnya.

Pada contoh perhitungan ini kriteria konvergensinya yaitu |Fbaru – Flama| < 0.001.

Tabel 6. Konvergensi Perhitungan Faktor Keamanan Menggunakan Metode Bishop Yang Disederhanakan [Contoh 1]

Nilai

awal 1 2 3 4

1.000 1.453 1.513 1.519 1.519

Iterasi

Tabel 7. Tabulasi Perhitungan Faktor Keamanan Dengan Metode Bishop Yang Disederhanakan [Contoh 1]

Iterasi 1 F lama 1.000 Irisan b (m) h (m) α (o) W (kN) u_β (kN) c_β (kN) m_α N (kN) RM DM 1 5.00 1.35 -2.38 108.32 0.00 100.09 0.98 114.30 141.69 -4.50 2 5.00 3.85 2.38 308.31 0.00 100.09 1.01 299.87 209.23 12.82 3 5.00 5.94 7.16 474.85 0.00 100.79 1.04 445.55 262.95 59.21 4 5.00 7.59 11.99 607.23 0.00 102.23 1.05 556.07 304.62 126.19 5 5.00 8.80 16.91 703.92 0.00 104.52 1.06 633.82 335.21 204.80 6 5.00 9.53 21.97 762.43 0.00 107.83 1.06 678.95 354.95 285.21 7 5.00 9.74 27.21 778.93 0.00 112.44 1.06 689.09 363.25 356.16 8 5.00 9.35 32.71 747.63 0.00 118.85 1.04 658.33 358.46 404.06 9 5.00 6.99 38.59 559.58 0.00 127.93 1.01 475.66 301.06 349.02 10 5.00 2.50 45.00 199.99 0.00 141.42 0.96 103.68 179.16 141.42 Total 2810.59 1934.38 F baru 1.453 Iterasi 2 F lama 1.453 Irisan m_α N (kN) RM DM 1 0.99 112.44 141.01 -4.50 2 1.01 302.56 210.21 12.82 3 1.02 455.53 266.59 59.21 4 1.03 575.22 311.60 126.19 5 1.03 663.35 345.96 204.80 6 1.02 719.49 369.70 285.21 7 1.00 740.67 382.03 356.16 8 0.98 720.16 380.97 404.06 9 0.94 538.08 323.78 349.02 10 0.88 148.34 195.41 141.42 Total 2927.25 1934.38 F baru 1.513 Iterasi 4 F lama 1.519 Irisan m_α N (kN) RM DM 1 0.99 112.27 140.95 -4.50 2 1.01 302.82 210.30 12.82 3 1.02 456.50 266.94 59.21 4 1.03 577.11 312.28 126.19 5 1.03 666.28 347.03 204.80 6 1.02 723.55 371.18 285.21 7 1.00 745.90 383.93 356.16 8 0.97 726.50 383.28 404.06 9 0.93 544.56 326.14 349.02 10 0.88 153.05 197.13 141.42 Total 2939.15 1934.38 F baru 1.519

Metode Janbu yang disederhanakan

Seperti halnya metode Bishop yang disederhanakan, perhitungan faktor keamanan dengan metode Janbu yang disederhanakan juga dilakukan dengan iterasi. Konvergensi perhitungan faktor keamanan untuk bidang runtuh yang ditentukan memerlukan 5 kali iterasi, dan nilai faktor keamanannya adalah 1.459. Nilai faktor keamanan tersebut adalah nilai faktor keamanan yang belum dikoreksi. Perhitungan faktor koreksi dilakukan dengan menggunakan persamaan [21] dengan nilai t=0.50. Tabulasi perhitungan faktor koreksi diperlihatkan pada Tabel 10. Nilai faktor keamanan yang sudah dikoreksi adalah 1.457 x 1.049 = 1.528.

Tabel 8. Konvergensi Perhitungan Faktor Keamanan Menggunakan Metode Janbu Yang Disederhanakan [Contoh 1]

Nilai

awal 1 2 3 4 5

1.000 1.536 1.449 1.458 1.457 1.457

Faktor keamanan

Iterasi

Tabel 9. Tabulasi Perhitungan Faktor Keamanan Dengan Metode Janbu Yang Disederhanakan [Contoh 1]

Iterasi 1 F lama 1.000 Irisan b (m) h (m) α (o) W (kN) u_β (kN) c_β (kN) m_α N (kN) RF DF 1 5.00 1.35 -2.38 108.32 0.00 100.09 0.98 114.30 141.57 -4.75 2 5.00 3.85 2.38 308.31 0.00 100.09 1.01 299.87 209.05 12.47 3 5.00 5.94 7.16 474.85 0.00 100.79 1.04 445.55 260.90 55.55 4 5.00 7.59 11.99 607.23 0.00 102.23 1.05 556.07 297.97 115.56 5 5.00 8.80 16.91 703.92 0.00 104.52 1.06 633.82 320.71 184.40 6 5.00 9.53 21.97 762.43 0.00 107.83 1.06 678.95 329.18 253.98 7 5.00 9.74 27.21 778.93 0.00 112.44 1.06 689.09 323.05 315.08 8 5.00 9.35 32.71 747.63 0.00 118.85 1.04 658.33 301.60 355.79 9 5.00 6.99 38.59 559.58 0.00 127.93 1.01 475.66 235.32 296.68 10 5.00 2.50 45.00 199.99 0.00 141.42 0.96 103.68 126.68 73.31 Total 2546.04 1658.08 F baru 1.536 Iterasi 2 1.536 Irisan m_α N (kN) RF DF 1 0.99 112.23 140.81 -4.66 2 1.01 302.88 210.14 12.59 3 1.02 456.74 264.94 56.95 4 1.03 577.56 305.62 120.02 5 1.03 666.98 332.26 194.05 6 1.02 724.52 344.56 271.03 7 1.00 747.15 341.85 341.63 8 0.97 728.02 322.95 393.46 9 0.93 546.12 255.37 340.62 10 0.87 154.19 139.68 109.03 Total 2658.19 1834.72 F baru 1.449 Iterasi 5 F lama 1.457 Irisan m_α N (kN) RF DF 1 0.99 112.43 140.89 -4.67 2 1.01 302.57 210.03 12.58 3 1.02 455.60 264.53 56.81 4 1.03 575.35 304.84 119.56 5 1.03 663.54 331.06 193.05 6 1.02 719.76 342.95 269.25 7 1.00 741.02 339.86 338.83 8 0.98 720.59 320.67 389.44 9 0.94 538.51 253.21 335.88 10 0.88 148.66 138.26 105.11 Total 2646.30 1815.84 F baru 1.457

Formula-formula yang dipakai untuk perhitungan faktor keamanan dengan metode Janbu yang disederhanakan adalah sebagai berikut:

lama F m ' tan sin cosα α φ α = +

      ₋ − = lama F u c W m N ' ' tan sin sin 1

β

α

β

α

φ

α

(

)

(

'β β tanφ'

)

cosα 1

∑

= − + = n i u N c RF

∑

= = n i N DF 1 sinα DF RF F_baru =

Kriteria konvergensi dalam perhitungan faktor keamanan yaitu |Fbaru – Flama| < 0.001.

Tabel 10. Tabulasi Perhitungan Faktor Koreksi Untuk Metode Janbu Yang Disederhanakan [Contoh 1]

d (m) L (m) t fo

6.36 53.85 0.5 1.049

Metode Kesetimbangan Batas Umum

Dalam perhitungan faktor keamanan fungsi f(x) diasumsikan berupa sebuah fungsi sinus, sin(x). Hubungan antara nilai lambda terhadap faktor keamanan ditunjukkan pada gambar 42. Faktor keamanan untuk bidang runtuh yang ditentukan adalah 1.518, dengan faktor skala 0.413. Tabulasi hasil perhitungan diperlihatkan pada Tabel 11.

1.400 1.450 1.500 1.550 1.600 1.650 1.700 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 Lambda F a k to r K e a m a n a n

Kesetimbangan Momen Kesetimbangan Gaya

Gambar 42. Hubungan Nilai Faktor Skala Terhadap Faktor Keamanan [Contoh 1]

Tabel 11. Tabulasi Hasil Perhitungan Faktor Keamanan Dengan Metode Kesetimbangan Batas Umum [Contoh 1]

Lambda =0.413 Irisan m_α X (kN) N (kN) SM (kN) E (kN) RM DM RF DF 0 0.00 0.00 0 0 0 0 1 0.99 100.09 125.32 96.00 101.12 145.70 -4.50 145.57 -5.21 2 1.01 100.09 346.74 149.10 235.67 226.29 12.82 226.09 14.41 3 1.02 100.79 518.31 190.70 360.26 289.44 59.21 287.18 64.63 4 1.03 102.23 629.27 218.26 442.99 331.27 126.19 324.03 130.77 5 1.03 104.52 684.53 233.02 466.78 353.67 204.80 338.37 199.16 6 1.02 107.83 698.71 238.60 426.68 362.14 285.21 335.85 261.37 7 1.00 112.44 686.72 238.77 325.03 362.39 356.16 322.29 314.00 8 0.97 118.85 656.65 235.78 168.52 357.85 404.06 301.09 354.88 9 0.93 127.93 502.57 204.81 15.15 310.86 349.02 242.98 313.46 10 0.88 141.42 150.77 129.33 0.00 196.29 141.42 138.80 106.61 2935.89 1934.38 2662.26 1754.09 Gaya Kesetimbangan Momen Faktor Keamanan 1.518 Total 1.518 Metode Morgenstern-Price

Perhitungan dengan menggunakan metode Morgenstern-Price menghasilkan faktor keamanan untuk bidang runtuh yang ditentukan sebesar 1.518 dan faktor skala 0.412. Asumsi yang digunakan dalam perhitungan adalah f(x)=sin(x). Tabulasi hasil perhitungan diberikan pada Tabel 12.

Tabel 12. Tabulasi Hasil Perhitungan Faktor Keamanan Dengan Metode Morgenstern-Price [Contoh 1]

Momen Irisan Z_α N (kN) Sm E X y 0.00 0.00 0.00 1 0.28 125.28 145.69 101.12 12.87 0.42 2 0.20 346.60 226.24 235.67 57.06 0.77 3 0.11 518.12 289.37 360.25 120.05 1.22 4 0.03 629.11 331.21 443.01 173.55 1.68 5 -0.06 684.48 353.65 466.83 192.29 2.07 6 -0.15 698.78 362.16 426.75 167.18 2.26 7 -0.24 686.89 362.45 325.08 108.33 2.12 8 -0.35 656.83 357.92 168.54 40.81 1.59 9 -0.47 502.68 310.89 15.14 1.93 0.59 10 -0.61 150.76 196.29 0.00 0.00 0.00 1.518 0.412 Lambda Faktor keamanan Kesetimbangan Gaya

Metode Spencer

Faktor keamanan dengan metode Spencer adalah 1.518 dengan faktor skala 0.340. Tabulasi hasil perhitungan diberikan pada Tabel 13.

Tabel 13. Tabulasi Hasil Perhitungan Faktor Keamanan Dengan Metode Spencer [Contoh 1]

Momen Irisan Z_α N (kN) Sm E X y 0.00 0.00 0.00 1 0.28 149.41 145.69 107.89 12.87 0.96 2 0.20 348.31 226.24 242.76 57.06 1.50 3 0.11 497.19 289.37 364.96 120.05 1.89 4 0.03 604.25 331.21 447.02 173.55 2.13 5 -0.06 674.32 353.65 471.44 192.29 2.19 6 -0.15 709.51 362.16 429.70 167.18 2.08 7 -0.24 709.29 362.45 322.55 108.33 1.76 8 -0.35 669.94 357.92 161.54 40.81 1.24 9 -0.47 490.33 310.89 13.52 1.93 0.06 10 -0.61 147.72 196.29 0.00 0.00 0.00 1.518 0.340 Faktor keamanan Lambda Kesetimbangan Gaya

Ringkasan perhitungan faktor keamanan untuk bidang runtuh yang ditentukan dengan menggunakan beberapa macam metode diberikan pada tabel berikut ini.

Tabel 14. Ringkasan Hasil Perhitungan Faktor Keamanan Untuk Bidang Runtuh Yang Ditentukan [Contoh 1]

Metode Faktor Keamanan Faktor Skala

Irisan Biasa 1.473

Bishop Yang Disederhanakan 1.519

Janbu Yang Disederhanakan 1.528

Kesetimbangan Batas Umum 1.518 0.413

Morgenstern-Price 1.518 0.412

Faktor Keamanan Minimum dan Bidang Runtuh Kritis

Bidang runtuh yang digunakankan dalam perhitungan sebelumnya adalah bukan bidang runtuh kritis. Oleh karena itu harus dilakukan perhitungan faktor keamanan untuk sejumlah bidang runtuh yang lain, sehingga diperoleh suatu bidang runtuh kritis yang menghasilkan nilai faktor keamanan minimum.

Penentuan bidang runtuh kritis mustahil dilakukan secara manual, dalam contoh ini bidang runtuh kritis dicari dengan metode grid dan radius menggunakan program komputer Slope-W. Metode yang digunakan dalam perhitungan faktor keamanan adalah Metode Morgenstern-Price. Nilai faktor keamanan minimum adalah 1.479.

Gambar 43. Bidang Runtuh Kritis dan Faktor Keamanan Minimum Untuk Model Lereng Pada Contoh 1

Contoh 2

Sebuah lereng galian mempunyai geometri lereng dan sifat-sifat geoteknik seperti yang terlihat pada Gambar 44 di bawah ini. Data lainnya yaitu terdapat permukaan air tanah seperti yang terlihat pada gambar tersebut.

γ = 22.5 kN/m3 c = 30 kPa φ = 33o γ = 19.5 kN/m3 c = 10 kPa φ = 33o

Gambar 44. Model Lereng Untuk Contoh 2

Faktor Keamanan Untuk Bidang Runtuh Yang Ditentukan

Geometri dari bidang runtuh yang ditentukan yaitu sebuah busur lingkaran yang mempunyai titik pusat di (4.14,26) dan kaki bidang runtuh (10,5), seperti yang terlihat pada gambar 44.

Dalam perhitungan faktor keamanan, digunakan 7 buah irisan dengan lebar yang sama. Data-data tiap irisan untuk bidang runtuh yang ditentukan diberikan pada Tabel 15.