ATURAN RANTAI makanan dan jaring

ATURAN RANTAI

Oleh:

Kelompok 5

1. Ika Indri Priyana 06081181320005

2. Suep 06081181320016

3. Norma Oktika Rini 06081181320021

4. Iska Wolandari 06081181320038

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

KATA PENGANTAR

Assalammualaikum W.W.

Segala puji bagi Allah Swt., Tuhan Seluruh Alam yang telah memberikan kami kesempatan dan segala nikmat-Nya dalam menyelesaikan makalah tugas mata kuliah Kalkulus Lanjut yang berjudul “Aturan Rantai” ini.

Kami menyadari bahwa makalah ini masih banyak kekurangan. Untuk itu, segala bentuk kritik dan saran akan kami terima guna kemajuan dan kebaikan ringkasan materi ini.

Semoga makalah ini bermanfaat bagi siapa saja yang membutuhkannya.

Wassalamualaikum W.W.

Indralaya, Desember 2014

Penulis

DAFTAR ISI

Halaman Sampul i

Kata Pengantar ii

Daftar Isi iii

Aturan Rantai 1

A. Aturan Rantai Fungsi Dua Variabel 2

B. Aturan Rantai Fungsi Tiga Variabel 5

Turunan Fungsi Implisit 5

ATURAN RANTAI

Misal F(x)=(2x+1)5, amati bahwa F berupa fungsi komposisi. Untuk menghitung F '(x) yang berupa turunan dari F(x) , ada beberapa aturan yang harus dipahami, antara lain aturan penjumlahan, aturan kali, dan aturan rantai. Aturan rantai adalah aturan untuk mencari turunan fungsi komposisi.

Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposit satu variabel ialah sebagai berikut.

Jika y=f

(

x(t)

)

dengan f dan x merupakan fungsi yang terdefinisi dan dapat diturunkan, maka dalam notasi Leibniz dapat ditulis:

dy dt=

dy dx∙

dx dt

Atau dalam notasi aksennya ialah:

(f∘g)'(x)=f'

(

g(x)

)

g'(x)

Jadi, F '(x) untuk F(x)=(2x+1)5 adalah

F '(x)=5(2x+1)4∙2

F '(x)=10(2x+1)4

Contoh:

1. Jika y=

(

2x2−4x+1

)

60, carilah D_xy ! ( D_x y adalah diferensial dari y atau F '(x) dari F(x)

Penyelesaian :

Kita pikirkan y sebagai pangkat ke- 60 suatu fungsi x , yakni y=u60 _{dan u}

=2x2

−4x+1

fungsi sebelah luar f(x) = u60 dan fungsi sebelah dalam adalah

u=g(x)=2x2−4+1 D_x y = Dxf

(

g(x)

)

= f (u)g(u)

=

(

60u59

)

(4x−4)

= 60

(

2x2−4x+1

)

59(4x−4)

2. Jika f(x)=sin(cos(tanx)), maka carilah f ’(x)!

Penyelesaian:

f ’(x)=cos(cos(tanx)) d

dxcos(tanx) x

tan¿

x

tan¿ −sin⁡¿ d

dx¿

¿cos(cos(tanx))¿

¿−cos(cos(tanx))sin(tanx)se c2_x

3.

(cos

(

x2+5x+1

)

4) 5 sin3¿

D_x¿

adalah….

Penyelesaian:

D_x(cos

(

x2

+5x+1

)

4)

D_x

¿

(

x2_+5x+1

₎

4_.¿

¿−sin¿ ¿−sin

(

x2

+5x+1

)

4.4

(

x2

+5x+1

)

3.(2x+5) ¿−(8x+20)

(

x2

+5x+1

)

3.sin

(

x2

+5x+1

)

4 ⁡

A. Aturan Rantai untuk Fungsi Dua Variabel

Menurut Varberg, dkk. (2007: 265) ada dua versi aturan rantai untuk fungsi dua variabel.

Versi Pertama jika z=f(x , y) dengan x dan y adalah fungsi t

, maka masuk akal untuk menanyakan dz

dt , dan seharusnya ada rumus

untuknya.

2 Teorema A | Aturan Rantai

Misalkan x=x(t) dan y=y(t) terdeferensiasikan di t dan misalkan z=f(x , y) terdeferensiasikan di

(

x(t), y(t)

)

. Maka

Contoh: Teorema B | Aturan Rantai

Misalkan x=x(s , t) dan y=y(s, t) mempunyai turunan-turunan parsial pertama di (s ,t) dan misalkan z=f(x , y) terdeferensiasikan di (x(s , t), y(s ,t)) . Maka z=f(x(s , t), y(s ,t)) mempunyai turunan-turunan parsial pertama yang diberikan oleh:

B. Aturan Rantai untuk Fungsi Tiga Variabel menyatakan fungsi satu variabel, sehingga berdasarkan aturan rantai diperoleh:

Jika z=0 maka F(x , y)=0 mendefinisikan secara implisit sebagai fungsi

x dan (¿) menjadi 0=∂ F

∂ x + ∂ F ∂ y

∂ y

∂ x ↔ ∂ y ∂ x=

−∂ F ∂ x ∂ F ∂ y

asalkan

∂ F ∂ y ≠0

Contoh:

1. Jika x2y+y2−x3=0 , tentukan dy

dx dengan menggunakan metode

pendiferensialan implisit? Penyelesaian:

Turunan dari y terhadap dengan menggunakan pendiferensialan implicit sebagai berikut. Kedua ruas (kiri dan kanan) diturunkan terhadap x.

d dx

(

x

2

y+y2−x3

)

= d

dx(0)

2xy+x2dy

dx+2y dy dx−3x

2

=0

(

x2+2y

)

dy

dx−3x

2

+2xy=0 Sehingga diperoleh

dy dx=

DAFTAR PUSTAKA

Varberg, Dale, dkk. 2007. Kalkulus⁡Edisi⁡Kesembilan⁡Jilid⁡2.⁡Jakarta: Erlangga.