BAB II
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDO SATU
Tujuan Pembelajaran
Bab 2. ini, merupakan lanjutan dari pembahasan PD bab1, yaitu jenis-jenis persamaan differensial ordo satu dan cara-cara penyelesaiannya. Diantaranya adalah Persamaan Terpisah, PD Homogen Ordo Satu, PD Exacx dan Factor Integrasi, serta contoh-contoh soal.
Pada tiap sub pokok bahasan diberikan soal-soal yang diharapkan dapat dikerjakan oleh mahasiswa, sesuai dengan contoh-contoh yang diberikan pada tiap jenisnya masing-masing.
A. Persamaan Differensial Variabel Terpisah Persamaan differensial F x,y 0
dx dy
adalah berordo satu dan derajat satu. Persamaan ini dapat dinyatakan dalam bentuk M x, y dx N x,y dy 0. Dengan M x,y danN x, y dapat dinyatakan sebagai fungsi x, atau fungsi y atau keduanya, x dan y atau M x, y danN x,y hanya merupakan konstanta.
Persamaan M x,y dx N x, y dy 0, disebut sebagai persamaan terpisah apabila dapat dinyatakan oleh persamaan :
0 dy y q . x p dx y g . x
f dimana f(x) dan p(x) merupakan fungsi x dan g(y) dan q(y) sebagai fungsi y. Fungsi x dan fungsi y dapat dipisahkan dan berada pada kelompoknya masing-masing.
Contoh: x 3xy dx yx 6x dy 0 adalah persamaan terpisah, sebab dapat dinyatakan dalam bentuk x1 3y dx x y 6 dy 0, sehingga dapat dilakukan pengelompokan variable dalam bentuk:
0 dy 6 y dx
Contoh: y-x dx xy-2x dy 0, bukan persamaan terpisah, sebab tidak dapat dibuat dalam bentuk f x .g y dx p x .q y dy 0. Atau tidak dapat dikelompokkan pada variabelnya masing-masing.
B. Solusi Persamaan Terpisah
Persamaan terpisah f x .g y dx p x .q y dy 0 dapat diselesaikan dengan prosedur sebagai berikut:
1. Bagi persamaan dengan g(y), p(x), sehingga didapat: 0 q(y) ; 0 p(x) ; 0 dy q(y) g(y) dx p(x) f(x)
2. Lakukan integrasi persamaan, sehingga didapat PD umum solusi sebagai C, G(y) F(x)
3. Bila nilai-nilai syarat batas diketahui, maka subsitusikan nilai tersebut ke dalam hasil integral sehingga nilai konstanta C didapat. Persamaan yang didapat adalah solusi khusus dari PD. Selanjutnya dapat diekspresikan dalam bentuk gambar atau grafik.
Contoh 1
Selesaikan 0;bila y(0) 4 x dy y dx Jawab : umum) (solusi C 2 y x x 0 y.dy x.dx 2 2 2 2 1 2 2 1 y C Syarat batas khusus) (solusi 6 1 y x 8 C C 2 16 0 4 y 0 x 2 2
Merupakan lingkaran berpusat di p(0,0) dengan jari-jari r = 4, dapat di ekspresikan dalam bentuk gambar sebagai berikut:
4 x y 4 4 -4 - 0 Gbr. 2.1 Lingkaran x2 y2 16 Contoh 2
Tentukan jawaban khusus dari PD berikut : 1 y(2) bila 0, dx xy 4x dy y x y 2 2 Jawab : y(1 x2)dy x(4 y2)dx 0 dx 0 x 1 x dy 4) (y y 2 2
Integral langsung, misalnya:U (y2 4) dan V (1 x2)
khusus) (solusi 15 ) x )(1 4 (y jadi C 15 C 4) 4)(1 (1 1 y 2 x : batas Syarat umum) (solusi C x 1 4 y C x 1 . 4 y C ln V ln U ln 0 2x dv . V x 2y du . U y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1
C. Soal
Tentukan jawaban umum dari PD berikut: 1. x2dy y2dx 0 2. xdy ydx 0 3. x y dx dy 1 1 4. (1 x2)dy 1 y2 dx 0 5. ysecxdy 1 y2dx 0 6. dy ytan dxx 0 7. 2 2 1 1 y x dx dy 8. secxdy secydx 0 9. xydy (x2 1)dx 0 10. y y x xy x dx dy 2 2 11. y' x3(1 y)bilay(0) 3 12. 4 ) 0 ( cos 2 2 ' y bila y x y 13. y' ysinxbilay( ) 3 14. y' 8x3e 2y bilay(1) 0 15. y' (1 y2)tanxbilay(0) 3
D. Persamaan Differensial Homogen Ordo Satu
Persamaan differensial homogen ordo satu f(x, y, y1 ) = 0. Secara umum ditulis dalam bentuk, f (x,y)atau M(x,y)dy N(x,y)dy 0.
dx dy
Persamaan
ini dinyatakan homogen jika ( , ) ( )
x y g y x f . Contoh 1 Persamaan ) ( ) 2 ( y x y x dx dy adalah homogen Karena y y dx dy y x y y x x dx dy y x y x dx dy x y 1 1 2 2 ) ( ) 2 (
Jadi : ; merupakansyaratPDhomogen x y g dx dy
Persamaan homogen dalam bentuk persamaan y dan x didapat di transformasi (diubah) menjadi bentuk persamaan v dan x, sehingga menjadi bentuk variable terpisah dengan cara mensubsitusikan,
dv x dx v dy dan vx y Bukti:
Bila M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 maka dapat ditulis sebagai
x y g dx dy
dengan subsitusi y = v dx an dy = v dx + x dv sehingga:
) ( ) ( dimana F ln x C F(v) x ln : adalah a integralny Hasil 0 0 ) ( ) ( . . ditulis dapat v F v g v dv C x y v g v dv x dx dx dv x v g v v g dx dv x v x y g dv x dx v x y g dx dy Contoh 2
Tentukan jawaban umum dari (xy y2)dx x2 dy 0 Jawab :
2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 : . e ln C ln x ln C ln e ln -x ln : lain bentuk Dalam ln ln ln 1 ln 0 0 0 0 0 x e C x x C x y C y x x atau C v x v dv x dx dv x dx v dv x dx v dx v v dv x dx v x dx v v x dv x dx v x dx x v v x y x y x y x E. Soal-soal 1. (x2 y2)dx 2xy dy 2. ydx xdy 0 3. y3dx x3dy 0 4. (x 3y)dx xdy 0 5. (y2 xy)dx x2dy 0 6. (6x y)dx (x 2y)dy 0 7. (y 2x)dx 2xdy 0
8. sin cos cos dy 0
y x x dx y x y y x x x 9. xydx (x3 3y2)dy 0 10. (x y)e dx (xey x)dy 0 x y x
F. Persamaan Differensial Exact dan Factor Integrasi
Fungsi f(x,y)=C, merupakan keluarga suatu kurva, memiliki differensial total df(x,y) adalah df(x,y) = x,y dy 0
y f dx y x, x f atau df x,y M x,y dx N x,y dy 0
persamaan ini merupakan pesamaan differensial exact apabila : x N y M Bukti: untuk y x y x f y y x M x y x f y x M , , , , y x y x f x y x N y y x f y x N , , , , Jadi : x N y M
merupakan syarat PD exact.
Dari M x y dx dM , dx y x M dM ,
Integral kearah x adalah
x y F dx y x M M ,
Bila diturunkan kearah y, nilainya harus sama dengan N x, y, jadi
dy dx y x M y dy y x N y F dx y x M y y x N y F y F dx y x M y y x N , , , , ' ' , , Jadi : x y C dy dx y x M y dy y x N dx y x M y x f , , , ,
Merupakan jawaban dari PD exact.
Contoh : periksa apakah xy2dx x2ydy 0merupakan PD exact dan tentukan jawabannya. Jawab : xy x N y x N xy y M xy M 2 2 2 2 x N y M
jadi Exact.
Dari :
dengan x2y sama harus y, arah ke Turunannya , , . 2 2 2 1 2 2 y F y x M y x f dx y x dM xy dx dM Jadi : C y F y F y F y x y x 0 ' ' 2 2 Didapat M 12x2y2 C
Atau : 21x2y2 Cadalah solusi umumnya.
Cara lain. Dengan rumus : umum. solusi adalah C . 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 y x C y x M C y x y x M C dy y x y x M C dy y x y y x y x M C dy dx xy y ydy x dx xy M G. Soal-soal Latihan
Periksa PD berikut apakah Exact dan tentukan jawaban umumnya 1. 2xydx x2dy 0 2. 3x2 ydx xdy 0 3. x y dx xdy 0 4. ey y.ex dx xey ex dy 0 5. x y2 dy y x2 dx 0 6. 1 1 cosy dy 0 y dx x 7. 2 ln 0 dy y x dx y x 8. 2 2 0 2 2 2 dy y x x x dx y x y xy x
9. 1 y2 dx x2y ydy 0 10. e ycosx sinxdx xexycosxdy 0
xy
H. Faktor Integrasi
Bila M(x,y)dx N(x,y)dy 0, tidak exact maka dapat dibuat menjadi PD exact dengan cara mengalikan persamaan dengan suatu faktor integral F(x, y). Dengan mengalikan F(x, y) ke dalam persamaan akan didapat:
0 .
.Mdxy F Ndy F
persamaan ini menjadi exact dengan syarat:
x FN y FM) ( ) ( x F N x N F y F M y M F . atau x N y M y F M x F N F 1
Dapat dilihat ada beberapa kasus yang mungkin terjadi: 1. Bila F hanya sebagai fungsi x, maka 0
y F dan dx dF x F sehingga: dx x N y M N F dx x N y M N F dx x N y M N dF F x N y M dx dF N F 1 . exp 1 ln 1 . 1 1
merupakan faktor integrasi agar PD menjadi exact.
2. Bila F hanya sebagai fungsi y, maka 0
x F dan dy dF y F , sehingga:
dx x N y M M F dy x N y M M F F x N y M y F M F 1 . exp 1 . 1 1
Menyatakan faktor integral agar PD menjadi exact.
Dari kedua faktor integrasi di atas terlihat bahwa(x,y) sangat ditentukan oleh:
x N y M y F M x F N F 1 atau : dz M N x N y M F dF .
dimana Z merupakan suatu fungsi dari x saja atau dari y saja atau dari x dan y. Bila Z merupakan fungsi x saja, maka α 1danβ 0
Bila Z merupakan fungsi y saja, maka β 1dan α 0 Bila Z merupakan fungsi x dan y, maka α 1danβ 1
Contoh : Selesaikan (3 – 2y) dx + (x2 – 1) dy = 0 Jawab : Exact) (Tidak x N y M 2x x N 1) (x N 2 y M 2y) (3 M 2 Faktor integrasi: dx 2x 2 1 x 1 exp dx x N y M N 1 exp F 2
integrasi faktor adalah 1) (x 1) (x ln 2 . exp dx 1 x 1 x x 1 2 exp 2
kalikan ke dalam persamaan, didapat:
F(x) y 1) (x 1) (x F(x) dy 1) (x 1) (x y) F(x, (Exact) x N y M 1) (x 2 x N 1) (x 2 y M 0 dy 1) (x 1) (x 1) (x 2y 3 0 dy 1) (x 1) (x dx 1) (x 2y) (3 2 2 2 2 2 2 dx
Turunan ke arah x, harus sama dengan M(x,y), yaitu:
PD dari umum jawaban adalah 1) (x 3 1) (x C y 1) (x C 3 1) (x y C 1) (x 3 y 1) (x 1) (x y) F(x, jadi 1) (x 3 F(x) 1) (x 3 (x) F' 1) (x 2y 3 (x) F' 1) (x 2y x F 2 2 2 C
I. Soal-soal
Tentukan jawaban dari: 1. (x2 + 2y) dx – x dy = 0 2. (y2 + 3) dx + (2xy – 4) dy = 0 3. (5xy + 4y2 +1) dx + (2y3 – x) dy = 0 4. (2xy2 + y) dx + (2y3 – x) dy = 0 5. (4xy2 + 6y) dx + (5x2y + 8x) dy = 0 6. (x2 + y3 + x) dx + xy dy = 0 7. y2 dx + (x2 – xy +3) dy =0 8. (x + y +1) dx – (y – x +3) dy =0 9. (x + y + 1) dx – (x – y –3) dy = 0 10. (x2 + y2) dx + 2xy dy = 0
J. Persamaan Differensial Linier Ordo Kesatu
Persamaan differensial yang berordo kesatu yang linier antara variabel terikat dan turunan pertamannya dinyatakan sebagai PDL ordo kesatu. Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk:
Q(x) y
p(x) dx dy
Bentuk persamaan menjadi homogen jika Q(x) = 0, penyelesaian selanjutnya adalah:
C
e
.
y
C
ln
dx
p(x)
y
ln
0
y
dy
dx
p(x)
dx p(x)turunan dari bentuk ini adalah:
dy dx .y p(x) e e . y d 0 dy e dx p(x) . e . y e . y d dx p(x) dx p(x) dx p(x) dx p(x) dx p(x)
Bentuk ini memperlihatkan bahwa dengan mengalikan faktor e p(x)dxke dalam persamaan, maka bentuknya menjadi Exact.
Artinya, e p(x)dxadalah faktor integrasi, untuk membuat PDL menjadi Exact, sehingga persamaan menjadi:
C dx Q(x) . e e . y : adalah a selanjutny jawaban dan .Q(x) e ) (y.e d atau .Q(x) e dy dx p(x).y e dx p(x) p(x) dx p(x) dx p(x) dx p(x) dx p(x) Contoh :
Selesaikan : x2 dy – sin 3x dx + 2xy dx = 0 Jawab :
Persamaan dapat (bagi persamaan dengan x2dx).
2 x ln dx x 2 2 3 1 2 2 2 2 2 x e e Umum) (Jawaban 0 C 3x cos y 3x C 3x cos y x C dx 3x sin y x dx 3x sin y x d 3x sin 2xy dx dy x x 3x sin .y x 2 dx dy 2 K. Soal-soal 1. y e x dx dy 2. (x + 1) dy – (x2 – y – 1) dx = 0 3. (1 - x2) dx dy +xy = ax 4. y’ + y tan x = sec x 5. dx dy - x 1 - y = x ex 6. y’ – a y = f(x) 7. dx dy + x y = x 1 8. y’ + 3 ) 1 ( 1 x y 2 x 9. dx dy + y cotg x = sec x 10. y’ + y f(x) = f(x)
L. Persamaan Bernoulli
Bentuk umum dari persamaan bernoulli adalah p(x)y Q(x).yn dx
dy
. Prosedur penyelesaiannya dengan cara sebagai berikut:
1. Bagi persamaan dengan yn, didapat *) Q(x)...( p(x).y dx dy y n 1 n
2. Misalkan U = y1-n sehingga didapat
dx du (1-n)y dx dy n
3. Kalikan (*) dengan (1-n) sehingga didapat (1 – n) y-n dx dy + (1 – n) p(x) y1-n = (1 – n) Q(x) atau dx du + p’(x) U = Q’(x) adalah PDL
yang dapat diselesaikan dengan perkalian faktor integrasi.
Contoh : Selesaikan y xy2 x 1 dx dy Jawab :
Bagi persamaan dengan y2, didapat :
y x x 1 dx dy y 2 1 misalkan dx dy y dx du y U 1 2
kali persamaan dengan negatif (-1)
y x x 1 dx dy y 2 1
atau : x 1 umum. jawaban ; x x C y Cx x y Cx x U C dx x U dx U x 1 d 1 U x 1 dx du x 1 x y x 1 dx du x ln dx x 1 1 2 2 1 2 2 1 e e M. Soal 1. y xy4 dx dy 2. y y2ex dx dy 3. y y (x 1) dx dy 2 3 4.y' 2ytanx y2 tan2x 5.y' ytanx y3sec4x 6. 2x 5y3 dx dy y 7.y' 2y 5xy4 8. y y sinx x 1 dx dy 2 9. dx dy bentuk dalam 0 dy 1) (3y dx y2 1 1 dy 11. 3 y x y 2x 1 dx dy 12. xy y dx dy 3
N. Subsitusi dan Transformasi
Persamaan dengan koefisien linier dalam bentuk (ax + by+ c) dx + (px + qy + r) dy = 0 yang sulit untuk dinyatakan atau diselesaikan seperti PD yang telah dibicarakan didepan, dapat ditransformasikan menjadi salah satu diantara PD yang dapat diselesaikan.
Transformasi dilakukan dengan cara membuat ulang persamaan dalam bentuk variabel baru yang mungkin dapat menyelesaikan PD.
Prosedurnya adalah sebagai berikut:
1. Jika c = r = 0, persamaan berbentuk (ax + by) dx + (px + qy) dy = 0 persamaan ini homogen. Misalkan y = v.x 2. Selanjutnya bila k q b p a
, maka dapat ditransformasikan Z = ax + by dan dz = a dx + b dy, untuk merubah persamaan awal ke bantuk variabel lain.
3. bila q b p a
, maka dapat ditransformasikan; U = ax + by + C dan du = a dx + b dy v = px + qy +r dan dv = p dv + q dy sehingga: p b q a du p dv a q p b a dv p dy a dy p b q a dv b du q q p b a q dv b du dx
subsitusikan harga dx dan dy dalam persamaan sehingga diperoleh persamaan homogen, yang dapat diselesaikan.
Cara lain adalah dengan mengambil bentuk-bentuk ax + by + c = 0 sebagai persamaan garis yang berpotongan dengan px + qy + r = 0. dengan memisalkan perpotongannya dititik (h, k) maka substitusikan:
dv dy k v y du dx h u x
ke dalam persamaan awal sehingga didapat persamaan homogen yang dapat diselesaikan. Contoh 1 Selesaikan (3x – 2y + 1) dx – (6x – 4y + 1) dy = 0 Jawab : Karena , 2 1 q b p a
maka ambil transformasi Z = 3x – 2y dan dz = 3 dx – 2dy;
dx = dz 32dy 3
1
Sehingga diperoleh persamaan baru:
terpisah. persamaan 0, dy dz 1 4z 1 z 0 dy 3 1 z 3 4 dz 1 z 3 1 0 dy 1 2z 3 2 z 3 2 dz 1 z 3 1 0 dy 1 2z dy 1 z 3 2 dz 1 z 3 1 0 dy 1 2z dy 3 2 dz 3 1 1 z c y 1 4z ln 16 3 z 4 1 c dy 1 4z dz 4 3 dz 4 1 du 1 dz dz 4 du 1 4z u : Misal
dicari. yang solusi adalah c 3 1 c c 1 8y 12x ln 4 1 2y x c 1 8y 12x ln 4 3 6y 3x c 4 1 8y 12x ln 4 3 2y 3x 2y 3x z nilai kan Substitusi c 4 c c 4y 1 4z ln 4 3 z 1 2 2 1 1 1 1 y Contoh 2 Selesaikan (2x – 4y –10) dx + (5x – y – 7) dy = 0 Jawab : Karena q b p a
maka digunakan transformasi:
dy 5dx dv 7 y 5x v 4dy 2dv du 10 4y 2x u 18 du 5 2dv 1 5 4 2 dv 5 du 2 dx 18 4dv du dv 5 du 2 1 dv 4 du dx
Subsitusikan ke dalam persamaan awal, dan misalkan z = u/v atau u = z . v ; dengan
turunan du = z dv + v dz dan penjabaran selanjutnya didapat; 0 2 5 2 dz z z z v dv 0 2 1 2 z dz z dz v dv
hasil integral: dz ln c 2 z 1 -dz 1 -z 2 ln v 2 2 2 2 1 v u 2 v u c 7 y 5x 1) (z 2) (z . c v 1) (z 2) (z c ln v ln c ln 2 z 1 z ln v ln c ln 2) (z ln 1) (z ln 2 v ln 7 y 5x 24 6y 12x c 7 y 5x 3 3y 3x . 7 y 5x 7 y 5x 3 3y 3x 7 y 5x 24 6y 12x c 7 y 5x 7 y 5x 7 y 5x 10 4y 2x 7 y 5x 14 2y 10x 10 4y 2x c 7 y 5x 1 7 y 5x 10 4y 2x 2 7 y 5x 10 4y 2x c 7 y 5x 2 2 2 2 awal persamaan dari solusi adalah 4 -y -x 2 1 y x c 9 6 c 4) y (2x c 1) y (x 4) y (2x c 6 1) y (x 9 3) ( 24 6y 12x c 3 3y 3x 2 1 1 2 2 2 2 C Cara kedua : 0 7 -y -5x dx 10 -4y -2x dy Titik potong (h, k) = (1,-2) Misal: x = u +1 dx = du y = v – 2 dy = dv (2u +2 – 4 v + 8 – 10) dx
(2u -4v) dx – (5u - v) dv = 0 Persamaan menjadi (2u – 4v)du + (5u – v) dv = 0
Misal : v = u.z dv = u dz + z du Persamaan menjadi :
(2u – 4uz) dv + (5u - uz) (udz + zdu) = 0 (2 + z - z2)du + (5-z) udz = 0 0 z 2 z 1 z 5 u du 0 dz -2 z 1 z 5 u du z c v -u 2 u v c ln v -2u u u u v u ln c ln u v -u 2 ln u u v ln u ln c ln ) z 2 ln( 1 z ln 2 u ln 2 2 2 2 c 2 -y 1 -x 2 1 -x 2 y 2 umum), (jawaban c 4 -y -2x 1 y x 2
sama seperti contoh di atas.
O. Soal 1. (3y – 2x +7) dx + (6y – 4x + 3) dy = 0 2. (2x – 5y + 3) dx – (2x + 4y – 6) dy = 0 3. (x – y – 1) dx + (3x – 3y +1) dy = 0 4. (2x – y +3) dx + (4x – 2y + 6) dy = 0 5. 1 y 2x 8 y 4x dx dy
