Materi Kuliah Jurusan Teknik Elektro - FORUM STUDI ISLAM AL-BIRUNI

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Pecahan parsial

Integran berbentuk fungsi rasional yaitu : f x

( )

P x

( )

( )

Q x

= , P(x) dan Q(x) suku

banyak atau dapat dituliskan menjadi : f x

( )

a x a x a

b x b x b

n n

n

m m

m

= + + +

+ + +

− −

0 1 1

0 1 1

... ...

Jika pangkat P(x) > pangkat Q(x) atau n > m, maka dilakukan pembagian

terlebih dahulu sehingga didapatkan bentuk : f x dx

( )

R x h x

( )

( )

g x dx

=  +



 

 

∫

∫

( )

dengan R(x) merupakan hasil bagi P(x) oleh Q(x) dan

( )

( )

h x

g x adalah sisa pembagiandengan pangkat h(x) < pangkat g(x).

Jika pangkat P(x) < pangkat Q(x) atau n < m, maka penyelesaian integral tersebut bergantung pada faktor-faktor dari Q(x). Setiap suku banyak dengan kefisien real dapat dinyatakan sebagai perkalian dari faktor-faktor linear dan kuadrat sedemikian sehingga tiap-tiap faktor mempunyai koefisien real.

Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu : 1. Faktor linear dan tidak berulang.

2. Faktor linear dan berulang.

3. Faktor kuadratik dan tidak berulang. 4. Faktor kuadratik dan berulang.

KASUS 1 : Penyebut terdiri dari faktor -faktor Linier tidak Berulang

Misal Q x

( )

=

(

a x₁ +b₁

)

(

a x₂ +b₂

) (

... a x_n +b_n

)

.

Maka P x

( )

( )

Q x

A a x b

A a x b

A a x b

n

n n

≡ 1₊ + ₊ + + ₊

1 1

2

2 2

...

dengan A₁,A₂ , ... , A_n konstanta yang akan dicari.

Contoh 1 4x2 − 9 dx

∫

(

) (

)

1

4 x2 9 2 3 2 3 A

x

B x

− ≡ + + −

(

) (

)

2 2 0 3 3 1

6 6

A+ B = dan − A+ B = sehingga diperoleh A= − dan B=

(

)

(

)

1

4 9

1 6 2 3

1 6 2 3

2

x − dx = x dx x dx

−

+ + −

∫

∫

∫

KASUS 2 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor linier Berulang

Misal Q x

( )

=

(

a x_i +b_i

)

p dengan p ∈ B+.

Maka

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

P x Q x

A a x b

A a x b

A a x b

A a x b

i i

p

i i

p

p

i i

p

i i

≡

+ + + − + + + + +

−

1 2

1

1 2

...

dengan A₁, A₂ , ... , A_p−1, A_p konstanta yang akan dicari.

Contoh

(

x 2

) ( )

12 x 1

dx

+ −

∫

( ) ( ) (

) ( ) (

)

1

22 1 2 2 2 1

x x

A x

B x

C x

+ − ≡ + + + + −

( ) (

) ( ) (

)

⇔ ≡1 A x− +1 B x+2 x− +1 C x+2 2

diperoleh A= −1 B= − dan C= 3

1 9

1 9 ,

(

) ( )

(

)

(

)

( )

1

2 1

1 3 2

1 9

2

1 9

1

2 2

x x

dx

x

dx

x dx x dx

+ − =

−

+ +

−

+ + −

∫

∫

∫

∫

KASUS 3 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadrat tidak Berulang

Misal Q x

( )

=

(

a x₁ 2 +b x₁ + c₁

)(

a x₂ 2 +b x₂ +c₂

) (

... a x_n 2 +b x_n +c_n

)

Maka P x

( )

( )

Q x

A x B

a x b x c

A x B

a x b x c

A x B

a x b x c

n n

n n n

≡ +

+ + +

+

+ + + +

+

+ +

1 1

1 2 1 1

2 2

2 2 2 2 2

...

Contoh

(

)

( )

6 3 1

4 1 1

2

2

x x

x x

dx

− +

+ +

∫

(

)

(

)

(

)

(

)

6 3 1

4 1 1 4 1 1

2

2 2

x x

x x

A x

B x C x

− +

+ + ≡ + +

+ +

(

)

(

)(

)

⇔6x2 − 3x + 1 ≡ A x2 + +1 Bx + C 4x +1

diperoleh A= 2 , B=1dan C= −1

(

)

( )

(

)

( )

6 3 1

4 1 1

2 4 1

1 1

2

2 2

x x

x x

dx

x dx

x x

dx

− +

+ + = + +

− +

∫

∫

∫

KASUS 4 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadrat berulang .

Misal Q x

( )

=

(

a x_i 2 +b x_i +c_i

)

p . Maka :

( )

( )

(

) (

)

(

) (

)

P x Q x

A x B a x b x c

A x B a x b x c

A x B

a x b x c

A x B a x b x c

i i i

p

i i i

p

p p

i i i

p p

i i i

≡ +

+ + +

+

+ + + +

+

+ + +

+

+ +

− − −

1 1

2

2 2

2 1

1 1

2 2 2

...

dengan A₁, A₂, ... , A_p−1, A dan B B_{p 1}, ₂ , ... ,B_p−1,B_p konstanta yang akan dicari.

Contoh

( )

( )

6 15 22

3 2

2

2 2

x x

x x

dx

− +

+ +

∫

(

)

(

)

(

)

(

) ( )

6 15 22

3 2 3 2 2

2

2 2 2 2 2

x x

x x

A x

B x C x

Dx E x

− +

+ + ≡ + +

+

+ +

+ +

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

⇔6x2 −15x +22 ≡ A x2 + 22 + Bx +C x +3 x2 +2 + Dx+ E x +3 diperoleh A=1, B= −1,C= 3, D= −5 dan E= 0

( )

( )

( )

( )

( )

6 15 22

3 2

1 3

3 2

5

2

2

2 2 2 2 2

x x

x x

dx

x dx

x x

dx x

x

dx

− +

+ + = + −

−

+ − ₊

∫

∫

∫

∫

dikerjakan sebagaimana metode pecahan parsial di atas.

Keseluruhan dari bentuk yang akan disubstitusikan ke dalam integran dapat diperlihatkan seperti di bawah ini.

Dari : u = tan ( x/2 ). Maka : cos

sec _tan

x

x _x

u 2

1

2

1

1

2

1 1

2 2



  =   

=

+ _ _ =

+

sin x tan x cos x u u

2 2 2

1 2 

  =     = ₊

Jadi : sinx u & cos u

x u

u

=

+ =

− + 2

1

1 1

2

2

2 dan

x

u dx

u du 2

2 1

1

2

= ⇒ =

+

−

tan

Contoh

(

)

dx

x u

u

u du

u du u C

1

1

1 2

1

2 1

2 1

2 1

2

2 2

+ = ₊

+ +

 

 



 =

+ =

−

+ +

∫

∫

∫

sin

= −

+ _ _ + 2 1

2 tan x

C

Soal Latihan

( Nomor 1 sd 13 ) Selesaikan integral berikut : 1. 2

2

2

x + x dx

∫

2. 5 3 9

2

x

x dx

+ −

∫

3.

(

xx

)

dx

+ −

∫

1

3 2

4. 5 7 4 4

2

x

x x dx

+

+ +

∫

5. x x

x x dx

2

4 3

19 10

2 5

+ +

+

∫

6.

(

22 1

)

(

3 369

)

2

2

x x

x x

dx

− −

− +

7.

(

3 220

)

(

2 114 5

)

x

x x x

dx

−

+ − +

∫

8. 2 5 16 8 16

3 2

5 3

x x x

x x x

dx

+ +

+ +

∫

9. 1 2+

∫

_sinxdx

10. dx

x+ x+ x

∫

_{sin cos}

11. cos cos

x xdx 2−

∫

12. dx

x x

4sin −3cos

∫

13. dx

x x

sin +tan