Matematika Diskret. Mahmud Imrona Rian Febrian Umbara RELASI. Pemodelan dan Simulasi

Matematika Diskret

Mahmud Imrona – Rian Febrian Umbara

Pemodelan dan Simulasi

Hasil kali kartesian antara himpunan A dan

himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan

terurut (a, b) untuk setiap a  A dan setiap b  B.

Contoh 1

Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, tentukan AxB. Jawab:

•

Relasi dilambangkan dengan huruf besar R,

adalah Subset dari hasil kali Cartesian (Cartesian

product). Jika (x, y)  R, maka x berelasi dengan

y dibawah relasi R.

•

{x  A| (x, y)  R untuk suatu y  B} disebut

domain dari R. Sedangkan Range dari R= {y  B|

(x, y)  R untuk suatu x  A}

Contoh 2 Misalkan

A = {Rian, Irma, Dede}, B = {MA2333, DU1203, MA2113, MA2513} A  B = {(Rian, MA2333), (Rian, DU1203), (Rian, MA2113),

(Rian,MA2513), (Irma, MA2333), (Irma, DU1203), (Irma, MA2113), (Irma, MA2513), (Dede, MA2333), (Dede, DU1203), (Dede, MA2113), (Dede,

MA2513)}

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu

R = {(Rian, MA2333), (Rian, MA2113), (Irma, MA2113),

(Irma, MA2513), (Dede, MA2513) }

– Dapat dilihat bahwa R  (A  B),

– A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R. – (Rian, MA2333)  R atau Rian R MA2333

Contoh 3

Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan

(p, q)  R jika p habis membagi q

maka kita peroleh

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8),

Contoh 4

Dari himpunan pada Contoh 1, apakah: R₁ = {(1, a), (1, b)}

R₂ = {(1, a), (2, a), (3, a)} R₃ = {(1, b), (2, b), (1, a}

R₄ = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)} R₅ = 

R₆={(a, 1), (2, a)} merupakan relasi?

Jawab:

Himpunan pasangan terurut R₁, R₂, R₃, R₄, R₅,

merupakan subset dari AxB, dan membentuk suatu

relasi, tetapi R₆ bukan relasi dari AxB, karena (a,

1)AxB

Sebuah pasangan terurut menjadi anggota relasi R₁,

ditulis: (1, a)  R₁ atau 1 R₁ a. Dan jika (2, a)

Relasi biner atas himpunan A adalah relasi dari A ke A.

Relasi yang demikian ini, seringkali muncul dalam kehidupan sehari-hari, di dalam kalkulus I, kita kenal relasi dari R ke R, dari bilangan riil ke

bilangan riil.

Contoh 5

Apakah setiap relasi berikut merupakan relasi biner atas bilangan bulat ( ):

R₁ = {(a, b)| a ≥ b, dan a, b  }

R₂ = {(a, b)| a < b, dan a, b  }

R₃ = {(a, b)| a=b atau a=-b, dan a, b  }

R₄ = {(a, b)| a=b, dan a, b  }

Jawab

Benar, karena setiap relasi tersebut mempunyai domain dan kodomain pada .

Contoh 6

Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh

(x, y)  R jika x adalah kelipatan dari y.

Maka R = {(2, 2), (4, 4), (8, 8), (3, 3), (9, 9), (4,2) (8, 2), (8, 4), (9, 3)}

1.

Diagram Panah

Himpunan di sebelah kiri adalah daerah asal,

Representasi Relasi

2. Pasangan terurut

Untuk relasi R atas satu himpunan A, dapat disajikan: R = {(a, b) | a, b  A}, dalam hal ini a menjadi komponen

(entry) pertama dari relasi R dan b menjadi komponen (entry) kedua dari relasi R.

Letak entry sangat menentukan di sini, karena itu antara (a, b) dan (b, a) berbeda arti.

Sedangkan relasi dari A ke B disajikan dalam pasangan terurut berikut: R = {(a, b)| aA, bB}

Contoh 7

Misalkan A = {a, b, c} dan B = {-1, 0, 1, 2}.

Tentukan pasangan terurut dari relasi di bawah ini:

R₁ relasi dari A ke B yang menyatakan relasi konsonan ke -1 dan vokal ke 1.

R₂ relasi dari B ke A yang menyatakan relasi setiap bilangan genap ke vokal, sedangkan setiap bilangan ganjil ke konsonan.

Jawab:

Pasangan terurut relasi R₁ = {(a, 1), (b, -1), (c, -1)}.

Contoh 8

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}. R relasi atas himpunan A, diberikan dengan rumus berikut:

R = {(a, b)| a ≥ b, dan a, b  A}

Tentukan himpunan pasangan terurut relasi R ini. Jawab:

Pasangan terurut: R={(4, 4), (4, 3), (4, 2), (4, 1), (3, 3), (3, 2), (3, 1), (2, 2), (2, 1), (1, 1)}

3. Matriks Zero-one

Matrik zero-one berlaku untuk relasi atas satu

himpunan akan membentuk matrik bujur sangkar dengan aturan entry pada matriks ditentukan,

sebagai berikut:

jika (a, b)  R, maka baris a dan kolom b diberi

tanda 1,

sedangkan jika (a, b)  R, maka baris a dan

Contoh 9

Sehingga matrik zero-one nya adalah:

≥ 1 2 3 4 1 1 0 0 0 2 1 1 0 0 3 1 1 1 0 4 1 1 1 1

Buatlah matriks zero-one pada Contoh 8 Jawab:

Relasi tersebut dapat ditulis dalam bentuk tabel, sebagai berikut:

M_R=           0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

4. Tabel

Kolom pertama adalah daerah asal Kolom kedua adalah daerah hasil

A

B

1

2

2

4

3

6

4

8

5

10

6

12

7

14

5. Graf Berarah

Relasi pada sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan graf berarah (directed graph atau

digraph)

Graf berarah tidak digunakan untuk menyatakan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.

Anggota himpunan dinyatakan sebagai node dari graph dan relasi dinyatakan oleh kurva berpanah. Jika (2, 1)R, dinyatakan oleh garis beranak panah dari 2 ke 1. Gambar anak panah dari 1 ke 1, 2 ke 2, 3 ke 3, dan 4 ke 4 disebut loop.

1

Contoh 10

Diketahui R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} merupakan relasi pada

himpunan A = {a, b, c, d}.

Relasi R dapat dinyatakan dengan graf berarah sbb:

a b

Relasi atas satu himpunan memiliki sifat-sifat relasi, berikut: Reflexive: a  A, maka (a, a)R

Symmetry: a, b  A, jika (a, b)  R  (b, a)R

Antisymmetry:  a, b  A, jika (a, b)  R  a  b  (b, a)  R {ini setara dengan (a,b)  R  (b,a)  R  a=b}

Transitivity:  a, b, c  A, jika (a, b)  R  (b, c)  R  (a, c)R

Perbedaan antara symmetry dan variasinya Symmetry :  a, b A berlaku aRb  bRa

Nonsymmetry :  a, b  A berlaku (a,b)R  (b,a)  R

Non antisymmetry :  a, b  A berlaku (a,b)R  (b,a)R(ab) Antisymmetry :  a, b  A berlaku (a,b)  R  (b,a)  R  a=b

Jika A = {1, 2, 3, 4}, berikut diberikan relasi atas A: R₁ = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} R₂ = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} R₃ = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2,2), (3, 3), (4, 1), (4,4)} R₄ = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} R₅ = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3,4), (4, 4)} R₆ = {(3, 4)} R₇ = {(1, 1)} R₈ = {(1, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)}

Manakah dari kedelapan relasi di atas yang bersifat: refleksif, simetri, anti simetri, transitif, dan yang bukan simetri sekaligus bukan antisimetri.

Jawab:

Pada relasi-relasi di atas yang bersifat refleksif adalah: R₃, dan R₅. R₁ tidak refleksif karena (3, 3)R₁.

Relasi yang bersifat simetri: R₂, R₃, dan R₇.

Relasi yang bersifat antisimetri: R₄, R₅, R₆, dan R₇. Relasi yang bersifat transitif: R₅, R₆, dan R₇

Relasi Invers (Relasi Balikan)

Misalkan R adalah relasi dari himpunan P ke himpunan Q. Invers (balikan) dari relasi R,

dilambangkan dengan R–1_{, adalah relasi dari Q ke}

P yang didefinisikan oleh

Contoh 12. Misalkan A = {2, 3, 5} dan B = {2, 4, 5, 6, 10}. Jika

kita definisikan relasi R dari A ke B dengan (a, b)  R jika a habis membagi b. maka kita peroleh

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 10), (3, 6), (5, 5), (5, 10) } R–1 _{adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari B ke A dengan}

(b, a)  R–1 _{jika b adalah kelipatan dari a}

maka kita peroleh

1.Operasi Himpunan

Karena relasi merupakan himpunan, maka operasi pada himpunan juga berlaku dalam relasi, dengan pengertian yang sama dengan di konsep himpunan:

Operasi  (intersection) Operasi  (union)

Operasi  (symmetric difference) Operasi - (difference)

Operasi komplemen (komplemen relative terhadap Cartesian

Contoh 13 Jika A = {1, 2, 5, 6}, R₁ = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5)} dan R₂ = {(1, 1), (2, 2), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5, 6)}, tentukan R₁  R₂ , R₁  R₂ , R₁  R₂ , R₁ - R₂ , dan (R₁  R₂)C _. Jawab: R₁  R₂ = {(1, 1), (2, 2), (2, 5)} R₁  R₂ = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5,6)} R₁  R₂ = {(5, 5), (6, 6), (1, 2), (1, 6), (5, 6)} R₁ - R₂ = {(5, 5), (6, 6)} (R₁  R₂)C _{= AxA – (R} 1  R2) = {(1, 5), (2, 1), (2, 6), (5, 1), (5, 2), (6, 1), (6, 2), (6, 5)}

2. Operasi Komposisi

Operasi komposisi merupakan gabungan dari dua buah relasi yang harus memenuhi syarat tertentu, yaitu jika R₁ relasi dari A ke A dan R₂ relasi dari A ke A, maka relasi komposisi R₁ dan R₂, dinyatakan oleh R_2R₁ berarti relasi R₁ diteruskan oleh relasi R₂. Syarat tersebut adalah jika (a, b)  R₁ dan (b, c)  R₂,

Contoh 14:

Dengan menggunakan Contoh 13, tentukan R_2R₁. Jawab:

R_2R₁ = {(1, 1), (1, 2), (1, 6), (2, 2), (2, 5), (5, 6), (2, 6)} Yang diperoleh dengan cara:

Jika A = {1, 2, 5, 6}, R₁ = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5)} dan R₂ = {(1, 1), (2, 2), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5, 6)}, maka:

R₁ R₂ R_2R₁ (2, 5) (1, 1) -(2, 5) (2, 2) -(2, 5) (2, 5) -(2, 5) (1, 2) -(2, 5) (1, 6) -(2, 5) (5, 6) (2, 6)

Sedangkan R_1R₂ = {(1,1), (2, 2), (2, 5), (1, 2), (1, 5), (1,6), (5,6} Yang didapat dari rincian berikut:

Operasi Komposisi dari Domain dan Kodomain yang Berbeda

Tentunya operasi komposisi ini tidak hanya berlaku pada relasi atas satu himpunan saja,

melainkan dapat pula digunakan untuk relasi yang melibatkan dua himpunan. Jika S relasi dari

himpunan A ke himpunan B, dan R relasi dari

himpunan B ke himpunan C, maka R_S, komposisi

S diteruskan ke R adalah jika (a,b)S, dan

Contoh 15

Diberikan: A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, C = {z, x, y}, S={(1, a), (2,a), (2, b), (3, b)}, R = {(a, x), (a, y), (b, z)}. Tentukan R_S.

Jawab:

Untuk menjawab persoalan ini, perhatikan:

R_S = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (2, z), (3, z)}, yang didapat dari tabel berikut:

Generalisasi Operasi Komposisi

Lebih lanjut lagi dengan konsep komposisi relasi atas satu himpunan, dapat dibangun operasi

Contoh 16

Jika A={1, 2, 5, 7} dan R₁={(1,1), (1,2),(1,5),(2,5),(2,2),(5,7)} Tentukan R₁4_! Jawab: R₁2_=R 1R1 ={(1,5),(1,2),(1,7),(2,7),(2,5),(1,1),(2,2)} R₁3_=R 12R1 ={(1,5),(1,2),(1,7),(2,7),(2,5),(1,1),(2,2)} R₁4_=R 13R1 ={(1,5),(1,2),(1,7),(2,7),(2,5),(1,1),(2,2)}

Kebetulan dalam soal ini R₁4_{, R}

Relasi ekivalen adalah relasi yang memenuhi ketiga sifat sekaligus: refleksif, simetri, dan transitif

Contoh 17

Kelas Ekivalen

Jika R relasi ekivalen atas A, dapat didefinisikan

kelas ekivalen dari aA, yaitu:

[a]_R={xA| (a,x)R}

dibaca: semua anggota A yang berelasi dengan aA.

Dua elemen yang direlasikan oleh relasi ekivalen

disebut ekivalen. Artinya jika a R b, maka a ekivalen dengan b. Hal ini disebabkan oleh relasi ekivalen

bersifat simetri, yang berarti bolak-balik, berarti

suatu elemen akan ekivalen dengan dirinya sendiri.

Sedangkan dari sifat transitif, jika (a, b)R dan

(b,c) R, maka didapat a dan c ekivalen juga.

Jika dituliskan b[a]_R , b disebut representative

Contoh 18:

A={-2, -1, 0, 1}

R={(a,b)|a=b atau a=-b, dan a, bA }

Tentukan semua kelas ekivalen yang terbentuk. Jawab:

R={(-2,-2), (-1,-1), (-1,1), (0,0), (1,1), (1,-1)} [-1]_R= {-1, 1}

[1]_R={-1, 1}

Akibatnya [1]=[-1], berarti 1 dan -1 ekivalen. [0]_R={0}

Contoh 19:

A={0, 1, 2, 6, 9}

R={(a, b)| 2 habis membagi a – b, dan a, b  A} Tentukan semua kelas ekivalen yang terbentuk.

Jawab:

R={(0,0), (0,2), (0,6), (1,1), (1, 9), (2, 0), (2, 2), (2, 6), (6,0), (6,2), (6,6), (9,1), (9,9)}

[0]=[2]=[6]={0, 2, 6} [1]=[9]={1, 9}

Partisi

Class ekivalen membentuk partisi dari himpunan A. Definisi Partisi dari himpunan A adalah sub-sub

himpunan A yang mempunyai sifat:

jika A₁, A₂, ..., A_n  A, maka dipenuhi dua hal

sekaligus:

A₁A₂...A_n = A {keseluruhan menjadi satu}

A_iA_j = Ø, jika ij, dan i, j= 1, 2, ..., n{tak ada

Contoh 20:

Apakah kelas-kelas ekivalen pada Contoh 18 memenuhi sifat partisi?

Jawab:

1) [1][-2][0]= A

2) [1][-2]=Ø, [1][0]=Ø, dan [0][-2]=Ø

Jadi, partisi A terhadap relasi R adalah: [1], [-2], dan [0]

Contoh 21:

Jika A = {-2, -1, 3, 4, 5, 8} dan relasi R = {(a, b)|2 habis membagi (a-b), a, bA}. Tentukan Partisi dari A terhadap relasi R.

Jawab:

Partisi dari A terhadap relasi R adalah: [-2]={-2, 4, 8}

Relasi atas S yang memenuhi sifat refleksif,

antisimetri, dan transitif disebut Relasi Terurut

Parsial. Himpunan S bersama-sama dengan Relasi Terurut Parsial R disebut Poset (Partially Ordered

Set), ditulis (S,R).

Contoh 22:

Apakah A = {1, 2, 3, 4} dengan relasi R = {(a, b)|

Jawab:

Kita dapatkan matrik zero-one sebagai berikut:

Karena pada diagonal utama semua entry bernilai 1, maka R bersifat refleksif

Karena untuk semua entry untuk i ≠ j berlaku jika a_ij = 1, dan a_ji = 0, berarti relasi R bersifat antisimetri.

Untuk memperlihatkan sifat transitif digunakan diagram digraph:

a≤ b dan b≤c, maka didapat a≤c jadi bersifat transitif.

Terlihat bahwa setiap (a, b)  R dan (b, c)  R, maka selalu ada (a,c)  R, berarti transistif.

Contoh 23:

Apakah relasi berikut:

A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 18} dengan R = {(a, b)| a

habis membagi b, dan a, b  A}

Contoh 25:

Apakah poset (Z, ) termasuk totally ordered?

Jawab:

Contoh 26:

Apakah poset (Z+_{, |) termasuk totally ordered?}

Jawab:

bukan totally ordered karena ada anggota yang

incomparable, contohnya 5 dan7 (5 tidak habis

Pada Relasi Terurut Parsial, digraph dapat

disederhanakan sehingga memberikan kemudahan dalam menggambarkannya. Dalam hal ini Hasse telah membuat prosedurnya dan dikenal dengan nama Diagram Hasse.

Untuk membentuk Diagram Hasse, lakukan langkah-langkah berikut: Buat digraph-nya

Buang semua loop

Buang semua panah yang dibentuk dari sifat transitif Gambarkan garis tanpa anak panah

Contoh 27:

Gambarkan diagram Hasse untuk Poset (A, R) dengan :

A = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 18} dan R = {(a, b)| a habis

Contoh 28:

Gambarkan diagram Hasse untuk Poset ((S), R)

dengan :

S={a, b, c}

(S)={, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a,

b, c}}

Contoh 29:

Diberikan:

S={2, -4, 5, 7, -10} dan R = {(a, b)| a  b, a, bS}

a. Gambarkan diagram Hassenya.

Contoh 30

Diberikan: A = {1, 2, 3}, S=AxA dan R = {(B, C):

B=(x, y), C=(w, z), x|w, y|z, dan B, C  S}

a. Gambarkan Diagram Hasse dari poset (A, R) di atas.

b. Tentukan elemen minimal dan eleman maksimalnya.

Jawab: S={(1,1), (1,2), (1,3),(2,1), (2,2), (2,3),(3,1), (3,2), (3,3)} R (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) (1,1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1,2) 0 1 0 0 1 0 0 1 0 (1,3) 0 0 1 0 0 1 0 0 1 (2,1) 0 0 0 1 1 1 0 0 0 (2,2) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 (2,3) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 (3,1) 0 0 0 0 0 0 1 1 1 (3,2) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 (3,3) 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Refleksif karena entry pada diagonal utama semuanya adalah 1

Antisimetri karena setiap ada 1 pada entry baris ke-i dan kolom ke-j maka entry pada baris ke-j dan

kolom ke-i bernilai 0

Transitif, karena jika a|b dan b|c maka a|c,

akibatnya jika (A, B)  R dan (B, C)  R, misalkan

A=(a, b), B=(c, d) dan C=(e,f), didapat:

a|c, c|e, maka a|e dan b|d, d|f, maka b|f, sehingga

58Proses Pembentukan Diagram Hasse (A, R): (a) Digraph, (b) buang loop, (c) buang busur transitif, (d) buang panah, diagram Hasse

Dari diagram Hasse diperoleh:

Elemen maksimal: {(3,3), (3, 2), (2,2), (2,3)} Elemen minimal: {(1,1)}