Bab III Kecepatan relatif dua buah titik pada satu penghubung kaku. Penghubung berputar terhadap satu titik tetap

Diktat KINEMATIKA

Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno

Bab III

KE K EC CE EP PA AT T AN A N R RE EL LA AT TI IF F D DA AN N P PE ER RC CE EP P AT A TA AN N RE R EL LA AT TI IF F

3.1 KECEPATAN RELATIF

3.1.1 Kecepatan relatif dua buah titik pada satu penghubung kaku Penghubung berputar terhadap satu titik tetap

Perhatikan sebuah penghubung kaku yang berputar terhadap satu titik tetap O. Seperti ditunjukkan dalam gambar 3.1

Jarak antara O dan B adalah R dan garis O-B membuat suatu sudut sebesar θ terhadap sumbu x .

VB

y

VB

Gambar 3.1. Kecepatan sebuah titik yang bergerak terhadap satu titik tetap

R

? y

VBx R

B

?

? y

x

O O

B

?

x

Diktat KINEMATIKA

Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno

Perpindahan titik B dalam arah sumbu x = R cos

θ

dan perpindahan titik B dalam arah sumbu y = R sin

θ

Dideferensial terhadap waktu dengan harga R konstan diperoleh :

dt R d

dt R d dt

dx θ

θ θ

) sin ) (

cos

( = −

=

dt R d

dt R d dt

dy θ θ θ

) cos ) (

cos

( =

=

Kecepatan titik B dalam arah x adalah = dt dx

Kecepatan titik B dalam arah y adalah VBy = dt dy

Kecepatan sudut garis O-B adalah : dt dθ ω =

Maka kecepatan pada titik B : 1. Dalam arah x adalah VBx = -R

ω sin θ

2. Dalam arah y adalah VBy = R

ω cos θ

Kecepatan total titik B diperoleh dengan menjumlahkan secara vector kedua komponen kecepatan tegak lurus.

V^B = R

ω sin θ

R

ω cos θ

VB = [(R

ω sin θ

^{)2 + ( R}

ω cos θ

^)2]1/2 = R

ω

(sin²

θ

^{+ cos2}

θ

⁾ = R

ω

Diktat KINEMATIKA

Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno

Dari gambar diatas ditunjukkan bahwa kecepatan titik B tegak lurus terhadap garis O-B.

3.1.2 Hubungan kecepatan dua buah titik pada satu penghubung kaku Persamaan kecepatan relatif untuk dua buah titik pada satu penghubung kaku dapat diperoleh dengan mengembangkan prosedur analisa diatas.

Gambar 3.2. Hubungan kecepatan dua buah titik pada satu penghubung kaku

Perhatikan sebuah garis A-B, seperti terlihat pada gambar 3.3 yang mempunyai gerak kombinasi translasi dan rotasi. Koordinat titik A adalah (XA,YA), panjang A-B sebesar R dan sudut yang dibentuk garis A-B dan sumbu x adalah θ. Sehingga koordinat titik B adalah :

YA

x O

R?

A

O x

B y

? R? cos ?

VAx

R cos ?

A x O

? y

R

B

?

B

? y

R? sin?

?

VAy

R sin ?

XA

Diktat KINEMATIKA

Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno

XB = XA + R cos

θ

YB = YA + R sin

θ

Dideferensialkan terhadap waktu t, dan R adalah besaran Konstanta

dt R d

dt dX dt

dx_{B A} θ

θ

− sin

=

dt R d

dt dY dt

dy_{B A} θ

θ + cos

=

Dengan ^B V_B^x dt

dx = , ^A V_A^x dt

dx = , ^B V_B^y dt

dy = , ^A V_A^y dt

dy = , dan

dt dθ ω =

Maka V_B^x =V_A^x −Rω sinθ θ ω cos R V V_B^y = _A^y +

Posisi dari vector-vektor kecepatan ini ditunjukkan pada gambar 3.3.

Dengan menjumlahkan kedua persamaan diatas akan diperoleh kecepatan total dari titik B.

VB = (V_a^X V_a^y) (R

ω sin θ

R

ω cos θ

)

Harga (V_a^X V_a^y) adalah kecepatan total titik A , VA dan

Harga (R

ω sin θ

^R

ω cos θ

^{) = R}

ω

, maka persamaan diatas dapat dituliskan menjadi :

VB = VA R

ω

Dengan R

ω

adalah vector kecepatan yang tegak lurus ke garis A-B dan dalam arah yang sama dengan kecepatan sudutnya.

Kecepatan relatif titik B terhadap titik A adalah VBA = R

ω

.

Diktat KINEMATIKA

Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno

Sehingga untuk dua buah titik pada satu penghubung kaku, dapat dipakai salah satu dari dua persamaan dibawah ini :

VB = VA R

ω

VB = VA VBA

3.2 PERCEPATAN RELATIF

3.2.1 Percepatan sebuah titik pada sebuah penghubung yang berputar terhadap satu pusat tetap dengan jari -jari konstan.

Diktat KINEMATIKA

Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno

Diktat KINEMATIKA

Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno

Gambar 3.3. Percepatan sebuah titik pada sebuah penghubung yang berputar terhadap satu pusat tetap.

Penghubung (Link) O2 – B (Gambar 3.3 a) berputar terhadap satu pusat tetap O2, dengan kecepatan sudut

ω

radian per detik, kearah melawan putaran jam (CCW), dan percepatan sudutnya

α

. Jarak O2 – B sama dengan R. link O2 – B membentuk sudut

θ

dengan sumbu x.

Diinginkan percepatan total yang diterima titik B.

Kecepatan titik B:

1. Dalam arah x adalah VBx = -R

ω sin θ

2. Dalam arah y adalah VBy = R

ω cos θ

Kedua persamaan diatas dideferensialkan terhadap waktu t, dan R adalah konstanta dihasilkan :

dt R d

dt

dV_B^x =− [ω(cosθ) θ

dt dω θ ) +(sin ^] y

? R a

R a cos ? O

R a B

x

R a sin ?

(e)

Diktat KINEMATIKA

Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno

dt R d

dt

dV_B^y = [ω(−sinθ) θ

dt θ )dω +(cos ^]

Percepatan titik B dalam arah sumbu x : _B^x

x

b A

dt dV =

Percepatan titik B dalam arah sumbu y : _B^yx

y

b

A

dt dV

=

Percepatan sudut :

α

= dt dω

Sehingga persamaan diatas menjadi : A^x_B= −

R ω

²cos

θ

−

R α

sin

θ

A^y_B= −Rω²sinθ +Rαcosθ

Gambar 6.1b memperlihatkan vector-vektor dalam posisinya masing- masing, sehingga percepatan total titik B adalah :

AB = (Rω cos² θ Rω sin² θ) (

R α sin θ

R α cos θ

)

Kedua komponen tegak lurus dalam tanda kurung pertama, yang ditunjukkan dalam gambar 3.3c memberikan sebuah resultan R?², yang mempunyai arah dari titik B ke pusat perputaran penghubung (link).

Dua komponen kedua tegak lurus dalam tanda kurung kedua, yang ditunjukkan dalam gambar 3.3d memberikan sebuah resultan Ra, yang mempunyai arah tegak lurus ke garis B-O2 . Gambar 3.3e menunjukkan pengaruh pembalikan arah percepatan sudutnya.

Sehingga percepatan total titik B dapat dinyatakan dengan persamaan : AB = Rω² R

α

Diktat KINEMATIKA

Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno

R

α

disebut komponen percepatan tangensial

Diktat KINEMATIKA

Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno

3.2.2 Percepatan relatif dua buah titik pada satu penghubung kaku Sebuah gari A-B seperti pada gambar , adalah bagian dari penghubung kaku yang bergerak dalam suatu bidang dengan gerak sebarang, lokasi titik B :

XB = XA + R cos

θ

YB = YA + R sin

θ

Kecepatan titik B : V_B^x =V_A^x −Rω sinθ θ ω cos R V V_B^y = _A^y +

Persamaan kecepatan titik B dideferensialkan terhadap waktu t dengan

harga R konstan diperoleh :

dt R d

dt dV dt

dV_B^x = _A^x − [ω(cosθ) θ

dt θ )dω +(sin ^]

R d dV

dV_B^y = _A^y + [ω(−sinθ) θ +(cosθ )dω ] XA

A

O YA

x

? a y

R

B

?

(a)

Diktat KINEMATIKA

Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno

Percepatan titik B dalam arah sumbu x : ^bx A_B^x dt dV =

Percepatan titik B dalam arah sumbu y : _B^yx

y

b A

dt dV =

Percepatan titik A dalam arah sumbu x : _A^x

x

bA

A

dt dV

=

Percepatan titik A dalam arah sumbu y : _A^yx

y

A

A

dt dV

=

Kecepatan sudut:

dt ω = dθ

Percepatan sudut :

α

= dt dω

Maka persamaan diatas dapat dituliskan menjadi : A^x_B= A_A^x −Rω²cosθ−Rαsinθ

A^y_B=

A

_A^y−

R ω

²sin

θ

+

R α

cos

θ

Percepatan total titik B, AB diperoleh dengan menjumlahkan komponen tegak lurus: AB = A^x_B A^y_B

Dengan menjumlahkan vector seperti yang ada digambar dengan urutan sebagai berikut :

AB = (A^x_A A^y_A) (Rω cos² θ Rω sin² θ) (Rα sinθ Rα cosθ) Suku dalam kurung pertama adalah percepatan total titik A

Suku dalam kurung kedua adalah samadengan R

ω

² yaitu vector yang arahnya dari B ke A. Suku dalam kurung ketiga adalah sama dengan R

α

Diktat KINEMATIKA

Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno

yaitu vector dengan arah tegak lurus B-A dan arahnya sesuai dengan arah percepatan sudutnya.

Sehingga percepatan titik B dapat dinyatakan dengan : AB = AA Rω²

R α

Dari persamaan ini percepatan titik B sama dengan percepatan titik A ditambah denganpercepatan relatif titik B terhadap titik A. Sehingga persamaan percepatan titik B dapat dituliskan :

AB = AA ABA

Dengan mengganti R = BA dan

BA V_BA

=

ω maka didapatkan persamaan :

AB = AA

BA V

2BA

BA

α

AA

y

B R a

O

x

? a

A

R

(c)

Diktat KINEMATIKA

Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno

Soal-soal :

I. Kecepatan Relatif

1. penghubung A-B bagian dari sebuah mekanisme empat penghubung telah dianalisa dan telah didapatkan bahwa kecepatan A adalah 10 m/dt seperti ditunjukkan. Juga diketahui bahwa kecepatan sudut penghubung untuk sesaat pengamatan adalah 60 rat/det kearah putaran jam . jika penghubung A-B panjangnya 10 cm berapa kecepatan total titik B dan bearnya dan arah. Selesaikan dengan memakai VA =VA + VBA ; dan selesaikan dengan memakai VB= VA +VBA.

2. Sebuah penghubung A-B panjangnya 20 cm. Komponen-komponen kecepatan titik a dan b seperti ditunjukkan. Berapa besar dan arah kecepatan sudut penghubung ?

30⁰ 2

B

A

VA

VB

?2

6 m/det

A

B

1.5 m/det

3 m/det 1.5 m/det

Diktat KINEMATIKA

Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno

3. Kecepatan titik a pada penghung 2 diketahui besar dan arahnya.

Kecepatan relatif titik B terhadap titik A diketahui besar dan arahnya. Tunjukkan bagaimana kecepatan titik B dan kecepatan titik C dapat ditentukan.

II. Percepatan Relatif

1. Sebuah penghubung yang panjangnya 12.5 cm, berputar pada 400 rpm kearah putaran jarum jam, dengan salah satu ujungnya tetap dan 5 detik kemudian berputar pada 1800 rpm, dengan percepatan sudut konstan. Berapa percepatan titik tengah penghubung pada saat penghubung berputar pada 1400 rpm ?

2. Apabila percepatan titik A seperti yang ditunjukkan, berapa kecepatan sudut dan percepatan sudutpenghubung untuk posisi yang ditunjukkan ? Kemana arah percepatan sudutnya ? Dapatkah arah kecepatan sudut diketahui ?

2 B VA

A

VBA

C

A_A=1000 m/det²

15 cm A 30⁰

20⁰ O

Diktat KINEMATIKA

Oleh : Ir. Erwin Sulityo - Ir. Endi Sutikno

3. Jika percepatan normal titik B terhadap titik A adalah 125 m/det² dan percepatan tangensial titik B terhadap titik A adalah 250 m/det². Berapa kecepatan sudut dan percepatan sudut penghubung ?

4. Jika percepatan total titik-titik A dan B diketahui dan seperti ditunjukkan, berapa kecepatan sudut dan percepatan sudut penghubung ? Perhatikan dalam dua cara : hubungan percepatan titik B terhadap titik A, dan hubungan percepatan titik a dan titik B.

tentukan juga percepatan titik C.

A

A^t_BA=250 m/det²

Aⁿ_{B A}=125 m/det² B

AB = 15 cm

A

C

B A_A=200 m/det²

60⁰ A_B=400 m/det²