EVENT YANG SALING BEBAS (independent events)

EVENT YANG SALING BEBAS EVENT YANG SALING BEBAS (independent events)

(independent events)

Definisi

Definisi : Event A dan B dikatakan saling bebas jika : P (A ∩ B) = P(A). P(B). : Dalam hal lain A dan B disebut event yang tidak saling bebas

(dependent)

Istilah lain bagi Independent events adalah : Statistically Independent

Stochastically Independent atau Independent in a probabillity sense

WARNING!

MEE/MDE = Statistically Independent Events

Stochastically Independent Events Probabilistically Independent Events

or or

THIS IS A FALLACY

MEE / MDE can never be stat MEE / MDE can never be stat independent event and vice versa independent event and vice versa

Example: P (A) = 0,4 P (B) = 0,3 Example: P (A) = 0,4 P (B) = 0,3

IF A, B MEE/MDE

IF A, B MEE/MDE ÎÎ A A ∩∩ B = B = Φ Φ

P(A P(A ∩∩ B) = P (B) = P (ΦΦ) = 0) = 0 IF A, B STAT. Independent

IF A, B STAT. Independent ÎÎ P(A P(A ∩∩ B)= P(A).P(B)B)= P(A).P(B) P(A P(A ∩∩ B) = (0, 4) (0,3) = 0,12 B) = (0, 4) (0,3) = 0,12 ≠≠ 00

MEE Î E₁ ∩ E₂ = Φ P (E₁ ∩ E₂) = 0

P (E₁ ∩ E₂) = 0 = P (E₁) + P(E₂) =

Events E₁ and E₂

Not MEE

P (E₁∪E₂) = P(E₁) + P(E₂) – P(E₁∩E₂)

Dependent Independent

P (E₁ ∩ E₂) = P(E₁)P(E₂| E₁)

P (E ∩ E ) = P(E )P(E )

MUTUALLY STATISTICALLY INDEPENDENT MUTUALLY STATISTICALLY INDEPENDENT

Definisi

Definisi : Misalkan (Ω, S, P) Probability Space dan andaikan pula A, B, C ∈ S. : maka, A, B dan C disebut Mutually Independent / Statistically

Independent Event, Jika : P (A ∩ B) = P (A) . P (B) P (A ∩ C) = P (A) . P (C)

P (B ∩ C) = P (B) . P (C), dan P (A ∩ B ∩ C) = P (A) . P (B) . P (C) TEOREMA :

Jika E dan F dua events yang saling bebas (independent) Maka : E dan F

F dan E juga saling bebas

E dan F

BUKTIKAN !!!

REALIBILITY REALIBILITY

CC₁₁ CC₂₂

Andaikan

Andaikan : W: W₁₁ event event yang

yang menyatakanmenyatakan bekerjanya

bekerjanya komponen komponen CC_ii

P (WP (W₁₁) ) →R (C→R (C₁₁)) P (WP (W₂₂) ) →R (C→R (C₂₂))

P(WP(W₁₁∩W∩W₂₂) ) →→ R (SS)R (SS)

Realibilitas Realibilitas

daridari

duadua KomponenKomponen

SERIES SERIES

Parallel Parallel

P (BekerjanyaP (Bekerjanya Sistem

Sistem seri)seri)

⎪⎪⎪⎪

P (WP (W₁₁ ∩∩ WW₂₂) = ) = P (WP (W₁₁) P ( W) P ( W₂₂))

P (P (BekerjanyaBekerjanya SistemSistem Parallel) = P (WParallel) = P (W₁₁ ∪ ∪ WW₂₂) = R (sp)) = R (sp)

= 1 –= 1 – P (FP (F₁₁ ∩∩ FF₂₂)) FF_ii komplemenkomplemen daridari WW_ii

P (WP (W₁₁ ∪ ∪ WW₂₂) = 1 ) = 1 –– P (FP (F₁₁). P(). P( FF₂₂))

WW₁₁ dandan WW₂₂ salingsaling bebasbebas →→ FF₁₁ dandan FF₂₂ jugajuga independentindependent CC₁₁

CC₂₂

Dalam

Dalam RangkaianRangkaian Listrik

Listrik

Systems

Systems dapatdapat dirangkain

dirangkain secarasecara

Serie

Serie ParallelParallel CompComp

GbrGbr dibawahdibawah ini, ini, adaada n n komponen

komponen masing-masing- masing

masing dirangkaikandirangkaikan

CC₁₁ CC₂₂ CC₃₃ CC_nn a.a.

C1C1

CC₂₂ CC₃₃

CC_nn b.b.

CC₁₁ CC₂₂

CC₃₃ Lihat

Lihat suatusuatu sistemsistem dengandengan tigatiga kompoenkompoen CC₃₃ CC₁₁ CC₂₂

Misalkan

Misalkan : : WW_ii suatusuatu event yang event yang menyatakanmenyatakan bekerjanyabekerjanya komponen

komponen keke--I yang I yang dinyatakandinyatakan dengandengan peluangpeluang P (P (WW_ii) = p) = p Andaikan

Andaikan W W menyatakanmenyatakan event bekerjanyaevent bekerjanya sistemsistem

Selanjutnya

Selanjutnya, , definisikandefinisikan RealibilitasRealibilitas (realibility(realibility) ) daridari sistemsistem yang yang dinotasikan

dinotasikan sebagaisebagai P(W).P(W).

Permasalahannya

Permasalahannya, , HitungHitung P(W)?P(W)?

Catatan

Catatan : masing: masing--masingmasing komponenkomponen adalahadalah salingsaling bebasbebas P(W) = P (W

P(W) = P (W₁₁ ∪∪ WW₂₂ ) = P(W) = P(W₁₁) + P(W) + P(W₂₂) -) - P (WP (W₁₁ ∩∩ WW₂₂ )) Selanjutnya

Selanjutnya, , definisikandefinisikan reliabilitasreliabilitas daridari komponenkomponen ke-ke-I yang I yang dinyatakandinyatakan sebagai

sebagai berikutberikut : R: R_ii ≜≜ P (AP (A_ii) ) i = 1, 2 dimanai = 1, 2 dimana :: Event A

Event A_ii ⇒⇒ komponenkomponen keke 1 1 dalamdalam kondisikondisi bekerja/operasionalbekerja/operasional AA_ii = MEE= MEE

Reliabilitas

Reliabilitas daridari sistemsistem SS₁₁ dinyatakandinyatakan : R: R_S1S1= R= R₁₁ RR_{2 2} = P(A= P(A₁₁)P(A)P(A₂₂)) Bagaimana

Bagaimana untukuntuk sistemsistem yang terdiriyang terdiri n komponenn komponen??

∏ ( )

=

=

→ R_s ⁿ P A_i

Andaikan

Andaikan peluangpeluang kegagalankegagalan komponenkomponen CC_kk adalahadalah PP_kk; ; k = 1,..n.

k = 1,..n. SelanjutnyaSelanjutnya misalkanmisalkan events yang events yang menyatakanmenyatakan kegagalan

kegagalan CC_kk dinyatakandinyatakan sebagaisebagai FF_kk

FF_kk salingsaling bebasbebas. . SistemSistem yang yang dirangkaidirangkai secarasecara serieserie gagalgagal, , apabila

apabila salahsalah satusatu komponennyakomponennya gagalgagal / / tidaktidak berfungsiberfungsi.. Dengan

Dengan demikiandemikian : F = F: F = F_{1 1} ∪∪FF₂₂ ∪. . . ∪. . . ∪F∪F_nn F = event yang

F = event yang menyatakanmenyatakan sistemsistem yang yang dirangkaidirangkai serieserie gagalgagal

Fn

F F

F = ₁ I ₂ I....I ∏

=

= ⁿ

i

Fi

F atau

( ) ( ) _∏ ( ) 1

=

−

=

−

= ⁿ

i

Fi

P F

P F

P

1

1 1

( ⁻ ) ( ⁻ ) ( ⁻ ) ^{= −} ∏ ⁻

−

= 1 1 p 1 p ... 1 p 1 ⁿ (1 p )

Selanjutya

Selanjutya bagaimanabagaimana dengandengan sistemsistem yang yang dirangkaidirangkai secarasecara parallel ?

parallel ? Sistem

Sistem tidaktidak berfungsiberfungsi atauatau gagalgagal JikaJika dandan HanyaHanya JikaJika SemuaSemua komponenya

komponenya gagalgagal.. F = F

F = F_{1 1} ∩∩FF₂₂ ∩. . . ∩. . . ∩F∩F_nn P(F) = P [ F

P(F) = P [ F_{1 1} ∩∩FF₂₂ ∩. . . ∩. . . ∩F∩F_{n n} ]]

= P(F

= P(F₁₁) P(F) P(F₂₂) . . . P (F) . . . P (F_nn))

= p= p_1.1.pp₂₂ . . . . . . pp_nn

: ( )

n

Jadi P F pi

=

=∏

EX. Flow in a circuit EX. Flow in a circuit

Andaikan

Andaikan tiaptiap switches switches SS_ii padapada kondisikondisi menutupmenutup (closed) (closed) probabilitasnya

probabilitasnya = p= p_ii, (opened). , (opened).

= P ( T

= P ( T ∪∪ B )B )

= P(T) + P(B)

= P(T) + P(B) –– P(T P(T ∩∩ BB))

= p= p₁₁pp₂₂ + p+ p₃₃pp₄₄pp₅₅ –– pp₁₁pp₂₂pp₃₃pp₄₄pp₅₅

A B

S₁ S₂

S₃ S₄ S₅

⎜⎜⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− lintasan atas mengalir Arus

B A dari

mengalir

Arus P

P ⎟⎟

⎠

⎞ bawah

melintas atau arus

Andaikan

Andaikan tiaptiap switches switches SiSi dalamdalam kondisikondisi tutuptutup, , peluangnyapeluangnya pp_ii TiapTiap switch switch salingsaling bebasbebas

Tentukan

Tentukan : P (: P (arusarus dapatdapat mengalirmengalir daridari A -A - B)B)

A B

S₁ S₂

S₃ S₄ S₅

SoalSoal--soalsoal

1.

2. 2. SuatuSuatu Circuit Circuit terdiriterdiri atasatas 10 switches. 10 switches. AndaikanAndaikan tiaptiap switch switch saling

saling bebasbebas satusatu terhadapterhadap lainnyalainnya, , dandan padapada saatsaat tutuptutup (closed or on)

(closed or on) dengandengan peluangpeluang sepertiseperti tercantumtercantum dalamdalam bagan

bagan. . ArusArus mengalirmengalir melaluimelalui switch switch jikajika switch dalamswitch dalam ON. ON.

Berapa

Berapa peluangpeluang arusarus mengalirmengalir antaraantara A danA dan BB

P₁

P₂ P₂

P₃ P₃ P₃

P₄ P₄ P₄ P₄

SoalSoal--soalsoal

SoalSoal--soalsoal

BlokBlok diagram diagram daridari suatusuatu sistemsistem

0,2

0,4 0,3

0,4 0,1

Peluang

Peluang kegagalankegagalan tiaptiap komponenkomponen tercantumtercantum dalamdalam blokblok. . Andaikan

Andaikan kegagalankegagalan tiaptiap komponenkomponen salingsaling bebasbebas Tentukan

Tentukan peluangpeluang bekerjanyabekerjanya sistemsistem tersebuttersebut??

SoalSoal--soalsoal

2

3 4 1

0,9

0,5 0,7

0,8

0,9

5 6

0,8 7

0,6

8 0,6

9 0,8 0,5

0,9 10

11 0,7

Peluang keberhasilan tiap komponen tercantum dalam

blok. Andaikan keberhasilan tiap komponen saling bebas.

Tentukan peluang bekerjanya sistem tersebut?