KONRAD BURNIK
1. zadatak
Zadatak 1. Neka je(ak, ak−1, . . . , a1, a0)b zapis broja s ciframaak, . . . , a0 u bazi
b. Za cijele brojeve 2 ≤b ≤16, 0 ≤k≤8 i 2≤ n≤b−1 odredite sva rjeˇsenja jednakosti(ak, ak−1, . . . , a1, a0)b =n(a0, a1, . . . , ak−1, ak)b.
Rjesenje 1. Potrebno je podijeliti pretragu za svaku bazubposebno.
Cilj je saznati neˇsto o strukturi brojeva koji zadovoljavaju gornju jednakost. Za dani n, brojeve ˇzelimo izgraditi induktivno po broju znamenki k, tj. od onih s manjim brojem znamenki prema onima s ve´cim brojem znamenki, a da i dalje vrijedi jednakost za taj isti n. Za testiranje jednakosti definiramo funkciju:
Test[n_, b_] := (FromDigits[IntegerDigits[n*#, b], b] == FromDigits[Reverse[IntegerDigits[#, b]], b] &)
koju koristimo kao predikat pri selekciji.
Za fiksnu bazu b, 2 ≤b ≤16, najprije traˇzimo brojeve do najviˇse 5 znamenki (k= 4) i brojeven, 2≤n≤b−1 koji zadovoljavaju jednakost. Brojeve generiramo pomo´cuTable, po broju znamenki, i zatim radimo selekciju onih koji zadovoljavaju
Test[n,b].
Nakon ˇsto generiramo sve brojeve do 5 znamenki koji zadovoljavajuTest[n,b], iz njih ´cemo uoˇciti da za fiksni b i n, prva i zadnja znamenka traˇzenih brojeva se ne mijenjaju kada se broj znamenki pove´cava. To svojstvo koristimo kao osnovu za dobivanje brojeva s ve´cim brojem znamenki.
Drugo ˇsto moˇzemo primjetiti jest da se ˇcak i odredeni prefiksi i sufiksi broja ne mijenjaju kad se broj znamenki pove´cava. Tako moˇzemo dobiti traˇzene brojeve s joˇs ve´cim brojem znamenki.
U idu´coj tablici dan je popis svih rjeˇsenja dobiven ovim postupkom: (za n= 1 dobivamo simetriˇcne brojeve u danoj bazi.)
(* baza 2 *)
Nema takvih brojeva za n>1.
(* baza 3 *)
(*n=2*)
{ 1012, 10212, 102212, 1022212, 10121012, 10222212, 101201012, 102222212 }
(* baza 4*) (*n=3*)
{ 1023, 10323, 103323, 1033323, 10231023, 10333323, 102301023, 103333323 }
(*baza 5*) (*n=2*)
{ 13, 143, 1313, 1443, 13013, 14443, 130013, 131313, 143143, 144443, 1300013, 1314313, 1430143, 1444443, 13000013, 13013013, 13131313, 13144313, 14300143, 14313143, 14431443, 14444443, 130000013, 130143013, 131301313, 131444313, 143000143, 143143143, 144301443, 144444443 }
(*n=4*)
{ 1034, 10434, 104434, 1044434, 10341034, 10444434, 103401034, 104444434 }
(* baza 6 *) (*n=2*)
{ 2134, 21534, 215534, 2155534, 21342134, 21555534, 213402134, 215555534 }
(*n=5*)
{ 1045, 10545, 105545, 1055545, 10451045, 10555545, 104501045, 105555545 }
(* baza 7 *) (*n=3*)
{ 15, 165, 1515, 1665, 15015, 16665, 150015, 151515, 165165, 166665, 1500015, 1516515, 1650165, 1666665, 15000015, 15015015, 15151515, 15166515, 16500165, 16515165, 16651665, 16666665, 150000015, 150165015, 151501515, 151666515, 165000165, 165165165, 166501665, 166666665 }
(*n=6*)
{ 1056, 10656, 106656, 1066656, 10561056, 10666656, 105601056, 106666656 }
(* baza 8 *) (*n=2*)
275275, 277775, 2500025, 2527525, 2750275, 2777775, 25000025, 25025025, 25252525, 25277525, 27500275, 27525275, 27752775, 27777775, 250000025, 250275025, 252502525, 252777525, 275000275, 275275275, 277502775, 277777775 }
(*n=3*)
{ 2156, 21756, 217756, 2177756, 21562156, 21777756, 215602156, 217777756 }
(*n=5*)
{ 1015, 11165, 102515, 1354535, 1016015, 1127665, 11176165, 11277665, 10151015, 10252515, 111661165, 112777665 }
(*n=7*)
{ 1067, 10767, 107767, 1077767, 106701067, 107777767, 10671067, 10777767 }
(* baza 9 *) (*n=2*)
{ 3256, 32856, 328856, 3288812, 32563256, 32888856, 325603256, 328888856 }
(*n=4*)
{ 17, 187, 1717, 1887, 17017, 18887, 170017, 171717, 187187, 188887, 1700017, 1718717, 1870187, 1888887, 17000017, 17017017, 17171717, 17188816, 18700187, 18717187, 18871887, 18888887, 170000017, 170187017, 171701717, 171888717, 187000187, 187187187, 188701887, 188888887 }
(*n=8*)
{ 1078, 10878, 108878, 1088878, 10781078, 10888878, 107801078, 108888878 }
(* baza 10 *) (*n=4*)
{ 2178, 21978, 219978, 2199978, 21782178, 21999978, 217802178, 219999978 }
(*n=9*)
108901089, 109999989 }
(* baza 11 *) (*n=2*)
{ 37, 3a7, 3737, 3aa7, 37037, 3aaa7, 370037, 373737, 3a73a7, 3aaaa7, 3700037, 373a737, 3a703a7, 3aaaaa7, 37000037, 37037037, 37373737, 373aa737, 3a7003a7, 3a7373a7, 3aa73aa7, 3aaaaaa7, 370000037, 3703a7037, 373703737, 373aaa737, 3a70003a7, 3a73a73a7, 3aa703aa7, 3aaaaaaa7 }
(*n=3*)
{ 14, 28, 154, 2a8, 1414, 1554, 1694, 2828, 2968, 2aa8, 14014, 15554, 16a94, 28028, 29568, 2aaa8,
140014, 141414, 142814, 2122a3, 155554, 156954, 168294, 169694, 16aa94, 280028, 281428, 282828, 294168, 295568, 296968, 2a82a8, 2a96a8, 2aaaa8, 1400014, 1415414, 142a814, 1540154, 1555554, 156a954, 1680294, 1695694, 16aaa94, 2800028, 2815428, 282a828, 2940168, 2955568, 296a968, 2a802a8, 2a956a8, 2aaaaa8, 14000014, 14014014, 14028014, 14141414, 14155414, 14169414, 14282814, 14296814, 142aa814, 15400154, 15414154, 15428154, 15541554, 15555554, 15569554, 15682954, 15696954, 156aa954, 16800294, 16814294, 16828294, 16941694, 16955694, 16969694, 16a82a94, 16a96a94, 16aaaa94, 28000028, 28014028, 28028028, 28141428, 28155428, 28169428, 28282828, 28296828, 282aa828, 29400168, 29414168, 29428168, 29541568, 29555568, 29569568, 29682968, 29696968, 296aa968, 2a8002a8, 2a8142a8, 2a8282a8, 2a9416a8, 2a9556a8, 2a9696a8, 2aa82aa8, 2aa96aa8, 2aaaaaa8, 140000014, 140154014, 1402a8014, 141401414, 141555414, 1416a9414, 142802814, 142956814, 142aaa814, 154000154, 154154154, 1542a8154, 155401554, 155555554, 1556a5819, 156802954, 156956954, 156aaa954, 168000294, 168154294, 1682a8294, 169401694, 169555694, 1696a9694, 16a802a94, 16a956a94, 16aaaaa94 }
(*n=5*)
(*n=7*)
{ 118, 1298, 11918, 12a98, 118118, 12aa98, 1180118, 1191918, 1299298, 12aaa98, 11800118, 11929918, 12981298, 12aaaa98, 129801298, 129919298, 12a992a98, 12aaaaa98, 118000118, 118118118, 119191918, 1192a9918 }
(*n=10*)
{ 109a, 10a9a, 10aa9a, 10aaa9a, 109a109a, 10aaaa9a, 109a0109a, 10aaaaa9a }
(* baza 12 *) (*n=2*)
{ 4378, 43b78, 43bb78, 43bbb78, 43784378, 43bbbb78, 437804378, 43bbbbb78 }
(*n=3*)
{ 3289, 32b89, 32bb89, 32bbb89, 32893289, 32bbbb89, 328903289, 32bbbbb89 }
(*n=5*)
{ 219a, 21b9a, 21bb9a, 21bbb9a, 219a219a, 21bbbb9a, 219a0219a, 21bbbbb9a }
(*n=11*)
{ 10ab, 10bab, 10bbab, 10bbbab, 10ab10ab, 10bbbbab, 10ab010ab, 10bbbbbab }
(* baza 13 *) (*n=5*)
{ 18, 198, 1818, 1998, 18018, 19998, 180018, 181818, 198198, 199998, 1800018, 1819818, 1980198, 1999998, 18000018, 18018018, 18181818, 18199818, 19800198, 19818198, 19981998, 19999998, 180000018, 180198018, 181801818, 181999818, 198000198, 198198198, 199801998, 199999998 }
(*n=6*)
1cccccccb }
(*n=12*)
{ 10bc, 10cbc, 10ccbc, 10cccbc, 10bc10bc, 10ccccbc, 10bc010bc, 10cccccbc }
(* baza 14 *)
(*n=2*)
{ 49, 4d9, 4949, 4dd9, 49049, 4ddd9, 490049, 494949, 4d94d9, 4dddd9, 4900049, 494d949, 4d904d9, 4ddddd9, 4d9004d9, 4d9494d9, 4dd94dd9, 4dddddd9, 49000049, 49049049, 49494949, 494dd949, 4d90004d9, 4d94d94d9, 4dd904dd9, 4ddddddd9, 490000049, 4904d9049, 494904949, 494ddd949 }
(*n=3*)
{ 1a735, 1a8c35, 1a8dc35, 1a8ddc35, 1a8dddc35 }
(*n=4*)
{ 2b, 2db, 2b2b, 2ddb, 2b02b, 2dddb, 2b002b, 2b2b2b, 2db2db, 2ddddb, 2b0002b, 2b2db2b, 2db02db, 2dddddb, 2b00002b, 2b02b02b, 2b2b2b2b, 2b2ddb2b, 2db002db, 2db2b2db, 2ddb2ddb, 2ddddddb, 2b000002b, 2b02db02b, 2b2b02b2b, 2b2dddb2b, 2db0002db, 2db2db2db, 2ddb02ddb, 2dddddddb }
(*n=6*)
{ 21bc, 21dbc, 21ddbc, 21dddbc, 21bc21bc, 21ddddbc, 21bc021bc, 21dddddbc }
(*n=9*)
{ 1419b, 142c9b, 142dc9b, 142ddc9b, 1419c419b, 142dddc9b }
(*n=13*)
{ 10cd, 10dcd, 10ddcd, 10dddcd, 10cd10cd, 10ddddcd, 10cd010cd, 10dddddcd }
(* baza 15 *)
(*n=2*)
549a0549a, 54eeeee9a }
(*n=3*)
{ 3b, 3eb, 3b3b, 3eeb, 3b03b, 3eeeb, 3b003b, 3b3b3b, 3eb3eb, 3eeeeb, 3b0003b, 3b3eb3b, 3b00003b, 3b03b03b, 3b3b3b3b, 3b3eeb3b, 3eb003eb, 3eb3b3eb, 3eeb3eeb, 3eeeeeeb, 3b3b03b3b, 3b3eeeb3b, 3eeb03eeb, 3eeeeeeeb, 3b000003b, 3b03eb03b, 3eb0003eb, 3eb3eb3eb }
(*n=4*)
{ 32bc, 32ebc, 32eebc, 32eeebc, 32bc32bc, 32eeeebc, 32bc032bc, 32eeeeebc }
(*n=7*)
{ 1d, 1ed, 1d1d, 1eed, 1d01d, 1eeed, 1d001d, 1d1d1d, 1ed1ed, 1eeeed, 1d0001d, 1d1ed1d, 1ed01ed, 1eeeeed, 1d00001d, 1d01d01d, 1d1d1d1d, 1d1eed1d, 1d1d01d1d, 1d1eeed1d, 1d000001d, 1d01ed01d }
(*n=11*)
{ 102b, 112db, 103b2b, 113ddb, 102c02b, 113eddb, 102b102b, 103b3b2b, 112ec2db, 113eeddb, 112dc12db, 113eeeddb }
(*n=14*)
{ 10de, 10ede, 10eede, 10eeede, 10de10de, 10eeeede, 10de010de, 10eeeeede }
(* baza 16 *)
(*n=3*)
{ 43bc, 43fbc, 43ffbc, 43fffbc, 43bc43bc, 43ffffbc, 43bc043bc, 43fffffbc }
(*n=7*)
{ 21de, 21fde, 21ffde, 21fffde, 21de21de, 21ffffde, 21de021de, 21fffffde }
(*n=15*)
2. zadatak
Zadatak 2. Odredite volumen tijela od svih toˇcaka prostora ˇcije koordinate(x, y, z) zadovoljavaju uvjet:
(x2+y2+z2+ 8)2≤36(x2+y2).
Rjesenje 2. Uvedimo najprije supstituciju:
r2=x2+y2
polazna nejednakost sad postaje:
(r2+z2+ 8)2≤36r2
Zbogr2+z2+ 8≥0 i 6r≥0, slijedi
r2+z2+ 8≤6r
Dopunjavanjem do kvadrata dobijemo (r−3)2+z2≤1. Volumen se dobije rotacijom tijela definiranog s (x−3)2+z2≤1 uxz-ravnini okoz-osi. Imamo dakle, volumen
Sto se u Mathematici lako izraˇcuna naredbom:
V = 2*Integrate[Sqrt[1 - (x - 3)^2]*(2*Pi*x), {x, 2, 4}] 6*Pi^2
3. zadatak
Zadatak 3. Neka jenpozitivan neparan cijeli broj i neka jeθrealan broj takav da je πθ iracionalan broj. Neka jeak = tan(θ+
kπ
n)zak= 1,2, . . . , n. Dokaˇzite da je
a1+a2+· · ·+an
a1a2. . . an uvijek cijeli broj i odredite njegovu vrijednost.
Rjesenje 3. Traˇzimo polinomn-tog stupnja ˇciji korijeni su brojeviak. Promotrimo kompleksni brojω= cos(θ) +isin(θ). Korijeni jednadˇzbe
µ1 +ix
n), ˇsto se lako moˇze provjeriti uvrˇstavanjem. Dakle, brojeviak su korijeni polinomap(x) definiranog s:
Suma korijena ovog polinoma jednaka−hxn−1
a to je uvijek cijeli broj jer je prema pretpostavci ncijeli broj.
4. zadatak
Zadatak 4. Dokaˇzite da krivuljax3+ 3xy+y3= 1sadrˇzi samo jedan skup od tri razliˇcite toˇckeA, B iC koje su vrhovi jednakostraniˇcnog trokuta i nadite njegovu povrˇsinu.
Rjesenje 4. Najprije sredujemo zadani izraz naredbom:
Reduce[x^3 + 3x*y + y^3 == 1] x == (1 - y) ||
x == (-1 + y - Sqrt[3]*Sqrt[-1 - 2*y - y^2])/2 || x == (-1 + y + Sqrt[3]*Sqrt[-1 - 2*y - y^2])/2
Krivulja se sastoji dakle od pravca x = 1−y i ostatka koji dalje reduciramo. Dodajemo joˇs i uvjet na nenegativnost izraza pod korijenom.
Reduce[x == (-1 + y - Sqrt[3]*Sqrt[-1 - 2*y - y^2])/2 &&
U oba sluˇcaja dobili smo toˇckuA:= (−1,−1) kao rjeˇsenje. Dakle jedan vrh trokuta je sigurno toˇcka A. Preostale dvije se nalaze na pravcup:y= 1−x. Jer se radi o jednakostraniˇcnom trokutu slijedi da te toˇcke jedinstveno odredene.
tA = {-1, -1}; p = {1, 1, -1};
Da bi pronaˇsli povrˇsinu trokuta, potrebno je prona´ci duljinu jedne njegove stranice
ai pripadne visine na tu stranicuha, iz nasuprotnog vrha, tj. za povrˇsinu trokuta vrijedi dobro poznata formula: P = a·ha/2. Ovdje je zadan jednakostraniˇcan trokut pa sve visine moˇzemo oznaˇciti s h.
U Mathematici definiramo slijede´ce pomo´cne funkcije:
(* Vraca projekciju to\v{c}ke (p,q) na pravac s koeficijentima (a,b,c) *) projekcija[{p_, q_}, {a_, b_, c_}] :=
FS[{(p*b^2 - a*c - a*b*q) / (b^2 + a^2), (q*a^2 - b*c - a*b*p) / (b^2 + a^2)}]
(* Vraca Euklidsku udaljenost tocaka (a,u) i (b,v) *) udaljenost2t[{a_,u_},{b_,v_}]:=
Sqrt[FS[(b-a)^2+(v-u)^2]];
I zadajemo redom naredbe:
tB = projekcija[tA, p] (* projekcija A na pravac p daje noziste visine *) {1/2, 1/2}
h = udaljenost2t[tA, tB]; (* visina trokuta *) 3 / Sqrt[2]
Solve[(a/2)^2 + x^2 == a^2, x] (* opci izraz za visinu *) {{x -> -(Sqrt[3]*a)/2}, {x -> (Sqrt[3]*a)/2}}
Solve[h == (Sqrt[3]*a)/2, a] (* za zadanu visinu racunaj stranicu *) {{a -> Sqrt[6]}}
P = Sqrt[6]*h/2 (* povrsina *) (3*Sqrt[3])/2
Dakle, traˇzena povrˇsina jednaka je: 3√23.
5. zadatak
Zadatak 5. (1) Ako jetk = 1 + 2 +· · ·+k, koliko jeP2 n k=1(−1)
k
tk? Pronadite joˇs neke formule i zakonitosti za brojeve tk.
(2) Ako jehk = 1 +12+13+· · ·+1k, koliko je P∞k=1 hk+1
k(k+1)? Pronadite joˇs neke formule i zakonitosti za brojeve hk.
Rjesenje 5. Brojevitk su trokutasti brojevi koje definiramo uMathematici s
t[k_]:= k*(k+1)/2
Prvih nekoliko ˇclanova niza tk:
Table[t[k], {k, 1, 10}]
{1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55}
SumaP2n
k=1(−1) k
tk=n(n+ 1) se lako moˇze provjeriti uMathematici sa:
ˇ
Sto je jednako 2tn. Ako izraˇcunamo omjertk+1/tkdobijemok/(k+2). P n k=1
k k+2 =
n+ 2hn
Sum[ t[k+1] / t[k], {k, 1, n}] == n + 2*HarmonicNumber[n] True
Brojevi hk su harmonijski brojevi i za njih postoji gotova funkcija u Mathematici
HarmonicNumber[n] koja vra´can-ti harmonijski broj. Prvih nekoliko ˇclanova niza
hk:
Table[HarmonicNumber[k], {k, 1, 10}] {1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20, 363/140, 761/280, 7129/2520, 7381/2520}
U Mathematici dokazujemo da jeP∞ k=1
hk+1
k(k+1) = 2.
Limit[Sum[HarmonicNumber[k+1]/(k*(k+1)), {k, 1, n}], n->Infinity] == 2 True
Suma potencija trokutastih brojeva moze se prikazati kao zbroj harmonijskih bro-jeva reda−pi−2p.
S[n_, p_]:=(HarmonicNumber[n,-2 p]+HarmonicNumber[n,-p]) / (2^p) S[n, t[k]]
(HarmonicNumber[n, -(k*(1 + k))] +
