ANALISIS KESTAB ILAN SISTEM DINAMIK SATELIT PENGAMAT BUMI Rumia Octavia
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya e-mail: rumiaoctavia@mhs.unesa.ac.id
Yusuf Fuad
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya e-mail: yusuffuad@unesa.ac.id
Abstrak
Satelit merupakan benda angkasa yang dapat memantau area yang berada diluar bumi. Satelit pengamat bumi dapat dijadikan alat untuk memberi informasi mengenai gejala-gejala alam yang akan terjadi, dapat mendukung komunikasi saat keadaan darurat, dan dapat menyelidiki tata surya dan alam semesta secara lebih bebas tanpa dipengaruhi oleh atmosfer. Pada skripsi ini, dilakukan rekonstruksi model dan analisis kestabilan sistem dinamik satelit pengamat bumi. Rekonstruksi model menghasilkan model nonlinier dari sistem dinamik satelit pengamat bumi. Linierisasi dilakukan sehingga menghasilkan mo del linier dan dianalisis kestabilan pada gerak deviasi kecepatan sudut dan percepatan sudut terhadap sumbu TáUᆃ•V. Hasil analisis kestabilan menunjukkan bahwa sistem tidak stabil. Sistem dapat stabil jika memenuhi +ëP
Âãå.
Âå
. Simulasi dilakukan menggunakan Matlab R2009b yang menunjukkan gerak deviasi kecepatan dan percepatan setiap sudut roll, pitch, dan yaw.
Kata Kunci : satelit pengamat bumi, rekonstruksi, linierisasi, analisis kestabilan .
Abstract
Satellites are celestial bodies that can monitor areas that are outside the earth. Earth observer satellites can be used as tools to inform the natural phenomena that will occur, can support communications during emergencies, and can investigate the solar system and the universe more freely without being affected by the atmosphere. In this thesis, conducted model reconstruction and stability analysis d ynamics system of earth observation satellites. The model reconstruction yields a nonlinear model of the dynamic system of the Earth observer satellites. The linearisation is done so as to produce linear model and analyzed the stability of motion deviation of angular velocity and angle acceleration to TáUვ†V axes. The result of stability analysis shows thatunstable system. The system can be stable if it meets +ëPÂãå
.
Âå
. then a stable system is obtained. The simulation is done using Matlab R2009b which shows the deviation motion speed and acceleration of each corner of roll, pitch, and yaw.
Keywords: satellite earth observation, reconstruction, linearization, stability analysis
PENDAHULUAN
Satelit buatan banyak manfaatnya bagi kehidupan manusia di era yang semakin maju. Diantaranya dapat digunakan untuk memantau keadaan bumi dari luar angkasa yang tidak dipengaruhi atmosfer. Jenis satelit ini adalah satelit pengamat bumi. Satelit bergerak mengelilingi bumi pada lintasan tertentu, dan bersama-sama dengan bumi berputar mengelilingi matahari. Keadaan inilah yang mengakibatkan satelit dapat berpindah dari orbit yang ditentukan,
Cara kerja utama satelit terletak pada ketepatan posisi orbit yang ditentukan, sehingga perlu mengatur sedemikian rupa agar satelit tetap pada orbit yang
untuk menjaga satelit tetap berada pada orbitnya. Pada penelitian yang dilakukan oleh Yang, et. al (2012), yang berjudul Concept Design, Modeling and Station-k eeping Attitude Control of an Earth Observation Platform, mengkaji desain konseptual dan model dinamik satelit pengamat bumi berupa sistem nonlinier yang kemudian dilakukan linierisasi sehingga sistem menjadi linier serta melakukan kontrol pada stasiun satelit di bumi.
Dalam penelitian ini dilakukan rekonstruksi model persamaan gerak satelit pengamat bumi dan analisis kestabilan sistem dinamik satelit pengamat bumi serta dilakukan simulasi dari gerak deviasi kecepatan dan percepatan setiap sudut terhadap sumbu TáUᆃ•Vä
KAJIAN PUSTAKA A. Satelit
Satelit merupakan benda langit yang beredar mengelilingi benda langit yang lebih besar (planet). Jenis satelit ada dua, yaitu satelit buatan dan satelit alami. Satelit alami merupakan satelit yang sudah ada di angkasa, sedangkan satelit buatan adalah satelit yang dibuat oleh manusia. Contohnya satelit Bulan yang merupakan satelit alami Bumi dan satelit Landsat merupakan satelit buatan Amerika Serikat. Salah satu jenis satelit buatan adalah satelit pengamat bumi, yaitu merupakan jenis satelit yang berfungsi untuk menyelidiki tata surya dan alam semesta secara lebih bebas tanpa dipengaruhi oleh atmosfer. Satelit ini berusaha mendapatkan data-data mengenai matahari dan bintang-bintang untuk mengungkap gejala maupun pergerakan alam semesta.
Satelit yang berada di luar angkasa harus tetap berada pada orbit yang ditentukan agar geraknya tetap stabil. Orbit adalah tempat beredarnya satelit saat mengelilingi bumi. Posisi satelit yang tidak dipengaruhi oleh gaya gravitasi dan hanya bergerak mengikuti bumi disebut posisi geostasioner. Kondisi bumi yang selalu berputar pada porosnya dan berputar mengelilingi matahari, mengakibatkan satelit dapat berpindah dari posisi orbit yang ditentukan. Sehingga Nampak bahwa betapa pentingnya kestabilan gerak satelit. Pengendalian satelit diatur dari stasiun yang ada di bumi. Misalkan untuk mengatur posisi satelit agar tetap berada pada orbitnya. Salah satu contoh satelit pengamat bumi adalah satelit Landsat yang dibuat oleh Amerika Serikat. Satelit Landsat merupakan jenis satelit pengamat bumi yang berada pada orbit LEO dengan ketinggian 705 km.
Gambar 2.2 Satelit Landsat
(sumber: http://pgsp.big.go.id/perkembangan-landsat/ diakses pada tanggal 12 Maret 2017)
B. Persamaan Gerak Satelit
Untuk menganalisis gerakan satelit, terdapat dua macam koordinat yakni koordinat sumbu satelit B :KTUV; dan kordinat sumbu bumi E :1:;<;. Kinematika satelitcabang dalam mekanika klasik yang membahas gerak satelit dan sistem satelit tanpa mempersoalkan gaya penyebab gerakannya. Kinematika satelit berorientasi pada tiga sumbu (TáUáV) yang berkaitan dengan pergerakan satelit yaitu roll, pitch, dan yaw. Roll adalah gerak naik turunnya sayap kiri atau kanan dan gerak ini terjadi di sepanjang sumbu T. Pitch adalah gerak naik turunnya hidung satelit yang terjadi di sepanjang sumbu U. Yaw adalah gerak berbelok dalam bidang horizontal sepanjang sumbu V (Yang, et al. 2012).
Gambar 2.4 Kerangka acuan dan variabel pergerakan satelit (Yang, et al. 2012)
C. Transformasi Koordinat
Transformasi koordinat terdiri dari transformasi kecepatan linier dan transformasi kecepatan sudut yang diperlukan untuk mendeskripsikan gerak satelit dan membuat jelas transformasi diantara dua koordinat. Vektor kecepatan sudut adalah turunan pertama vektor posisi 2 terhadap kecepatan linier melalui transformasi berikut ini:
26 L558 :täs;
Dimana 26L>T6 U6 V6?Í, dan 8 L>Q R S?Í. 5
5 adalah
matriks transformasi yang berhubungan dengan sudut Euler yaitu rollö, pitch à, dan yaw ð dan didefinisikan sebagai berikut: 55 L e …‘•ð…‘•à …‘•ð•‹•à•‹•ö …‘•ð•‹•à…‘•öE•‹•ð•‹•ö •‹•ð…‘•à •‹•ð•‹•à•‹•öE…‘•ð…‘•ö •‹•ð•‹•à…‘•öF…‘•ð•‹•ö F•‹•à …‘•à•‹•ö …‘•à…‘•ö i Vektor sudut Euler XL>L M N?Í disistem koordinat
badan satelit dan vektor kecepatan sudut Euler 36L cö6 à6 ð6gÍmemenuhi transformasi berikut:
36 L56ñ :tät;
dengan 56 adalah matriks transformasi dan diketahui sebagai berikut:
56L e
r …‘•ö F•‹•ö r •‡…à•‹•ö •‡…à…‘•ö s –ƒ•à•‹•ö –ƒ•à…‘•ö i Secara ringkas persamaan kinematika satelit dapat dituliskan sebagai berikut (Yang, et al. 2012):
d26 36h L d 55 r 7ë7 r 7ë7 56 hB 8 ñC :täu;
D. Sistem Dinamik Gerak Satelit
Satelit merupakan benda tegar, dengan jarak antara satu titik dan titik yang lainnya tidak akan berubah pada saat terbang. Persamaan gerak satelit yang diturunkan dari hukum Newton yang dinotasikan dengan persamaan dua vektor dalam koordinat E adalah:
@–
@P L( :täv; @t
@P Lì :täw; Perhitungan dari menambahkan massa, inersia, momentum linier, dan momentum anguler satelit, dapat dinyatakan sebagai berikut:
–L:IvÜžÜEy‡;‚€E ÓH s
L:yÙE y‡;‚€ E ÓH s
LyœEÓH s :täx;
tL:uÙE u‡;ÓE“ sH‚€
Lu ÓE sH:“‚€; :täy; Dengan mentransformasikan ke koordinat B didapat persamaan gerak rotasi:
y‚€6 EÓH:y‚€;E“Ó6 H sE“ÓH:ÓH s;Lr :täz; dan persamaan gerak anguler sebagai berikut:
>+Ó6 EÓ H:uÓ;?E“> sH‚€E ÓH: sH‚€;?L Î :tä{;
Dengan demikian diperoleh persamaan dinamis satelit yang dapat dinyatakan sebagai berikut:
dy FIVÀë IVÀ ë u h d‚€6 Ó6 h E d ÓH:y‚€;EIÓH:ÓHVÀ; ÓH:uÓ;EIÓH:VÀH‚€;h L Br ÎC :täsr; (Yang, et al. 2012). E. Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial (PD) adalah suatu persamaan yang memuat derivatif (turunan) satu atau beberapa fungsi yang tidak diketahui (Boyce and Di Prima, 2001). Misalkan P dan Q adalah variabel bebas sedangkan U adalah variabel terikat, dengan PáQ @=J UÐ 9, berikut contoh persamaan diferensial:
1. × . ì ×ç. E {×ì ×çLA ?6ç :täsy; 2. ! . ì !ç. Fu !.ì !è.Lr :täs{;
F. Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial adalah sistem yang memuat dua atau lebih fungsi yang tidak diketahui yang
bergantung pada dua atau lebih variable b ebas (Boyce and Di Prima, 2001:19). Berikut adalah bentuk umum dari sistem persamaan diferensial orde satu:
@T5 @P LC5:PáT5áT6á å áTá; @T6 @P LC6:PáT5áT6á å áTá; - -@Tá @P LCá:PáT5áT6á å áTá; :täss; dengan TÜ Ð 9âELsátá å áJ dan P menyatakan waktu, sehingga T5 T5:P;á T6 T6:P;á å Tá Tá:P; dengan
×ëÔ
×ç merupakan derivatif pertama dari TÜ terhadap P dan
CÜâ ELsátá å áJ adalah fungsi yang bergantung pada variabel T5, T6,..., Tá dan P. (Neuhauser, 2004).
G. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan # adalah matriks berordo JHJ. Vektor tak nol T dalam 9á dinamakan vektor eigen dari # jika
#T adalah kelipatan skalar ãÐ ' dari vektor T maka berlaku:
#TLãT
#TLã+T :täst; :#Fã+;TLr
Persamaan terakhir memiliki solusi tak nol jika dan hanya jika ã memenuhi persamaan sebagai berikut:
†‡–:#Fã+;Lr :täsu;
Nilai ã memenuhi persamaan (2.st) disebut nilai eigen matriks #, dan solusi tak nol dari persamaan (2.13) diperoleh dengan menggunakan nilai ã disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen (Boyce dan Di Prima, 2001).
H. Linierisasi
Model matematika umumnya berbentuk persamaan diferensial non linier. Dalam mengkaji perilaku solusi model non linier diperlukan linierisasi pada sistem non linier agar mendapatkan sistem linier. Linierisasi dilakukan agar sistem linier dapat dianalisis, dengan hasil analisisnya lebih baik dari sistem nonlinier. Linierisasi adalah suatu proses merubah sistem nonlinier menjadi sistem linier (Olsder, 2003).
I. Kestabilan Titik Ekuilibrium Titik Ekuilibrium
Titik ekuilibrium merupakan titik tetap yang tidak berubah terhadap waktu. Diberikan sistem ž6LB:ž;, titik ž% Ð 9” disebut titik ekuilibrium dari sistem tersebut jika B:ž%;Lr (Olsder, 2003).
Kestabilan Titik Ekuilibrium
Diberikan sistem persaman diferensial ž6 L#ž dengan # merupakan suatu matriks xHx yang memiliki nilai eigen berbeda, yaitu ã5áã6áã7á å áã: (Olsder, 2003:66).
1. Titik ekuilibrium ž% dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika 8A ãÜOráÊELsátáuá å áx.
2. Titik ekuilibrium ž% dikatakan stabil jika dan hanya jika 8A ãÜQráÊELsátáuá å áx dan jika setiap nilai
eigen ãÜ kompleks dengan 8A ãÜLr, maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen harus sama.
3. Titik ekuilibrium ž% dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika terdapat paling sedikit satu 8A ãÜP ráÊELsátáuá å áx
PEMBAHASAN A. Rekonstruksi Model
Ketika menganalisa gerakan satelit, terdapat dua macam koordinat yakni koordinat sumbu satelit B (oxyz) dan kordinat sumbu bumi E (OXYZ). Koordinat sumbu satelit mempresentasikan kecepatan dan percepatan satelit yang bertepatan dengan pusat gravitasi sedangkan koordinat sumbu bumi mempresentasikan posisi dan perubahan sudut satelit.
Gambar 4.1. Posisi sumbu-sumbu satelit terhadap bumi (Widodo, 2004)
Satelit bergerak terhadap sistem sumbu badan satelit, sehingga dilakukan rotasi dari sistem sumbu bumi : á á ; ke sistem sumbu badan satelit :šá›áœ;. Posisi satelit digambarkan oleh koordinat origin sumbu badan satelit pada kerangka inersia : á á ; yang orientasinya diwakili oleh sudut Euler (roll, pitch, dan yaw)
Kecepatan sudut menjadi:
ÓLö6E6Eà6F5Eð6G4
Oleh karena itu kecepatan sudut tubuh satelit pada sumbu TáUá †ƒ•V sebagai berikut:
Nö6à6 ð6OL e s •‹•ö–ƒ•à …‘•ö–ƒ•à r …‘•ö F•‹•ö r •‹•ö•‡…à …‘•ö•‡…àiH L M NI : uäsv;
Atau dapat ditulis menjadi: à6LM…‘•öFN•‹•ö
ð6LOA? à:N…‘•öEM•‹•ö; :uäsw; ö6LLE:N…‘•öEM•‹•ö;–ƒ•à
Karena satelit berotasi tidak sama dengan rotasi sumbu bumi, maka perlu dilakukan transformsi ke sistem sumbu badan satelit. Notasi persamaan momen pada sumbu KTásumbu KUá dan sumbu KV masing-masing dengan .á/á dan 0. diperoleh:
L6L.?7E0?8E?5MNE?6LM M6 L/?;F?::L6FN6;E?
9LN :uäsx;
N6L0?=E.?8?<LME?6MN
Karena gerak rotasi dipengaruhi gaya gravitasi dan gaya gravitasi dipengaruhi oleh momen inersia, maka persamaan (3.16) menjadi:
L6L:?5NE?6L;ME?7:.FVÀ)…‘• à•‹•ö;E?80 M6 L?9LNF?::L6FN6;E?;:/FVÀ)•‹•à; :uäsy;
N6 L:?<LE?6N;ME?8:.FVÀ)…‘•à •‹•ö;E?=0 Dari persamaan (3.15) dan (3.17) diperoleh persamaan gerak satelit sebagai berikut:
à6LM…‘•öFN•‹•ö ð6LOA? à:N…‘•öEM•‹•ö; ö6LLE:N…‘•öEM•‹•ö;–ƒ•à L6L:?5NE?6L;ME?7:.FVÀ)…‘• à•‹•ö; E?80 :vä{; M6 L?9LNF?::L6FN6;E?;:/FVÀ)•‹•à; N6L:?<LE?6N;ME?8:.FVÀ)…‘•à •‹•ö;E?=0
Karena sistem gerak satelit tersebut dalam bentuk persamaan nonlinier maka dilakukan linierisasi agar sistem menjadi linier.
Didefinisikan (Nelson, 1989:105) LLL4E¿L MLM 4E¿M NLN4E¿N .L.4E¿. / L/ 4E¿/ 0L04E¿0 àLà4E¿à öLö 4E¿ö ðLð4E¿ð
Saat satelit terbang memantau bumi, satelit terbang jelajah dalam kondisi tunak yang memiliki kecepatan konstan. Dengan kata lain
L4 LM4LN4 Lö4 Lð4Lr
Karena L4LM4LN4 Lö4Lð4Lr dan ketika deviasi
signifikan kecil, maka digunakan asumsi berikut (Caughey, 2011:51):
i. Perkalian antar deviasi dapat dianggap nol ii. •‹•¿àN¿à dan •‹•¿öN¿ö
Dan karena .4L/4L04Là4 Lr, maka diperoleh
sistem gerak satelit: ¿à6 L¿M ¿ð6 L¿N ¿ö6 L¿L ¿L6 L? 7:¿.FVÀ)¿ö;E?8¿0 :uäsz; ¿M6 L?;:¿/FVÀ)¿à; ¿N6L? 8:¿.FVÀ)¿ö;E?=¿0
Jika persamaan (3.18) diubah dalam bentuk matriks diperoleh: ž6 :P;L2T:P;E3ß:P; :uäs{; Dimana ž6 :P;L Ï Î Î Î Î Í¿à6 ¿ð6 ¿ö6 ¿L6 ¿M6 ¿N6Ò Ñ Ñ Ñ Ñ Ð 3L Ï Î Î Î Î Í r r r ?7.E?80 ?;/ ?8.E?=0Ò Ñ Ñ Ñ Ñ Ð ß:P;L e ¿. ¿/ ¿0 i 2L Ï Î Î Î Î Í r r r r F?;VÀ) r r r r r r F?8VÀ) r r r F?7VÀ) r r r r s r r r s r r r r r r s r r r rÒ Ñ Ñ Ñ Ñ Ð
Dalam menganalisis kestabilan sistem tersebut, menggunakan nilai parameter yang diperoleh dari data penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh Yang, et al. (2012).
Untuk menganalisis kestabilan, perlu ditentukan nilai eigen dari matriks 2. Misalkan ã ó' merupakan nilai eigen dari matriks 2. Untuk mendapatkan nilai eigen matriks 2, maka det:ã+F2;Lr harus terpenuhi. Sehingga: Ï Î Î Î Î Í ã r r r täyss{Hsr?9 r r ã r r r uäxyzuHsr?: r r ã rärsuu r r r r Fs ã r r Fs r r r ã r r Fs r r r ãÒ Ñ Ñ Ñ Ñ Ð Lr Dengan mengalikan sr56 ke setiap nilai eigen dari
matiks2, diperoleh: ã5L FsäyuvyHsr?:Esäsws{Hsr55E ã6L FsäyuvyHsr?:Fsäsws{Hsr55E ã7L väuuxzHsr?;Ewätr{uHsr=E ã8L väuuxzHsr?;Fwätr{uHsr=E ã9L FvärxwzHsr?;Esä{s{wHsr=E ã9L FvärxwzHsr?;Fsä{s{wHsr=E
Dari hasil tersebut, dapat diketahui bahwa 4A:ã5;L4A:ã6;Or, 4A:ã
7;L4A:ã8;Pr, dan
4A:ã9;L4A:ã:;Or dengan demikian dapat dikatakan
bahwa sistem linier dari satelit pengamat bumi tidak stabil.
Untuk menjadikan sistem stabil, maka perlu dilakukan pengecekan hal-hal yang mengakibatkan
sistem menjadi stabil. Diantaranya dengan mengganti nilai parameter yang sudah ada pada jurnal acuan.
Dari matriks 2 yang diperoleh, dapat dicari nilai eigen dengan tanpa memasukkan nilai parameter. Untuk mendapatkan nilai eigen matriks 2, maka det:ã+F2;L r harus terpenuhi. Sehingga:
Ï Î Î Î Î Í ã r r r ?;VÀ) r r ã r r r ?8VÀ) r r ã ?7VÀ) r r r r Fs ã r r Fs r r r ã r r Fs r r r ã Ò Ñ Ñ Ñ Ñ Ð Lr
diperoleh nilai eigen sebagai berikut: ã5L :F?;VÀ);5 6 ã6L :F?8VÀ);5 6 ã7L :F?7VÀ);5 6 ã8L F:F?;VÀ);5 6 ã9L F:F?8VÀ);5 6 ã8L F:F?7VÀ);5 6 Sehingga
¥F?;VÀ), karena ?;áVÀᆃ•) Pr maka nilai ¥F?;VÀ) berbentuk imajiner dengan 4ALr
¥F?8VÀ), karena VÀ†ƒ•) Pr maka nilai ?8P rƒ–ƒ—?
8Or,
Jika ?8Pr maka nilai ¥F?8VÀ) berbentuk imajiner
dengan 4A Lr
Jika ?8Or maka nilai ¥F?8VÀ) berbentuk 4APr
¥F?7VÀ) , karena VÀ†ƒ•) Pr maka nilai ?
7 P
rƒ–ƒ—?7Or, Jika ?7Pr maka nilai ¥F?
7VÀ) berbentuk imajiner
dengan 4A Lr Jika ?7Or maka nilai ¥F?
7VÀ) berbentuk 4APr
Diperoleh agar sistem stabil, maka ?7L F+í +ëí6 F+ ë+í Pr†ƒ• ? 8L F+ëí +ëí6 F+ ë+í Pr Diperoleh: +ëP+ëí 6 +í
dan berdasarkan nilai parameter di jurnal referensi diketahui bahwa:
+ëíLsäxHsr: †ƒ• +
íL wäzHsr=
Maka diperoleh batasan nilai +ë agar sistem linier tersebut stabil, yakni:
+ëP+ëí 6 +í +ëP :säxHsr:;6 wäzHsr= +ë P vävsHsr6 B. Simulasi
Dengan nilai awal à6 Lräs, ð6Lräs, ö6Lräs, L6L rärrswá M6Lrärrt, dan N6 Lrärrs, diperoleh simulasi sebagai berikut:
1. Parameter yang digunakan dengan +ëO vävsHsr
t
Gambar 4.6 Deviasi kecepatan sudut terhadap sumbu -Y Pada gambar 4.6, deviasi kecepatan sudut terhadap sumbu-Y menunjukkan bahwa sistem tidak stabil.
Gambar 4.7 Deviasi kecepatan sudut terhadap sumbu -Z Pada gambar 4.7, deviasi kecepatan sudut terhadap sumbu-Z menunjukkan bahwa sistem stabil hingga wwrOA? dan kecepatan sudutnya mencapai uwrrN=@ OA?
Gambar 4.8 Deviasi kecepatan sudut terhaadap sumbu -X Pada gambar 4.8, deviasi kecepatan sudut terhadap sumbu-X menunjukkan bahwa sistem stabil hingga
wwrOA? dan kecepatan sudutnya mencapai stäwH sr: N=@ OA?.
Gambar 4.9 Deviasi percepatan sudut terhadap sumbu -X Pada gambar 4.9, deviasi percepatan sudut terhadap sumbu-X menunjukkan bahwa sistem stabil hingga wwrOA? dan kecepatan sudutnya mencapai yH sr9 N=@ OA?.
Gambar 4.10 Deviasi percepatan sudut terhadap sumbu-Y Pada gambar 4.10, deviasi percepatan sudut terhadap sumbu-Y menunjukkan bahwa sistem tidak stabil.
Gambar 4.11 Deviasi percepatan sudut terhadap sumbu -Z Pada gambar 4.11, deviasi percepatan sudut terhadap sumbu-Z menunjukkan bahwa sistem stabil hingga wwrOA? dan percepatan sudutnya mencapai trrN=@ OA?. 0 100 200 300 400 500 600 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 k e c e p a ta n s u d u t p it c h (T ) waktu (t) Deviasi Kecepatan Sudut pada Sumbu-Y
0 100 200 300 400 500 600 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 k e c e p a ta n s u d u t y a w (\ ) waktu(t) Deviasi Kecepatan Sudut pada Sumbu-Z
0 100 200 300 400 500 600 0 2 4 6 8 10 12 14x 10 6 k e c e p a ta n s u d u t ro ll(I ) waktu(t) Deviasi Kecepatan Sudut pada Sumbu-X
0 100 200 300 400 500 600 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8x 10 5 p e rc e p a ta n s u d u t ro ll( p ) waktu(t) Deviasi Percepatan Sudut pada Sumbu-X
0 100 200 300 400 500 600 0 5 10 15 20 25 30 35 p e rc e p a ta n s u d u t p it c h (q ) waktu(t) Deviasi Percepatan Sudut pada Sumbu-Y
0 100 200 300 400 500 600 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 p e rc e p a ta n s u d u t y a w (r ) waktu(t) Deviasi Percepatan Sudut pada Sumbu-Z
2. Parameter yang digunakan dengan +ëP vävsHsr6
Dengan memilih nilai +ëLwätHsr6, didapat
simulasi berikut:
Gambar 4.12 Deviasi kecepatan sudut terhadap sumbu -Y
Gambar 4.13 Deviasi kecepatan sudut terhadap sumbu -Z
Gambar 4.14 Deviasi kecepatan sudut terhadap sumbu -X
Gambar 4.15 Deviasi percepatan sudut terhadap sumbu -X
Gambar 4.16 Deviasi percepatan sudut terhadap sumbu-Y
Gambar 4.17 Deviasi percepatan sudut terhadap sumbu-Z
Dari keenam gambar yaitu gambar 4.12 sampai 4.17 menunjukkan bahwa sistem gerak satelit pengamat bumi stabil
PENUTUP A. Kesimpulan
Dari hasil pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Hasil rekonstruksi model dinamik satelit pengamat bumi adalah sebagai berikut:
à6LM…‘•öFN•‹•ö ð6LOA? à:N…‘•öEM•‹•ö; ö6LLE:N…‘•öEM•‹•ö;–ƒ•à L6L:?5NE?6L;ME?7:.FVÀ)…‘• à•‹•ö; E?80 M6 L?9LNF?::L6FN6;E? ;:/FVÀ)•‹•à; N6 L:?<LE?6N;ME?8:.FVÀ)…‘•à •‹•ö; E?=0
2. Hasil linierisasi model dinamik satelit pengamat bumi adalah sebagai berikut:
¿à6 L¿M ¿ð6L¿N ¿ö6L¿L 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 k e c e p a ta n s u d u t p it c h (T ) waktu (t) Deviasi Kecepatan Sudut pada Sumbu-Y
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 k e c e p a ta n s u d u t y a w (\ ) waktu(t) Deviasi Kecepatan Sudut pada Sumbu-Z
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 2 4 6 8 10 12 14x 10 6 k e c e p a ta n s u d u t ro ll(I ) waktu(t) Deviasi Kecepatan Sudut pada Sumbu-X
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -3 -2 -1 0 1 2 3x 10 8 p e rc e p a ta n s u d u t ro ll( p ) waktu(t)
Deviasi Percepatan Sudut pada Sumbu-X
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 p e rc e p a ta n s u d u t p it c h (q ) waktu(t)
Deviasi Percepatan Sudut pada Sumbu-Y
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8x 10 4 p e rc e p a ta n s u d u t y a w (r ) waktu(t)
¿L6L?7:¿.FVÀ)¿ö;E?8¿0 ¿M6L?
;:¿/FVÀ)¿à;
¿N6L?
8:¿.FVÀ)¿ö;E?=¿0
3. Berdasarkan nilai eigen pada sistem linier dapat disimpulkan bahwa sistem tidak stabil atau tidak stabil asimtotik.
4. Sistem dapat stabil jika memilih nilai +ë yang memenuhi +ëPÂãå
.
Âå
.
B. Saran
Peneliti menyarankan dalam penelitian selanjutnya agar diterapkan sistem kontrol untuk megetahui letak kestabilan sistem gerak satelit pengamat bumi.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1987. Elementary Linier Algebra. Drexel University
Boyce, William E. dan Di Prima, Richard C. 2001. Elementary Differential Equations and Boundary
Value Problems. Seventh Edition. United State of
America: John Wiley and Sons, Inc.
Bronson, R. dan Costa, G. B. 2006. Differential Equations Third Edition. USA
Caughey, A. David. 2011. Introduction to Aircraft Stability and Control Course Notes for M&AE 5070. New York: Cornell University.
Finizio, N. dan Ladas, G. 1982. Penerapan Diferensial
Biasa dengan Penerapan Modern. Terjemahan
Widiarti Santoso. Jakarta: Erlangga
Ives, N.E. 1962. Principles of Attitude Control of
Artificial Sattelites. London: Communicated by
The Deputy Controller Aircraft (Research and Development), Ministry of Aviation.
Kaplan, Marshall H. 1976. Modern Spacecraft Dynamics and Control. New York : John Willey and Sons. Kusuma, Miati. 5 Agustus 2016. Perkembangan Landsat.,
(Online), (http://pgsp.big.go.id/perkembangan-landsat/, diunduh 12 Maret 2017)
Kreyzig, Erwin. 2011. Advanced Engineering
Mathematics. Tenth Edition. United States of
America: John Wiley & Sons, Inc.
McLean, Donald.1990. Automatic Flight Control System UK: Prentice Hall International.
Nelson, C. Robert. 1989. Flight Stability and Automatic Control. Amerika Serikat: McGraw-Hill.
Neuhauser, Claudia. 2004. Calculus for Biology and Medicine. New Jersey: Pearson Education
Nurachmadani, Setya. 2009. Fisika 2 Untuk SMA/MA Kelas XI. Jakarta: Pusat Pembukuan, Departemen Pendidikan Nasional.
Ogata, Katsuhiko. 2010. Modern Control Engineering. Edisi ke-5. UK: Prentice Hall
Olsder, G.J. 2003. Mathematical System Theory. Delft: Delft University Press
Saputra, M. Agus. 2015. Solusi Sistem Kontrol Nonlinier Librasi Kesetimbangan Bumi-Satelit. Skripsi tidak diterbitkan. Surabaya: Universitas Negeri Surabaya
Setiawan, samhis. 22 Juni 2016. Pengertian, Fungsi Dan Macam-Macam Satelit Beserta Contohnya
Terlengkap, (Online),
(http://www.gurupendidikan.com/pengertian- fungsi-dan-macam-macam-satelit-beserta-contohnya-terlengkap/, diunduh 12 Maret 2017) Siregar, Suryadi. 2007. Dasar-dasar Lintasan Satelit.
Bandung: Ebook Penerbit ITB
:LGRGR 6ODPHW ³3ULQVLS 3HQJHQGDOLDQ $WWLWXGH
Satelit LAPAN-78%6$7´
Yang, Y. Wu, Jie. dan Zheng, Wei. Concept Design, Modeling and Station-keeping Attitude Control of an Earth Observation Platform. Chinese Journal of Mechanical Engineering, Issue 16 May 2012. Download 28 Agustus 2016.
